haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 小学教育 > 学科竞赛学科竞赛

2012IMO试题

发布时间:2013-09-21 09:01:41  

Language:Chinese(Simpli??ed)

2012年7月10日,星期二

1. 设J为三角形ABC顶点A所对旁切圆的圆心. 该旁切圆与边BC相切于点M,与直线AB和AC分别相切于点K和L. 直线LM和BJ相交于点F,直线KM与CJ相交于点G. 设S是直线AF和BC的交点,T是直线AG和BC的交点.

证明:M是线段ST的中点.

(三角形ABC的顶点A所对的旁切圆是指与边BC相切,并且与边AB,AC的延长线相切的圆.)

2. 设整数n≥3,正实数a2,a3,?,an满足a2a3?an=1.证明:

(1+a2)(1+a3)

23?(1+an)>nn. n

3.“欺诈猜数游戏”在两个玩家甲和乙之间进行, 游戏依赖于两个甲和乙都知道的正整数k和n.

游戏开始时甲先选定两个整数x和N, 1≤x≤N. 甲如实告诉乙N的值,但对x守口如瓶. 乙现在试图通过如下方式的提问来获得关于x的信息: 每次提问,乙任选一个由若干正整数组成的集合

,问甲“x是否属于S?”. 乙可以提任意数量的问题. S(可以重复使用之前提问中使用过的集合)

在乙每次提问之后,甲必须对乙的提问立刻回答“是”或“否”,甲可以说谎话,并且说谎的次数没有限制,唯一的限制是甲在任意连续k+1次回答中至少有一次回答是真话. 在乙问完所有想问的问题之后,乙必须指出一个至多包含n个正整数的集合X,若x属于X,则乙获胜;否则甲获胜. 证明:

(1)若n≥2k,则乙可保证获胜;

(2)对所有充分大的整数k,存在整数n≥1.99k,使得乙无法保证获胜.

Language: Chinese (Simplified) 考试时间:4小时30分 每题7分

Language:Chinese(Simpli??ed)

2012年7月11日,星期三

4. 求所有的函数f∶?→?,使得对所有满足a+b+c=0的整数a,b,c,都有

f(a)+f(b)+f(c)=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a). 222

(这里?表示整数集.)

5. 已知三角形ABC中,∠BCA=D是过顶点C的高的垂足. 设X是线段CD内部的一点. 90°,

K是线段AX上一点,使得BK=BC.L是线段BX上一点,使得AL=AC. 设M是AL与BK的交点. 证明: MK=ML.

6. 求所有的正整数n, 使得存在非负整数a1,a2,?,an,满足

n11112+a2+?+an=a1+a2+?+an=1. a1222333

Language: Chinese (Simplified) 考试时间:4小时30分 每题7分

网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com