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2010年浙江省温州市“摇篮杯”初二数学竞赛初赛试卷(温州市第二中学)

发布时间:2013-12-12 09:33:28  

八年级数学竞赛初赛(HHY)

一、选择题(5分×13=65分)

1、下列各对数中,相等的是( )

2323 A、﹣3和﹣2 B、(﹣3)和(﹣2)

2233 C、﹣3和(﹣3) D、﹣2和(﹣2)

2、代数式的最小值是( )

A、0 B、 C、 D、

3、某商品元旦降价20%促销,节后要恢复到原价,应在打折价的基础上提价( )

A、15% B、20% C、25% D、30%

4、如图,一直尺放在一直角三角板上,则图中∠α与∠β的关系是( )

A、α+β=180° B、α﹣β=90° C、α=2β D、α=3β

5、实数a,b在数轴上表示的位置如图所示,则下列式子正确的是( )

6、已知﹣1<2x+3<1,则2x﹣3的取值范围内包含的整数有( )

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

7、如图,长方形ABCD中,AC,BD交于点O,则图中全等三角形有( )

A、2对 B、4对 C、6对 D、8对

8、如图,甲乙两人在边长为100米的正方形水池两角A,D同时同向绕池边行走,甲每分钟走50米,乙每分钟走44米,那么他们出发后初次出现在同一条边上是在( )

A、AB边上 B、BC边上 C、CD边上 D、DA边上

9、小王步行的速度比跑步慢50%,跑步的速度骑车慢50%.如果他骑车从A城去B城,再步行返回A城共需2小时,问小王跑步从A城到B城需要( )分钟.

A、45 B、48 C、56 D、60

10、代数式

A、只与x的取值有关 的值的大小( ) B、只与y的取值有关 C、与x,y的取值都有关 D、与x,y的取值都无关 A、 B、 C、 D、

菁优网 11、如图,36个面积为1的小等边三角形拼成一个大等边三角形,则图中△ABC面积为( )

12、已知a是正整数,方程组的解满足x>0,y<0,则a是( ) A、22 B、21 C、20 D、12

A、4、5 B、5、6 C、6、7 D、以上都不对

13、把10张不同的扑克牌交替分发成左右两叠:左一张,右一张,左一张,右一张…然后把左边一叠放在右边一叠上面,称为一次操作,重复这个过程,为了使扑克牌恢复最初的次序,至少要进行的操作次数是( )

A、4 B、5 C、10 D、不可能恢复

二、填空题(7分×5=35分)

14、直线y=kx+1与两坐标轴围成的三角形周长为6,则k=.

15、正整数a,b,c,d满足a<b<c<d,且ab+bc+ac=abc=d,则d=.

16、正△ABC中,AE=CF,AF,BE交于点P,已知PA=2,PB=4,则PC=.

17、小赵,小钱,小孙一起打羽毛球,每局两人比赛,另一人休息.三人约定,每一局的输方下一局休息.结束时算了一下:小赵休息了2局,小钱共打了8局,小孙共打了5局,则参加第9局比赛的是 _________ .

18、如图,Rt△ABC中,O是斜边BC的中点.P是AB边上一点,且∠APO=∠C,已知PA=5,PB=3,则PO=.

?2010

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答案与评分标准

一、选择题(5分×13=65分)

1、下列各对数中,相等的是( )

2323 A、﹣3和﹣2 B、(﹣3)和(﹣2)

2233 C、﹣3和(﹣3) D、﹣2和(﹣2)

考点:有理数的乘方。

分析:根据乘方的意义,计算选项中的各个数,即可作出判断.

2323解答:解:A、﹣3=﹣9,﹣2=﹣8,则﹣3≠﹣2,故选项错误;

2323B、(﹣3)=9,(﹣2)=﹣8,则(﹣3)≠(﹣2),故选项错误;

2222C、﹣3=﹣9,(﹣3)=9,故﹣3≠(﹣3),故选项错误;

3333D、﹣2,=﹣8,(﹣2)=﹣8,则﹣2=(﹣2),故选项正确.

