haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 小学教育 > 学科竞赛学科竞赛

北大附中小升初历届点招试题100题汇总(详解答案)

发布时间:2013-12-13 13:32:09  

北大附中历届点招试题汇总(详解答案)

第一单元:计算

1. 765×213÷27+765×327÷27

2. (9999+9997+…+9001)-(1+3+…+999)

3.19981999×19991998-19981998×19991999

4.(873×477-198)÷(476×874+199)

5.2000×1999-1999×1998+1998×1997-1997×1996+…+2×1

6.297+293+289+…+209

7.计算:

8.

9、计算:

(1)1.25×67.875+125×6.7875+1250×0.053375=( )

(2)2001-1998+1995-1992+……+15-12+9-6+3=( )

(3)1×2×3×4×5×……×97×98×99×100积的末尾有( )个0。

(4)设A=201201201…201,则A被7除的余数是( )2001个201

第二单元:

应用题

1.甲、乙、丙三人在A、B两块地植树,A地要植900棵,B地要植1250棵。已知甲、乙、丙每天分别能植树24,30,32棵,甲在A地植树,丙在B地植树,乙先在A地植树,然后转到B地植树。两块地同时开始同时结束,乙应在开始后第几天从A地转到B地?

2.有三块草地,面积分别是5,15,24亩。草地上的草一样厚,而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃30天,第二块草地可供28头牛吃45天,问第三块地可供多少头牛吃80天?

3.某工程,由甲、乙两队承包,2.4天可以完成,需支付1800元;由乙、丙两队承包,3+3/4天可以完成,需支付1500元;由甲、丙两队承包,2+6/7天可以完成,需支付1600元。在保证一星期内完成的前提下,选择哪个队单独承包费用最少?

4.一个圆柱形容器内放有一个长方形铁块。现打开水龙头往容器中灌水。3分钟时水面恰好没过长方体的顶面。再过18分钟水已灌满容器。已知容器的高为50厘米,长方体的高为20厘米,求长方体的底面面积和容器底面面积之比。

5.甲、乙两位老板分别以同样的价格购进一种时装,乙购进的套数比甲多1/5,然后甲、乙分别按获得80%和50%的利润定价出售。两人都全部售完后,甲仍比乙多获得一部分利润,这部分利润又恰好够他再购进这种时装10套,甲原来购进这种时装多少套?

6.有甲、乙两根水管,分别同时给A,B两个大小相同的水池注水,在相同的时间里甲、乙两管注水量之比是7:5.经过2+1/3小时,A,B两池中注入的水之和恰好是一池。这时,甲管注水速度提高25%,乙管的注水速度不变,那么,当甲管注满A池时,乙管再经过多少小时注满B池?

7.小明早上从家步行去学校,走完一半路程时,爸爸发现小明的数学书丢在家里,随即骑车去给小明送书,追上时,小明还有3/10的路程未走完,小明随即上了爸爸的车,由爸爸送往学校,这样小明比独自步行提早5分钟到校。小明从家到学校全部步行需要多少时间?

8.甲、乙两车都从A地出发经过B地驶往C地,A,B两地的距离等于B,C两地的距离。乙车的速度是甲车速度的80%.已知乙车比甲车早出发11分钟,但在B地停留了7分钟,甲车则不停地驶往C地。最后乙车比甲车迟4分钟到C地。那么乙车出发后几分钟时,甲车就超过乙车。

9.甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务。甲车单独清扫需要10小时,乙车单独清扫需要15小时,两车同时从东、西城相向开出,相遇时甲车比乙车多清扫12千米,问东、西两城相距多少千米?

10.今有重量为3吨的集装箱4个,重量为2.5吨的集装箱5个,重量为1.5吨的集装箱14个,重量为1吨的集装箱7个。那么最少需要用多少辆载重量为4.5吨的汽车可以一次全部运走集装箱?

11.师徒二人共同加工170个零件,师傅加工零件个数的1/3比徒弟加工零件个数的1/4还多10个,那么徒弟一共加工了几个零件?

12.一辆大轿车与一辆小轿车都从甲地驶往乙地.大轿车的速度是小轿车速度的80%.已知大轿车比小轿车早出发17分钟,但在两地中点停了5分钟,才继续驶往乙地;而小轿车出发后中途没有停,直接驶往乙地,最后小轿车比大轿车早4分钟到达乙地.又知大轿车是上午10时从甲地出发的.那么小轿车是在上午什么时候追上大轿车的.

