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初中数学竞赛辅导资料(10)

发布时间:2013-12-12 09:33:28  

初中数学竞赛辅导资料(10)

二元一次方程的整数解

甲内容提要

1, 二元一次方程整数解存在的条件:在整系数方程ax+by=c中, 若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即

如果(a,b)|c 则方程ax+by=c有整数解

显然a,b互质时一定有整数解。

例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整数解。 返过来也成立,方程9x+3y=10和 4x-2y=1都没有整数解, ∵(9,3)=3,而3不能整除10;(4,2)=2,而2不能整除1。 一般我们在正整数集合里研究公约数,(a,b)中的a,b实为它们的绝对值。 2, 二元一次方程整数解的求法:

若方程ax+by=c有整数解,一般都有无数多个,常引入整数k来表示它的通解(即所有的解)。k叫做参变数。

方法一,整除法:求方程5x+11y=1的整数解

1?11y1?y?10y1?y=??2y (1) , 555

1?y 设,则y=1-5k (2) , ?k(k是整数)5解:x=

把(2)代入(1)得x=k-2(1-5k)=11k-2

∴原方程所有的整数解是?

方法二,公式法: ?x?11k?2(k是整数) ?y?1?5k

?x?x0?x?x0?bk设ax+by=c有整数解?则通解是?(x0,y0可用观察法) y?y?aky?y00??

3, 求二元一次方程的正整数解:

① 出整数解的通解,再解x,y的不等式组,确定k值 ② 用观察法直接写出。

乙例题

例1求方程5x-9y=18整数解的能通解

18?9y15?10y?3?y3?y ??3?2y?555

3?y设,y=3-5k, 代入得x=9-9k ?k(k为整数)5解x=

∴原方程整数解是??x?9?9k (k为整数)

?y?3?5k

又解:当x=o时,y=-2,

?x?0?x?0?9y∴方程有一个整数解?它的通解是?(k为整数) y??2?5ky??2??

从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。

例2,求方程5x+6y=100的正整数解

解:x=

设100?6yy?20?y?(1), 55y?k(k为整数),则y=5k,(2) 5

把(2)代入(1)得x=20-6k,

∵??x?0?20?6k?0 解不等式组? ?y?0?5k?0

得0<k<20,k的整数解是1,2,3, 6

?x?8??y?10?x?2 ?y?15??x?14∴正整数解是??y?5

例3,甲种书每本3元,乙种书每本5元,38元可买两种书各几本? 解:设甲种书买x本,乙种书买y本,根据题意得

3x+5y=38 (x,y都是正整数)

?x?1∵x=1时,y=7,∴?是一个整数解 y?7?

∴通解是??x?1?5k(k为整数)

?y?7?3k

?1?5k?017解不等式组?得解集是??k? ∴整数k=0,1,2 53?7?3k?0

把k=0,1,2代入通解,得原方程所有的正整数解??x?1

?y?7?x?6??y?4?x?11 ??y?1

答:甲、乙两种书分别买1和7本或6和4本或11和1本。

丙练习10

1, 求下列方程的整数解

①公式法:x+7y=4, 5x-11y=3

②整除法:3x+10y=1, 11x+3y=4

2, 求方程的正整数解:①5x+7y=87, ②5x+3y=110

3,一根长10000毫米的钢材,要截成两种不同规格的毛坯,甲种毛坯长300毫米,乙种毛坯长250毫米,有几种截法可百分之百地利用钢材?

4, 兄弟三人,老大20岁,老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97,

求兄弟三人的岁数。

5, 下列方程中没有整数解的是哪几个?答:________(填编号)

① 4x+2y=11, ②10x-5y=70, ③9x+3y=111,

④18x-9y=98, ⑤91x-13y=169, ⑥120x+121y=324.

6, 一张试巻有20道选择题,选对每题得5分,选错每题反扣2分,不答得0分,小这军同学得48分,他最多得几分?

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