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2013年全国中考数学试卷整理:二次函数应用

发布时间:2013-12-11 10:32:27  

2013年全国各地中考数学解析汇编 二次函数的应用

(2013北海,7,3分)7.已知二次函数y=x2-4x+5的顶点坐标为:

A.(-2,-1) B.(2,1) C.(2,-1) D.(-2,1) ( )

b4ac?b2

,【解析】二次函数的顶点坐标公式为(?),分别把a,b,c的值代入即可。 2a4a

【答案】B

【点评】本题考查的是二次函数顶点公式,做题时要灵活把握,求纵坐标时,也可以把横坐标的值代入到函数中,求y值即可,属于简单题型。

(2013山东省滨州,1,3分)抛物线y??3x?x?4 与坐标轴的交点个数是( )

A.3 B.2 C.1 D.0

【解析】抛物线解析式?3x?x?4,令x=0,解得:y=4,∴抛物线与y轴的交点为(0,

4),令y=0,得到?3x?x?4?0,即3x?x?4?0,分解因式得:(3x?4)(x?1)?0 ,解得:x1??22224 , x2?1, 3

4,0),(1,0), 3∴抛物线与x轴的交点分别为(?

综上,抛物线与坐标轴的交点个数为3.

【答案】选A

【点评】本题考查抛物线的性质,需要数形结合,解出交点,即可求出交点的个数.此题也可用一元二次方程根的判别式判定与x轴的交点个数,与y轴的交点就是抛物线中C的取值.

( 2013年四川省巴中市,8,3)对于二次函数y=2(x+1)(x-3)下列说法正确的是( )

A.图象开口向下 B.当x>1时,y随x的增大而减小

C.x<1时,y随x的增大而减小 D.图象的对称轴是直线x= - 1

【解析】y=2(x+1)(x-3)可化为y=(x-1)2-8,此抛物线开口向上,可排除A,对称轴是直线x=1可排除D,根据图象对称轴右侧部分, y随x的增大而减小,即x<1时,故选C.

【答案】C

【点评】本题考查将二次函数关系式化成顶点式的方法及图象性质.

212.(2013湖南衡阳市,12,3)如图为二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象,则下列说法:

①a>0 ②2a+b=0 ③a+b+c>0 ④当﹣1<x<3时,y>0

其中正确的个数为( )

A.1B.2C.3D.4

解析:由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由x=1时的函数值判断a+b+c>0,然后根据对称轴推出2a+b与0的关系,根据图象判断﹣1<x<3时,y的符号.

答案:解:①图象开口向下,能得到a<0;

②对称轴在y轴右侧,x==1,则有﹣=1,即2a+b=0;

③当x=1时,y>0,则a+b+c>0;

④由图可知,当﹣1<x<3时,y>0.

故选C.

点评:本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求2a与b的关系,以及二次函数与方程之间的转换,根的判别式的熟练运用.

(2013呼和浩特,9,3分)已知:M、N两点关于y轴对称,且点M在双曲线y?

点N在直线y=x+3上,设点M的坐标为(a,b),则二次函数y= –abx2+(a+b)x 1上,2x

9 2

99 C. 有最小值,最小值为 D. 有最小值,最小值为 – 22

1【解析】M(a,b),则N(–a,b),∵M在双曲线上,∴ab=;∵N在直线上,∴b=–a+3,即a+b=3; 2

9911∴二次函数y= –abx2+(a+b)x= –x2+3x= –(x–3)2+,∴有最大值,最大值为 2222 A. 有最大值,最大值为 – B. 有最大值,最大值为

【答案】B

【点评】本题考查了轴对称的性质,利用点在函数图象上,把点代入的解析式中求得ab和a+b的值。

此题解题时没有必要解出a、b的值,而是利用整体代入法求解。

(2013陕西10,3分)在平面直角坐标系中,将抛物线y?x?x?6向上(下)或向左(右)平移了m个单位,使平移后的抛物线恰好经过原点,则m的最小值为()

A.1 B.2 C.3 D.6

【解析】因为是左或右平移,所以由y?x?x?6?(x?3)(x?2)求出抛物线与x轴有两229 2

0?,0?,将抛物线向右平移2个单位,恰好使得抛物线经过原个交点分别为?3,?-2,

点,且移动距离最小.选B.

【答案】B

【点评】本题考查了抛物线的图像性质,关注它和x轴交点坐标是解决问题的关键.难度稍

大.

12.(2013四川泸州,12,3分)抛物线y?(x?2)?3的顶点坐标是( )

A.(2,3) B.(-2,3) C.(2,3) D.(-2,-3)

解析:求抛物线的顶点坐标可以运用顶点坐标公式,也可以运用配方法.由抛物线2y?(x?2)2?3的顶点坐标为(2,3).故选C.

答案:C.

点评:本题考查了二次函数图象顶点坐标,由配方法得到的顶点坐标中,横坐标符号容易被弄错,需要注意.

(2013,黔东南州,5)抛物线y?x?4x?3的图象向右平移2个单位长度后所得新的抛物线的顶点坐标为( )

A 、(4,-1) B、(0,-3) C、(-2,-3) D、(-2,-1)

解析:y?x?4x?3??x?2??1,所以顶点坐标为(2,-1),右平移2个单位长度后222

所得新的抛物线的顶点坐标为(4,-1).

答案:A

点评:本题考查了抛物线的平移,难度较小.

2(2013河南,5,3分)在平面直角坐标系中,将抛物线y?x?4先向右平移2个单

位,再向上平移2个单位,得到的抛物线解析式为

A.y?(x?2)?2 B.y?(x?2)?2

C.y?(x?2)?2 D.y?(x?2)?2

B.

解答:B.

点评:根据平移概念,图形平移变换,图形上每一点移动规律都是一样的,也可用抛物线顶点移动.即(0,-4)—→(2,-2).

(2013山东日照,11,3分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出下列结论:① 2b-4ac>0;② 2a+b<0;③ 4a-2b+c=0;④ a︰b︰c= -1︰2︰3.其中正确的是( )

A. ①② B.②③

C. ③④ D.①④

解析:由图可知,对称轴为x=1,图象与x轴有两个交点(-1,0)

2和(3,0),故b-4ac>0;a-b+c=0,2a+b=0,所以b=-2a,c=-3a,所以a︰b︰c= -1︰2︰3.

解答:选D.

2222 解析:根据点的坐标是平面直角坐标系中的平移规律:“左加右减,上加下减.”故选

点评:本题主要考查二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标、对称轴等,解题的关键是运用数形结合思想,充分利用图象进行分析,排除错误答案.

1 (2013贵州黔西南州,10,4分)如图4,抛物线y=x2+bx-2与x轴交于A、B两点,与y2

轴交于C点,且A(-1,0),点M(m,0)是x轴上的一个动点,当MC+MD的值最小时,m的值是( ).

25242325A. B. C. D.40414041

13【解析】解把A(―1,0)代入y=2+bx―2,求得b=. 22

131325325所以,y=x2―(x2―,所以抛物线顶点D(.又求得C(0,―2). 2222828

要x轴上的动点M(m,0)使MC+MD最小,作C点关于x轴的对称点C/(0,2),连接C/D与x轴的交点即为M点.

24利用相似三角形的知识求得OM=;或先求直线C/D的解析式,再求这条直线与抛物线的41

2424交点坐标为(0).所以,n=. 4141

【答案】B.

【点评】本题考查二次函数的图象与性质,一般在图形中解决“折线段最小值”的问题,要利用轴对称把“折线段”化为“直线段”进行计算.

(2013呼和浩特,9,3分)已知:M、N两点关于y轴对称,且点M在双曲线y?点N在直线y=x+3上,设点M的坐标为(a,b),则二次函数y= –abx2+(a+b)x 1上,2x

9 2

99 C. 有最小值,最小值为 D. 有最小值,最小值为 – 22

1【解析】M(a,b),则N(–a,b),∵M在双曲线上,∴ab=;∵N在直线上,∴b=–a+3,即a+b=3; 2

9911∴二次函数y= –abx2+(a+b)x= –x2+3x= –(x–3)2+,∴有最大值,最大值为 2222 A. 有最大值,最大值为 – B. 有最大值,最大值为

【答案】B

【点评】本题考查了轴对称的性质,利用点在函数图象上,把点代入的解析式中求得ab和a+b的值。

9 2

此题解题时没有必要解出a、b的值,而是利用整体代入法求解。

(2013甘肃兰州,14,4分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象所示,若∣ax2+bx+c∣=k(k≠0)有两个

不相等的实数根,则k的取值范围是( )

A. k<-3 B. k>-3 C. k<3 D. k>3

解析:根据题意得:y=|ax2+bx+c|的图象如右图:

所以若|ax2+bx+c|=k(k≠0)有两个不相等的实数根,则k>3,

故选D.

答案:D

点评:本题考查了二次函数的图象,先根据题意画出y=|ax2+bx+c|的图

象,即可得出|ax2+bx+c|=k(k≠0)有两个不相等的实数根时,k的取值

范围.解决本题的关键是根据题意画出y=|ax2+bx+c|的图象,根据图象

得出k的取值范围. 第14题图

(2013南京市,12,2)已知下列函数:①y=x2;②y= -x2;③y=(x-1)2+2.

其中,图像通过平移可以得到函数y= -x2+2x-3的图像有解析:只要二次项的系数相同,这类二次函数图像均可以通过平移得到.

答案:②.

点评:二次项的系数a决定二次函数的形状、开口大小等,所有a相等的二次函数都可以由

y=ax2经过平移得到.

(2013甘肃兰州,11,4分)已知二次函数y?a(x?1)?b(a?0)有最小值1,则a、b的大小关系为( )

A.a>b B. a<b C. a=b D. 不能确定

解析:二次函数y?a(x?1)?b(a?0)有最小值,则a>0;又因为此函数均有最小值是1,所以-b=1,b=-1,因此a>b,故选A.

答案:A

点评:本题考查的是二次函数的最值。根据函数有最小值判断出a的符号,进而可得出结论。求二次函数的最大(小)值有三种方法,第一种可由图象直接得出,第二种是配方法,第三种是公式法.

(2013甘肃兰州,7,4分)抛物线y=(x+2)2-3可以由抛物线y=x2平移得到,则下列平移过程中正确的是( )

A. 先向左平移2个单位,再向上平移3个单位 B. 先向左平移2个单位,再向下平移3个单位

C. 先向右平移2个单位,再向下平移3个单位 D. 先向右平移2个单位,再向上平移3个单位

解析:抛物线y=x2向左平移2个单位可得到抛物线y=(x+2)2,抛物线y=(x+2)2,再向下平移3个单位即可得到抛物线y=(x+2)2-3.故平移过程为:先向左平移2个单位,再向下平移3个单位.故选B.答案:B

点评:本题考查的是二次函数的图象与几何变换,要求熟练掌握平移的规律:左加右减,上 22

加下减.难度较小。

(2013甘肃兰州,4,4分)抛物线y=-2x2+1的对称轴是( )

A.直线x?11 B. 直线x?? C. y轴 D. 直线x=2 22

解析:抛物线y=-2x2+1就是抛物线的顶点式方程,可直接得到对称轴为x=0,即y轴。 答案:C

点评:本题主要考查二次函数的性质的知识点,将解析式化为顶点式y=a(x-h)2+k,顶点坐标是(h,k),对称轴是x=h.也可以用公式法解答.

(2013河北省12,3分)12、如图6,抛物线y1?a?x?2??3与y2?21?x?3?2?1交于点2

A(1,3),过点A作x轴的平行线,分别交两条抛物线于点B、C,则以下结论: ①无论x取何值,y2总是正数;

②a=1;

③当x=0时,y1?y2?4;

④2AB=3AC

其中正确的是 ( )

A.①② B.②③ C.③④ D.①④

【解析】y2?11?x?3?2?1a??022中,,而图象又在x轴的上方,所以结论①正确;

2??将A(1,3)代入y1?ax?2?3,可得

y1?y2?a?23,所以结论②不正确;当x=0时,29

6,所以结论③错误;把y=3,分别代入两个表达式中,分别求出AB、AC的

长度,比较它们的数量关系,可知④是对的。

【答案】D

【点评】本题考查的知识点比较多,计算量比较大,但是如用排除法,就简单一点了。在教学中,多渗透一题多解。此题难度较大。

(2013江苏苏州,16,3分)已知点A(x1,y1)、B(x2,y2)在二次函数y=(x﹣1)+1的

2

12x平移得到抛物线m,抛物线m2

1经过点A(-6,0)和原点O(0,0),它的顶点为P,它的对称轴与抛物线y=x2交于点2(2013广安中考试题第16题,3分)如图7,把抛物线y=

Q,则图中阴影部分的面积为________________.