13.一部书稿,甲单独打字要14小时完成,,乙单独打字要20小时完成.如果甲先打1小时,然后由乙接替甲打1小时,再由甲接替乙打1小时.......两人如此交替工作.那么打完这部书稿时,甲乙两人共用多少小时?

14.黄气球2元3个,花气球3元2个,学校共买了32个气球,其中花气球比黄气球少4个,学校买哪种气球用的钱多?

15.一只帆船的速度是60米/分,船在水流速度为20米/分的河中,从上游的一个港口到下游的某一地,再返回到原地,共用3小时30分,这条船从上游港口到下游某地需要多长时间?

16.甲粮仓装43吨面粉,乙粮仓装37吨面粉,如果把乙粮仓的面粉装入甲粮仓,那么甲粮仓装满后,乙粮仓里剩下的面粉占乙粮仓容量的1/2;如果把甲粮仓的面粉装入乙粮仓,那么乙粮仓装满后,甲粮仓里剩下的面粉占甲粮仓容量的1/3,每个粮仓各可以装面粉多少吨?

17.甲数除以乙数,乙数除以丙数,商相等,余数都是2,甲、乙两数之和是478.那么甲、乙丙三数之和是几?

18.一辆车从甲地开往乙地.如果把车速减少10%,那么要比原定时间迟1小时到达,如果以原速行驶180千米,再把车速提高20%,那么可比原定时间早1小时到达.甲、乙两地之间的距离是多少千米?

19.某校参加军训队列表演比赛,组织一个方阵队伍.如果每班60人,这个方阵至少要有4个班的同学参加,如果每班70人,这个方阵至少要有3个班的同学参加.那么组成这个方阵的人数应为几人?

20.甲、乙、丙三台车床加工方形和圆形的两种零件,已知甲车床每加工3个零件中有2个是圆形的;乙车床每加工4个零件中有3个是圆形的;丙车床每加工5个零件中有4个是圆形的.这天三台车床

21.圈金属线长30米,截取长度为A的金属线3根,长度为B的金属线5根,剩下的金属线如果再截取2根长度为B的金属线还差0.4米,如果再截取2根长度为A的金属线则还差2米,长度为A的等于几米?

22.某公司要往工地运送甲、乙两种建筑材料.甲种建筑材料每件重700千克,共有120件,乙种建筑材料每件重900千克,共有80件,已知一辆汽车每次最多能运载4吨,那么5辆相同的汽车同时运送,至少要几次?

23.从王力家到学校的路程比到体育馆的路程长1/4,一天王力在体育馆看完球赛后用17分钟的时间走到家,稍稍休息后,他又用了25分钟走到学校,其速度比从体育馆回来时每分钟慢15米,王力家到学校的距离是多少米?

24.师徒两人合作完成一项工程,由于配合得好,师傅的工作效率比单独做时要提高1/10,徒弟的工作效率比单独做时提高1/5.两人合作6天,完成全部工程的2/5,接着徒弟又单独做6天,这时这项工程还有13/30未完成,如果这项工程由师傅一人做,几天完成?

25.六年级五个班的同学共植树100棵.已知每个班植树的棵数都不相同,且按数量从多到少的排名恰好是

一、二、三、四、五班.又知一班植的棵数是二、三班植的棵数之和,二班植的棵数是四、五班植的棵数之和,那么三班最多植树多少棵?

26.甲每小时跑13千米,乙每小时跑11千米,乙比甲多跑了20分钟,结果乙比甲多跑了2千米.乙总共跑了多少千米?

27.有高度相等的A,B两个圆柱形容器,内口半径分别为6厘米和8厘米.容器A中装满水,容器B是空的,把容器A中的水全部倒入容器B中,测得容器B中的水深比容器高的7/8还低2厘米.容器的高度是多少厘米?

28.有104吨的货物,用载重为9吨的汽车运送.已知汽车每次往返需要1小时,实际上汽车每次多装了1吨,那么可提前几小时完成.

29.师、徒二人第一天共加工零件225个,第二天采用了新工艺,师傅加工的零件比第一天增加了24%,徒弟增加了45%,两人共加工零件300个,第二天师傅加工了多少个零件?徒弟加工了几个零件?

30.奋斗小学组织六年级同学到百花山进行野营拉练,行程每天增加2千米.去时用了4天,回来时用了3天,问学校距离百花山多少千米?