故选D.

2n+12n+12n2n点评:本题主要考查了有理数的乘方,注意(﹣a)=﹣a,(﹣a)=a.(n是整数). 2、代数式的最小值是( )

A、0 B、

C、 D、

考点:函数最值问题。

专题:计算题。

分析:根据二次根式有意义的条件可得出x的范围,的最小值代入可得出代数式的最小值. 解答:解:由题意得:

解得x≥0, 又∵、、都是随x的增大而增大, , 、、都是随x的增大而增大,从而将x

∴当x=0时,代数式取得最小值,

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菁优网 此时式()min=+=1+.

故选B.

点评:本题考查了函数的最值问题,难度不大,解答本题首先要判断出x的范围,其次要得出代数式所包含的三个式子都是随x的增大而增大的.

3、某商品元旦降价20%促销,节后要恢复到原价,应在打折价的基础上提价( )

A、15% B、20%

C、25% D、30%

考点:分式的混合运算。

专题:应用题。

分析:由于商品元旦降价20%促销,节后要恢复到原价,设原价为1,根据题意可以求出提价百分比. 解答:解:设原价为1,

依题意促销价为1×(1﹣20%)=0.8, ∴提价百分比为=0.25=25%.

故选C.

点评:此题主要考查了分式的应用,解题时首先正确理解题意,然后根据题意列出计算过程解决问题.

4、如图,一直尺放在一直角三角板上,则图中∠α与∠β的关系是( )

A、α+β=180° B、α﹣β=90°

C、α=2β D、α=3β

考点:平行线的性质;三角形的外角性质。

分析:由a∥b,根据两直线平行,同位角相等,即可求得∠1=∠β,又由∠2=90°与三角形外角的性质,即可求得∠α与∠β的关系.

解答:解:∵a∥b,

∴∠1=∠β,

∵∠2=90°,∠α=∠1+∠2,

∴∠α﹣∠β=90°,

即α﹣β=90°.

故选B

点评:此题考查了平行线的性质与三角形外角的性质.注意掌握两直线平行,同位角相等定理的应用是解此题的关键.

5、实数a,b在数轴上表示的位置如图所示,则下列式子正确的是( )

A、 B、

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菁优网 C、 D、

考点:实数与数轴;实数大小比较。

分析:根据正数大于负数;两个负数,绝对值大的反而小;两个分子相同的分数,分母大的反而小进行分析判断. 解答:解:∵0<a<1,

∴>1.

A、∵b<﹣1,∴,故本选项错误;

B、∵b<﹣1,∴﹣1<<0,∴﹣<1,故本选项正确; C、∵>1,∴﹣<﹣1,∴﹣<,故本选项错误;

D、根据B,得﹣1<<0,故本选项错误.

故选B.

点评:此题考查了实数的大小比较方法.数轴上,右边的点总比左边的点表示的数大;正数大于负数;两个负数,绝对值大的反而小;两个分子相同的分数,分母大的反而小等.

6、已知﹣1<2x+3<1,则2x﹣3的取值范围内包含的整数有( )

A、1个 B、2个

C、3个 D、4个

考点:一元一次不等式组的整数解。

分析:首先根据不等式的性质:不等号的两边同时减去6,不等号的方向不变,可得到﹣7<2x﹣3<﹣5,再找出范围内的整数即可.

解答:解:∵﹣1<2x+3<1,

∴﹣1﹣6<2x+3﹣6<1﹣6,

∴﹣7<2x﹣3<﹣5,

∴2x﹣3的取值范围内包含的整数是:﹣6,

故选:A.

点评:此题主要考查了一元一次不等式的性质1,不等式的两边同时减去或加上同一个数,不等号的方向不变.

7、如图,长方形ABCD中,AC,BD交于点O,则图中全等三角形有(

A、2对 B、4对

C、6对 D、8对

考点:全等三角形的判定;矩形的性质。

专题:证明题。

分析:根据长方形的性质及全等三角形的判定方法进行分析,从而得到答案.