思路导引:注意平移的性质的运用,观察得出的图象构造的图形,可以发现以点AQOP为

顶点的四边形是菱形,根据菱形的对角线互相垂直平分的性质,结合轴对称的性质进行分析解答

19x(x+6),所以顶点坐标是(-3,-), 22

1299x=-3时,y=x=,所以点Q坐标是(-3,), 222

91OA=6,PQ=2×=9,所以四边形APOQ面积是×6×9=27,图中阴影部分的面积是 22

127四边形APOQ面积的,所以面积是 22解析:平移后的抛物线的解析式是y=

y

mAOx

点评:在图形面积计算问题中,巧妙运用轴对称性质解答问题,注意割补法灵活运用.另外

一般图形向特殊图形的转化也十分关键.

(2013,湖北孝感,18,3分)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)图象的对称轴是直线x=1,其图像的一部分如图所示,对于下列说法:

①abc<0;②a-b+c<0; ③3a+c<0; ④当-1<x<3时,y>0.其中正确的是__________(把正确说法的序号都填上).

【解析】由抛物线的开口方向判断a的符号,由抛物线与y轴的交点判断c的符号,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.

∵抛物线的开口向下,∴a<0,

∵与y轴的交点为在y轴的正半轴上,∴c>0,

∵对称轴为x=?b=1,得2a=-b,∴a、b异号,即b>0, 2a

又∵c>0,∴abc<0,故①正确;

∵抛物线与x轴的交点可以看出,

当x=-1时,y<0,∴a-b+c<0,故②正确;

当x=-1时,y<0,

而此时a-b+c =3a+c,即3a+c<0;故③正确;

观察图形,显然④不正确.

【答案】①②③

【点评】考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定.

(2013深圳市 14 ,3分)二次函数y?x?2x?6的最小值是。 2

b4ac?b2

,)求顶点。根据a【解析】:考查二次函数的基本性质,会用顶点坐标公式(?2a4a

的值确定抛物线的开口方向,从而确定函数的最大或最小值。或将一般式化为顶

点式求解。

【解答】:由a?1,可知二次函数y最小值4ac?b24?1?6?(?2)2???5或者由4a4?1

y?x2?2x?6?(x?1)2?5知二次函数的最小值是5

【点评】:一是公式记忆要准确,二是系数不能代错。化成顶点式时配方不能出错。

(2013年广西玉林市,18,3)二次函数y=-(x-2)+29的图象与x轴围成的封闭区域内(包4

括边界),横、纵坐标都是整数的点有 个. (提示:必要时可利用下面的备用图画出图象来分析).

分析:根据二次函数的解析式可知函数的开口方向向上,顶点坐标为(2,

可解出与x轴的交点横坐标.

解:∵二次项系数为-1,∴函数图象开口向下,顶点坐标为(2,

29),当y=0时,49 ),当y=0时,-(x-2)4+197 =0,解得x1= ,得x2= .可画出草图为:

422

图象与x轴围成的封闭区域内(包括边界),横、纵坐标都是整数的点有7个,为(2,0),(2,1),(2,2),(1,0),(1,1),(3,0),(3,1).

点评:本题考查了二次函数的性质,熟悉二次函数的性质、画出函数草图是解题的关键.

(2013湖北咸宁,16,3分)对于二次函数y?x2?2mx?3,有下列说法:

①它的图象与x轴有两个公共点;

②如果当x≤1时y随x的增大而减小,则m?1;

③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点,则m??1;

④如果当x?4时的函数值与x?2008时的函数值相等,

则当x?2012时的函数值为?3.

其中正确的说法是 .(把你认为正确说法的序号都填上)

【解析】①根据函数与方程的关系解答;∵△=4m2-4×(-3)=4m2+12>0,∴它的图象与x轴有两个公共点,故本选项正确;

②找到二次函数的对称轴,再判断函数的增减性;∵当x≤1时y随x的增大而减小,∴函数的对称轴x=--2m-2m在直线x=1的左侧(包括与直线x=1重合),则-≤1,即m≤22

1,故本选项错误;

③将m=-1代入解析式,求出和x轴的交点坐标;将m=-1代入解析式,得y=x2+2x-3,当y=0时,得x2+2x-3=0,即(x-1)(x+3)=0,解得,x1=1,x2=-3,将图象向左平移3个单位后不过原点,故本选项错误;

④根据坐标的对称性,求出m的值,得到函数解析式,将m=2013代入解析式;④∵当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等,∴对称轴为x=-2m4+2008=1006,则-=22

1006,即m=1006,原函数可化为y=x2-2013x-3,当x=2013时,y=20132-2013×2013-3=-3,故本选项正确.

【答案】①④(多填、少填或错填均不给分)

【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质,抛物线平移、与x轴的交点,综合性较强.

2(2013年广西玉林市,11,3)二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象如图所示,其对称轴为

22x=1,有如下结论:①c<1;②2a+b=0;③b<4ac;④若方程ax+bx+c=0的两根为x1,x2,

则x1+x2=2,则正确的结论是( )

A.①② B.①③ C.②④ D.③④

分析:由抛物线与y轴的交点在1的上方,得到c大于1,故选项①错误;由抛物线的对称轴为x=1,利用对称轴公式得到关于a与b的关系,整理得到2a+b=0,选项②正确;由抛物线与x轴的交点有两个,得到根的判别式大于0,整理可判断出选项③错误;令抛物线解析式中y=0,得到关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系表示出两根之和,将得到的a与b的关系式代入可得出两根之和为2,选项④正确,即可得到正确的选项.

解:由抛物线与y轴的交点位置得到:c>1,选项①错误;

∵抛物线的对称轴为x=-b =1,∴2a+b=0,选项②正确; 2a

22由抛物线与x轴有两个交点,得到b-4ac>0,即b>4ac,选项③错误;

令抛物线解析式中y=0,得到ax+bx+c=0,∵方程的两根为x1,x2,且-

∴x1+x2=-2bb =1,及- =2,2aab =2,选项④正确,综上,正确的结论有②④.故选C a

2点评:此题考查了二次函数图象与系数的关系,二次函数y=ax+bx+c(a≠0),a的符号由

开口方向决定,c的符号由抛物线与y轴交点的位置确定,b的符号由a及对称轴的位置确定,抛物线与x轴交点的个数决定根的判别式的符号.

(2013·哈尔滨,题号24分值 6)

小磊要制作一个三角形的钢架模型,在这个三角形中,长度为x(单位:cm)的边与这条

2边上的高之和为40 cm,这个三角形的面积S(单位:cm)随x(单位:cm)的变化而变化.

(1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围);

(2)当x是多少时,这个三角形面积S最大?最大面积是多少

?

【解析】本题考查确定函数解析式,二次函数最值.三角形的边x和高的和是40,可表示该边上的高位40-x,根据三角形面积公式是底乘高除2可写出S=

的顶点坐标分别对应x及S的最大值.

【答案】解:(1)S=1×x(40-x),这个二次函数2121×x(40-x)= ?x+20x; 22

4ac?b2b (2)x=?=20,S==200, 2a4a

所以当x=20cm时,这个三角形的面积最大,最大面积是200cm.

【点评】二次函数是中考考查的必考内容之一,本题是综合考查二次函数的最值问题,需要考生熟悉二次函数的相关基本概念和配方法即可解题.要注意解题过程的完整性.

2(2013·哈尔滨,题号8分值 3)将抛物线y=3x向左平移2个单位,再向下平移1个单位,

所得抛物线为( ).

222 2 (A)y=3(x+2)—1 (B)y=3(x-2)+1 (C)y=3(x-2)—1 (D)y=3(x+2)+l

【解析】本题考查了函数图象的平移规律.抛物线的平移规律是:左右平移自变量左加右减,上下平移常数上加下减来进行.对于题目当中这种简单形式,可以直接套公式即可.

【答案】A

【点评】(1)受点的平移规律影响,误认为左右平移时自变量“左减右加”而误选B;(2)

222将3x误认为是自变量,得出错误答案:y=3x+2-1=3x+1.

(2013·哈尔滨,题号10分值 3)李大爷要围成一个矩形菜园,菜园的一边利用足够长的墙,用篱笆围成的另外三边总长应恰好为24米.要围成的菜园是如图所示的矩形ABCD.设BC边的长为x米,AB边的长为y米,则y与x之间的函数关系式是( ). 2

1 x十12 (0<x<24) 2

1(c)y=2x一24(0<x≦12) (D)y= x一12(0<x<24) 2(A)y=一2x+24(0<x<12) (B)y=一

【解析】本题考查函数解析式的表示方法及自变量取值范围.AB+CD+BC=24,即2AB+x=24,2y+x=24,所以y=12-1x.因为菜园一边的墙足够长,所以自变量x(BC)只要小2

于24即可,又边长大于零,所以x取值范围0<x<24,故选B.

【答案】B

【点评】根据矩形的周长公式本题易得解,但要注意矩形的第四边的特殊要求。

(2013河北省24,9分)某工厂生产一种合金薄板(其厚度忽略不计)这些薄板的形状均为正方形,边长(单位:cm)在5~50之间,每张薄板的成本价(单位:元)与它的面积(单位:cm2)成正比例,每张薄板的出厂价(单位:元)由基础价和浮动价两部分组成,其中基础价与薄板的大小无关,是固定不变的,浮动价与薄板的边长成正比例,在营销过程中得到了表格中的数据,

(1)求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式;

(2)已知出厂一张边长为40cm的薄板,获得利润是26元(利润=出厂价-成本价)。 ①求一张薄板的利润与边长这之间满足的函数关系式。

②当边长为多少时,出厂一张薄板获得的利润最大?最大利润是多少?

?b4

ac?b2?参考公式:抛物线y?ax?bx?c?a?0?的顶点坐标是???2a,

4

a??。

??2

【解析】(1)根据每张薄板的出厂价(单位:元)由基础价和浮动价两部分组成,设出出厂价的表达式(为一次函数)再根据表格中的数据,求出解析式。(2)根据利润=出厂价-成本价,列出利润的关系式,为二次函数,再利用顶点坐标,求出当边长为多少时,博班利润最大?最大利润是多少?但是需要验证顶点的横坐标在不在x的取值范围内。

【答案】解:(1)设一张薄板的边长为x cm,它的出厂价为y元,基础价为n元,浮动价为kx元,

则y=kx+n????????????2分

由表格中数据得??50?20k?n?k?2 解得? ∴y=2x+10 ?70?30k?n?n?10

(2)①设一张薄板的利润为P元,它的成本价为mx2元,由题意得

P=y-mx2=2x+10-mx2

将x=40,P=26代入P=2x+10-mx2中,得26=2?40?10?m?40 解得m=

∴P??21 2512x?2x?10 25

②∵a??b1?0 ∴当x????252a212?(?)25?25(在5~50之间)时,

P最大值?1?24?????10?224ac-b?25????35 4a?1?4?????25?

即出厂一张边长为25cm的薄板,所获得的利润最大,最大利润为35元

【注:边长的取值范围不作为扣分点】

【点评】本题是一次函数、二次函数的用,①求表达式,②求极值。一次函数求极值是根据y随x的增大而增大还是缩小;二次函数的极值分为两部分:顶点极值和非顶点极值。是每次中考都要考查的重点内容。教学时要多加注意。难度中等。

(2013黑龙江省绥化市,23,6分)如图,二次函数y?ax?4x?c的图像经过坐标原点,与x轴交与点A(-4,0).

(1)求此二次函数的解析式;

(2)在抛物线上存在点P,满足S?AOP?8,请直接写出点P的坐标.

2

【解析】解:(1)把点A(-4,0)及原点(0,0)代入函数解析式,利用待定系数法求二次函数解析式解答;

?c?0?a??1解得? ?2c?0a?(-4)-4?(-4)+c=0??

所以,此二次函数的解析式为y=-x2-4x;

(2)根据三角形的面积公式求出点P到AO的距离,然后分点P在x轴的上方与下方两种情况解答即可.由已知条件得(2)∵点A的坐标为(-4,0),

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式,二次函数图象上的点的坐标特征,(2)要注意分点P在x轴的上方与下方两种情况讨论求解.难度中等.

(2013四川宜宾,8,3分)给出定义:设一条直线与一条抛物线只有一个公共点,且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行,就称直线与抛物线相切,这条直线是这条抛物线的切线。有下列命题:

1①直线y=0

是抛物线y=x2的切线; 4

1②直线x=-2与抛物线y=x2相切于点(-2,1); 4

1③直线y=x+b与抛物线y=x2相切,则相切于点(2,1); 4

1④直线y=kx-2与抛物线y=x2相切,则实数k=2; 4

其中正确命题的是( )

A.①②④ B.①③ C.②③ D.①③④

【解析】

【点评】本题考查的是二次函数的性质及根的判别式,熟知二次函数的性质是解答此题的关键.

参考以上定理和结论,解答下列问题:

设二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的两个交点A(x1,0),

B(x2,0),抛物线的顶点为C,显然△ABC为等腰三角形.

(1)当△ABC为等腰直角三角形时,求b?4ac的值;

(2)当△ABC为等边三角形时,求b?4ac的值.

22

第27题

解析:(1)当△ABC为直角三角形时,由于AC=BC,所以△ABC为等腰直角三角形,过C作

式,得到

解方程即可求出b?4ac的值. 解:(1)当△ABC为等腰直角三角形时,过C作CD⊥AB于D,则

AB=2CD.