31.某地收取电费的标准是:每月用电量不超过50度,每度收5角;如果超出50度,超出部分按每度8角收费.每月甲用户比乙用户多交3元3角电费,这个月甲、乙各用了多少度电?

32.王师傅计划用2小时加工一批零件,当还剩160个零件时,机器出现故障,效率比原来降低1/5,结果比原计划推迟20分钟完成任务,这批零件有多少个?

33.妈妈给了红红一些钱去买贺年卡,有甲、乙、丙三种贺年卡,甲种卡每张1.20元.用这些钱买甲种卡要比买乙种卡多8张,买乙种卡要比买丙种卡多买6张.妈妈给了红红多少钱?乙种卡每张多少钱?

34.一位老人有五个儿子和三间房子,临终前立下遗嘱,将三间房子分给三个儿子各一间.作为补偿,分到房子的三个儿子每人拿出1200元,平分给没分到房子的两个儿子.大家都说这样的分配公平合理,那么每间房子的价值是多少元?

35.小明和小燕的画册都不足20本,如果小明给小燕A本,则小明的画册就是小燕的2倍;如果小燕给小明A本,则小明的画册就是小燕的3倍.原来小明和小燕各有多少本画册?

36.有红、黄、白三种球共160个.如果取出红球的1/3,黄球的1/4,白球的1/5,则还剩120个;如果取出红球的1/5,黄球的1/4,白球的1/3,则剩116个,问(1)原有黄球几个?(2)原有红球、白球各几个?

37.爸爸、哥哥、妹妹三人现在的年龄和是64岁,当爸爸的年龄是哥哥年龄的3倍时,妹妹是9岁.当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时,爸爸是34岁.现在三人的年龄各是多少岁?

38.B在A,C两地之间.甲从B地到A地去送信,出发10分钟后,乙从B地出发去送另一封信.乙出发后10分钟,丙发现甲乙刚好把两封信拿颠倒了,于是他从B地出发骑车去追赶甲和乙,以便把信调过来.已知甲、乙的速度相等,丙的速度是甲、乙速度的3倍,丙从出发到把信调过来后返回B地至少要用多少时间?

39.甲、乙两个车间共有94个工人,每天共加工1998竹椅.由于设备和技术的不同,甲车间平均每个工人每天只能生产15把竹椅,而乙车间平均每个工人每天可以生产43把竹椅.甲车间每天竹椅产量比乙车间多几把?

40.甲放学回家需走10分钟,乙放学回家需走14分钟.已知乙回家的路程比甲回家的路程多1/6,甲每分钟比乙多走12米,那么乙回家的路程是几米?

41.某商品每件成本72元,原来按定价出售,每天可售出100件,每件利润为成本的25%,后来按定价的90%出售,每天销售量提高到原来的2.5倍,照这样计算,每天的利润比原来增加几元?

42.甲、乙两列火车的速度比是5:4.乙车先发,从B站开往A站,当走到离B站72千米的地方时,甲车从A站发车往B站,两列火车相遇的地方离A,B两站距离的比是3:4,那么A,B两站之间的距离为多少千米?

43.大、小猴子共35只,它们一起去采摘水蜜桃.猴王不在的时候,一只大猴子一小时可采摘15千克,一只小猴子一小时可采摘11千克.猴王在场监督的时候,每只猴子不论大小每小时都可以采摘12千克.一天,采摘了8小时,其中只有第一小时和最后一小时有猴王在场监督,结果共采摘4400千克水蜜桃.在这个猴群中,共有小猴子几只?

44.某次数学竞赛设一、二等奖.已知(1)甲、乙两校获奖的人数比为6:5.(2)甲、乙来年感校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的60%.(3)甲、乙两校获二等奖的人数之比为5:6.问甲校获二等奖的人数占该校获奖总人数的百分数是几?

45.已知小明与小强步行的速度比是2:3,小强与小刚步行的速度比是4:5.已知小刚10分钟比小明多走420米,那么小明在20分钟里比小强少走几米?

46.加工一批零件,原计划每天加工15个,若干天可以完成.当完成加工任务的3/5时,采用新技术,效率提高20%.结果,完成任务的时间提前10天,这批零件共有几个?

47.甲、乙二人在400米的圆形跑道上进行10000米比赛.两人从起点同时同向出发,开始时甲的速度为8米/秒,乙的速度为6米/秒,当甲每次追上乙以后,甲的速度每秒减少2米,乙的速度每秒减少0.5米.这样下去,直到甲发现乙第一次从后面追上自己开始,两人都把自己的速度每秒增加0.5 米,直到终点.那么领先者到达终点时,另一人距离终点多少米?

