haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 学科竞赛学科竞赛

2003年全国初中数学联合竞赛试题及解答

发布时间:2013-12-10 16:32:02  

2003年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 说明:评阅试卷时,请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档;第二试各题,请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.

第一试

一、选择题(本题满分42分,每小题7分)

1. )

A

.5?

【答】D.

原式

? B

.?1 C.5 D.1

B.1 2?3?1. 2.在凸10边形的所有内角中,锐角的个数最多是( ) A.0

【答】C.

凸10边形的外角和是360,所以最多有3个钝角,也就是内角最多3个锐角.

3.若函数y?kx(k?0)与函数y?

的面积为( )

C.3 D.5 1的图象相交于A,C两点,AB垂直x轴于B,则△ABCx

A.1. B. 2. C.k. D. k. 【答】A.

如图,因为点A在y?

1的面积为. 221上,且AB垂直x轴于B,所以△AOBx根据对称性可知OA=OC,所以S?ABC?2S?AOB?1.

4

满足等式?2003的正整数对(x,y)的个数是( )

A.1. B. 2. C. 3. D.4.

【答】B.

2003

移到等号左边并变形得到:

?

0. 1

0,即xy?2003,又2003是质数,所以共有x?2003,y?1;x?1,y?2003两组解.

5.设△ABC的面积为1,D是边AB上一点,且形DECB的面积为 A.

3CE

,则的值为( ) 4EA

AD1

?.若在边AC上取一点E,使四边AB3

1111. B. . C. . D.. 2435

AE

【答】B.

SAD?AE?sin?BAC显然由正弦定理可知:△ADE?,

S△ABCAB?AC?sin?BAC

所以故:

S△ADEAD?AE1AE3

????1?, S△ABCAB?AC3AC4AE3CE1

?,所以? AC4EA3

BC

6.如图,在平行□ABCD中,过A,B,C三点的圆交AD于E,且与CD相切.若AB=4,BE=5,则DE的长为( )

A.3. B. 4. C.【答】D.

连接CE,由于ABCE四点共圆,所以:∠DEC=∠CBA, 在平行四边形ABCD中,∠D=∠ABC, 所以有∠DEC=∠D=∠ABC,

同时,CD平行于AB,且DC与圆相切,

可知:C为弧AB中点,所以∠CEB=∠CBA,且∠DCE=∠CBE, 故由∠DEC=∠D可知△DEC为等腰三角形,CD=CE=AB=4, 由∠DEC=∠CBE和∠D=∠ABC=∠CEB可知△CDE∽△BCE, CE216CEBE

?. 所以:,故:DE??

BE5DECE

1516

. D.. 45

DC

二、填空题(本题满分28分,每小题7分)

1.抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.若△ABC是直角三角形,则ac=________. 【答】-1.

2

由于△ABC是直角三角形,所以抛物线与x轴的交点必然在y轴两边,所以

c再由射影定理得到c2??,所以ac??1. ac?0. a

932.设m是整数,且方程3x2+mx-2=0的两根都大于?而小于,则m=_________. 57

【答】 4.

考虑二次函数f(x)?3x2?mx?2与二次函数的两个交点,由于3大于0,图像开口向上. 9393由于两个交点都在?和之间,所以从图像可以看出,f(?)?0,f()?0. 5757

得到3813?m?4,所以m的值为4. 2125

3.如图,AA?,BB?分别是?EAB,?DBC的平分线.若AA??BB??AB,则?ABC的度数为___________.

【答】12°.

令?B???,由于AB?BB?,所以有:?B?AB??B???,

对于△B?BA的一个外角等于不相邻的的两内角之和,故:?B?BD??B?AB??B??2?. 又B?B为?CBD的角平分线,所以:?CBD?2?B?BD?4?,

又由对顶角相等可知:?ABA???CBD?4?,

由AA??AB可知:?AA?B??ABA??4?,

故:?BAA??180??AA?B??ABA??180?8?,

同时AA?为?BAE的角平分线,

故:?BAE?2?BBA??360?16?,

则:?BAE??CAB?360?16????180,

解得:??12,故?BAC???12.

4.已知正整数a,b之差为120,它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍,那么a,b中较大的数是_____________.

【答】225.

设两个数的最大公约数为d,大数为md,小数为nd,其中m,n互质,则最小公倍数为mnd.由已知得mn=105,(m-n)d=120.

由于m>n,所以m只可能是105,35,21,15.

对应的n分别为1,3,5,7.

只有在m=15,n=7时d为整数,d=15.

所以大数为md=225.