∵抛物线与x轴有两个交点,∴△=b2-4ac>0,则|b2-4ac|=b2-4ac. 2

2∵b?4ac>0,

∴b?4ac=4; 22

, ∵b?4ac>0,

∴b?4ac=12.

点评:本题考查了等腰直角三角形、等边三角形的性质,抛物线与x轴的交点及根与系数的关系定理,综合性较强,难度中等.

22

(2013山东省滨州中考,24,10分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax+bx+c经过A(﹣2,﹣4),O(0,0),B(2,0)三点.

2(1)求抛物线y=ax+bx+c的解析式;

(2)若点M是该抛物线对称轴上的一点,求AM+OM的最小值. 2

【解析】(1)将A、O、B三点代入此抛物线求出抛物线的解析式即可。(2)求出此抛物线的对称轴以及对称轴的垂直平分线的方程,画出它们,由几何关系可求得AM+OM的最小值.

2解:(1)把A(﹣2,﹣4),O(0,0),B(2,0)三点的坐标代入y=ax+bx+c中,得

解这个方程组,得a=﹣,b=1,c=0

所以解析式为y=﹣x+x.

(2)由y=﹣x+x=﹣(x﹣1)+,可得

抛物线的对称轴为x=1,并且对称轴垂直平分线段OB

∴OM=BM

∴OM+AM=BM+AM

连接AB交直线x=1于M点,则此时OM+AM最小

过点A作AN⊥x轴于点N,

在Rt△ABN中,AB=因此OM+AM最小值为.

==4, 222

【点评】本题考查二次函数的性质:二次函数的求法、二次函数对称轴的求法、二次函数对称轴的求法以及对称的性质.待定系数法求二次函数的解析式是二次函数常考查的问题,二次函数性质的综合应用在中考中常作为压轴题考查.

(1)求抛物线对应的函数关系式;

(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE,点A、B、O的对应点分别是D、C、E,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;

(3)在(2)的条件下,连结BD,已知在对称轴上存在一点P是的△PBD的周长最小,求出P点的坐标;

(4)在(2)、(3)条件下,若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合),过点M作MN∥BD交x轴与点N,连结PM、PN,设OM的长为t,△PMN的面积为S,求S与t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围。S是否存在最大值?若存在,求出最大值和此时M点的坐标;若不存在,说明理由。

第28题

示出△PMN的面积,利用二次函数最值求出即可.

∵四边形ABCD是菱形,∴BC=CD=DA=AB=5,

∴C、D两点的坐标分别是(5,4)、(2,0),

(3)设CD与对称轴交于点P,则P为所求的点,

此时点M的坐标为(0,). 6点评:此题主要考查了二次函数的综合应用,以及菱形性质和待定系数法求解析式,求图形面积最值,利用二次函数的最值求出是解题关键,难度较大.

(2013贵州遵义,27, 分)如图,已知抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的图象经过原点O,交x轴于点A,其顶点B的坐标为(3,﹣).

(1)求抛物线的函数解析式及点A的坐标;

(2)在抛物线上求点P,使S△POA=2S△AOB;

(3)在抛物线上是否存在点Q,使△AQO与△AOB相似?如果存在,请求出Q点的坐标;如果不存在,请说明理由. 2

(2013呼和浩特,25,12分)(12分)如图,抛物线y?ax?bx?c(a<0)与双曲线y?2x

相交于点A、B,且抛物线经过坐标原点,点A的坐标为(–2,2),点B在第四象限内,过点B作直线BC∥x轴,点C为直线BC

与抛物线的另一交点,已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍,记抛物线顶点为E。

(1)求双曲线和抛物线的解析式;

(2)计算△ABC与△ABE的面积;

(3)在抛物线上是否存在点D,使△ABD的面积等于△ABE的面积的8倍。若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由。

【解析】二次函数、反比例函数综合题

【答案】

解:(1)∵点A(–2,2)在双曲线y?

∴k= –4 ∴双曲线的解析式为y??k上 x4 x∵BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍 ∴可设B点坐标为(m,–4m)(M>0)代入双曲线解析式得m=1 ∴抛物线y?ax?bx?c过点A(–2,2)、B(1,–4)、O(0,0) 2

?4a?2b?c?2?a??1??∴?a?b?c??4 解得?b??3

?c?0?c?0??

2

∴抛物线的解析式为y= –x–3x 2(2)∵抛物线的解析式为y= –x–3x

∴顶点E(?2339,),对称轴为x=? 224解得x1=1,x2= –4 ∵B(1,–4) ∴–x–3x=–4 ∴C(–4,–4) ∴S△ABC=5×6×1=15 23,1) 2由A、B两点坐标为(–2,2),(1,–4)可求得直线AB的解析式为:y= –2x–2 设抛物线对称轴与AB交于点F,则F点坐标为(–∴EF=95?1? 44∴S△ABE=S△AEF+S△BEF=1515××3= 824(3)∵S△ABE=15 8

∴8 S△ABE=15 ∴当点D与点C重合时,显然满足条件。

当点D与点C不重合时,过点C作AB的平行线CD,其

对应的一次函数解析式为y= –2x–12

令–2x–12=–x–3x 解得x1=3,x2= –4(舍) 当x=3时,y= –18 ∴存在另一点D(3,–18)满足条件。 2

【点评】(1)利用反比例函数求点的坐标,并求出抛物线的解析式。(2)中利用解析式求出各个点的坐标,再求三角形的面积。(3)利用同底等高的原理作出平行线,找出另一点并求坐标。

(2013湖北武汉,23,10分)如图,小河上有一拱桥,拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE,ED,DB组成,已知河底ED是水平的,ED=16米,AE=8米,抛物线的顶点C到ED距离是11米,以ED所在的直线为x轴,抛物线的对称轴y轴建立平面直角坐标系,

(1)求抛物线的解析式;

(2)已知从某时刻开始的40小时内,水面与河底ED的距离h(单位:米)随时间t(单位:时)的变化满足函数关系

h=-1(t?19)2?8 (0≤t≤40) 128

且当水面到顶点C的距离不大于5米时,需禁止船只通行,请通过计算说明:在这一时段内,需多少小时禁止船只通行?

解析:1、根据题意可得A,B,C,三点坐标分别为(-8,8)(0,11)(8,8),利用

?8?82a?c待定系数法,设抛物线解析式为y=ax+c,有?,解方程组即可

?11?c2

2、水面到顶点C的距离不大于5米,即函数值不小大于11-5=6,解方程-1(t?19)2?8=6即可 128

解:1、依题有顶点C的坐标为(0,11),点B的坐标为(8,8),设抛物线解析式为y=ax2+c

3??8?82a?c?a??有?,解得?64 11?c???c?11

∴抛物线解析式为y=-

2、令-32x+11 641(t?19)2?8=11-5,解得t1=35,t2=3 128

1(t?19)2?8 (0≤t≤40)的图像, 画出 h=-128

由图像变化趋势可知,当3≤t≤35时,

水面到顶点C的距离不大于5米,需禁止船只通行,

禁止船只通行时间为35-3=32(时)

答:禁止船只通行时间为32小时。

点评:难度中等

(2013湖北武汉,25,12分)如图1、点A为抛物线C1:y =12x?2的顶点,点B的坐2

标为(1,0),直线AB交抛物线C1于另一点C,(1)求点C的坐标;

(2)如图1,平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D,交抛物线C于点E,平行于y轴的直线x=a交直线AB于F,交抛物线C1于G,若FG:DE=4:3,求a的值。

(3)如图2将抛物线C向下平移m(m>0)个单位得到抛物线C2且抛物线C2的顶点为点P交X轴负半轴于点M,交射线BC于点N,NQ⊥x轴于点Q,当NP平分∠MNQ时,求m的值。

解析:1、求C点的坐标,可首先利用待定系数法求出直线AB的解析式,联立直线与抛物线得到方程组,求解方程组即可;

2、根据题意,DE的长度可求3又FG:DE=4:3,故可求FG=2即∣yF-yG∣=2,把x2

=a代人两个函数解析式,用a表示F、G、纵坐标,得到关于a的方程即可;

3、解决本题关键在于抓住M、P之间的联系,可设点M坐标为( t,0)

,根据待定

系数法得抛物线C2解析式为y =12121,又直线ABx?t,即P点坐标为(0,?t2)222

12t,又PN平分2与抛物线C2的交点N坐标为(2-t,2-2t ),从而有∠NMO=450,进而MN与y轴交点为T(0,-t),由特殊角三角函数和线段和差有NT=2(2-t),PT=-t+

∠MNQ, NQ∥TP 故∠MNP=∠PNQ=∠TPN ,PT=NT,即-t+

t值,进而求得m.

解:(1)当x=0时,y=-2, ∴A(0,-2)

设直线AB的解析式为y=kx+b,有 12t=2(2-t),从而求得2

??2?b?k?2,解得. ∴直线AB的 解析式为y=2x-2. ??0?k?bb??2??

12?y?x?212?由C点为直线与抛物线y =x?2的交点,则点C的横、纵坐标满足? 22??y?2x?2

解得??x1?4?x2?0 ?(舍) ∴点C的坐标为(4,6) y??2y?6?2?1

53, ∴DE= 22(2)直线x=3分别交直线AB和交抛物线C1于D、E两点。 ∴yD=4, yE=

∵FG:DE=4:3.FG=2

∵直线分别交直线AB和抛物线C于F、G两点。

∴yF=2a-2, yG=1212a-2, ∴FG=|2a-a|=2 22

解得a1=2,a2=2+22,a3=2-22

(3)解法一:设直线MN交y轴于T,过点N作NH⊥y轴于点H。

12x?2?m 2

12121212∴0=t?2?m ,∴?2?m??t ∴y =x?t 2222

12∴点P坐标为(0,?t), 2

1212∵点N是直线AB与抛物线y=x-t的交点,则点N的横,纵坐标满足22设点M坐标为( t,0),抛物线C2 的解析式为y =

1212??y

?x?t22 ???y?2x?2

解得??x1?2?t?x2?2?t ?(舍去) ∴点N坐标为(2-t,2-2t )

?y1?2?2t?y2?2?2t

NQ=2--2t ,MQ=NQ, ∴

∴△MOT, △NHT均为等腰直角三角形,∴MO=NO,HT=HN,

∴OT=t,NT=2NH=2(2-t),PT=-t+12t 2

∵PN平分∠MNQ, NQ∥TP ∴∠MNP=∠PNQ=∠TPN ∴PT=NT,

12t=2(2-t), ∴t1=-22,t2=2(舍去) 2

1212-2-m=-t=-(-22),∴m=2 22∴-t+

解法二,设N坐标为(t,2t-2),抛物线C2的解析式为y=

∴点P坐标为(0,?1212x-2-m, ∴2t-2=t-2-m 2212t+2t-2) 2

0同解法一可得∠MNQ=45,∴∠PNQ=10∠MNQ=22.5, 2

过点P作PF⊥NQ于点F,在FN上截取FJ=FP,连线JP,∴NJ=JP=2PF=2FJ ∴NF=(2+1)PF,∴即(2t-2)-(-

∴t1=22+2,t2=0(舍去), ∴m=12t+2t-2)=( 2+1)t 212t-2t=2 ∴m=2 2

点评:本题以二次函数为背景,考察了待定系数法,函数与方程组,抛物线与直线所截线段长度的计算,特殊角的三角函数,平行线、角平分线的性质等相关知识,以及数形结合的数学思想,1、2问难度不大,2问学生需注意分类讨论,也可以对线段的长度加绝对值达到分类讨论的效果;3问难度较大,学生不容易找到问题的突破口,学生可

0以先进行必要的计算,边算边找,只要找到∠NMQ=45,问题就较为明晰了。

(2013湖南衡阳市,27,10)如图,A、B两点的坐标分别是(8,0)、(0,6),点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动,速度为每秒3个单位长度,点Q由A出发沿AO(O为坐标原点)方向向点O作匀速直线运动,速度为每秒2个单位长度,连接PQ,若设运动时间为t(0<t<)秒.答案如下问题:

(1)当t为何值时,PQ∥BO?

(2)设△AQP的面积为S,

①求S与t之间的函数关系式,并求出S的最大值;

②若我们规定:点P、Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则新坐标(x2﹣x1,y2﹣y1)称为“向量PQ”的坐标.当S取最大值时,求“向量PQ”的坐标.

解析:(1)如图①所示,当PQ∥BO时,利用平分线分线段成比例定理,列线段比例式,求出t的值;

(2)①求S关系式的要点是求得△AQP的高,如图②所示,过点P作过点P作PD⊥x轴于点D,构造平行线PD∥BO,由线段比例关系求得PD,从而S可求出.S与t之间的函数关系式是一个关于t的二次函数,利用二次函数求极值的方法求出S的最大值; ②本问关键是求出点P、Q的坐标.当S取最大值时,可推出此时PD为△OAB的中位线,从而可求出点P的纵横坐标,又易求Q点坐标,从而求得点P、Q的坐标;求得P、Q的坐标之后,代入“向量PQ”坐标的定义(x2﹣x1,y2﹣y1),即可求解.