48.小明从家去学校,如果他每小时比原来多走1.5千米,他走这段路只需原来时间的4/5;如果他每小时比原来少走1.5千米,那么他走这段路的时间就比原来时间多几分几之?

49.甲、乙、丙、丁现在的年龄和是64岁.甲21岁时,乙17岁;甲18岁时,丙的年龄是丁的3倍.丁现在的年龄是几岁?

50.加工一批零件,原计划每天加工30个.当加工完1/3时,由于改进了技术,工作效率提高了10%,结果提前了4天完成任务.问这批零件共有几个?

51.自动扶梯以均匀的速度向上行驶,一男孩与一女孩同时从自动扶梯向上走,男孩的速度是女孩的2倍,已知男孩走了27级到达扶梯的顶部,而女孩走了18级到达顶部.问扶梯露在外面的部分有多少级?

52.两堆苹果一样重,第一堆卖出2/3,第二堆卖出50千克,如果第一堆剩下的苹果比第二堆剩下的苹果少,那么两堆剩下的苹果至少有多少千克?

53.甲、乙两车同时从A地出发,不停的往返行驶于A、B两地之间.已知甲车的速度比乙车快,并且两车出发后第一次和第二次相遇都杂途中C地,甲车的速度是乙车的几倍?

54.一只小船从甲地到乙地往返一次共用2小时,回来时顺水,比去时的速度每小时多行8千米,因此第二小时比第一小时多行6千米.求甲、乙两地的距离.

55.甲、乙两车分别从A、B两地出发,并在A,B两地间不断往返行驶.已知甲车的速度是15千米/小时,甲、乙两车第三次相遇地点与第四次相遇地点相差100千米.求A、B两地的距离.

56.某人沿着向上移动的自动扶梯从顶部朝底下用了7分30秒,而他沿着自动扶梯从底朝上走到顶部只用了1分30秒.如果此人不走,那么乘着扶梯从底到顶要多少时间?如果停电,那么此人沿扶梯从底走到顶要多少时间?

57.甲、乙两个圆柱体容器,底面积比为5:3,甲容器水深20厘米,乙容器水深10厘米.再往两个容器中注入同样多的水,使得两个容器中的水深相等.这时水深多少厘米?

58.A、B两地相距207千米,甲、乙两车8:00同时从A地出发到B地,速度分别为60千米/小时,54千米/小时,丙车8:30从B地出发到A地,速度为48千米/小时.丙车与甲、乙两车距离相等时是几点几分?

59.一个长方形的周长是130厘米,如果它的宽增加1/5,长减少1/8,就得到一个相同周长的新长方形.求原长方形的面积.

60.有一长方形,它的长与宽的比是5:2,对角线长29厘米,求这个长方形的面积.

61.有一个果园,去年结果的果树比不结果的果树的2倍还多60棵,今年又有160棵果树结了果,这时结果的果树正好是不结果的果树的5倍.果园里共有多少棵果树?

62.小明步行从甲地出发到乙地,李刚骑摩托车同时从乙地出发到甲地.48分钟后两人相遇,李刚到达甲地后马上返回乙地,在第一次相遇后16分钟追上小明.如果李刚不停地往返于甲、乙两地,那么当小明到达乙地时,李刚共追上小明几次?

63.同样走100米,小明要走180步,父亲要走120步.父子同时同方向从同一地点出发,如果每走一步所用的时间相同,那么父亲走出450米后往回走,还要走多少步才能遇到小明?

64.一艘轮船在两个港口间航行,水速为6千米/小时,顺水航行需要4小时,逆水航行需要7小时,求两个港口之间的距离.

65.有甲、乙、丙三辆汽车,各以一定的速度从A地开往B地,乙比丙晚出发10分钟,出发后40分钟追上丙;甲比乙又晚出发10分钟,出发后60分钟追上丙,问甲出发后几分钟追上乙?

66.甲、乙合作完成一项工作,由于配合的好,甲的工作效率比单独做时提高1/10,乙的工作效率比单独做时提高1/5,甲、乙合作6小时完成了这项工作,如果甲单独做需要11小时,那么乙单独做需要几小时?

