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第五届全国中学生数理化学科能力展示活动九年级数学解题技能展示试题及解答

发布时间:2013-12-12 15:35:46  

第五届全国中学生数理化学科能力展示活动 九年级数学解题技能展示试题解答 试卷说明:1、本试卷共计15题,满分为120分 2、考试时间为120分钟 一、选择题(共6小题,每题6分,共36分) 1、初三毕业时必做的一件事是照毕业照, 某校初三两个班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念,摄影师要将其排列成前多后少得梯形队阵(排数n≥3),且要求各行的人数必须是连续的自然数,这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡,那么满足上述要求的方案有( B )种. A. 1; B. 2; C. 4; D. 0 解:设第一排有m人,则第n排有(m-n+1) 人,所以 12[m+(m-n+1)]×n=100, n(2m-n+1)=200, 因m-n+1≥1,所以m≥n, (2m-n+1)-n=2(m-n)+1≥1 又200=4×50=5×40=8×25=10×20 所以:n=4, 2m-n+1=50; n=5, 2m-n+1=40; n=8, 2m-n+1=25; n=10, 2m-n+1=20. 经验证:符合要求的为:n=5,m=22;n=8,m=16. 2、 化简:3?25?3?

22A.1; B. 2+2;2+1.

解: 3?25?3?22=3?25?12(2?1) =3?2?122 =3?2(3?22)

=9?42 =22+1.

3、在某海防观测站的正东方向12海里处有A、B两艘船相会之后,A船以每小时12海里的速度往南航行,B船则以每小时3海里的速度向北漂流.则观测站及A、B两船恰成一个直角三角形需要的时间是( C ).

A. 1h; B. 1.5h; C.2h; D. 4h.

解: 设观测站及A、B两船恰成一个直角三角形需要的时间为xh. 则 122=12x·3x ,x=2

1

4、在3×5的棋盘上,一枚棋子每次可以沿水平或者垂直方向移动一个小格,但不可以沿任何斜对角线移动.从某些待定的格子出发,要求棋子经过全部的小正方格恰好一次,但不必回到原来出发的小方格上.在这15个小方格中,则可作为这枚棋子出发的小方格个数为( B )个.

A. 6; B. 8; C. 9; D. 10.

解:(1)从四个顶点所在的格子中的任意一个出发,都可以,如从A

格出发:

同理从E、K、O都可以作为起点,一共有4个起点;

(2)C作为起点,

如下图:

同理M也可以作为起点,一共有2个起点;

(3)I格出发,可以不重复走

完全程:

同理从G出发也可以走完全程不重复,有2个起点.

4+2+2=8(个);

答:有8个小方格可以作为这个棋子的起点.

故答案为:8.

5、工地上竖立着两根电线杆AB、CD规定,它们相距15米,分别自两杆上高出地面4米、6米的A、C处,向两侧地面上的E、D,B、F点处,用钢丝绳拉紧,以固定电线杆.

以下说法正确的是( )

A. 钢丝绳AD与BC的交点离地面的高度是3.6米;

B. △AED的面积是△CBF的面积的一半;

C. P点离地面的高度与AB、CD之间的相距无关;

D. EF长度的2倍与△CBF的周长相等. 解:作PQ⊥BD于Q,设BQ=x米,QD=y米,PQ=h米,

∴AB∥PQ∥CD,

2

∴ PQ:AB=QD:BD,PQ:CD=BQ:BD

即 h:4=y:(x+y) ,h:6=x:(x+y)

∴两式相加得 5h/12=1

由此得h=2.4米.

即点P离地面的高度为2.4米.

故答案为:2.4.

(注:由上述解法知,AB、CD之间相距多远,与题目结论无关.)

6、定义符号yx表示与自变量x所对应的函数值.例如对于函数y=x-2x+4,当x=2时,对应的函数值y=4,则可以写为:y2=4.在二次函数y=ax+bx+c中,若yt+1=y-t+1,对任意实数t都成立,那么下列结论错误的是( B ).

A. y0=y2 B. y-1﹥

y1 C. y4﹤y3 D. y2﹥y1

22

请根据以上数据列计算华氏14度是__-10_____°C,摄氏38度是_100.4____°F.