答案:解:(1)∵A、B两点的坐标分别是(8,0)、(0,6),则OB=6,OA=8,

∴AB=

==10.

如图①,当PQ∥BO时,AQ=2t,BP=3t,则AP=10﹣3t.

∵PQ∥BO,∴∴当t=,即,解得t=, 秒时,PQ∥BO.

(2)由(1)知:OA=8,OB=6,AB=10.

①如图②所示,过点P作PD⊥x轴于点D,则PD∥BO, ∴,即,解得PD=6﹣t. 22S=AQ?PD=?2t?(6﹣t)=6t﹣t=﹣(t﹣)+5,

∴S与t之间的函数关系式为:S=﹣(t﹣)+5(0<t<

当t=秒时,S取得最大值,最大值为5(平方单位).

②如图②所示,当S取最大值时,t=,

∴PD=6﹣t=3,∴PD=BO,又PD∥BO,

∴此时PD为△OAB的中位线,则OD=OA=4,

∴P(4,3). 2),

又AQ=2t=,∴OQ=OA﹣AQ=,∴Q(,0).

依题意,“向量PQ”的坐标为(﹣4,0﹣3),即(,﹣3).

∴当S取最大值时,“向量PQ”的坐标为(,﹣3).

点评:本题是典型的动点型问题,解题过程中,综合利用了平行线分线段成比例定理(或相似三角形的判定与性质)、勾股定理、二次函数求极值及三角形中位线性质等知识点.第(2)②问中,给出了“向量PQ”的坐标的新定义,为题目增添了新意,不过同学们无须为此迷惑,求解过程依然是利用自己所熟悉的数学知识.

(2013·湖南省张家界市·25题·12分)如同,抛物线y??x2?23x?2与x轴交于3

C、A两点,与y轴交于点B,OB=4点O关于直线AB的对称点为D,E为线段AB的中点.

(1) 分别求出点A、点B的坐标

(2) 求直线AB的解析式

(3) 若反比例函数y?k的图像过点D,求k值. x

(4)两动点P、Q同时从点A出发,分别沿AB、AO方向向B、O移动,点P每秒移动1个单位,点Q每秒移动1个单位,设△POQ的面积为S,移动时间为t,问:S是否存在2

最大值?若存在,求出这个最大值,并求出此时的t值,若不存在,请说明理由.

x

【分析】(1)求抛物线与x轴的交点的横坐标,即求函数值为0时,x的值;(2)利用待定系数法可求;(3)求出D点的坐标,再代入反比例函数关系式即可求k值;(4)利用二次函数的最值求解.

【解答】解:(1)令y=0,即-x2+353x+2=0,解答x1=-,x2=23. 33

∴C(-3,0),A(2,0) 3

(2)令AB为直线为y=k1x+2,∵点A(23,0)在直线上,

∴0=K1·23+2,∴k1=-3. 3

∴AB的解析式为y=-3x+2. 3

(3)∵D点与O点关于AB对称,∴OD=OA=23.

∴D点的横坐标为,纵坐标为3,即D(,3).

因为y=kk过点D,∴3=,∴k=33. x(3)∵AP=t,AQ=11t,∴OQ=2-t.

22

1t. 2

11113∴S△OPQ=·(23-t)·t=-(t-2)2+. 82222点P到OQ的距离为

?t?4?1?依题意,?t?2,得0<t≤4,

?2

??t?0

∴当t=23时,S有最大值为3. 2

【点评】本题是考查一次函数、反比例函数和二次函数,由函数及满足函数图象的点,求出相关点的坐标,然后用待定系数法,求出抛物线的解析式;再根据二次函数的最值求解问题.

( 2013年四川省巴中市,29,9)某种商品的进价为每件50元,售价为每件60元,每个月可卖出200件;如果每件商品的售价上涨1元,则每个月少卖10件(每件售价不能高于72元),设每件商品的售价上涨x元(x为整数),每个月的销售利润为y元.

(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;

(2)每件商品的售价定为多少时每个月可获得最大利润?最大利润是多少?

【解析】①根据题意,y=(60-50+x)(200-10x),整理得,y=10x2+100x+2000(0<x≤12);

②由① 得y=-10x2+100x+2000=-10(x-5)2+2250,当x=5时,最大月利润y为

2250元。

【答案】①y=-10x2+100x+2000(0<x≤12) ②当x=5时,最大月利润y=2250元

【点评】本题是二次函数的应用问题,―最大利润问题‖,根据题意准确的确定函数关系式是

解决问题的关键.

(2013山东日照,22,9分)如图,矩形ABCD的两边长AB=18cm,AD=4cm,点P、Q分别从A、B同时出发,P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动,Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动.设运动时间为x秒,△PBQ的面积为y(cm2).

(1)求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;

(2)求△PBQ的面积的最大值.

解析:先运用三角形的面积公式求出y关于x的函数关系式,然后运用公式法或配方法把函数化成顶点式,再根据x的取值范围求所得函数的最大值,进而解决问题.

解:(1)∵S△PBQ=1PB·BQ, PB=AB-AP=18-2x,BQ=x,

2

1(18-2x)x,即y=-x2+9x(0<x≤4); 2

981(2)由(1)知:y=-x2+9x,∴y=-(x-)2 +, 24

9∵当0<x≤时,y随x的增大而增大, 而0<x≤4, 2∴y=

∴当x=4时,y最大值=20,即△PBQ的最大面积是20cm2.

点评:本题考查了列函数关系式表示几何关系的能力以及二次函数的最值的求法,解题的关键是用x表示相关线段的长,然后关键三角形的面积公式求出y关于x的函数关系式,难点是求函数的最大值.

(2013广东肇庆,25,10) 已知二次函数y?mx?nx?p图象的顶点横坐标是2,与2

x轴交于A(x1,0)、B(x2,0),x1﹤0﹤x2,与y轴交于点C,O为坐标原点,tan?CAO?tan?CBO?1.(1)求证:n?4m?0;

(2)求m、n的值;

(3)当p﹥0且二次函数图象与直线y?x?3仅有一个交点时,求二次函数的最大值.

n?2易得:n?4m?0 ②在三角形中结合正切函2m

数及根与系数关系,通过讨论可求得m、n的值;③当p﹥0且二次函数图象与直线【解析】①将2代入顶点横坐标?y?x?3仅有一个交点,即两个方程所组成的方程组有唯一解.即二次方程有两个相等的实数根.

【答案】(1)将2代入顶点横坐标得:?n?2 (1分) 2m

∴n?4m?0 (2分)

(2) ∵已知二次函数图象与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0),且由(1)知n??4m ∴x1?x2??n?4mp???4,x1?x2? (3分) mmm

OCOC? OA?x1 ∵ x1﹤0﹤x2, ∴在Rt△ACO中,tan∠CAO=

在Rt△CBO中,tan∠CBO=OCOC? OBx2

OCOC??1 (4分) ?x1x2∵tan?CAO?tan?CBO?1 , ∴

∵ x1﹤0﹤x2,∴OC?p?0 ∴x?x211111?? ????? 即1

x1x2px1x2OCp

∴41?? ∴p??4mp (5分) pp

m

1,此时,n?1 (6分) 4①当p?0时,m??

②当p?0时,m?1, 此时,n??1 (7分) 4

12(3)当p?0时,二次函数的表达式为:y??x?x?p 4

1??y??x2?x?p∵二次函数图象与直线y?x?3仅有一个交点 ∴方程组?仅有一个4?y?x?3?

解 ∴一元二次方程x?3??

2121x?x?p 即?x2?p?3?0有两个相等根 (8分) 44∴??0?4?(?)?(p?3)?0 解得:p?3 (9分) 此时二次函数的表达式为:y??

∵a??

(2013山东日照,23,10分)如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,且A点坐标为(-3,0),经过B点的直线交抛物线于点D(-2,-3).

(1)求抛物线的解析式和直线BD解析式;

(2)过x轴上点E(a,0)(E点在B点的右侧)作直线EF∥BD,交抛物线于点F,是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形?如果存在,求出满足条件的a;如果不存在,请说明理由

. 14121x?x?3??(x?2)2?4 441?0,∴y有最大值4 4

解析:(1)由A(-3,0),D(-2,-3)两点运用待定系数法可求;(2)先假设存在实数a使四边形BDFE是平行四边形,得到DF∥EB,由此用a表示F的坐标,代入二次函数解析

式得关于a的一元二次方程,求解检验可得.

解: (1)将A(-3,0),D(-2,-3)的坐标代入y=x2+bx+c得,

?9?3b?c?0, ?4?2b?c??3?

?b?2 解得:?, c??3?

∴y=x2+2x-3

由x2+2x-3=0,

得: x1=-3,x2=1,

∴B的坐标是(1,0),

设直线BD的解析式为y=kx+b,则

?k?b?0, ???2k?b??3

解得:

?k?1, ?b??1?

∴直线BD的解析式为y=x-1;

(2)∵直线BD的解析式是y=x-1,且EF∥BD,

∴直线EF的解析式为:y=x-a.

若四边形BDFE是平行四边形,

则DF∥x轴,

∴D、F两点的纵坐标相等,即点F的纵坐标为-3.

?y?x2?2x?3由?,得 y?x?a?

y2+(2a+1)y+a2+2a-3=0,

解得:y=??2a????4a. 2

令??2a????4a=-3, 2

解得:a1=1,a2=3.

当a=1时,E点的坐标(1,0),这与B点重合,舍去;

∴当a=3时,E点的坐标(3,0),符合题意.

∴存在实数a=3,使四边形BDFE是平行四边形.

点评:本题考查待定系数法、平行四边形的性质和一元二次方程的解法,解题的关键是用a表示F的坐标,数形结合是解决本题的重要思想思想.

(2013珠海,19,7分)如图,二次函数y??x?2??m的图象与y轴交于点C,点B是2

点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点.已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A(1,0)及点B.

(1)求二次函数与一次函数的解析式;

(2)根据图象,写出满足kx+b≥?x?2??m的x的取值范围.

2

【解析】(1)把A(1,0)代入y??x?2??m.解得m即可写出二次函数解析式,点C的坐标(0,4+m),再由点B、点C关于该抛物线的对称轴对称,可得点B的坐标,直线AB的解析式可求.

(2)由点B向x轴作垂线,如第19题图-1所示,当1≤x≤4时,直线AB上的对应点在抛物线的上方,即kx+b≥?x?2??m.

22

【答案】(1)由题意,得?1?2?+m=0, 解得m=-1.

∴y??x?2??1

当x=0时, y??0?2??1=3, ∴C(0,3).

∵点B与C关于直线x=2对称, ∴B(4,3) 222

?0?k?b?k?1于是有?,解得? 3?4k?bb??1??

∴y=x-1

(2)x的取值范围是1≤x≤4.

【点评】本题考查一次函数,二次函数,不等式综合应用,掌握用待定系数法和图象法是解题的

关键.

(2013云南省,23 ,9分)(本小题9分)如图,在平面直角坐标系中,直线y??

交x轴于点P,交y轴于点A。抛物线y??1x?2312x?bx?c的图像过点E ( -1 , 0 ),并与2

直线相较于A、B两点。

(1)求抛物线的解析式(关系式);

(2)过点A作AC?AB交x轴于点C ,求点C的坐标;

(3)除点C外,在坐标轴上是否存在点M,使得MAB是直角三角形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由。 ?

【解析】(1) 关键是求出点的坐标,利用待定系数法来求系数,抛物线y??

的图像与直线y??12x?bx?c21x?2相较于A、B两点。则有: 3

11?x?2??x2?bx?c 解之得:x1?0 32

7111x2? 代入:y??x?2得:y1?2 y2? 即A、B两点的坐标分别为:(0 , 2) 933

117(, ),P点的坐标为:(6 , 0) 39

12(两个系数需要两个点的坐标)抛物线y??x?bx?c的图像过点E ( -1 , 0 ),2

?2?c ?1?? 解之得:A(0 , 2)两点得: ?12??0???(?1)?b(?1)?c ?2?2?c?2 ??3所以:b???2

13y??x2?x?2 22

(2)因为AC?AB,所以有?AOP∽?COA则:AO?CO?PO即:2?6CO 22

22 所以C点坐标为(? , 0)主要是要求出?AOP∽?COA,这是关键; 33

(3)除点C外,在坐标轴上还存在点M,使得MAB是直角三角形。关键是要考生考虑一CO??

个三角形是直角三角形有三种情况,题目给出一种,那么还有两种,然后分情况来做; a、设M点的坐标为(x , 0)过B点作BL?OP垂足为L(这是以M点来做直角顶点) 所以就有:?AOM∽

?MLB

OAOMOAOM2x??????x?x117MLBLOL?OMBL?x39

所以M

点的坐标为M1 或M2

b、过点

B作M3B?AB交x轴于点M3

点,这个M点的第三个点同样使得角三角形,?MBA?90 (这是以B点来做直角顶点);那么有:

?MAB是直

220PB?

PA? PC?6+= 因为:

33

70PBPMPM

?PBM3∽?PAC则有: OM=OP-PM= =?? PM=

27PA

PC3

927092

,0) 所以点M3的坐标是:(6-?