解答:解:∵ABCD是长方形,

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菁优网 ∴AD=BC,AB=CD,AO=CO,BO=DO

∵∠AOB=∠COD,∠AOD=∠COB

∴△ABO≌△CDO,△ADO≌△CBO

∵BD=BD,AC=AC

∴△ABD≌△DCB,△ACD≌△CAB,

△BCD≌△ACD,△BCD≌△ABC,△ABD≌△ABC,△ABD≌△ACD

∴共有8对.

故选D.

点评:本题主要考查了长方形的性质的运用,记忆长方形的性质,应从边、角、对角线三个方面掌握.此题难度不大,但要特别仔细,认真.

8、如图,甲乙两人在边长为100米的正方形水池两角A,D同时同向绕池边行走,甲每分钟走50米,乙每分钟走44米,那么他们出发后初次出现在同一条边上是在(

A、AB边上 B、BC边上

C、CD边上 D、DA边上

考点:一元一次不等式组的应用。

分析:要想知道乙追到甲时在哪一边上,则必须知道它们追上时所行的路程,那么只要求出追到时的时间,就可求出路程.根据路程计算沿正方形所走的圈数,就可知道在哪一边上.

解答:解:设x分钟后,甲乙在同一条边上.

200<50x﹣44x<300,

解得:<x<50. 当x=时, 乙走了×44=米,

∵正方形边长为100米,周长是400米,

∴÷400=3…266,

∴他们出发后初次出现在同一条边上是在BC边上,

故选:B.

点评:此题主要考查了一元一次不等式的应用,解决此题的关键是要求出它们追到同一条边上所用的时间,然后根据路程求沿正方形所行的圈数,即可知道在哪一边上.

9、小王步行的速度比跑步慢50%,跑步的速度骑车慢50%.如果他骑车从A城去B城,再步行返回A城共需2小时,问小王跑步从A城到B城需要( )分钟.

A、45 B、48

C、56 D、60

考点:分式方程的应用。

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菁优网 专题:应用题。

分析:此题可设骑车速度为x,则跑步的速度为(1﹣50%)x,步行的速度为(1﹣50%)(1﹣50%)x,根据骑车从A城去B城,再步行返回A城共需2小时列出分式方程解答即可.

解答:解:设骑车速度为x,则跑步的速度为(1﹣50%)x,步行的速度为(1﹣50%)(1﹣50%)x,根据题意列方

程得

+, 解得x=,

跑步的速度为,

小王跑步从A城到B城需要1÷=小时=48分钟.

故选B.

点评:本题主要考查分式方程的应用,解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤,即①设未知数②根据题意找出等量关系③列出方程④解出分式方程并检验⑤作答.注意:分式方程的解必须检验. 10、代数式的值的大小( )

A、只与x的取值有关 B、只与y的取值有关

C、与x,y的取值都有关 D、与x,y的取值都无关

考点:分式的混合运算。

专题:计算题。

分析:先通分,再进行分式的混合运算,看一下最后结果里含有哪个未知数,再进行选择即可.

解答:解:原式=÷ =

2× =﹣2y.

故选B.

点评:本题考查了分式的混合运算,化简二次根式是解此题的关键.

11、如图,36个面积为1的小等边三角形拼成一个大等边三角形,则图中△ABC面积为( )

A、22 C、20 B、21 D、12

考点:等边三角形的性质。

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菁优网 分析:由图形可得题中三个小三角形全等,两个小三角形可得一个平行四边形,且其面积为10个小三角形的面积,进而可求解结论.

解答:解:由图形结合已知条件可得三个小三角形的面积相等,即三个小三角形全等,

两个小三角形可拼成一个平行四边形,且其面积为10个小三角形,

所以一个小三角形的面积为5,

故△ABC的面积为36﹣15=21.

故选B.

点评:本题主要考查了全等三角形的判定以及三角形的面积问题,要能够抓住题中的关键进行求解.