解:设y=kx+b,把x=0,y=32;x=20,y=68代人解得:b=32,k=1.8.经验证,其余三组数据均符合y=1.8x+32.

所以当y=14时,x=-10; 当x=38时,y=100.4;

8、如右图,在平面直角坐标系XOY中,多边形OABCDE的顶点坐标分别是O(0,0),A(0,

6),B(4,6),C(4,4),D(6,4),E(6,0).若直线l经过点M(2,3),且将多边形OABCDE20分割成面积相等的两部分,则直线l与线段DE的交点坐标是__(6,5/3)___.

3

解:设直线L: y=kx+b 由题可知k在0到3/2之间

则设直线 y=kx+b 与Ao交点为(0,m)与DE的交点(6,n)

且又知道直线L平分多边形面积

则必有[(m+n)6]/2=(4×6+2x4)/2

所以m+n=16/3,又(0,m)、(6,n)、(2,3)均在直线上,所以

b=m,6k+b=n,2k+b=3,

解之得:n=5/3.

9、小王2000年初从银行贷款100万元创业,年利率为5%,规定每年底还当时欠款总和的10%,但要在第10年底把所有欠款还清.请问第10年底小王要还 63 万元(结果保留整数).

解:(1)第1年底欠款总和为100×(1+5%)

(2)第2年底欠款总和为100×(1+5%)×(1-10%)

(3)第3年底欠款总和为100×(1+5%)×(1-10%)

(4)第4年底欠款总和为100×(1+5%)×(1-10%)

………

(10)第10年底欠款总和为100×(1+5%)×(1-10%)≈63

10、The two digits in Jack’s age are the same as the digits in Bill’s age,but in reverse order.In five years Jack will be twice as old as Bill will be then.What is the difference in their current ages?___18______. 10943322

解:译文:杰克和比尔的年龄的两个数字是一样的,但顺序相反。杰克在五年内将比尔年长一倍。他们现在年龄的差异是什么?

设杰克年龄为10x+y,比尔年龄为10y+x,则

10x+y+5=2(10y+x+5)

8x=19y+5, y为奇数,经检验只有y=1,x=3符合题意。

他们现在年龄的差异=10x+y-(10y+x)=9(x-y)=18.

11、设C1,C2,C3,...为一群圆,其作法如下:C1是半径为a的圆,在C1 的圆内作4个相等的圆C2,每个圆C2和C1都内切,且相邻的两个圆C2均外切,再在每一个圆C2中,用同样的方法作四个相等的圆C3,依次类推作出C4,C5,C6,…,则

(1) 圆C2的半径的长等于 (用a表示);

(2)圆Ck的半径的长为 (k为正整数,用a表示,不必证明).

4

解:(

1)连接AB、BC、CD、AD,AC,设小圆的半径是r,根据圆与圆相切,得到AC=2a-2r,根据正方形的性质和勾股定理得到AC= 2r,推出方程2a-2r=2r,求出r=( -1)a.

(2)求出r=(

即可.

-1)a,r3=(-1)r= (-1)2a,得出圆Ck的半径为rk=( -1 )k-1 a

22212、已知x1,x2,…,x40都是正整数,且x1+x2+…+x40=58,若x1+x2+…+x40的最大值为A,最

小值为B,则A+B的值等于 494 .

解:显然 4 = 1 + 3 = 2 + 2 而 12 + 32 > 22 + 22 根据此原理: X12+X22+X32+……+X402最小时,当且仅当X1到X40中,除了1外,要有最多的2。设有Y个2,则 2Y + (40 - Y) = 58,最多有Y = 18个2 .

2所以B = 18×22 + (40-18)×1 = 94 .

当X12+X22+X32+……+X402最大时,当且仅当X1到X40中有1个数取到最接近58的值。显然最多有39个1时。剩余1个数最大是58 - 39 = 19

所以A = 192 + 39×1 = 400

所以A+B=494

三、解答题

13.某出租车公司买了每辆价值2a元的出租车投入运营,由调查得知:每辆出租车每年客运收入约为a元,且每辆客车第n年的油料费、维修费及其他各种管理费用总和P(n)与年数n成正比,又知第三年每辆出租车以上费用是该年客运收入的48%.(1)写出每辆出租车运营的总利润(客运收入扣除总费用及其成本)y(元)与n的函数关系式.(2)每辆出租车运营多少年可使其运营的年平均利润最大?