272727

综上所述得:除点C外,在坐标轴上还存在点M,使得MAB是直角三角形。坐标分别

?

是: 92

、、(,0)。 27

【答案】

12

解:(1) 抛物线y??x?bx?c的图

21

像与直线y??x?2相较于A、B两点。

3112

则有: ?x?2??x?bx?c

32

解之得:x1?0

111

x2? 代入:y??x?2得:

33

7

y1?2 y2? 即A、B两点的坐标分

9

117

别为:(0 , 2) (, ),P点的坐标为:(6 , 0)

3912

抛物线y??x?bx?c的图像过点E ( -1 , 0 ),A(0 , 2)两点得:

2

?2?c ?1??c?2

123??

y??x?x?2 解之得:所以:??312

22b???0???(?1)?b(?1)?c ?2??2?2

(2)因为AC?AB,所以有?AOP∽?COA则:AO?CO?PO即:2?6CO

2

2

CO?

22

所以C点坐标为(? , 0) 33

(3)除点C外,在坐标轴上还存在点M,使得

?MAB是直角三角形。

a、(以M点来做直角顶点)设M点的坐标为(x , 0)过B点作BL?OP垂足为L 所以就有:?AOM∽?MLB

OAOMOAOM2x ??????x117MLBLOL?OMBL?x3911??x=

6x1=x2=

66 所以M点的坐标为M1 或M2b、(以B点来做直角顶点)过点

B作M3B?AB交x轴于点M3点,这个M点的第三个点同样使得

?MAB是直角三角形,

?MBA?900 220

= 33

PBPM则有: =?PAPC70PM= OM=OP-27所以点M3的坐标是: PC?6+

综上所述得:除点C外,在坐标轴上还存在点M,使得是: ?MAB是直角三角形。坐标分别

92

、、(,0)。 27

【点评】(1)本题考查考生两条线相交时,求点的坐标,其实y轴上是相等的,进而可以得到一个方程,解出结果便是;还有对用待定系数法求抛物线的解析式的掌握程度;

(2)考查考生如何利用三角形相似来求点的坐标,同时还可以和高中数学起到衔接的作用;(3)考查直角坐标系中点与点之间的距离要用勾股定理来求得,和三角形相似的运用;还有一个三角形是直角三角形时,其直角可以是任意一个顶点上的角,所以考生要考虑三种情况,题目已经给出一种,其余两种必须由考生去解;还有一元二次方程公式法的解法应

用,此题难度具有梯度,从中到难的跨度较大,但又步步紧扣;此题属于中考压轴题,具有拉开考生梯度的作用,使满分者与次之泾渭分明。

(2013,湖北孝感,25,12分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,三个交点坐标分别是A(-1,0),B(3,0),C(0,3).

(1)求抛物线的解析式,及顶点D的坐标;(4分)

(2)若P为线段BD上的一个动点,过点P作PM⊥x轴于点M,求四边形PMAC面积的最大值和此时P点的坐标;(4分)

(3)若点P是抛物线在第一象限上的一个动点,过点P作PQ∥AC交x轴于点Q,当点P的坐标为________时,四边形PQAC是平行四边形;当P点的坐标为_________时,四边形PQAC是等腰梯形(直接写出结果,不写求解过程).(4分

)

【解析】(1)已知了抛物线图象上的三点坐标,可用待定系数法求出该抛物线的解析式,进而可用配方法或公式法求得顶点D的坐标.

(2)设出P点坐标,将四边形PMAC的面积分为割一个直角三角形和一个直角梯形,在图形中找到等量关系S四边形PMAC=S△AOC +S梯形COMP,代入三角形面积公式、梯形面积公式,即可根据函数的性质求出四边形PMAC的最大值.

(3).

【答案】解:(1)因为抛物线y=ax2+bx+c过C(0,3),∴当x=0时,c=3.

又∵抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,0),B(3,0),

?a??1?0?a?b?3∴?,解得:?. b?20?9a?3b?3??

∴抛物线的解析式为:y=-x2+2x+3.

又y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴顶点D的坐标是(1,4).

(2)设直线BD的解析式为y=kx+n(k≠0).

∵直线y=kx+n过点B(3,0),D(1,4)

?k??2?0?3k?n∴?,解得:?, n?64?k?n??

∴直线BD的解析式为y=-2x+6.

∵P点在线段BD上,因此,设P点的坐标为(m,-2m+6),

又∵PM⊥x轴于点M,∴PM=-2m+6,OM=m.

又∵A(-1,0),C(0,3),∴OA=1,OC=3,设四边形PMAC的面积为S,则

S=1

2OA·OC+1

2(PM+OC)·OM=1

2×1×3+1

2(-2m+6+3)·m=

939105 ?m2?m???(m?)2?22416

91059∵1??3,∴当m?时,四边形PMAC的最大面积为. 1644

93此时P点的坐标为(,). 42

1115(3)(2,3),(,) 416

【点评】此题是二次函数的综合题,主要考查二次函数解析式的确定、一次函数解析式的确定、图形面积的求法、二次函数的最值等知识.能够将图形面积问题转换为二次函数的最值问题是解决(2)题的关键.

(2013贵州省毕节市,25,12分)某商品的进价为每件20元,售价为每件30,每个月可买出180件;如果每件商品的售价每上涨1元,则每个月就会少卖出10件,但每件售价不能高于35元,设每件商品的售价上涨x元(x为整数),每个月的销售利润为x的取值范围为y元。

(1)求y与x的函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围;

(2)每件商品的售价为多少元时,每个月可获得最大利润?最大利润是多少?

(3)每件商品的售价定为多少元时,每个月的利润恰好是1920元?

解析:(1)销售利润=每件商品的利润×(180-10×上涨的钱数),根据每件售价不能高于35元,可得自变量的取值;

(2)利用公式法结合(1)得到的函数解析式可得二次函数的最值,结合实际意义,求得整数解即可;

(3)让(1)中的y=1920求得合适的x的解即可.

解答:解:(1)y=(30-20+x)(180-10x)=-10x2+80x+1800(0≤x≤5,且x为整数);

(2)当x=?80?4时,y最大=1960元;∴每件商品的售价为34元. 2?(?10)

答:每件商品的售价为34元时,商品的利润最大,为1960元;

(3))1920=-10x2+80x+1800 , x2-8x+12=0, 即 (x-2)(x-6)=0, 解得x=2或x=6, ∵0≤x≤5, ∴x=2,

∴售价为32元时,利润为1920元.

点评:考查二次函数的应用;得到月销售量是解决本题的突破点;注意结合自变量的取值求得相应的售价.

(2013山东省青岛市,22,10)(10分)在“母亲节”期间,某校部分团员参加社会公益活动,准备购进一批许愿瓶进行销售,并将所得利润捐给慈善机构.根据市场调查,这种许愿瓶一段时间内的销售量y(个)与销售单价x(元/个)之间的对应关系如图所示: ⑴试判断y与x 之间的函数关系,并求出函数关系式;

⑵若许愿瓶的进价为6元/个,按照上述市场调查的销售规律,求销售利润w(元)与销售单价x(元/个)之间的函数关系式;

⑶若许愿瓶的进货成本不超过900元,要想获得最大的利润,试确定这种许愿瓶的销售单价,并求出此时的最大利润

.

【解析】(1)根据图象可观察得y与x成一次函数关系,利用一次函数解析来解答.

(2)利用“利润=销售量×每吨的利润”列函数关系式

(3)先利用“成本≤900元” 求得自变量的取值,然后根据函数性质求最值.

【答案】解:⑴y是x的一次函数,设y=kx+b图象过点(10,300),(12,240),

?k=-30?10k+b=300,解得? y=-30x+600 ?b=60012k+b=240??

当x=14时,y=180;当x=16时,y=120,

即点(14,180),(16,120)均在函数y=-30x+600的图象上.∴y与x之间的函数关系式为y=-30x+600.

⑵w=(x-6)(-30x+600)=-30x2+780x-3600

即w与x之间的函数关系式为w=-30x2+780x-3600.

⑶由题意得6(-30x+600)≤900,解得x≥15.

780w=-30x2+780x-3600图象对称轴为x=-=13,∵a=-30<0, 2×(-30)

∴抛物线开口向下,当x≥15时,w随x增大而减小,∴当x=15时,w最大=1350.

即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元.

【点评】本题是主要考查了一次函数、二次函数模型的选择与应用.运用函数性质求二次函数的最值常用配方法或公式法.(1)问中,要注意将其余各点代入验证,这一点容易忽视.

(2013四川宜宾,21,8分)某市政府为落市“保障性住房建设”这一惠民政策,2011年已投入3亿元资金用于保障性住房建设,并规划投入资金逐年增加,到2013年底,将累计投入10.5亿元资金用于保障性住房建设。

(1) 求到2013年底,这两年中投入资金的平均增长率(只列出方程);

(2) 设(1)中方程的两根分别为x,x2,且mx12-4m2x1x2+mx22的值为12,

求m的值。

【解析】(1)等量关系为:2011年某市用于保障房建设资金×(1+增长率)=2013年用于保障房建设资金,把相关数值代入求得合适的解即可. 2

(2)由上题得到的一元二次方程,根据根与系数的关系求得m的值即可.

【答案】解:(1)设到2013年底,这两年中投入资金的平均年增长率为x,根据题意得:

3+3(x+1)+3(x+1)2=10.5

(2)由(1)得,x2+3x-0.5=0

由根与系数的关系得,x1+x2=-3,x1x2=-0.5,

又∵mx12-4m2x1x2+mx22=12

∴m﹝(x1+x2)2-2 x1x2﹞-4m2 x1x2=12

M﹝9+1﹞-4m2·(-0.5)=12

∴m2+5m-6=0

解得m=-6或m=1

【点评】考查求平均变化率的方法.若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为

2x,则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)=b.

(2013四川宜宾,22,10分)如图,抛物线y=x-2x+c的顶点A在直线l:y=x-5. 2

(1) 求抛物线顶点A的坐标;

(2) 设抛物线与y轴交于点B,与x轴交于点C、D(C点在D点的左侧),试

判断△ABD的形状;

(3) 在直线l上是否存在一点P,使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行

四边形,若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由。

【解析】(1)先根据抛物线的解析式得出其对称轴方程,由此得到顶点A的横坐标,然后代入直线l的解析式中即可求出点A的坐标.

(2)由A点坐标可确定抛物线的解析式,进而可得到点B的坐标.则AB、AD、BD三边的长可得,然后根据边长确定三角形的形状.

(3)若以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形,应分①AB为对角线、②AD为对角线两种情况讨论,即①AD

PB、②ABPD,然后结合勾股定理以及边长的等量关系列

方程求出P点的坐标.

【答案】解:(1)∵顶点A的横坐标为x=?2=1,且顶点A在y=x-5上, 2

∴当x=1时,y=1-5=-4

∴A(1,-4)

(2)△ABD是直角三角形。

将A(1,-4)代入y=x2-2x+c,可得,1-2+c=-4,∴c=-3

∴y= x2-2x-3,∴B(0,-3)

当y=0时,x2-2x-3=0,∴x1=-1,x2=3

∴C(-1,0),(3,0)

BD2+OB2+OD2=18,AB2=(4-3)2+12=2,AD2=(3-1)2+42=20

∴BD2+AB2=AD2

∴∠ABD=90°,即△ABD是直角三角形。

(3)存在。

由题意知:直线y=x-5交y轴于点E(0,-5),交x轴于点F(5,0) ∴OE=OF=5,又∵OB=OD=3

∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形。

∴BD∥l,即PA∥BD

则构成平行四边形只能是PADB或PABD,如图,过点P作y轴的垂线,过点A作x轴的垂线并交于点G.

设P(x1,x1-5),则G(1,x1-5)

则PG=∣1- x1∣,AG=∣5- x1-4∣=∣1- x1∣ PA=BD=32

由勾股定理得:

(1- x1)2+(1- x1)2=18,x12-2 x1-8=0,x1=-2或4

∴P(-2,-7)或(4,-1)

∴存在点P(-2,-7)或P(4,-1)使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形。

【点评】题目考查了二次函数解析式的确定、勾股定理、平行四边形的判定等基础知识,综合性较强;(3)题应注意分类讨论,以免漏解.

(2013广安中考试题第26题,10分)如图12,在平面直角坐标系xOy中,AB⊥x轴于点B,AB=3,tan∠AOB=3/4。将△OAB绕着原点O逆时针旋转90o,

得到△OA1B1;再将△OA1B1绕着线段OB1的中点旋转180o,

得到△OA2B1,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点B、B1、A2。

(1)求抛物线的解析式;

(2)在第三象限内,抛物线上的点P在什么位置时,△PBB1

的面积最大?求出这时点P的坐标;

(3)在第三象限内,抛物线上是否存在点Q,使点Q到线

段BB1的距离为

请说明理由。

思路导引:确定二次函数解析式,寻找经过三点的坐标十分关

键,运用点绕原点旋转直角后坐标的变化规律进行界定,计算

动点构造的三角形的面积并且确定最值,因此运用面积构造面

积的函数式,结合得出的函数形式,运用其性质解答;判断符

合某种条件的点的存在性问题,注意三点O、B、B1构成的特殊

三角形的性质结合图形信息,确定符合第三象限这一条件的有

关面积的方程,通过解方程并且检验得出符合题意的解;

解析:(1)∵AB⊥x轴,AB=3,tan∠AOB=2?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,23,∴OB=4, 4

∴点B坐标是(-4,0),B1(0,-4),A2(3,0),

∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点B、B1、A2,

?16a?4b?c?011?∴ ?c??4,解得:a=,b=,c=—

4, 33?9a?3b?c?0?