12、已知a是正整数,方程组的解满足x>0,y<0,则a是( )

A、4、5 B、5、6

C、6、7 D、以上都不对

考点:解二元一次方程组;解一元一次不等式组。

专题:计算题。 分析:方程组,由②得,y=<0,解得,x>;把y=代入①得,x=>0,即a<6,>,解得,a>,所以<a<6. 解答:解:方程组,

由②得,y=

∵y<0,

∴<0, ,

解得,x>; 把y=代入①得,

x=

∵x>0,

∴, >0,即a<6, ∴>,即a>,

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菁优网 ∴<a<6,

又∵a是正整数,

∴a的取值为4、5.

故选A.

点评:本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的解法,首先用x表示出y,然后根据y的取值得出x的取值范围,再根据题意用a表示出x,根据x的取值范围,即可得出a的取值.

13、把10张不同的扑克牌交替分发成左右两叠:左一张,右一张,左一张,右一张…然后把左边一叠放在右边一叠上面,称为一次操作,重复这个过程,为了使扑克牌恢复最初的次序,至少要进行的操作次数是( )

A、4 B、5

C、10 D、不可能恢复

考点:推理与论证。

专题:推理填空题。

分析:根据设十个安顺序的盒子,然后把最初的十个数字按照顺序分配给每个盒子,然后每次换牌时是给盒子里的数字进行变化;也可以一个一个换,然后数次数,可得一共是五次.

解答:解:假设牌原来的上下顺序为A,2,3,4,5,6,7,8,9,10,

发牌是发上面的牌,理牌是往上面盖

那么第一次

左边:9,7,5,3,A,右边:10,8,6,4,2,

盖上后牌的顺序就是9 7 5 3 A 10 8 6 4 2

显然:第1位变到了第5位,

第5位变到了第3位,

第3位变到了第4位,

第4位 变到了第9位,

第9位变到了第1位.

所以如果经过重复的操作过程,那么上述变化将连续,

那么经过5次,第1位牌回归.

同理第2位的规律是2﹣>10﹣>6﹣>8﹣>7﹣>2也是5个操作,

其他的位顺序,不超过以上两个顺序变化范围,比如3实际上和第1位变化同步,

即3﹣>4﹣>9﹣>1﹣>5﹣>3.

所以一共进行5次即可.

故选B.

点评:本题考查了推理与论证,可以将10张不同的扑克牌编号,通过做实验得出.本题实践操作能力较强,有一定的难度.

二、填空题(7分×5=35分)

14、直线y=kx+1与两坐标轴围成的三角形周长为6,则k=

考点:一次函数综合题。

分析:因为直线为y=kx+1,所以与x轴的交点坐标为(﹣,0),与y轴的交点坐标为(0,1),两直角边的长为|. ﹣|,1,从而根据勾股定理可表示出斜边的长,根据周长可列出方程求解.

解答:解:直线与x轴的交点坐标为(﹣,0),与y轴的交点坐标为(0,1),

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菁优网 斜边长为:.

∴|﹣|+1+=6, 解得k=±. 故答案为:±.

点评:本题考查一次函数的综合运用,通过找到函数与x,y的交点坐标,求出直角边的长,表示出斜边,根据周长求出解.

15、正整数a,b,c,d满足a<b<c<d,且ab+bc+ac=abc=d,则d=.

考点:数的整除性问题。

分析:首先由ab+bc+ac=abc,可得++=1,又由正整数a,b,c满足a<b<c,即可得1<a<b<c,>>,根据不等式的性质,可得++<,即可得>1,则可求得a的值,同理可求得b与c的值,继而求得d的值. 解答:解:∵ab+bc+ac=abc,

++=1,

∵0<a<b<c,

∴1<a<b<c, ∴>>,

∴++<,

即>1,

∴a<3,

∵a>1,

∴a=2,

+=,

∵<, 则>,

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菁优网 即b<4,

∵b>a=2,

∴b=3,

∴=1﹣﹣=,

∴c=6.

