haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 学科竞赛学科竞赛

1999年全国初中数学联合竞赛试题及解答

发布时间:2013-12-13 10:40:46  

1999年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

说明:评阅试卷时,请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档;第二试各题,请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.

第一试

一、选择题(本题满分42分,每小题7分)

1.

?的值是( )

A.1. B.-1. C.2. D.-2.

【答】D.

原式?

2.△ABC的周长是24,M是AB的中点,MC=MN=5,则△ABC的面积是( )

A.12. B.16. C.24. D.30.

【答】C.

如图,

∵MA?MB?MC?5

∴?ACB?90?,

已知周长是24,则AC?BC?14,AC2?BC2?102.

∴2AC?BC??AC?BC???AC2?BC2??142?102?4?24. 2??4??2. 1?3

∴S△ABC?

1AC?BC?24. 2

3.设b?a,将一次函数y?bx?a与y?ax?b的图像画在同一平面直角坐标系内,则有一组a,b的取值,使得下列4个图中的一个为正确的是( )

A.

B.C.D.1

【答】B.

解法一:

对于A图,由图上直线与y轴的交点知a?0,b?0,但由两条直线的方向知a?0,b?0,矛盾,故A图不正确;

对于B图,由图上直线与y轴的交点知a?0,b?0,但由两条直线的方向知a?0,b?0,故B正确;

?y?bx?a对于C图,由方程组?的解知两直线的交点为?1,a?b?,图中交点横坐标是y?ax?b?

2?1,故图C不正确;

对于D图,由图上直线与y轴的交点知a?0,b?0,但由两条直线的方向知a?0,b?0,矛盾,故D图不正确.

故选择B.

解法二:

此题考查的内容很基本,对于一个一次函数y?ax?b来说,三象限;a?0则过一、a?0则过二,四象限;b?0则过一,二象限;b?0则过三,四象限.对于A图,截距为b的一次函数为y?ax?b,它过一,二,三象限,a?0,b?0,故另一条直线也过一,二,三象限,矛盾,排除A;对于D图,截距为a的一次函数为y?bx?a,它过一,二,三象限,a?0,b?0,故另一条直线也过一,二,三象限,矛盾,排除D;对于C图,两条直线均过?2,0?点,带入可得a?b?2,矛盾,排除C;故应该选B.

14.若函数y?(x2?100x?196?|x2?100x?196|),则当自变量x取1,2,3,…,100这2

100个自然数时,函数值的和是( )

A.540. B.390. C.194. D.97.

【答】B.

∵x2?100x?196??x?2??x?98?,

∴当2≤x≤98时,x2?100x?196?0,x2?100x?196???x2?100x?196?. ∴当自变量x取2,3,…,98时,函数值都为0.

而当x取1,99,100时,x2?100x?196?x2?100x?196, 故所求的和为:y?1??y?99??y?100??390.

2

5.如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AB=998,DC=1001,AD=1999,点P在线段AD上,则满足条件∠BPC=90°的点P的个数为( )

A.0. B.1. C.2. D.不小于3的整数

.

【答】 C.

对于AD的中点M,过M引AB的平行线交BC于E,

ME?119991?BC?BE?CE,所以?BMC?90?. ?AB?DC??222

又在AD上取点N使AN?998,则ND?1001.由△ABN和△DCN都为等腰三角形易推知?BNC?90?,又到以BC为直径的圆与AD至多有两个交点,可知所求点的个数为2.

6.有下列三个命题:(甲)若?,?是不相等的无理数,则??????是无理数;(乙)若?,? 是不相等的无理数,则???是无理数;(丙)若?,?是不相等的无理数,

???

是无理数.其中正确命题的个数是( )

A.0. B.1. C.2. D.3.

【答】A.

???1因为??????????????1?1????1????1??1,

所以只要令??1

则??????为有理数,故(甲)不对;

又若令???则???为有理数,故(乙)不对;

???

又若令??

???0为有理数,故(丙)不对;

故正确命题个数是0,故选择A.

二、填空题(本题满分28分,每小题7分)

1b?c1.已知(b?c)2?(a?b)(c?a)且a?0,则?. 4a

【答】 2.

3

解法一:

首先将整个等式展开:

∵?b?c??4?a?b??c?a?,即b2?2b?c2?4ac?4bc?4ab?4a2,

∴4a2?b2?c2?4ac?4ab?2bc?0,

∴?b?c??4a?b?c??4a2?0,

∴??2a??b?c????0,

∴2a?b?c, ∴b?c?2. a222

解法二:

设a?b?x,c?a?y,则c?b?x?y.