121x+x—4, 33

11(2)点P 是第三象限内抛物线y=x2+x—4上一点,过点P 作PC⊥x轴,垂足是点C,33

11设点P 的坐标是(m,n),则m<0,n<0,n=m2+m—4,则有 33

11PC=︱n︱=—n=—m2—m+4,OC=︱m︱=-m,BC=OB—OC=︱—4︱—︱m︱=4+m, 33

111S△PBB1= S△PBC+S梯形PB1OC—S△OBB1=BC×PC+(PC+OB1)×OC-×OB×OB1 222

111111=×(4+m)×(—m2—m+4)+×[(—m2—m+4)+4]×(—m) 333322

88122—×4×4=—m2—=—(m+2)2+. 33233∴抛物线的解析式是y=

(3)假设在第三象限的抛物线上存在点Q(x,y),使得点Q到BB1的距离是

,过点Q作QD⊥BB1于点D,由(2)可知,这时△PBB1的面积可以表示为 —82(x+2)2+. 33

在Rt△O BB1中,

BB1

∵S△PBB1=

=2,

∴—11×BB1×QD=×

222

82(x+2)2+=2,解得:x 的值是-1或者是-3,当x=-1时,y=-4,当x=-333

时,y=-2,因此在第三象限内,抛物线上存在点Q,使得Q点到线段BB1

这样的点Q 的坐标是(—1,—4)(—3,—2);

点评:与二次函数有关的动点构造的面积问题,结合几何图形的信息,建立方程或者是函数模型,通过解方程或者是对函数的性质的讨论,确定问题的所有情况,转化、数形结合、待定系数法、分类等多种数学思想方法综合运用,有助于解决问题.

(2013深圳市 22 ,9分)如图8,已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(?4,0),B(1,0),C(?2,6)

(1)求经过A、B、C三点抛物线的解析式

(2)设直线BC交y轴于点E,连接AE,求证:AE=CE

(3)设抛物线与y轴交于点D,连接AD交BC于点F,试问以A、B、F

为顶点的三角形

与△ABC相似吗?请说明理由。

【解析】:(1)已知三点的坐标,代入二次函数的一般式,或利用二次函数的交点式,求

出待定系数a,b,c的值。(2)求出直线BC的解析式及点E的坐标,过点C向y

轴作垂线,通过计算AE、CE的长来说明AE=CE;(3)抓住?ABC是这两个三角形的公共角,证明它们的夹边是否对应成比例即可。

【解答】:如图8—1

(1)解:设抛物线的解析式为y?a(x?x1)(x?x2)?a(x?4)(x?1)

?C(?2,6)在抛物线上,?6?a(?2?4)(?2?1),?a??1

故 y??x?3x?4为所求

(2)过点C作CG⊥y轴于点G,有OG?6,CG?2

2

?B(1,0),C(?2,6),设直线BC的解析式为y?kx?b则 ?0?k?b?x?0

解之得:, 故E(0,2),OE

??

?6??2k?6?y?2

?CE????AE?????AE?CE

(3)相似

由于y??x?3x?4,令x?0,则y?4?D(0,4)

2

直线BC的解析式为:y??2x?2 同理可求直线AD的解析式为:y?x?4,

2?

x????y??2x?2?3

有:?,解之得:?

?y?x?4?y??10

?3?

故交点F(?210,?),易求得:BF?BC?AB?5

33

3

可知:ABBC??,又?ABF??CBA,故?ABF??ABC BFAB5

【点评】:几何与坐标是中考中重点考查的内容。本题主要考查用待定系数法求二次函数、

一次函数的解析式,求直线与坐标轴交点的坐标,并能熟练将点的坐标转换为线段

的长,利用勾股定理进行计算。能根据题目的特点熟练选择相似三角形的判定定理

(2013山西,24,10分)山西特产专卖店销售核桃,其进价为每千克40元,按每千克60元出售,平均每天可售出100千克,后来经过市场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售可增加20千克,若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元,请回答:

(1)每千克核桃应降价多少元?

(2)在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的几折出售?

【解析】(1)解:设每千克核桃应降价x元. …1分

根据题意,得 (60﹣x﹣40)(100+×20)=2240. …4分

化简,得 x﹣10x+24=0 解得x1=4,x2=6.…6分

答:每千克核桃应降价4元或6元. …7分

(2)解:由(1)可知每千克核桃可降价4元或6元.

因为要尽可能让利于顾客,所以每千克核桃应降价6元. …8分

此时,售价为:60﹣6=54(元),

答:该店应按原售价的九折出售. …10分

【答案】(1)每千克核桃应降价4元或6元.

(2)该店应按原售价的九折出售.

【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用,利用实际生活问题构建出数学模型,考生解决此类问题的关键是充分挖掘出题目中的等量关系,然后将实际问题转化为数学问题,从而解决实际问题.难度中等.

(2013山西,26,14分)综合与实践:如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x+2x+3与x轴交于A.B两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.

(1)求直线AC的解析式及B.D两点的坐标;

(2)点P是x轴上一个动点,过P作直线l∥AC交抛物线于点Q,试探究:随着P点的运动,在抛物线上是否存在点Q,使以点A.P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

(3)请在直线AC上找一点M,使△BDM的周长最小,求出M点的坐标. 22. …9分

【解析】(1)当y=0时,﹣x+2x+3=0,解得x1=﹣1,x2=3.

∵点A在点B的左侧,

∴A.B的坐标分别为(﹣1,0),(3,0).

当x=0时,y=3.

∴C点的坐标为(0,3)

设直线AC的解析式为y=k1x+b1(k1≠0), 则, 2

解得,

∴直线AC的解析式为y=3x+3.

22∵y=﹣x+2x+3=﹣(x﹣1)+4,

∴顶点D的坐标为(1,4).

(2)抛物线上有三个这样的点Q,

①当点Q在Q1位置时,Q1的纵坐标为3,代入抛物线可得点Q1的坐标为(2,3);

②当点Q在点Q2位置时,点Q2的纵坐标为﹣3,代入抛物线可得点Q2坐标为(1+,﹣3);

③当点Q在Q3位置时,点Q3的纵坐标为﹣3,代入抛物线解析式可得,点Q3的坐标为(1﹣,﹣3);

综上可得满足题意的点Q有三个,分别为:Q1(2,3),Q2(1+,﹣3),Q3(1﹣,﹣3).

(3)点B作BB′⊥AC于点F,使B′F=BF,则B′为点B关于直线AC 的对称点.连接B′D交直线AC与点M,则点M为所求,

过点B′作B′E⊥x轴于点E.

∵∠1和∠2都是∠3的余角,

∴∠1=∠2.

∴Rt△AOC~Rt△AFB, ∴,

由A(﹣1,0),B(3,0),C(0,3)得OA=1,OB=3,OC=3, ∴AC=,AB=4. ∴

BF=, ,

, ∴BB′

=2BF=

由∠1=∠2可得Rt△AOC∽Rt△B′EB, ∴

∴, ,即.

∴B′E=,BE=,

﹣3=.

,). ∴OE=BE﹣OB=∴B′点的坐标为(﹣设直线B′D的解析式为y=k2x+b2(k2≠0). ∴, 解得,

∴直线B'D的解析式为:y=x+,

联立B'D与AC的直线解析式可得:, 解得,

∴M点的坐标为(,).

【答案】(1)直线AC的解析式为y=3x+3;B的坐标分别为(3,0);顶点D的坐标为(1,

4).

(2)满足题意的点Q有三个,分别为:Q1(2,3),Q2(1+,﹣3),Q3(1﹣,﹣3).

(3)M点的坐标为(,).

【点评】本题综合考查了二次函数中用配方法求顶点坐标、与两坐标轴的交点的求法、待定系数法求直线解析式、三角形相似的判定及性质;平面上两点之间最短距离的转化思想、数形结合思想、分类讨论思想等多个知识点和多个初数的数学思想的综合,对考生在知识和能力上均提出了很高的要求,能很好的区分不同层次的考生,达到拉开不同层次考生差距的目的.难度较大.

(2013山东东营,24,11分)已知抛物线y?32x?bx?63经过 2

A(2,0). 设顶点为点P,与x轴的另一交点为点B.

(1)求b的值,求出点P、点B的坐标;

(2)如图,在直线 y=3x上是否存在点D,使四边形OPBD为平行四边形?若存在,

求出点D的坐标;若不存在,请说明理由;

(3)在x轴下方的抛物线上是否存在点M,使△AMP≌△AMB?如果存在,试举例验证

你的猜想;如果不存在,试说明理由.

【解析】(1)把A(2,0)代入y?32x?bx?63即可求得b的值,配方可求P的坐标,2

令y=0,解方程可求B的坐标;(2)根据两组对边分平行的四边形是平行四边形,求边所在直线的解析式,然后求出交点D的坐标;(3)可判断△PAB是等边三角形,因此只要作∠PAB的平分线交抛物线于M点即为所求的点。

【答案】解:(1)由于抛物线y?23x?bx?63经过A?4?2b?63,(2,0),所以0? 22

2x?4x?63.(*),将(*)配方,得2解得b??43,所以抛物线的解析式为y?

y?3?x?4?2?2,所以顶点P的坐标为(4,-23).令y=0,得23?x?4?2?23?0, 2

3解得x1?2,x2?6. 所以点B的坐标是(6,0). (2)在直线 y=x上存在点D,使四边

形OPBD为平行四边形. 理由如下:设直线PB的解析式为y?kx+b,把B(6,0),P(4,-2)???6k?b?0,?k?,?分别代入,得 解得?所以直线PB的解析式为y??4k?b??23.?b??6.??3x?63.

又直线OD的解析式为y?x,所以直线PB∥OD. 设直线OP的解析式为y?mx,把P(4,-23)代入,得4m??23,解得m??

四边形.设直线BD的解析式为y??2.如果OP∥BD,那么四边形OPBD为平行3x?n,将B(6,0)代入,得0=?3?n,所以n?3 2

?y?x,??x?2,?x?n,所以直线BD的解析式为y??解方程组?得所以D点的?2?y?2.x?33.??y??2?

坐标为(2,2)

(3)符合条件的点M存在.验证如下:过点P作x轴的垂线,垂足为为C,则PC=23,AC=2,由勾股定理,可得AP=4,PB=4,又AB=4,所以△APB是等边三角形,只要作∠PAB的平分线交抛物线于M点,连接PM,BM,由于AM=AM, ∠PAM=∠BAM,AB=AP,可得△AMP≌△AMB.因此即存在这样的点M,使△AMP≌△AMB.

【点评】综合考查了二次函数、平行四边形、特殊三角形的性质,熟练掌握所学知识,并能融会贯通,运用数形结合的思想去解题。

(2013,黔东南州,24)如图,已知抛物线经过点A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)D三点。

(1)、求抛物线的解析式。

(2)、点M是线段BC上的点(不与B,C重合),过M作MN∥y轴交抛物线于N若点M的横坐标为m,请用m的代数式表示MN的长。

(3)、在(2)的条件下,连接NB、NC,是否存在点m,使△BNC的面积最大?若存在,求m的值,若不存在,说明理由。点的纵坐标

解析:(1)我们可以设一般式:y?ax?bx?c?a?0?或坐标式:2

y?a?x?x1??x?x2??a?0?,(2)MN的长即N点的纵坐标减M点的纵坐标的

值(3)因为S?BNC?S?CMN?S?MNB?

的面积最大.

解:(1)设抛物线方程为:y?ax?bx?c?a?0?, 21所以当MN最大时,△BNC?MN?OB,2

把A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)D三点代入方程得

?a??1?a?b?3?0?,??b?2, ??9a?3b?3?0?c?3?

?y??x2?2x?3

(2)设直线BC:y?kx?b?k?0?

把B(3,0)、C(0,3)代入得??3k?b?0, b?3?

?k??1??,?直线AB:y?-x?3. b?3?

?M?m,-m?3?

又?MN?x轴,?Nm,?m?2m?3 ?2?

?MN?(?m2?2m?3)?(?m?3)

??m?3m2?0?m?3?

(3)S?BNC?S?CMN?S?MNB?1?MN?OB, 2

?当MN最大时,△BNC的面积最大.

993?9?MN??m?3m??(m?3m?)????m???, 442?4?222

所以当m?31927时,△BNC的面积最大为:??3?.2248

点评:本题考查了二次函数和几何知识的综合应用,难度较大.