67.A、B、C、D、E五名学生站成一横排,他们的手****拿着20面小旗.现知道,站在C右边的学生共拿着11面小旗,站在B左边的学生共拿着10面小旗,站在D左边的学生共拿着8面小旗,站在E左边的学生共拿着16面小旗.五名学生从左至右依次是谁?各拿几面小旗?

68.小明在360米长的环行的跑道上跑了一圈,已知他前一半时间每秒跑5米,后一半时间每秒跑4米,问他后一半路程用了多少时间?

69.小英和小明为了测量飞驶而过的火车的长度和速度,他们拿了两块秒表,小英用一块表记下火车从他面前通过所花的时间是15秒,小明用另一块表记下了从车头过第一根电线杆到车尾过第二根电线杆所花的时间是18秒,已知两根电线杆之间的距离是60米,求火车的全长和速度.

70.小明从家到学校时,前一半路程步行,后一半路程乘车;他从学校到家时,前1/3时间乘车,后2/3时间步行.结果去学校的时间比回家的时间多20分钟,已知小明从家到学校的路程是多少千米?

71.数学练习共举行了20次,共出试题374道,每次出的题数是16,21,24问出16,21,24题的分别有多少次?

72.一个整数除以2余1,用所得的商除以5余4,再用所得的商除以6余1.用这个整数除以60,余数是多少?

73.少先队员在校园里栽的苹果树苗是梨树苗的2倍.如果每人栽3棵梨树苗,则余2棵;如果每人栽7棵苹果树苗,则少6棵.问共有多少名少先队员?苹果和梨树苗共有多少棵?

74.某人开汽车从A城到B城要行200千米,开始时他以56千米/小时的速度行驶,但途中因汽车故障停车修理用去半小时,为了按时到达,他必须把速度增加14千米/小时,跑完以后的路程,他修车的地方距离A城多少千米?

75.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发,相向而行,乙的速度是甲的2/3,两人相遇后继续前进,甲到达B地,乙到达A地立即返回,已知两人第二次相遇的地点距离第一次相遇的地点是3000米,求A、B两地的距离.

76.一条船往返于甲、乙两港之间,已知船在静水中的速度为9千米/小时,平时逆行与顺行所用时间的比为2:1.一天因下雨,水流速度为原来的2倍,这条船往返共用10小时,问甲、乙两港相距多少千米?

77.某学校入学考试,确定了录取分数线,报考的学生中,只有1/3被录取,录取者平均分比录取分数线高6分,没有被录取的同学其平均分比录取分数线低15分,所有考生的平均分是80分,问录取分数线是多少分?

78.一群学生搬砖,如果有12人每人各搬7块,其余的每人搬5块,那么最后余下148块;如果有30人每人各搬8块,其余的每人搬7块,那么最后余下20块.问学生共有多少人?砖有多少块?

79.甲、乙两车分别从A、B两地同时相向而行,已知甲车速度与乙车速度之比为4:3,C地在A、B之间,甲、乙两车到达C地的时间分别是上午8点和下午3点,问甲、乙两车相遇是什么时间?

80.一次棋赛,记分方法是,胜者得2分,负者得0分,和棋两人各得1分,每位选手都与其他选手各对局一次,现知道选手中男生是女生的10倍,但其总得分只为女生得分的4.5倍,问共有几名女生参赛?女生共得几分?

81.有若干个自然数,它们的算术平均数是10,如果从这些数中去掉最大的一个,则余下的算术平均数为9;如果去掉最小的一个,则余下的算术平均数为11,这些数最多有多少个?这些数中最大的数最大值是几?

82.某班有少先队员35人,这个班有男生23人,这个班女生少先队员比男生非少先队员多几人?

83.小东计划到周口店参观猿人遗址.如果他坐汽车以40千米/小时的速度行驶,那么比骑车去早到3小时,如果他以8千米/小时的速度步行去,那么比骑车晚到5小时,小东的出发点到周口店有多少千米?

84.甲、乙两船在相距90千米的河上航行,如果相向而行,3小时相遇,如果同向而行则15小时甲船追上乙船.求在静水中甲、乙两船的速度.

85.二年级两个班共有学生90人,其中少先队员有71人,一班少先队员占本班人数的75%,二班少先队员占本班人数的5/6.一班少先队员人数比二班少先队员人数多几人?

86.一个容器中已注满水,有大、中、小三个球.第一次把小球沉入水中,第二次把小球取出,把中球沉入

水中,第三次把中球取出,把小球和大球一起沉入水中,现知道每次从容器中溢出水量的情况是:第一次是第二次的1/2,第三次是第二次的1.5倍.求三个球的体积之比.

