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小升初 奥数 第4讲 工程问题

发布时间:2013-12-13 13:32:09  

第七讲 小升初专项复习(五)

——工程与比例综合

一、训练目标

知识传递:工程问题的基本解法,比的基本性质,比例的基本性质

能力强化:理解能力、分析能力、综合能力、转化能力

思想方法:对应思想、图形思想、假设思想

二、知识与方法归纳

工程问题是应用题中的一种类型。在工程问题中,一般要出现三个量:工作总量、工作时间(完成工作总量所需的时间)和工作效率(单位时间内完成的工作量)。

这三个量之间有下述一些关系式:

工作效率×工作时间=工作总量

工作总量÷工作时间=工作效率

工作总量÷工作效率=工作时间

比和比例应用题是运用有关比和比例知识解答的应用题。它包括比例关系应用题和按比例分配应用题两大类。

解按比例分配题目时,要把握部分量和总量之间的关系,然后按照“求一个数的几分之几是多少”的计算方法,分别求出各部分的量。

解正反比例应用题时,关键是确定不变量,然后判断出是正比例关系,还是反比例关系,再列出比例式,解出比例。

三、 经典例题

例1. 一项工程,甲乙两队合作需12天完成,乙丙两队合作需15天完成,甲丙两队合作需20天完成,

如果由甲乙丙三队合作需几天完成?

解:

答:由甲乙丙三队合作需 天完成。

1

例2. 师徒二人合作生产一批零件,6天可以完成任务,师傅先做5天后,因事外出,由徒弟接着做3天,共完成任务的7。如果每人单独做这批零件各需几天? 10

解:

答:师傅单独做需 天完成,徒弟单独做需 天完成。

例3. 一项工程,甲单独完成需12天,乙单独完成需9天,若甲先做若干天后乙接着做,共用10天完

成,问甲做了几天?

解:

答:甲做了 天。

例4. 一件工作甲先做6小时,乙接着做12小时可以完成,甲先做8小时,乙接着做6小时也可以完

成,如果甲做3小时后由乙接着做,还需要多少小时完成?

解:

答:还需要 时完成。

2

例5. 加工一批零件,甲、乙合作24天可以完成,现在由甲先做16天,然后乙再做12天,还剩下这批零件的2没有完成,已知甲每天比乙多加工3个零件,求这批零件共多少个? 5

解:

答:这批零件共有 个。

例6. 做一批儿童玩具,甲组单独做10天完成,乙组单独做12天完成,丙组每天可生产64件,如果

让甲、乙两组合作4天,则还有256件没完成,现在决定三个组合做这批玩具,需要多少天完成? 解:

答:需要 天完成。

例7. 某裁缝做一顶帽子、一条裤子、一件上衣,所用的时间之比是1:2:3,他一天共能做2顶帽子,

3条裤子、4件上衣。那么他做2件上衣、10条裤子、14顶帽子,需要多少天?

解:

答:需要 天。

3

例8. 师徒两人共加工零件168个,师傅加工一个零件用5分钟,徒弟加工一个零件用9分钟,完成任

务时,两人各加工零件多少个?

解:

答:完成任务时,师傅加工零件 个,徒弟加工零件 个。

例9. 一个长方形长与宽的比是14:5,如果长减少13厘米,宽增加13厘米,则面积增加182平方厘

米,那么原长方形面积是多少平方厘米?

解:

答:原长方形面积是 平方厘米。

例10.甲、乙两厂人数的比是7:6,从甲厂调360人到乙厂后,甲、乙两厂人数的比是2:3,甲、乙

两厂原来各有多少人?

解:

答:甲、乙两厂原来各有 人。

4

例11.甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,相向而行。出发时,甲、乙两车的速度比是5:4,相遇

后,甲的速度减少20%,这样,当甲到达B地时,乙离A地还有10千米。问A、B两地相距多少千米?

解:

答:A、B两地相距 千米。

例12.师傅原定在若干小时内加工一批零件。他估算了一下,如果按照原计划加工120个零件后,工作

效率提高25%,可提前40分钟完成。如果一开始工作效率就提高20%的话,就可提前1小时完成。他原计划每小时加工多少个零件?