故原式可化为

整理得:(x?

即x?1(x?y)2?xy. 4y)2?0. b?c?2. ay. 即2a?b?c,所以

2.如图,在△ABC中,∠B=36°,∠ACB=128°,∠CAB的平分线交BC于M,△ABC的外接圆的切线AN交BC的延长线于N,则△ANM的最小角等于 .

【答】44°.

∵?ACB?128?,?ABC?36?,

∴?CAB?16?,?ACN?52?,

∵?CAB的平分线交BC于M,

∴?CAM?8?,?BAM?8?,

∴?CMA?44?,

∵AN为△ABC的外接圆的切线,

∴?NAC??ABC?36?,

∴?NAM?36??8??44?,

∴?N?180???NAM??CMA?92?,

故△ANM的最小角等于44?.

4

11

11123.已知a,b为整数,且满足(?)(?)??,则a?b? . 1111ab113???ababa2b2

【答】3. 1111?1111111ab2∵(?)(?)??(?)????, 1111ab1111ab1111a?b3??????ababa2b2a2b2a2b2ab

∴3ab?2a?2b?0,

∴?3b?2??3a?2??4,

由于a, b都是整数,所以?3b?2?和?3a?2?均为整数,则它们的值为1,4或?1,?4,∴3b?2?1,3a?2?4或3b?2??1,3a?2??4,

∴a?2,b?1,∴a?b?3,其中,后式无整数解,舍去.

4.在正方形ABCD中,N是DC的中点,M是AD上异于D的点,且?NMB??MBC,则tan?ABM? .

【答】 1. 3

如图,延长MN交BC的延长线于T,

设MB的中点为O,连TO,

则△BAM∽△TOB, 故AMOB,即MB2?2AM?BT,(1) ?MBBT

令AB?1,CT?MD?k,

AM?1?k,BM?BT?1?k,

212代入⑴式得1??1?k??2?1?k??1?k?,注意到k?0,解得k?,AM?, 33故tan?ABM?

AM1?. AB3

5

第二试

一、(本题满分20分)某班参加一次智力竞赛,共a,b,c三题,每题或者得满分或者得0分.其中题a满分20分,题b、题c满分分别为25分.竞赛结果,每个学生至少答对了一题,三题全答对的有1人,答对其中两道题的有15人,答对题a的人数与答对题b的人数之和为29,答对题a的人数与答对题c的人数之和为25,答对题b的人数与答对题c的人数之和为20,问这个班的平均成绩是多少分?

?xa?xb?29

?

解 设xa,xb,xc分别表示答对题a、题b、题c的人数,则有:?xa?xc?25,

?x?x?20?bc

?xa?17?

∴?xb?12, ?x?8?c

∴xa?xb?xc?37,

∴答对一题的人数为37?1?3?2?15?4,全班人数为1?4?15?20, ∴平均成绩为

17?20??12?8??25

?42.

20

答:班平均成绩为42分.

二.(本题满分25分)如图,设△ABC是直角三角形,点D在斜边BC上,BD=4DC.已知圆过点C且与AC相交于F,与AN相切于AB的中点G.求证:AD⊥BF.

A

B

A

B

证明 DE垂直于AC且交AC于E,则有:AC?

55

AE,AG?ED, 42

同时,由切割线定理可知:AG2?AF?AC,

6

∴255ED2?AF?AE, 44

∴5ED2?AF?AE,

∴AB?ED?AF?AE,即

∴△BAF∽△AED,

∴?ABF??DAC,

∴?DAC??AFB?90?,

∴AD⊥BF.命题得证.

三.(本题满分25分)已知b,c为整数,方程5x2?bx?c?0的两根都大于?1且小于0,求b和c的值.

解 根据函数y?5x2?bx?c的图像和题设条件知:

当x?0时,5x2?bx?c?0,∴c?0, ① 当x??1时,5x2?bx?c?0,∴b?5?c, ② 抛物线顶点的横坐标?bb满足?1???0,∴0?b?10,③ 2?52?5ABAF, ?AEED

∵△≥0,即b2?20c≥0,∴b2≥20c, ④, 由①,③,④得100?b2≥20c,c?5,

若c?1,则由②,④得0?b?6且b2≥20,得b?5; 若c?2,则0?b?7且b2≥40,无整数解; 若c?3,则0?b?8且b2≥60,无整数解; 若c?4,则0?b?9且b2≥8,无整数解; 故所求b,c值为:b?5,c?1

7

网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com