87.某人翻越一座山用了2小时,返回用了2.5小时,他上山的速度是3000米/小时,下山的速度是4500米/小时.问翻越这座山要走多少米?

88.钢筋原材料每根长7.3米,每套钢筋架子用长2.4米、2.1米和1.5米的钢筋各一段.现需要绑好钢筋架子100套,至少要用去原材料多少根?

89.有一块铜锌合金,其中铜和锌的比2:3.现知道再加入6克锌,熔化后共得新合金36克,新合金中铜和锌的比是多少?

90.小明通常总是步行上学,有一天他想锻炼身体,前1/3路程快跑,速度是步行速度的4倍,后一段的路程慢跑,速度是步行速度的2倍.这样小明比平时早35分到校,小明步行上学需要多少分钟?

91.甲、乙、丙三人,甲的年龄比乙的年龄的2倍还大3岁,乙的年龄比丙的年龄的2倍小2岁,三个人的年龄之和是109岁,分别求出甲、乙、丙的年龄.

92.快车以60千米/小时的速度从甲站向乙站开出,1.5小时后,慢车以40千米/小时的速度从乙站行甲站开出,.两车相遇时,相遇点离两站的中点70千米.甲、乙两站相距多少千米?

93.甲、乙两车先后离开学校以相同的速度开往博物馆,已知8:32分甲车与学校的距离是乙车与学校距离的3倍,8:39分甲车与学校的距离是乙车与学校距离的2倍,求甲车离开学校的时间.

94.有一个工作小组,当每个工人在各自的工作岗位上工作时,7小时可生产一批零件,如果交换工人甲、乙的岗位,其他人不变,那么可提前1小时,完成这批零件,如果交换工人丙、丁的岗位,其他人不变,

也可提前1小时,问如果同时交换甲与乙、丙与丁的岗位,其他人不变,那么完成这批零件需多长的时间.

95.用10块长7厘米、宽5厘米、高3厘米的长方体积木,拼成一个长方体,这个长方体的表面积最小是多少?

96.公圆只售两种门票:个人票每张5元,10人一张的团体票每张30元,购买10张以上的团体票的可优惠10%.(1)甲单位45人逛公园,按以上规定买票,最少应付多少钱?(2)乙单位208人逛公园,按以上的规定买票,最少应付多少钱?

97.甲、乙、丙三人,参加一次考试,共得260分,已知甲得分的1/3,乙得分的1/4与丙得分的一半减去22分都相等,那么丙得分多少?

98.一项工程,甲、、乙两人合作4天后,再由乙单独做5天完成,已知甲比乙每天多完成这项工程的1/30.甲、乙单独做这项工程各需要几天?

99.有长短两支蜡烛,(相同时间中燃烧长度相同),它们的长度之和为56厘米,将它们同时点燃一段时间后,长蜡烛同短蜡烛点燃前一样长,这时短蜡烛的长度又恰好是长蜡烛的2/3.点燃前长蜡烛有多长?

100.一批苹果平均分装在20个筐中,如果每筐多装1/9,可省下几只筐?

第三单元:数论

(依据:美国名题;编诗:陈钢)

一条阶梯长又长,一步一阶路茫茫;

每步两级来跨越,剩下一级到顶房;

三阶一步剩二级,五阶五阶剩四级;

每步六阶又剩五,一步七阶适走光。

此梯最少多少级,请你仔细来思量。

【解说】这一道题目,据说是美国著名科学家爱因斯坦

研究过的一道名题。爱因斯坦是近代世界史上一位极其伟大的物理学家,他在世的时候,对“中国剩余问题”极感兴趣,他曾计算和研究过下面的这道题目:

一条长长的阶梯,如果你每步跨2阶,最后会剩下1阶;如果你每步跨3阶,最后会剩下2阶;如果你每步跨5阶,最后会剩下4阶;如果你每步跨6阶,最后会剩下5阶;只有你每步跨7阶时,最后才会刚好走完,一阶也不剩下。这个阶梯最少是多少级?

上面的这一道数诗题,就是根据这一道题目编写出来的。

由于题目太长,阅读起来不太简便,所以我们可以根据题目的实质,作如下简单、明白的叙述: 一条长阶梯,阶数被2除余1,被3除余2,被5除余4,被6除余5,但可被7整除。这阶梯最少是多少级?