解:

答:他原计划每小时加工 个。

四、 重点练习

1、 一项工程,甲、乙单独完成分别需要18天和27天。如果甲做若干天后,乙接着做,共用20天完

成,求甲乙完成工作量之比。

解:

答:甲、乙完成的工作量的比是 。

5

2、 甲船从东港到西港要行6小时,乙船从西港到东港要行4小时。现在两船同时从东西两港出发,相

向而行。结果在离中点18千米的地方相遇。相遇时甲船行了多少千米?

解:

答:相遇时甲船行了 千米。

5113、 一项工程,甲、乙两队合作6天能完成 与乙完成 所需时间相等,问单632

独做甲、乙各需多少天?

解:

答:单独做甲需 天,乙需 天。

4、 小刚读一本书,第一天读了全书的2,第二天比第一天多读了6页,这时已读的页数与剩下页数 15

的比是3:7,小刚再读多少页就能读完这本书?

解:

答:小刚再读 页就能读完这本书。

6

5、 甲、乙两车由A、B两地同时出发相向而行,甲乙两车速度比是2:3,已知甲走完全程用5

求两车几小时后在中途相遇?

解:

答:两车在 小时后相遇。

6、 “长江”号轮船第一次顺流航行21公里又逆流航行4公里,第二次在同一河流中顺流航行12公

里,逆流航行7公里,结果两次所用的时间相等,求顺水船速与逆水船速的比。

解:

答:顺水船速与逆水船速的比是 。 1小时,2

五、 家庭交流内容

例1解答题示:

设这项工程为1个单位,则甲、乙合作的工效和为 ,乙、丙合作的工效和为 ,甲、丙合作的工效和为 。因此甲、乙、丙三队合作的工效和的两倍为 ,所以甲、乙、丙三队合作的工效和为 。因此三队合作完成这项工程的时间为 (天)。 解: 说明:我们通常把工量“一项工程”看成一个单位。这样,工效就用工时的倒数来表示,如例1中甲乙两队合作的工时为12天,那么工效就为11,它表示甲乙两队一天完成全部工程的。 1212

7 专家点评:几个量之间的关系综合考虑,这是数学中的重要方法之一。

例2解答题示:

设一批零件为单位“1”,其中6天完成任务。用1表示师徒的工效和,要求每人单独做各需几天,6

首先要求出各自的工效,关键在于把师傅先做5天,接着徒弟做3天转化为师徒二人合作3天,师傅再

做2天。

①师傅工效: ,②徒弟工效: ;

③师傅单独做需几天: (天);④徒弟单独做需几天: (天)。

专家点评:在不改变题意的情况下,将“师傅先做5天后,因事外出,由徒弟接着做3天”改换成“师

徒合做3天,师傅再做2天”。这种改换题目叙述方式的思想在数学中经常用到。非常重要。

例3解答题示:

设甲做了x天。那么,

①甲完成工作量 ,乙做的天数 ,乙完成工作量 , ②因此可列方

程 ,

③解方程得 专家点评:这是一道典型的假设法,既可以用典型的算术法来做,也可以用方程来做。

例4解答题示:

设一件工作为单位“1”。甲做6小时,乙再做12小时完成或者甲先作8小时,乙再做6小时都可

完成,用图表示它们的关系如下:

由图不难看出甲2小时工作量=乙6小时工作量,

∴甲1小时工作量=乙3小时工作量,可用代换方法求解问题。

①若由乙单独做共需几小时:

②若由甲单独做需几小时 8

③甲先做3小时后接着做还需几小时: 专家点评:先找到甲乙之间速度和时间上的关系,再求所要求的量。

例5解答题示:

要求这批零件共多少个,由题中条件只需知道甲、乙二人每天共做多少个即中,然后这就转化为求

甲、乙两单独做各需多少天,有了这个结论后,只需算出3个零件相当于总数的几分之几即可,由条件

3知甲做16天,乙做12天共完成工程的,也即相当于甲乙二人合做12天,另外加上甲又做4天共完5

3成这批零件的 ;又知道甲乙二人合做24天可以完成,因此甲单独作所用天数可求出,那么乙单独做5

所用天数也就迎刃而解。

①甲、乙合作12天,完成了总工程的几分之几?

②甲1天能完成全工程的几分之几? ③乙1天可完成全工程的几分之几? ④这批零件共多少个? 专家点评:先用类似例2的方法求出甲与乙的效率,再用分数的对应思想分别求出零件总个数。

例6解答题示:

①甲、乙两组合作4天后,所剩没有完成的256件,由丙组完成,需: (天)。 ②共要加工儿童玩具多少件?