∴a=2,b=3,c=6.

∴d=abc=2×3×6=36.

故答案为:36.

点评:此题考查了数的整除性问题.此题难度较大,解题的关键是将ab+bc+ac=abc,变形为++=1,然后根据不等式的性质求解.

16、正△ABC中,AE=CF,AF,BE交于点P,已知PA=2,PB=4,则PC=

. 考点:等边三角形的性质;旋转的性质。

专题:探究型。

分析:要求PC的长,有特殊角时要利用特殊角,本题很容易得出△ABE≌△CAF,从而得出∠APE=∠BPF=60°,得出全等三角形同一底边上的高也相等,利用勾股定理可以求出PC的长.

解答:解:分别过点A、C作AG⊥BE于点G,CD⊥AF于点F.

∵△ABC是正三角形,

∴AB=AC,∠ABC=∠ACB=60°,

∵AE=CF,

∴△ABE≌△CAF,

∴∠1=∠2,AG=CD,

∵∠1+∠3=60°,

∴∠2+∠3=∠4=∠5=60°,

∵AG⊥BE,CD⊥AF,

∴∠AGB=∠CDA=90°,

∵∠1=∠2,AB=AC

∴△ABG≌△CAD, ,

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菁优网 ∴BG=AD,

在△APG中,∠AGB=90°,∠4=60°,AP=2,由勾股定理得

PG=1,AG=, ∴CD=,

∵PB=4,

∴BG=5,

∴AD=5,

∵AP=2,

∴PD=3,

在Rt△CDP中,由勾股定理得PC=2. 故答案为:PC=2.

点评:本题是一道利用正三角形的性质解答的几何题,本题考查了三角形全等,特殊角30°,60°角的运用以及辅助线的作法.

17、小赵,小钱,小孙一起打羽毛球,每局两人比赛,另一人休息.三人约定,每一局的输方下一局休息.结束时算了一下:小赵休息了2局,小钱共打了8局,小孙共打了5局,则参加第9局比赛的是 小赵与小钱 . 考点:推理与论证。

专题:推理填空题。

分析:根据题意小赵输了2局,小孙输了三局,在打第九局的情况下,小赵和小钱上.

解答:解:由题意得,共打9局比赛,小钱前8局赢,则要打第9局,

因为小赵休息了2局,小孙共打了5局,则小赵打第九局,

故答案为小赵和小钱.

点评:本题考查了推理和论证,解题的关键是要得出共进行了几次比赛,每人所输和胜的局数.

18、如图,Rt△ABC中,O是斜边BC的中点.P是AB边上一点,且∠APO=∠C,已知PA=5,PB=3,则PO=

考点:直角三角形斜边上的中线;勾股定理;相似三角形的判定与性质。

专题:推理填空题。

分析:作辅助线AO,构建直角三角形ABC斜边BC上的中线、相似三角形Rt△APO∽Rt△BCA;利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得OA=OB=OC;然后利用相似三角形Rt△APO∽Rt△

BCA

的对应边成比例求得

=,即,并求得OA=2;最后在Rt△APO中,由勾股定理解得PO=.

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菁优网 解答:解:连接AO.

∵Rt△ABC中,O是斜边BC的中点,

∴OA=OB=OC,

∴∠C=∠OAC;

∵∠APO=∠C,∠BAC=90°,

∴∠PAO+∠OAC=∠PAO+∠APO=90°,

∴∠POA=90°;

在Rt△APO和Rt△BCA

中,

∴Rt△APO∽Rt△BCA(AA), ∴=;

又∵PA=5,PB=3,

∴, 解得,OA=2;

在Rt△APO中,PO==.

故答案是:

点评:本题考查了直角三角形的斜边上的中线、勾股定理以及相似三角形的判定与性质.解得该题时,作辅助线OA,构建直角三角形ABC斜边BC上的中线、相似三角形Rt△APO∽Rt△BCA是解题的关键.

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