解答时,可以这样来思考、分析与计算:

(1)依据“被2除余1”、“被3除余2”、“被5除余4”和“被6除余5”这四个条件,可知这阶梯的阶数比2、3、5、6的倍数都少1。即,这阶数只要加上1,便是2、3、5、6四个数的公倍数。因为2、3、5、6的最小公倍数是

2×3×1×1×5×1=30

可知,30-1=29,这“29”就是能满足上面四个条件的最小的一个自然数。

(2)29虽然能够满足前面四个条件,但却不能满足题中的第五个条件——“被7整除”。因此,它还不是题目的答案。能否在“29”这个数的基础上,找出能被7整除的自然数来呢?

回答是肯定的。只需要将29连续地加2、3、5、6四数的最小公倍数——30(道理可依据公倍数和公约数常识自己去寻找),再通过观察、比较,便可迅速地找出问题的答案来。如

29+30=59…………不能被7整除

59+30=89……………不能被7整除

89+30=119…………能够被7整除

由此可知,这条长阶梯的阶数,最少便是119级。

答:这阶梯最少是119级。

1.学校新同学入学后,老师安排他们分组开座谈会。每组5人则多1人,每组6人则多2人,每组7人则多3人。学校的新同学至少是多少人?

2.商店运来一批白糖,每袋装5千克,还剩下3千克;每袋装6千克,还差2千克;每袋装7千克,还剩下1千克。这批白糖最少有多少千克?

(依据:《孙子问题》;编诗:陈钢)

有物不知数,让我数一数;

三个三个数,剩二好孤独;

五五数剩三,七七又二单;

此物多少数,谁能说清楚?

【解说】这是依据《孙子算经》上有名的“孙子问题”(又称“物不知数题”)编写而成的。原来的题目是:

“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二。问物几何?”

用通俗的话来说,题目的意思就是

有一些物品,不知道有多少个,只知道将它们三个三个地数,会剩下2个;五个五个地数,会剩下3个;七个七个地数,也会剩下2个。这些物品的数量至少是多少个?

(注:诗题及题目原文都无“至少”二字,但“孙子问题”都是些求“最少”或者求“至少”的问题,否则就会有无数多个答案。所以,解释题目意思时,在语句中加上了“至少”二字。)

《孙子算经》解这道题目的“术文”和答案是:

“三三数之剩二,置一百四十;五五数之剩三,置六十三;七七数之剩二,置三十。并之,得二百三十三,以二百十减之,即得。”“答曰:二十三。”

这些话是什么意思呢?用通俗的话来说,就是:

先求被3除余2,并能同时被5、7整除的数,这样的数最小是140;

再求被5除余3,并能同时被3、7整除的数,这样的数最小是63;

然后求被7除余2,并能同时被3、5整除的数,这样的数最小是30。

于是,由140+63+30=233,得到的233就是一个所要求得的数。但这个数并不是最小的。 再用求得的“233”减去或者加上3、5、7的最小公倍数“105”的倍数,就得到许许多多这样的数: {23,128,233,338,443,…}

从而可知,23、128、233、338、443、…都是这一道题目的解,而其中最小的解是23。

答:这些物品的数目至少是23个。

需要指出的是,在《孙子算经》上,有一段关于这类题目的解题“术文”:

“凡三三数之剩一则置七十,五五数之剩一则置二十一,七七数之剩一则置十五,一百六以上以一百五减之,即得。”

(注:古称“106”和“105”为“一百六”和“一百五”,而称“160”和“150”为“一百六十”和“一百五十”。所以,这里的“一百六”和“一百五”分别指“106”和“105”,而不是“160”和“150”。)

明代著名的大数学家程大位,在他所著的《算法统宗》中,对于这种解一般“孙子问题”的方法,还编出了四句歌诀,名曰《孙子歌》:

三人同行七十稀,

五树梅花廿一枝;

七子团圆正半月,

除百零五便得知。

歌中的“廿”,读音与“念”音相同。“廿”即二十的意思。

这一歌诀的“诗意”,我们可以不去理会,只需注意它的数字就行了。歌诀中的每一句话,都指出了一步解题方法:

“三(3)人同行七十(70)稀”——是说除以3所得的余数,要用“70”去乘它;

“五(5)树梅花廿一(21)枝”——是说除以5所得的余数,要用“21”去乘它;