解:(1)因为P(n)与年数n成正比,设P(n)=kn

5

当n=3时,P(n)=48%a=3k,,所以k=0.16a,P(n)=0.16an

所以运营n年后的总费用为:P(1)+P(2)+…+P(n)=0.16a(1+2+…n)=0.08an(n+1)

2所以 y=na-0.08an(n+1)-2a= -0.08a(n-11.5n+25)

2(2)运营n年平均利润为y/n=-0.08a(n-11.5n+25)/n=-0.08a(n+25/n-11.5)

∵ n+25/n≧2√25=10,当且仅当n=25/n,即n=5时等号成立.

∴ 每辆出租车运营5年可使其运营的年平均利润最大。

年平均最大利润=-0.08a(10-11.5)= 0.12a.

14.沿着圆周放着一些数,如果有依次相连的4个数a、b、c、d满足(a-d)(b-c)>0,那么就可以交换b、c的位置,这称为一次操作。 (1)若圆周上依次放着数1,2,3,4,5,6,问:是否能经过有限次操作后,对圆周上

任意依次相连的4个数a,b,c,d,都有(a-d)(b-c)≤0?请说明理由.

(2)若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1,2,…,2003,问:是否能经过有限次操作后,对圆周上任意依次相连的4个数a,b,c,d,都有(a-d)(b-c)≤0?请说明理由.

解:(1)答:能.

具体操作如下:

(2)答:能.

理由:设这2003个数的相邻两数乘积之和为P.

开始时,P0=1×2+2×3+3×4+…+2002×2003+2003×1,

经过k(k≥0)次操作后,这2003个数的相邻两数乘积之和为Pk,

此时若圆周上依次相连的4个数a,b,c,d满足不等式(a-d)(b-c)>0,即ab+cd>ac+bd,交换b,c的位置后,

这2003个数的相邻两数乘积之和为Pk+1,有Pk+1-Pk=(ac+cb+bd)-

(ab+bc+cd)=ac+bd-ab-cd<0.

所以Pk+1-Pk≤-1,即每一次操作,相邻两数乘积的和至少减少1,

由于相邻两数乘积总大于0,

故经过有限次操作后,对任意依次相连的4个数a,b,c,d,一定有(a-d)(b-c)≤0.

6

15.如图,圆O的直径的长是关于x的二次方程x2+2(k-2)x+k=0(k是整数)的最大整数根. P是圆O外一点,过点P做圆O的切线PA和割线PBC,其中A为切点,点B、C是直线

222PBC与圆O的交点.若PA、PB、PC的长都是正整数,且PB的长不是合数,求PA+PB+PC的

值.

解:要使方程x2+2(k-2)x+k=0(k是整数)有整数根,

△=4(k-2)2-4k=4(k-4)(k-1)≧0, k≧4或k≦1,

当k≧4时,二次方程的两根均为负值,不合题意。

所以k≦1,且△=4(k-2)2-4k=(2k-5)2-9 为完全平方数,设△=m2(m≧0,且为整数) 当m=0时,k=1,x=1;

当m≠0时

(2k-5)2-m2= 9,(2k-5+m)(2k-5-m)=9,

因为(2k-5+m)与(2k-5-m)同奇偶,且2k-5+m﹥2k-5-m

所以2k-5+m=-1,2k-5-m=-9;2k-5+m=9,2k-5-m=1 (k≦1)

解之得k=0,此时方程x2+2(k-2)x+k=0的根为x=0和4,所以⊙O得直径为4.

∵ PA2=PB·PC=PB(PB+BC),

PA2 -PB2=PB·BC,(PA+PB)(PA-PB)=PB·BC,

因PA、PB、PC的长都是正整数,且PB的长不是合数,PA+PB﹥PB所以

PA+PB=BC,PA-PB=PB

PA=2PB,BC=3PB﹤4(直径长),所以PB=1,PA=2,PC=4,

PA2+PB2+PC2=1+4+16=21.

济宁市任城区济东中学

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