(2013山东莱芜, 24,12分)

如图,抛物线y?ax?bx?c?a?0?的顶点坐标为?2,?1?,并且与y轴交于点C?0,3?,与2

x轴交于两点A,B.

(1) 求抛物线的表达式;

(2) 设抛物线的对称轴与直线BC交于点D,连结AC、AD, 求△ACD的面积;

(3)点E位直线BC上一动点,过点E作y轴的平行线EF,与抛物线交于点F.问是否存在点E,使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似.若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.

【解析】(1)由题意可设抛物线的表达式为y?a?x?2??1. 2

∵点C?0,3?在抛物线上,

∴a?0?2??1?3,解得a?1. 2

∴抛物线的表达式为y??x?2??1,即y?x?4x?3 22

(2)令y?0,即x?4x?3?0,解得x1?1,x2?3,

∴A?1,0?,B?3,0?. 2

?3k?b?0?k??1设BC的解析式为y?kx?b,将B?3,0?,C?0,3?代入得?,解得?. b?3b?3??

∴直线BC的解析式为y??x?3.

当x?2时,y??2?3?1,∴D?2,1?.

所以S△ACD?S△ABC-S△ABD?11?2?3-?2?1?2 22

(3) 假设存在点E,使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似, ∵△BCO是等腰直角三角形,

则以D、E、F为顶点的三角形也必须是等腰直角三角形.

由EF∥OC得∠DEF=45°,故以D、E、F为顶点的等腰直角三角形 只能以点D、F为直角顶点

① 点F为直角顶点时,DF⊥EF,此时△DEF∽△BCO,

所以DF所在的直线为y?1

?y?x2?4x?3由?,解得x?2?2. ?y?1

将x?2?2代入y??x?3,得y?1?2,∴E2?2,1?2 2,1?将x?2?2代入y??x?3,得y?1??2,∴E?2??2?

② 当D为直角顶点时,DF⊥ED,此时△EFD∽△BCO.

∵点D在对称轴上,∴DA=DB ,

∵∠CBA=45°,

∴∠DAB=45°,

∴∠ADB=90°,

∴AD⊥BC,故点F在直线AD上.

设直线AD的解析式为y?kx?b,将A?1,0?,D?2,1?代入得:

?k?b?0?k?1,解得?,所以直线AD的解析式为y?x?1, ?2k?b?1b??1??

?y?x2?4x?3由?,解得x1?1,x2?4。 ?y?x?1

将x?1代入y??x?3,得y?2,∴E?1,2?

将x?4代入y??x?3,得y??1,∴E?4,?1?.

综上所述,点E的坐标可以是2??2,1?2,2?2,1?2,?1,2?,?4,?1?

2???【答案】(1)抛物线的表达式为y??x?2??1,即y?x?4x?3; 2

(2)S△ACD?2;

(3)存在点E,使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似,点E的坐标可以是?2?2,1?2,2?2,1?2,?1,2?,?4,?1? ???

【点评】本题考查的知识点有待定系数法求函数解析式,一元二次方程的解法,和差法计算三角形的面积,关于三角形相似的分类讨论。考查的知识点全面,考查了学生综合利用所学知识分析问题和解决问题的能力。此类问题通常前两个小题简单,最后一小题难度较大.

(2013广东汕头,24,12分)如图,抛物线y=x﹣x﹣9与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,连接BC、AC.

(1)求AB和OC的长;

(2)点E从点A出发,沿x轴向点B运动(点E与点A、B不重合),过点E作直线l平行BC,交AC于点D.设AE的长为m,△ADE的面积为s,求s关于m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;

(3)在(2)的条件下,连接CE,求△CDE面积的最大值;此时,求出以点E为圆心,与BC相切的圆的面积(结果保留π).

2

(2013四川成都,26,8分) “城市发展 交通先行”,成都市今年在中心城区启动了缓堵保畅的二环路高架桥快速通道建设工程,建成后将大大提升二环路的通行能力.研究表明,某种情况下,高架桥上的车流速度V(单位:千米/时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数,且当0<x≤28时,V=80;当28<x≤188时,V是x的一次函数. 函数关系如图所示.

(1)求当28<x≤188时,V关于x的函数表达式;

(2)若车流速度

V不低于50千米/时,求当车流密度x为多少时,车流量P(单位:辆/时)达到最大,并求出这一最大值.

(注:车流量是单位时间内通过观测点的车辆数,计算公式为:车流量=车流速度×车流密度)

解析:本题先用待定系数法求出V关于x的函数表达式,然后建立车流量关于车流密度的二

次函数解析式,最后将解析式化成顶点式,得到函数的最大值。

答案:(1)当28<x≤188时,设V=kx+b

?80=28k+b∴? 0=188k+b?

1??k?-∴?2

??b=94

∴V=-1x+94 2

(2)根据题意,得

112?1?P?Vx??-x+94?x?-x2?94x=-?x-94??4418 22?2?

可见,当车流密度x为94辆/千米时,车流量P最大,为4418辆/时。

点评:待定系数法是中考出现频率比较高的知识点,解题时要注意运算准确迅速,格式正确;

将二次函数的一般式化成顶点式,也要能正确运算,避免出错。

(2013重庆,25,10分)企业的污水处理有两种方式,一种是输送到污水厂进行集中处理,另一种是通过企业的自身设备进行处理。某企业去年每月的污水量均为12000吨,由于污水厂处于调试阶段,污水处理能力有限,该企业投资自建设备处理污水,两种处理方式同时进行。1至6月,该企业向污水厂输送的污水量y1(吨)与月份x(1?x?6,且x取整数)之间满足的函数关系如下表:

7至12月,该企业自身处理的污水量y2(吨)与月份x(7?x?12,且x取整数)之间满足二次函数关系式为y2?ax?c(a?0)。其图象如图所示。1至6月,污水厂处理每吨污2

1x,该企业自身处理每吨污水2

312的费用:z2(元)与月份x之间满足函数关系式:z2?x?x;7至12月,污水厂412水的费用:z1(元)与月份x之间满足函数关系式:z1?

处理每吨污水的费用均为2元,该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元.(l)请观察题中的表格和图象,用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识,分别直接写出y1,y2与x之间的函数关系式;

(2)请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W(元)最多,并求出这个最多费用;

(3)今年以来,由于自建污水处理设备的全面运行,该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理,估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%,同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加(a一30)%,为鼓励节能降耗,减轻企业负担,财政对企业处理污水的费用进行50元,请计算出a的整数值.

(参考数据:231?15.2419?20.5809?28.4)

解析:观察表格可知,每组值相乘的积是定值,所以可断定这是一个反比例函数;观察函数图像可知,有两个点的坐标是已知,代人即可求出函数表达式。

答案:(1)y1=12000, (1≤x≤6,x为整数) x

2 y2=x+10000, (7≤x≤12,x为整数)

(2)当1≤x≤6,x为整数时

w=y1z1+(12000-y1)z2=-1000x+10000x-3000=-1000(x-5)+22000, ∵-1000<0 ∴当x=5时w有最大值,最大值是22000

当7≤x≤12,x为整数时

W=2(12000-y2)+1.5y2=-22121x+19000, ∵-<0 ∴当x=7时,w有最大值,最大值是22

18975.5 ∵22000>18975.5 ∴当x=5时w有最大值,最大值是22000

即去年5月费用最多,最多为22000元。

(3)由题意得:12000(1+a%)×1.5×〔1+(a-30)%〕×(1-50﹪)=18000,解得:a≈57 点评:本题条件较多,要认真审题,

(2013山东省聊城,24,12分)某电子商投产一种新型电子产品,每件制造成本为18元,试销过程发现,每月销量y(万件)与销售单价x(元)之间关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100.(利润=售价-制造成本)

(1)写出每月的利润z(万元)与销售单价x(元)之间函数解析式;

(2)当销售单价为多少元时,厂商每月能够获得350万元的利润?当销售单价为多少元时,厂商每月能够获得最大利润?最大利润是多少?

(3)根据相关部门规定,这种电子产品的销售单价不得高于32元.如果厂商要获得每月不低于350万元的利润,那么制造这种产品每月的最低制造成本需要多少万元?

解析:(1)根据利润=售价-制造成本,其中售价=销售量×单价;(2)相当于在问题(1)基础上,根据函数值求自变量的值及二次函数最大值;(3)结合函数图象解决.

解:(1)z=(x-18)y=(x-18)(-2x+100) ??2x?136x?1800.

∴z与x之间的函数解析式为??2x?136x?1800.

(2)由z=350,得350=??2x?136x?1800,

解此方程,得x1?25,x2?43.

∴销售单价应定为25元或43元.

把z??2x?136x?1800配方,得z??2(x

?34)?512. 22222

因此,当销售单价为34元时,厂商每月能够获得最大利润,

最大利润是512元.

(3)结合(2)及函数z??2x?136x?1800的图象(如

图所示)可知,25≤x≤43时,z≥350. 又由限价为32元,得25≤x≤32.

根据一次函数的性质,得y=-2x+100中y随x的增大而减小.

∴当x=32时,每月制造成本最低.

最低成本是18×(-2×32+100)=648(万元).

因此,每月的最低制造成本需要648万元.

点评:本题主要考查了一次函数与二次函数、不等式相结合实际应用题.联系函数的性质并结合商品买卖规律是解题关键.同学们在审题过程中一定要理顺各个量之间关系,这样使问题迎刃而解.

(2013山东省荷泽市,20,10)2013年牡丹花会前夕,我市某工艺厂设计了一款成本为10

2

(1)把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标,在下面的平面直角坐标系中描出相应的点,猜想y与x的函数关系,并求出函数关系式;

(2)当销售单价为多少时,工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大?最大利润是多少?(利润=销售总价-成本总价)

(3)荷泽市物价部门规定,该工艺品销售单价最高不能超过35元/件,那么销售单价定为多少时,工艺厂试销工艺品每天获得的利润最大?

【解析】把表格中的点在平面直角坐标系出描画出来,可知这个函数是一次函数,所以设函数的关系式y=kx+b,利用待定系数法求出函数的解析式,利润的最大问题是通过二次函数的知识来解决,列出利润与销售单价的二次函数关系式,然后根据最值问题求解.

【答案】解:(1)画图如右图:

由图可猜想y与x是一次函数关系,

设这个一次函数为y?kx?b(k?0),

?这个一次函数的图象经过(20,500)、

(30,400)这两点,

?k??10?500?20k?b,解得?, ???400?30k?b?b?700

?函数关系式是y??10x?700.----------3分

(2)设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W元,依题意得:

W?(x?10)(?10x?700)??10x2?800x?7000??10(x?40)2+9000,

?当x?40时,W有最大值9000.----------6分

(3)对于函数W??10(x?40)2+9000,当x?35时,W的值随着x值的增大而增大, ?销售单价定为35元∕件时,工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大. ----------9分

【点评】一次函数与二次函数的综合应用问题主要解决的是图象与性质的问题或生活中的实际应用问题,实际应用问题注要集中在利润、面积、体育运动或桥梁设计等问题。

(2013浙江省绍兴,12,5分)教练对小明推铅球的录像进行技术

分析,发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为

y?1?x-4 ?2 +3,由此可知铅球推出的距离是12

【解析】要求铅球推出的距离实际是求当y=0时x的值, 即1(x?4)2?3?0,解得x?10. 12

【答案】10 【点评】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用.此题为数学建模题,借助二次函数解决实际问题.

23. (2013安徽,23,14分)如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从O点正上方2m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m,高度为2.43m,球场的边界距O点的水平距离为18m。

(1)当h=2.6时,求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)

(2)当h=2.6时,球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由;

(3)若球一定能越过球网,又不出边界,求h的取值范围。

第23题图

23.解析:(1)根据函数图象上面的点的坐标应该满足函数解析式,把x=0,y=2,及h=2.6代入到y=a(x-6)2+h中即可求函数解析式;(2)根据函数解析式确定函数图象上点的坐标,并解决时间问题;(3)先把x=0,y=2,代入到y=a(x-6)2+h中求出a?

x=9,x=18时,y的值应满足的条件,解得即可.

解:(1)把x=0,y=2,及h=2.6代入到y=a(x-6)2+h

即2=a(0-6)2+2.6, ∴a??

∴y=?2?h;然后分别表示出361 601 (x-6)2+2.6 60

1 (x-6)2+2.6 60(2)当h=2.6时,y=?

x=9时,y=?1 (9-6)2+2.6=2.45>2.43 60

1 (18-6)2+2.6=0.2>0 60

2?h; 36∴球能越过网 x=18时,y=?∴球会过界 (3)x=0,y=2,代入到y=a(x-6)2+h得a?

x=9时,y=2?h2?3h (9-6)2+h?>2.43 ① 364

2?hx=18时,y= (18-6)2+h8?3h>0 ② 36

8由① ②得h≥ 3

点评:本题是二次函数问题,利用函数图象上点的坐标确定函数解析式,然后根据函数性质来结合实际问题求解.