3

B'A'

第二试 (A)

一.(本题满分20分)试求出这样的四位数,它的前两位数字与后两位数字分别组成的两位数之和的平方,恰好等于这个四位数.

解 方法一:

设这两个两位数分别为x,y,则?x?y??100x?y,即x2?2?y?50?x??y2?y??0, 2

为使方程有正整数根要求??4?y?50??4?y2?y??4?2500?99y?是完全平方数. 2

经试验得到y?25时?是完全平方数,解出x?20或30,即2025或者3025满足题意. 方法二:

设这两个两位数分别为x,y,则?x?y??100x?y

故?x?y??100x?y?x?y(mod99).

所以99|(x+y)(x+y-1)

?9|x?y?9|x?y?1因为x+y与x+y-1是互质的,且x+y<100,所以?或?. 11|x?y?111|x?y??22

易得x+y=45或x+y=55

所以该四位数为?x?y??452?2025或?x?y??552?3025.

经检验,2025或者3025满足题意.

二.(本题满分25分)在△ABC中,D为AB的中点,分别延长CA,CB到点E,F,使DE=DF;过E,F分别作CA,CB的垂线,相交于P.设线段PA,PB的中点分别为M,N. 求证:⑴△DEM≌△DFN;⑵∠PAE=∠PBF.

证明 连接DE,EM,MD,DN,NF,FD,

在直角△AEP和△CFP中,M、N分别是它们斜边上的中点

所以:EM=MA=MP,CN=NF=NP,

在△APC中,D、M、N分别为各边的中点,故DM,DN均为△APC的中位线, 所以有EM=MA=MP=DN,CN=NF=NP=DM,

同时,由于D为AC边中点,所以AD=DC,

因此△DME≌△FND,命题得证.

由△DME≌△FND可知:?EMD??DNF,

又由于DM,DN均为△APC的中位线,所以?AMD??DNC,

则有:?EMD??AMD??DNF??DNC,

即:?AEM??FNC,

同时,△AME和△FNC为等腰三角形,所以,?PAE??PBF.

4

22CAEPDBF

三.(本题满分25分)已知实数a,b,c,d互不相等,且a?试求x的值. 解 由已知有:

a?b?c?

1

?x; b

1

?x; c

1

?x; d

1111

?b??c??d??x,bcda

① ② ③ ④ ⑤ ⑥

d?

1

?x. a

由式①解出:b?

1

, x?a

将⑤代入②式可得:c?将⑥代入③式可得:

x?a

x2?ax?1

x?a1

??x,

x2?ax?1d

即:dx3??ad?1?x2??2d?a?x?ad?1?0, 由④式得:ad?1?ax,

代入⑦式得:?d?a??x3?2x??0, 由已知d?a?0,所以:x3?2x?0, 若x?0,则由式⑥可得a?c,矛盾, 故有x2?

2,即x?

第二试 (B)

一.(本题满分20分)题目和解答与(A)卷第一题相同.

二.(本题满分25分)在△ABC中,D为AB的中点,分别延长CA,CB到点E,F,使DE=DF;过E,F分别作CA,CB的垂线,相交于P. 求证:∠PAE=∠PBF. 提示:参考(A)卷第二题

5

三.(本题满分25分)已知四边形ABCD的面积为32,AB,CD,AC的长都是整数,且它们的和为16.

⑴这样的四边形有几个?

⑵求这样的四边形边长的平方和最小值.

解 设AB?a,CD?b,AC?l,则:

S?111

ABCD?S△ABC?S△ADC2alsin?BAC?2blsin?DAC≤2l?a?b?,

仅当∠BAC=∠DAC=90°时,等号成立,

即在四边形ABCD中,当AC垂直于AB,AC垂直于CD时等号成立.

由已知可得:64≤l?a?b?,

又由题设a?b?16?l,可得:64≤l?a?b?≤64??l?8?2≤64,

于是:l?8,a?b?8,且这时AC垂直于AB,AC垂直于AD.

因此,这样的四边形有如下4个:

a?1,b?7,l?8;

a?2,b?6,l?8;

a?3,b?5,l?8;

a?4,b?4,l?8;

它们都是以AC为高的梯形或平行四边形.

又由AB?a,CD?8?a,则BC2?82?a2,AD2?82??8?a?2,

因此,这样的四边形的边长的平方和为:2a2?2?8?a?2?128?4?a?4?2?192.故当a?b?4时,平方和最小,且为192.

第二试 (C)

一.(本题满分20分)题目和解答与(A)卷第三题相同.

二.(本题满分25分)题目和解答与(B)卷第二题相同.

三.(本题满分25分)题目和解答与(B)卷第三题相同.

6

网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com