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初中数学竞赛模拟试题

发布时间:2013-12-12 15:35:48  

初中数学竞赛模拟试题(2)

一、选择题(每小题6分,共30分)

1.已知a?b?4,ab?c2?4?0,则a?b=( ) (A)4 (B)0 (C)2 (D)-2

2.方程|x|?

4

3.已知梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC、BD交于O,△AOD的面积为4,

△BOC的面积为9,则梯形ABCD的面积为( ) (A)21 (B)22 (C)25

(D)26

4.已知⊙O1与⊙O2是平面上相切的半径均为1的两个圆,则在这个平面上有( )个

半径为3的圆与它们都相切. (A)2 (B)4 (C)5

(D)6

5.一个商人用m元(m是正整数)买来了n台(n为质数)电视机,其中有两台以成本的一半价钱卖给某个慈善机构,其余的电视机在商店出售,每台盈利500元,结果该商人获

得利润为5500元,则n的最小值是( ) (A)11 (B)13

(C)17 (D)19

二、填空题(每小题6分,共30分)

6.已知等腰△ABC内接于半径为5cm的⊙O,若底边BC=8cm,则△ABC的面积为 .

7.△ABC的三边长a、b、c满足b?c?8,bc?a2?12a?52,则△ABC的周长等于 .

8.若?x?表示不超过x的最大整数,且满足方程3x?5?x??49?0,则x=

9.若直线323x?457y?1103与直线177x?543y?897的交点坐标是(a,b),则43|x|的实根的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)?xxa2?2004b2的值是.

10.抛物线y?2x?4x?5向左平移3个单位,再向上平移两个单位,得抛物线C,则C关于y轴对称的抛物线解析式是 .

三、解答题(每小题15分,共60分)

11.如图所示,在△ABC中,AC=7,BC=4,D为AB的中点,E为AC边上一点,且∠AED=90°+

21∠C,求CE的长. 2ABE

12.某公交公司停车场内有15辆车,从上午6时开始发车(6时整第一辆车开出),以后每隔6分钟再开出一辆.第一辆车开出3分钟后有一辆车进场,以后每隔8分钟有一辆车进场,进场的车在原有的15辆车后依次再出车.问到几点时,停车场内第一次出现无车辆?

13.已知一个两位数,其十位与个位数字分别为p、q,二次函数y?x?qx?p的图象与x轴交于不同的两点A、B,顶点为C,且S△ABC≤1.

(1)求q?4p的取值范围;(2)求出所有这样的两位数pq.

14.已知n是正整数,且2n?1与3n?1都是完全平方数.是否存在n,使得5n?3是质数?如果存在,请求出所有n的值;如果不存在,请说明理由.

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参考答案

一、选择题

1.B 2.A 3.C 4.D 5.C

二、填空题

6.8cm2或32cm2 7.14 8.192 9.2008 10.y?2x?8x?3 3

三、解答题

11.作BF∥DE交AC于F,作∠ACB的平分线交AB于G,交BF于H.

则∠AED=∠AFB=∠CHF+

因为∠AED=90°+1∠C。 21∠C,所以∠CHF=90°=∠CHB。 2

又∠FCH=∠BCH,CH=CH。 B∴ △FCH≌△BCH。 ∴ CF=CB=4, ∴ AF=AC-CF=7-4=3。 H ∵ AD=DB,BF∥DE,

∴ AE=EF=1.5, AEF∴ CE=5.5.

12.设从6时起x分钟时停车场内第一次出现无车辆,此时总共出车S辆,进场车y辆,则

?x?6(S?1)? ?S?y?15

?8y?x?3?

∴ 8(S?15)?6(S?1)?3, 解得 S?55.5.

∵ S为正整数,∴ S=56,即到第56辆车开出后,停车场内第一次出现无车

辆.此时x?6(56?1)?330,6+330=11.5(时) 60

答:到11时30分时,停车场内第一次出现无车辆.

13.(1)设A(x1,0),B(x2,0),(x1?x2),则x1、x2是方程

x2?qx?p?0的两个不同的实根,所以

x1?x2??q,x1x2?p,q2?4p?0. 4p?q2

又yc?(yc表示点C的纵坐标),所以 4

114p?q2

2q?4p??1, S△ABC=|x1?x2|?|yc|?224

从而(q?4p)?64,q?4p?4.

故0<q?4p?4.

(2)由(1)知,q?4p?1,2,3,4.

因为q被4除余数为0或1,故q?4p被4除余数也是0或1,从而q?4p?1,或4.这两个方程中符合题意的整数解有?22222232?p?2?p?6?p?3?p?8 ????p?3,?p?5,?p?4,?p?6.

故所有两位数pq为23,65,34,86.

14.设2n?1?k2,3n?1?m2,其中k,m都是正整数,则

5n?3?4(2n?1)?(3n?1)?4k2?m2?(2k?m)(2k?m).

若2k?m?1,则5n?3不是质数.

若2k?m?1,则5n?3?2k?m?2m?1,于是

(m?1)2?m2?2m?1?m2?(2m?1)?2?(3n?1)?(5n?3)?2

??2n?0,矛盾.

综上所述,不存在正整数n,使得5n?3是质数.

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