“七(7)子团圆正半月(15)”——“半月”是一个月30天的一半,即15日,这是说,除以 7所得的余数,要用“ 15”去乘它;

“除百零五(105)便得知”——这是说要把上面所乘得的三个数相加,加得的和如果大于105,便应减去105,或者减去105的倍数。这也就是《孙子算经》上的“一百六(106)以上,以一百五(105)减之”。这样得出的差,便是所要求的这个最小的未知数了。

运用这一歌诀来解答这道“物不知数”问题,便是

2×70+3×21+2×15=140+63+30=233

233-105-105=23(答略)

不过,用这种方法解这类问题,有它的局限性,它只能解答用3、5、7作除数的题目,遇到用其他数作除数的算题,它就行不通了。这一点必须引起我们的注意。

这种“物不知数(孙子)问题”,在我国古代流传的算法名称很多。宋朝周宓称它为“鬼谷算”、“隔墙算”(之所以称“鬼谷算”,大概是因为它与传说中的哲学家鬼谷子有某些关系);13世纪的大数学家杨辉则称它为“剪管术”。南宋数学家秦九韶将它推广,并又发现一种算法,称它为“大衍求一术”。它被传入西方后,外国人又称它为“中国剩余定理”。但是大多数人较为通俗的叫法,还是称它为“韩信点兵”(也有称“秦王暗点兵”的)。传说我国汉朝的大将韩信,计算士兵数目的方法十分特别,他不是五个五个或十个十个地数,也不要士兵“一、二、三、四、五……”地报数,而是叫他们排起队伍,依次在他面前列队行进:先是一排三人,再是一排五人,然后是一排七人。他只将三次所余的士兵记下来,就知道了士兵的总数。他旁边的人见他并没有数士兵的数目,有时甚至还闭上了眼睛,而居然知道士兵的总数,都感到十分惊奇。所以,后人就把这种算法称为“韩信点兵”了。“韩信点兵问题”在数学史上,是个极有名的问题。西洋人直到18世纪才被瑞士数学家欧拉发现这一问题的解题规律。只拿我国南宋秦九韶的研究与他们相比,他们也晚了五百年左右的时间。

1.有一道用诗的形式表达的谜题是:

花生若干粒,三数即余一;

五数无剩余,七数余三粒。

你能猜出得数是多少粒吗?

2.有一道民间诗题如下(陈邦新整理):

秦皇暗点卫队兵,三三数来余二名;

五数七数都余一,卫队共是多少人?

请仿照上面的方法解出这道题目。

3.有总数不满五十人的一队士兵,“一至三报数”,最后一人报“一”;“一至五报数”,最后一人报“二”;“一至七报数”,最后一人也报“二”。这队士兵有多少人?

4.用三轮小货车运一批粮食,每次运7袋,最后余下2

袋;每次运8袋,最后余下3袋;每次运9袋,最后余下1袋。这批粮食至少有多少袋?

5.有一个数,被5除余2,被7除余6,被11除余9。那么这个数最小是多少?

部分答案:

第一单元:计算

1. 解:原式=765÷27×(213+327)= 765÷27×540=765×20=15300

2. 原式=(9999-999)+(9997-997)+(9995-995)+……+(9001-1)

=9000+9000+…….+9000 (500个9000)

=4500000

3.(19981998+1)×19991998-19981998×19991999

=19981998×19991998-19981998×19991999+19991998

=19991998-19981998

=10000

4.解:873×477-198=476×874+199

因此原式=1

5.解:原式=1999×(2000-1998)+1997×(1998-1996)+…+3×(4-2)+2×1

=(1999+1997+…+3+1)×2=2000000。

6.解:(209+297)*23/2=5819

7.解:原式=(3/2)*(4/3)*(5/4)*…*(100/99)*(1/2)*(2/3)*(3/4)*…*(98/99)

=50*(1/99)=50/99

8. 解:原式=(1*2*3)/(2*3*4)=1/4

9、 答案: 1、1000 1002 20 5

第三单元:数论

1.(提示:实际上这是求被5除余1、被6除余2……的最小的自然数。答案是:206人)

2.(提示:“每袋装6千克,还差2千克”,实际上就是“每袋装6千克,还剩下6-2=4千克”。答案:148千克)

1.(答案:10粒) 2.(答案:71人)

3.(答案:37人) 4.(答案:163袋)

5.(答案:97)

上一篇:10月29日数学题目
下一篇:整除异常
网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com