(2013广州市,24, 14分)如图9,抛物线y??323B两点(点x?x?3与x轴交于A、84

A在点B的左侧),与y轴交于点C。

(1)求点A、B的坐标;

(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,求点D的坐标;

(3)若直线l过点E(4,0),M为直线l上一动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l解析式。

【解析】(2)分点D在直线AC的上方与下方分别求出点D的坐标。(3)直角顶点在A、B时过点E的直线有无数条,而以M为直角顶点过点E的直线只有一条,就是过点E与以AB为直径的圆相切的直线,从而列方程求出点M的坐标,确定直线的解析式。

【答案】解:(1)令y=0,则?

∴A(-4,0),B(2,0)

(2)

323x?x?3?0,解得x1??4,x2?2 84

323x?x?3的对称轴为x=-1,与y轴交点C的坐标为(0,3) 84

93 ∴直线AC的解析式为y?x?3,且当x=-1时,有y? 44

9 ∴直线AC与对称轴x=-1的交点坐标为(-1,) 4∵抛物线y?? ∵AB=6,CO=3

∴△ACB的面积为:S??1?6?3=9 2 不妨设点D的坐标为(-1,a),当点D位于AC上方时,D2H?a?

∴△ACD的面积为:S?ACD2?9, 4127 ?D2H?4=9;解方程得:a?42

当点D位于AC下方时,D1H?

∴△ACD的面积为:S?ACD1?9?a, 419?D2H?4=9;解方程得:a?? 42

279∴点D的坐标为(?1,)或(?1,?) 44

(3)如下图,以AB为直径作⊙P,当且仅当直线l与⊙P相切时符合题意,

∵Rt△PME中,∠PME=90°,PM=3,PE=5,

∴由勾股定理可得:ME?;利用三角形相似可以求得点M的坐标M(,设直线l的解析式为:y?kx?b,代入M(,412) 55412)、E(4,0)可得方程组 55

123?4??k???k?b?5;解方程组得:?4 ?5???b?3?4k?b?0

∴直线l的解析式为:y??3x?3 4

3x?3。 4同理可得:直线l的另一个解析式为:y?

【点评】:本题2、3问难度较大,关键是找到问题的突破口,找到三角形面积的求法,根据面积相等列出方程求点D的坐标。注意分类讨论解决。第三问用到了辅助圆,直径所对的圆周角是直角,确定点M的坐标。

(2013浙江省嘉兴市,22,12分)某汽车租赁公司拥有2O辆汽车。据统计,当每辆车的日租金为400元时,可全部租出;当每辆车的日租金每增加50元,未租出的车将增加1辆;公司平均每日的各项支出共4800元.设公司每日租出x辆车时,日收益为y元.(日收益=日租金收入一平均每日各项支出)

(1)公司每日租出x辆车时,每辆车的日租金为_______元(用含x的代数式表示);

(2)当每日租出多少辆时,租赁公司日收益最大?最大是多少元?0.

(3)当每日租出多少辆时,租赁公司的日收益不盈也不亏?

【解析】(1)每辆车的日租金为400+50(20-x)=1400-50x;

(2) 由基本的等量关系:日收益=日租金收入一平均每日各项支出; 日租金收入=每辆车的日租金×日租出车辆的数量,不难得出y与x的函数关系式.转化为顶点式,求最值即可.

(3) 租赁公司的日收益不盈也不亏,即y=0时,求x的值..

【答案】(1)1400-50x;

2 2(2)y=x(-50x+1400)-4800=-50x+1400x-4800=-50(x-14)+5000.

当x=14时,在0≤x≤20范围内,y有最大值5000.

∴当日租出14辆时, 租赁公司的日收益最大,最大值为5000元.

(3) 租赁公司的日收益不盈也不亏,即y=0.

2即-50(x-14)+5000=0,解得x1=24,x2=4.

∵x=24不合题意,舍去.

∴当每日租出4辆时,租赁公司的日收益不盈也不亏.

【点评】本题主要考查二次函数的实际应用,最值问题. 考查学生分析问题、解决问题的能力.解题的关键是审清题意,找出基本的等量关系,然后列式,解答即可.

(2013湖南益阳,20,10分)已知:如图,抛物线y?a(x?1)2?c与x轴交于点A

(1?0)和点B,将抛物线沿x轴向上翻折,顶点P落在点P'(1,3)处.

(1)求原抛物线的解析式;

(2)学校举行班徽设计比赛,九年级5班的小明在解答此题时

顿生灵感:过点P'作x轴的平行线交抛物线于C、D两

点,将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉,

设计成一个“W”型的班徽,“5”的拼音开头字母为W,

“W”图案似大鹏展翅,寓意深远;而且小明通过计算惊

奇的发现这个“W”图案的高与宽(CD)的比非常接近黄

(约等于0.618).请你计算这个“W”

?

2.236?2.449,结果

可保留根号)

【解析】(1)题图中所给出的抛物线y?a(x?1)2?c有两个未知系数,需要代两个点的坐标;所以得出两个点的坐标是关键;图中P与P'是关于x轴对称,就得到P?1 , -3?,把A

2??a?1?a(1?1)?c?02y?(x?1)?3 ,点和P

点代入即得:?解得抛物线的解析式为?2c??3a(1?1)?c??3???

即y?x?2x?2

(2)“W”图案的高为P'的纵坐标,即高是3 ;宽为CD的长;因为CD

平行于x轴,点P'在CD上,所以C、D两点的纵坐标是3 ;把纵坐标代入y?(x?1)?3得x1?1?6,x2?1? 所以得到 C、D两点的坐标分别为(1?226,3) ,(1?6,

?3)线段CD

=(1?(1?则可以求出“W”图案的高与宽(CD)的比

(或约等于0.6124)

【答案】解:⑴∵P与P′(1,3) 关于x轴对称,

∴P点坐标为(1,-3) ; ????????????????2分

2∵抛物线y?a(x?1)?c过点A(1?,0),顶点是P(1,-3) ,

2??a(1?1)?c?0∴?;???????????? ??????3分 2a(1?1)?c??3???a?1解得?;????????????????????????4分 c??3?

则抛物线的解析式为y?(x?1)?3, ?????????????5分

即y?x?2x?2.

⑵∵CD平行x轴,P′(1,3) 在CD上,

∴C、D两点纵坐标为3; ???????????????6分

2由(x?1)?3?3得:x1?1?6,x2?1?6,????????7分 22

∴C、D两点的坐标分别为(1?6,3) ,(1?6,3)

∴CD=26 ???????????????????8分

∴“W”图案的高与宽(CD)的比

0.6124)???10分 ?

【点评】本题考查考生对用待定系数法求抛物线的解析式的掌握程度;考查直角坐标系中点与点坐标关于坐标轴对称的变化的掌握;考查在抛物线上对具体问题的分析、理解,得出解决问题的方法和途径。难度中等。

12x?x?m的顶点在直线y?x?3上,过4

点F(?2,2)的直线交该抛物线于点M、N两点(点M在点N的左边),MA⊥x轴于点A,NB⊥x轴于点B

(1)(3分)先通过配方求抛物线的顶点坐标(坐标可用含m的代数式表示),再求m的(2013四川省资阳市,25,9分)抛物线y?值;

(2)(3分)设点N的横坐标为a,试用含a的代数式表示点N的纵坐标,并说明NF=NB;

(3)(3分)若射线NM交x轴于点P,且PA×PB=100,求点M的坐标. 9

(第25题图)

【解析】(1)用配方法将y?12x?x?m配成顶点式,得出顶点的坐标,再由点在直线4

y?x?3上,求出m=2.

(2)过点F作FC⊥NB于点C,设点N(a,

NC=NB-CB=

212a?a?2),在Rt△FCN中,FC=a+2,412a?a, 422∴NF=NC?FC=(a?a)?(a?2)=(a2?a)2?(a2?4a)?41

42221

4

11NB2=(a2?a?2)2=(a2?a)2?(a2?4a)?4 44

22∴NF=NB,NF=NB

100PFPB(3)连结AF、BF,易证△PFA∽△PBF∴,PF2?PA?PB=过点F作?9,PAPF

81414FG⊥x轴于点G,在Rt△PFG中,PG

,∴PO=PG+GO=,∴P(- , 333

370) 再由待定系数法求出:直线PF:y?x?由两函数解析式联立方程42,

51237x?x?2x,得x=-3或x=2(不合题意,舍去)当x=-3时,y=,∴M4442

5(-3 ,) 4

【答案】

(1)y? 121x?x?m?(x?2)2?(m?1)…1分 44

∴顶点坐标为(-2 , m?1)…………………2分

∵顶点在直线y?x?3上,∴-2+3=m?1,得m=2…………………3分

∴点N的纵坐标为(2)∵点N在抛物线上, 121a?a?2…………………………4分即点N(a,a2?a?2) 44

12a?a,∴NF2=NC2?FC2=4过点F作FC⊥NB于点C, 在Rt△FCN中,FC=a+2,NC=NB-CB=

11(a2?a)2?(a?2)2=(a2?a)2?(a2?4a)?4………………………………………44

………5分

1

4

22∴NF=NB,2而NB=(a2?a?2)2=(a2?a)2?(a2?4a)?4 14

NF=NB………………………………………………………………………6分

(3)连结AF、BF

由NF=NB,得∠NFB=∠NBF,由(2)的结论知,MF=MA,∴∠MAF=∠MFA,∵MA⊥x轴,NB⊥x轴,∴MA∥NB,∴∠AMF+∠BNF=180°

∵△MAF和△NFB的内角总和为360°,∴2∠MAF+2∠NBF=180°,∠MAF+∠NBF=90° ∵∠MAB+∠NBA=180°,∴∠FBA+∠FAB=90°又∵∠FAB+∠MAF=90∴∠FBA=∠MAF=∠MFA

又∵∠FPA=∠BPF,∴△PFA∽△PBF,∴PFPB,?PAPF

PF2?PA?PB=100 ……………7分 9

过点F作FG⊥x轴于点G,在Rt△PFG中,PG

∴P(-814,∴PO=PG+GO=, 3314 , 0) 3

143 , 0)代入y?kx?b解得k=,34设直线PF:y?kx?b,把点F(-2 , 2)、点P(-

b=7, 2

37x?……………………………………………………8分 42

1237解方程x?x?2?x?,得x=-3或x=2(不合题意,舍去) 442

55当x=-3时,y=,∴M(-3 ,)……………………………9分 44∴直线PF:y?

【点评】本题以抛物线为载体,考查了初中数学的主干知识:函数、方程;考查了学生综合运用数学知识以及运用转化思想、数形结合思想、函数与方程思想解决问题的能力;考查了待定系数法、配方法等数学方法.试题入口宽,三个小题层层深入,有一定的梯度,第(2)小题学生易从全等的方式考虑线段相等,而造成思路上的短路,第(3)小题是本卷的制高点,对学生要求较高,具有很好的区分度.由一次函数与二次函数,连接着方程,试题呈现方式新颖,难度较大.

(2013贵州贵阳,25,12分)如图,二次函数y=12x-x+c的图象与x2轴分别交于A,B两点,顶点M关于x轴的对称点是M′.

(1)若A(-4,0),求二次函数的关系式;(4分)

(2)在(1)的条件下,求四边形AMBM′的面积;(4分)

(3)是否存在抛物线y=第25题图 若存在,请求出此抛物线的关系式;若不存在,请说明理由. (4分)

解析:(1)把A(-4,0)代入解析式即得;(2)显然△ABM≌△ABM

′,所以先求出顶点 12x-x+c,使得四边形AMBM′为正方形,2

M的坐标,求出△ABM的面积,即可得四边形AMBM′的面积;(3)不难证明四边形AMBM′是棱形,故当MM′=AB时四边形AMBM′为正方形.

解:(1)把A(-4,0)代入y=

∴二次函数的关系式是y=

(2)解方程121x-x+c中,得0=×(-4)2-(-4)+c, c=-12, 2212x-x-12. 212x-x-12=0,得x1=-4, x2=6, ∴AB=|x1-x2|=10. 2

11∵y=x2-x-12=(x-1) 2-11.5, ∴M(1,-11.5), ∴M′(1,11.5), ∴MM′=23. 22

11∵MM′⊥AB, ∴S四边形AMBM′=AB×MM′=×10×23=115. 22

1(3)存在抛物线y=x2-x+c,使得四边形AMBM′为正方形. 2

∵四边形AMBM′为正方形,∴MM′=AB,∴MM′2=AB2.

1212c?12c?12c?1x-x+c=(x-1) 2+,∴M(1, ), M′(1,- ), MM′=1-2c. 22222

1解方程x2-x+c=0,得x1=1-?2c, x2=1+?2c, ∴AB=|x1-x2|=2?2c. 2∵y=

∴AB2=4(1-2c),又MM′2=(1-2c) 2, ∴4(1-2c) =(1-2c) 2,

13(不合题意,舍去),c2=-. 22

13故存在抛物线y=x2-x-,使得四边形AMBM′为正方形. 22解得c1=

点评:本题是以抛物线为背景的综合题,其中涉及的知识点主要有待定系数法、一元二次方程的解法、抛物线的顶点的求法、正方形的性质等.在求有关存在不存在问题时要注意先假设存在,再讨论结果.难度适中.

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