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初中数学竞赛整式测试题带详细答案

发布时间:2013-12-12 12:27:39  

初中数学竞赛整式测试

一.选择题(每题5分,共30分)

1. 正整数a,b,c是等腰三角形三边的长,并且a?bc?b?ca=24,则这样的三角形有 C(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 。

2. 某公司的员工分别住在A、B、C三个小区,A区住员

工30人,B区住员工15人,C区住员工10人,三个

小区在一条直线上,位置如图所示。若公司的班车只设 B区 A区

一个停靠点,为使所有员工步行到停靠点的路程总和最

短,那么停靠点的位置应在A

(A) A区 (B) B区 (C) C区 (D) A、B、C区以外的一个位置 。

3.给出两列数:(1)1,3,5,7,?,2007;(2)1,6,11,16,?,2006,则同时出现在两列数中的数的个数为( )A

A、201 B、200 C、199 D、198

4.已知实数x,y满

足(xy??2008,则3x2?2y2?3x?3y区?2007的值为 ( )(A) ?2008. (B)2008. (C) ?1. (D)1.

【答】D.

∵(xy?2008,

∴x??y?

y??x?

由以上两式可得x?y.

所以(x2?2008,解得x2?2008,所以

3x2?2y2?3x?3y?2007?3x2?2x2?3x?3x?2007?x2?2007?1.

故选D.

?k?1??k?2?? 5.在一列数x1,x2,x3,??中,已知x1?1,且当k≥2时,xk?xk?1?1?4??????????4??4??

(取整符号?a?表示不超过实数a的最大整数,例如?2.6??2,?0.2??0),则x2010等于( ).(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

解:B

??k?1??k?2????由x1?1和xk?xk?1?1?4??可得 ?????4??4??

x1?1,x2?2,x3?3,x4?4,

x5?1,x6?2,x7?3,x8?4,

??

因为2010=4×502+2,所以x2010=2.

二.填空(每题5分,共40分)

32008?152008

,得到 1 . 72008?352008

4427.已知实数x,y满足 4?2?3,y4?y2?3,则4?y4的值为( ). xxx?7?6.化简:???3?1004

(A)7 (B)

【答】(A) 1?7? (C)

(D)5 22

解:因为x2?0,y2≥0,由已知条件得

12??

y??, x2所以 422422 ?y??3?3?y??y?6?7. 422xxx

2?2222?(?2)?(?2)?3?0另解:由已知得:?x,显然?2?y2,以?2,y2为根的xxx?(y2)?y2?3?0?一元二次方程为t2?t?3?0,所以 (?

222)?y??1,  (?)?y2??3 22xx42242222=?y[(?)?y]?2? (?)?y?(?1)?2?(?3)?7 422xxx

8. 一个矩形的长与宽是两个不相等的整数,它的周长与面积的数直相等,那么这个矩形的长

与宽分别是 6 和 3 。

11229、设a?1?3a,b?1?3b,且a?b,则代数式2?2的值为 ( ) ab

(A) 5. (B)7. (C) 9. (D)11.

【答】B.

解 由题设条件可知a?3a?1?0,b?3b?1?0,且a?b,所以a,b是一元二次 22

方程x2?3x??1的0两

2根,故a?b?3,ab?1,因此1?2a

1a2?b2(?ab2a2b2(b?))22ab?3?21. 故选. 7?B2a2b1

10.

已知a?

11. 若a=a4?5a3?6a2?5a?4111,b=,c=,则a与d的大小关系是a = d。(填“>”、1?b1?c1?d

“=”或“<”)

a2b2c2

?22?212、若代数式P?2,其中a,b,c均为非零实数,则如下的22a?bb?cc?a

三个结论中,能够成立的共有 3 个

3①P?0 ②1?P?2 ③P可以等于 2

a2b2c213、已知abc≠0,且a+b+c=0,则代数式=_________ ??bccaab

解:原式??(b?c)?a?(a?c)?b?(a?b)?c??bcacab

aabbcc        ??(?)?(?)?(?)bcacab

abc       ????3abc

三.解答题

n?1909为完全平方数的n的个数。 2009?n

n-1909)/(2009-n)=N (N为完全平方数,N=0,1,4,9,16,...) 14.(9分)设n是大于1909的正整数,使得

即是:

{(n-2009)+100 }/(2009-n)={100/(2009-n)}-1=N

所以:

100/(2009-n)=N+1

(N+1)(2009-n)=100

N+1和2009-n都是正整数,都是100的因数

N=49时,n=2007;

N=9时,n=1999;

N=4,n=1989;

N=1,n=1959

15.(9分)有一水池,池底有泉水不断涌出,要将满池的水抽干,用12台水泵需5小时,用10台水泵需7小时,若要在2小时内抽干,至少需水泵几台?

解:设开始抽水时满池水的量为x,泉水每小时涌出的水量为y,水泵每小时抽水量为z,

2小时抽干满池水需n台水泵,则

?x?5y?5?12z  ①? ?x?7y?7?10z  ②

?x?2y?2nz   ③?

由①②得?

∴n?22?x=35z,代入③得:35z?10z?2nz ?y?5z1,故n的最小整数值为23。 2

答:要在2小时内抽干满池水,至少需要水泵23台

16.(12分)如图,△ABC为等腰三角形,AP是底边BC上的高,点D是线段PC上的一点,BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径,连接EF. 求证: tan?PAD?EF. BC

证明:如图,连接ED,FD. 因为BE和CF都是

直径,所以

ED⊥BC, FD⊥BC,

因此D,E,F三点共线. ????(3分)

连接AE,AF,则

?AEF??ABC??ACB??AFD, 所以,△ABC∽△AEF. ????(8分)

作AH⊥EF,垂足为H,则AH=PD. 由△ABC∽△AEF可得 EFAH, ?BCAP

EFPD从而 , ?BCAP

PDEF所以 tan?PAD?. ????(14分)

?APBC

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