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初中数学竞赛辅导资料(15)

发布时间:2013-12-12 11:28:14  

初中数学竞赛辅导资料(15)

乘法公式

甲内容提要

1. 乘法公式也叫做简乘公式,就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结,直接应用。

公式中的每一个字母,一般可以表示数字、单项式、多项式,有的还可以推广到分式、根式。

公式的应用不仅可从左到右的顺用(乘法展开),还可以由右到左逆用(因式分解),还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。

2. 基本公式就是最常用、最基礎的公式,并且可以由此而推导出其他公式。 完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2,

平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2

立方和(差)公式:(a±b)(a2?ab+b2)=a3±b3

3.公式的推广:

① 多项式平方公式:(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd

即:多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。 ② 二项式定理:(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3

(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4)

(a±b)5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3+5ab4±b5)

????

注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律 ③ 由平方差、立方和(差)公式引伸的公式

(a+b)(a3-a2b+ab2-b3)=a4-b4

(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=a5+b5

(a+b)(a5-a4b+a3b2-a2b3+ab4-b5)=a6-b6

????

注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律 在正整数指数的条件下,可归纳如下:设n为正整数

-----(a+b)(a2n1-a2n2b+a2n3b2-?+ab2n2-b2n1)=a2n-b2n

---(a+b)(a2n-a2n1b+a2n2b2-?-ab2n1+b2n)=a2n+1+b2n+1

类似地:

-----(a-b)(an1+an2b+an3b2+?+abn2+bn1)=an-bn

4. 公式的变形及其逆运算

由(a+b)2=a2+2ab+b2 得 a2+b2=(a+b)2-2ab

由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)

由公式的推广③可知:当n为正整数时

an-bn能被a-b整除,

a2n+1+b2n+1能被a+b整除,

a2n-b2n能被a+b及a-b整除。

乙例题

例1. 己知x+y=a xy=b

求 ①x2+y2 ②x3+y3 ③x4+y4 ④x5+y5

解: ①x2+y2=(x+y)2-2xy=a2-2b

②x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)=a3-3ab

③x4+y4=(x+y)4-4xy(x2+y2)-6x2y2=a4-4a2b+2b2

④x5+y5=(x+y)(x4-x3y+x2y2-xy3+y4)

=(x+y)[x4+y4-xy(x2+y2)+x2y2]

=a[a4-4a2b+2b2-b(a2-2b)+b2]

=a5-5a3b+5ab2

例2. 求证:四个連续整数的积加上1的和,一定是整数的平方。 证明:设这四个数分别为a, a+1, a+2, a+3 (a为整数)

a(a+1)(a+2)(a+3)+1=a(a+3)(a+1)(a+2)+1=(a2+3a)(a2+3a+2)+1

=(a2+3a)2+2(a2+3a)+1=(a2+3a+1)2

∵a是整数,整数的和、差、积、商也是整数

∴a2+3a+1是整数 证毕

例3. 求证:2222+3111能被7整除

证明:2222+3111=(22)111+3111=4111+3111

根据 a2n+1+b2n+1能被a+b整除,(见内容提要4)

∴4111+3111能被 4+3整除

∴2222+3111能被7整除

例4. 由完全平方公式推导“个位数字为5的两位数的平方数”的计算规律 解:∵(10a+5)2=100a2+2×10a×5+25=100a(a+1)+25

∴“个位数字为5的两位数的平方数”的特点是:幂的末两位数字是底数个位数字5的平方,幂的百位以上的数字是底数十位上数字乘以比它大1的数的积。

如:152=225 幂的百位上的数字2=1×2), 252=625 (6=2×3),

352=1225 (12=3×4) 452=2025 (20=4×5)

??

丙练习15

1. 填空:

①a2+b2=(a+b)2-_____ ②(a+b)2=(a-b)2+___

③a3+b3=(a+b)3-3ab(___) ④a4+b4=(a2+b2)2-____ ,⑤a5+b5=(a+b)(a4+b4)-_____ ⑥a5+b5=(a2+b2)(a3+b3)-____

2. 填空:

①(x+y)(___________)=x4-y4 ②(x-y)(__________)=x4-y4

③(x+y)( ___________)=x5+y5 ④(x-y)(__________)=x5-y5

3.计算:

①552= ②652= ③752= ④852= ⑤952=

4. 计算下列各题 ,你发现什么规律

⑥11×19= ⑦22×28= ⑧34×36= ⑨43×47= ⑩76×74=

5..已知x+1111=3, 求①x2+2 ②x3+3 ③x4+4的值 xxxx

6.化简:①(a+b)2(a-b)2

②(a+b)(a2-ab+b2)

③(a-b)((a+b)3-2ab(a2-b2)

④(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)

7.己知a+b=1, 求证:a3+b3-3ab=1

8.己知a2=a+1,求代数式a5-5a+2的值

9.求证:233+1能被9整除

10.求证:两个连续整数的积加上其中较大的一个数的和等于较大的数 的平方

11.如图三个小圆圆心都在大圆的直径上,它们

的直径分别是a,b,c

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