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初中数学竞赛辅导资料(14)

发布时间:2013-12-12 10:33:08  

初中数学竞赛辅导资料(14)

经验归纳法

甲内容提要

1.通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。 通过有限的几个特例,观察其一般规律,得出结论,它是一种不完全的归纳法,也叫做经验归纳法。例如

①由 ( - 1)2 = 1 ,(- 1 )3 =- 1 ,(- 1 )4 = 1 ,??, 归纳出 - 1 的奇次幂是- 1,而- 1 的偶次幂 是 1 。 ②由两位数从10 到 99共 90 个( 9 × 10 ),

三位数从 100 到 999 共900个(9×102),

四位数有9×103=9000个(9×103),

????

归纳出n 位数共有9×10n-1(个)

③ 由1+3=22, 1+3+5=32, 1+3+5+7=42??

推断出从1开始的n个連续奇数的和等于n2等。

可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段,是知识攀缘前进的阶梯。

2. 经验归纳法是通过少数特例的试验,发现规律,猜想结论,要使规律明朗化,必须进行足夠次数的试验。

由于观察产生的片面性,所猜想的结论,有可能是错误的,所以肯定或否定猜想的结论,都必须进行严格地证明。(到高中,大都是用数学归纳法证明)

乙例题

例1 平面内n条直线,每两条直线都相交,问最多有几个交点? 解:两条直线只有一个交点, 第3条直线和前两条直线都相交,增加了2个交点,得1+2

第4条直线和前3条直线都相交,增加了3个交点,得1+2+3

第5条直线和前4条直线都相交,增加了4个交点,得1+2+3+4 ???

第n条直线和前n-1条直线都相交,增加了n-1个交点

由此断定n 条直线两两相交,最多有交点1+2+3+??n-1(个), 这里n≥2,其和可表示为[1+(n+1)]×

n?1n(n?1), 即个交点。 22

例2.符号n!表示正整数从1到n的連乘积,读作n的阶乘。例如 5!=1×2×3×4×5。试比较3n与(n+1)!的大小(n 是正整数) 解:当n =1时,3n=3, (n+1)!=1×2=2

当n =2时,3n=9, (n+1)!=1×2×3=6

当n =3时,3n=27, (n+1)!=1×2×3×4=24

当n =4时,3n=81, (n+1)!=1×2×3×4×5=120

当n =5时,3n=243, (n+1)!=6!=720 ??

猜想其结论是:当n=1,2,3时,3n>(n+1)!,当n>3时3n<(n+1)!。 例3 求适合等式x1+x2+x3+?+x2003=x1x2x3?x2003的正整数解。

分析:这2003个正整数的和正好与它们的积相等,要确定每一个正整数的值,我们采用经验归纳法从2个,3个,4个??直到发现规律为止。 解:x1+x2=x1x2的正整数解是x1=x2=2

x1+x2+x3=x1x2x3的正整数解是x1=1,x2=2,x3=3

x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4的正整数解是x1=x2=1,x3=2,x4=4

x1+x2+x3+x4+x5=x1x2x3x4x5的正整数解是x1=x2=x3=1,x4=2,x5=5

x1+x2+x3+x4+x5+x6=x1x2x3x4x5x6的正整数解是x1=x2=x3=x4=1,x5=2,x6=6 ????

由此猜想结论是:适合等式x1+x2+x3+?+x2003=x1x2x3?x2003的正整数解为x1=x2=x3=??=x2001=1, x 2002=2, x2003=2003。

丙练习14

1. 除以3余1的正整数中,一位数有__个,二位数有__个,三位数有

__个,n位数有____个。

2. 十进制的两位数a1a2可记作10a1+a2,三位数a1a2a3记作100a1+10a2+a3,四位数a1a2a3a4记作____,n位数___记

3. 由13+23=(1+2)2,13+23+33=(1+2+3)2,13+23+33+43 =(___)2 ,13+______=152,13+23+?+n3=( )2。

4. 用经验归纳法猜想下列各数的结论(是什么正整数的平方)

①111?1-222?2=(___)2;111?1-222?2=( __)2。 ????????????????;

10个15个22n个1n个2

②111?155?56=(____)2;11?1155?56=(___)2 ????????????????

9位9位n位n位

5. 把自然数1到100一个个地排下去:123??91011??99100

① 这是一个几位数?②这个数的各位上的各个数字和是多少

6.计算1111+++?+= 11?1212?1313?1419?20

(提示把每个分数写成两个分数的差)

7.a是正整数,试比较aa+1和(a+1)a的大小. 8.. 如图把长方形的四条边涂上红色,然 后把宽3等分,把长8等分,分成24个 小长方形,那么这24个长方形中,

两边涂色的有__个,一边涂色的有__个,四边都不着色的有__个。 本题如果改为把宽m等分,长n等分(m,n都是大于1的自然数)那么这mn个长方形中,两边涂色的有__个,一边涂色的有__个,四边都不着色的有__个

9.把表面涂有红色的正方体的各棱都4等分,切成64个小正方体,那么这64个中,三面涂色的有__个,两面涂色的有___个,一面涂色的有___个,四面都不涂色的有____个。

本题如果改为把长m等分,宽n等分,高p等分,(m,n,p都是大于2的自然数)那么这mnp个正方体中,三面涂色的有___个,两面涂色的有___个,一面涂色的有____个,四面都不涂色的有_____个。

10.一个西瓜按横,纵,垂直三个方向各切三刀,共分成___块,其中不带皮的有__块。

11.已知两个正整数的积等于11112222,它们分别是___,___。

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