③丙组单独做需要几天? ④甲乙丙三组合作,共需几天? 专家点评:先用分数的思想求出256件的对应分率,再进而求出总个数,再分别求出三组的效率,再求

时间。值得注意的是:效率有两种表达方式,一种是分率的表达方式,一种是每天具体做多

少个。

例7解答题示:

①这个人一天所做工作需要的时间是 (份) ②做2件上衣、10条裤子、14顶帽子所需的时间是 (份) ③所以共需要的天数是 (天) 专家点评:先求出1天的工作量(用份数表达的),再求出天数。

9

例8解答题示:

1师傅加工一个零件用5分钟,每分钟可加工个零件,徒弟加工一个零件用9分钟,每分钟可加工5

111工作量零件 个,师徒两人效率的比是 ,由于两人的工作时间是一定的,根据=工作时间(一959工作效率

定),工作量与工作效率成正比例。

解法1:

①设师傅加工x个,徒弟加工(168-x)个。

②根据题意列出方程 ③解方程得 ④徒弟加工

解法2:

1111,因此师徒工作量是徒弟工5959

114作量的: =1(倍),徒弟的工作量为1倍量。 595

①徒弟 ②师傅 (个),

解法3:

11师傅每分钟加工 个,徒弟每分钟加工 个,用“工作总量÷工作效率=工作时间”可求同两人各59

用了多少分钟。然后用师、徒每分钟各自的效率,分别乘以各自所用时间就是各自加工零件的个数。

① (分钟) ②师傅 ③徒弟

解法4:按比例分配做: ①∵:=9:5,

②∴师傅 ,③徒

弟 ,

10 1519

专家点评:在时间相同的情况下,效率(或速度)比等于工作量之比。

例9解答题示:

解法1:

①BC的长: (厘米),BD的长: (厘米) ②从图中看出AB长就是原长方形的宽,AD与AB的比是14:5,AB与BD的比是5:(14-5)5:9, ③AB的长是 (厘米),AD的长是 (厘米) ④原长方形面积是 (平方厘米) 解法2:

①设原长方形长为14x,宽为5x,由图分析得方程 ,

②解方程得 ③则原长方形面积 (平方厘米)

专家点评:画出图形再来分析,当具体数据不知道时,考虑用份数思想来求,然后再转化成具体量。

例10解答题示:

从甲厂调到乙厂,甲、乙两厂总人数不变。因此可将比转化成以总人数为“1”的分数,再用分数应用题的方式去解决问题。

①两厂的总人数= (人) ②甲厂原有人数= (人) 11

乙厂原有人数= (人)

专家点评:将比转化成分率是常用的方法,但要注意转化后的分率要考虑它们单位“1”是否相同。同

样的,分率也可以转化为比来做。

例11解答题示:

①∵甲、乙的速度比是5:4,且相遇时间相等,

∴甲、乙此时路程比为 ②∵甲相遇后的速度为 (份) ③∴相遇后, 甲速度=乙速度 ∴相遇后,甲路程=乙路程=

④∴总路程为 (千米)

专家点评:当时间相等时,速度比等于路程比,根据这个结论求出10千米的对应分率,用分数思想求

出总路程。

例12解答题示:

①加工120个零件后,工作效率提高25%,则原效率:现效率=1:(1+25%)=4:5

则原时间:现时间=5:4

②∴加工余下的零件需要= (时)

③又∵如果一开始工作效率就提高20%的话,就可提前1小时完成

∴则原效率:现效率=

∴加工所有零件的 原计划时间:现时间=6:5

④∴加工所有零件的原计划时间= (时)

⑤∴加工120个零件所用的时间为 (时)

⑥∴每小时的加工个数为 (个)

专家点评:当工作量相等时,速度比与时间比刚好相反。两次使用这个结论,用比较思想求出120个零

件对应的时间,再求出每小时加工的零件个数。

第七讲

12

经典例题答案 例1、10 例2、师傅10天,徒弟15天 例3、4 例4、21

例5、360 例6、4 例7、2 例8、师108个,徒60个 例9、630 例10、甲1400 乙1200 例11、90 例12、45

重点练习答案 1、7:2 2、72 3、甲需18天,乙需12天

1 4、126 5、2 6、3:1 5

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