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2010全国初中数学竞赛题及答案

发布时间:2013-12-10 14:28:52  

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三、解答题(共4题,每题20分,共80分)

11.如图,△ABC为等腰三角形,AP是底边BC上的高,点D是线段PC上的一点,BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径,

连接EF. 求证: tan?PAD?

EF. BC

证明:如图,连接ED,FD. 因为BE和CF都

是直径,所以

ED⊥BC, FD⊥BC,

可得

…………(20分)

12.如图,抛物线y?ax?bx(a?0)与双曲线y?2相交x

于点A,B. 已知点A的坐标为(1,4),点B在第三象限内,

且△AOB的面积为3(O为坐标原点).

(1)求实数a,b,k的值;

(2)过抛物线上点A作直线AC∥x轴,交抛物线于另一

点C,求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.

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k上, x

4所以k=4. 故双曲线的函数表达式为y?. x

4设点B(t,),t?0,AB所在直线的函数表达式为y?mx?n,则有 t解:(1)因为点A(1,4)在双曲线y?

?4?m?n,44(t?1)? 解得m??,n?. ?4tt?mt?n,?t?

于是,直线AB与y轴的交点坐标为?0,?

?4(t?1)??,故 t?

1(4t?1)S?AOB???1?t??3,整理得2t2?3t?2?0, 2t

1解得t??2,或t=

(舍去).所以点B的坐标为(?2,?2). ???

=B?(?2,2)是CO的延长OA1到点E1,使得OE1=2OA1,这时点E1(8,?

2)是符合条件的点. (ii)作△

BOA关于x轴的对称图形△B?OA2,得到点A2(1,?4);延长OA2到点E2,使得OE2=2OA2,这时点E2(2,?8)是符合条件的点.

所以,点E的坐标是(8,?2),或(2,?8). …………(20分)

13.求满足2p2?p?8?m2?2m的所有素数p和正整数m.

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.解:由题设得p(2p?1)?(m?4)(m?2), 所以p(m?4)(m?2),由于p是素数,故p(m?4),或p(m?2). ……(5分)

(1)若p(m?4),令m?4?kp,k是正整数,于是m?2?kp,

3p2?p(2p?1)?(m?4)(m?2)?k2p2,

故k?3,从而k?1. 2

?m?4?p,?p?5,所以?解得? …………(10分)m?9.m?2?2p?1,??

(2)若p(m?2),令m?2?kp,k是正整数.

当p?5时,有m?4?kp?6?kp?p?p(k?1)3p2?p(2p?1)?(m?4)(m?kp2,

故k(k?1)?3,从而k?1,或2.

由于p(2p?1)?(m?4)(2)k?2,从而k?1.

?m?4?2p? 于是?m?2?p,?

这不可能.

当p?5263,m?9;当p?3,m?2m?29,无正整数解;当2

p?2m18,无正整数解.

p=5,正整数m=9. …………(20分)

14.从1,2,…,2010这2010个正整数中,最多可以取出多少个数,使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除?

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解:首先,如下61个数:11,11?33,11?2?33,…,11?60?33(即1991)满足题设条件. …………(5分)

另一方面,设a1?a2???an是从1,2,…,2010中取出的满足题设条件的数,对于这n个数中的任意4个数ai,aj,ak,am,因为

33(ai?ak?am), 33(aj?ak?am),

所以 33(aj?ai).

因此,所取的数中任意两数之差都是33的倍数. …………(10

设ai?a1?33di,i=1,2,3,…,n. 由33(a1?a2?a3),得33(3a1?33d2?33d3),

15分)

故20分)

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