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2013年全国初中数学竞赛试题参考答案

发布时间:2013-12-13 16:33:32  

2013年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题

?a?2b?3c?0,ab?bc?ca1.设非零实数a,b,c满足?则2的值为( ). 222a?3b?4c?0,a?b?c?

1(A)? 2(B)0 (C)1 2(D)1

【答案】A

【解答】由已知得a?b?c?(2a?3b?4c)?(a?2b?3c)?0,故(a?b?c)2?0.于是

1ab?bc?ca1. ab?bc?ca??(a2?b2?c2),所以2??222a?b?c2

2.已知a,b,c是实常数,关于x的一元二次方程ax2?bx?c?0有两个非零实根x1,x2,则下列关于x的一元二次方程中,以11,为两个实根的是( ). 22x1x2

(A)c2x2?(b2?2ac)x?a2?0

(C)c2x2?(b2?2ac)x?a2?0

【答案】B (B)c2x2?(b2?2ac)x?a2?0 (D)c2x2?(b2?2ac)x?a2?0

【解答】由于ax2?bx?c?0是关于x的一元二次方程,则a?0.因为x1?x2??b,a

2?2x1x2b2?211(x1?x2)ac11a2c?,2?2?2, x1x2?,且x1x2?0,所以c?0,且 2?2?222x1x2x1x2cx1x2ca

于是根据方程根与系数的关系,以11,为两个实根的一元二次方程是22x1x2

b2?2aca2

x?x??0,即c2x2?(b2?2ac)x?a2?0. 2cc2

3.如图,在Rt△ABC中,已知O是斜边AB的中点,CD⊥

AB,垂足为D,DE⊥OC,垂足为E.若AD,DB,CD的长度都

是有理数,则线段OD,OE,DE,AC的长度中,不一定是有理数...

的为( ).

(A)OD

(C)DE (B)OE (D)AC

(第3题)

【答案】D

【解答】因AD,DB,CD的长度都是有理数,所以,OA

=OB=OC=

数.

OD2DC·DO由Rt△DOE∽Rt△COD,知OE?,DE?都OCOC(第3题答题) AD?BD是有理数.于是,OD=OA-AD是有理2

是有理数,而AC

4.如图,已知△ABC的面积为24,点D在线段AC上,点F

在线段BC的延长线上,且BC?4CF,DCFE是平行四边形,则

图中阴影部分的面积为( ).

(A)3

(C)6

【答案】C

【解答】因为DCFE是平行四边形,所以DE//CF,且EF//DC

连接CE,因为DE//CF,即DE//BF,所以S△DEB = S△DEC,

因此原来阴影部分的面积等于△ACE的面积.

连接AF,因为EF//CD,即EF//AC,所以S△ACE = S△ACF.

因为BC?4CF,所以S△ABC = 4S△ACF.故阴影部分的面积为6.(B)4 (D)8 (第4题)

5.对于任意实数x,y,z,定义运算“*”为:

x?y?3x3y?3x2y2?xy3?45 (第4题答题)

?x?1???y?1?

1821 96733?60, 且x?y?z??x?y??z,则2013?2012???3?2的值为( ). (A)607 967

【答案】C (B)(C)5463 967(D)16389 967

【解答】设2013?2012???4?m,则

3m3?3?3m2?9?m?27?45?9, ?2013?2012???4??3?m?3?32m?3m?3m?1?64?60

3?93?2?3?92?22?9?23?455463?于是?2013?2012???3??2?9?2?. 103?33?60967

二、填空题

6

.设a?,b是a2的小数部分,则(b?2)3的值为.

【答案】9

【解答】由于1?a?2?a2?

3,故b?a2?2??

2,因此(b?2)3?3?9.

7.如图,点D,E分别是△ABC的边AC,AB上的点,直线

BD与CE交于点F,已知△CDF,△BFE,△BCF的面积分别是3

4,5,则四边形AEFD的面积是.

【答案】204 13

(第7题) 【解答】如图,连接AF,则有:

S?AEF?4S?AEF?S?BFEBFS?BCF5=???, S?AFDS?AFDFDS?CDF3

S?AFD?3S?AFD?S?CDFCFS?BCF5????, S?AEFS?AEFFES?BEF4

解得S?AEF?10896,S?AFD?. 1313

(第7题答题)

所以,四边形AEFD的面积是204. 13

8.已知正整数a,b,c满足a?b2?2c?2?0,3a2?8b?c?0,则abc的最大值为

【答案】2013

【解答】由已知a?b2?2c?2?0,3a2?8b?c?0消去c,并整理得

?b?8?2?6a2?a?66.由a为正整数及6a2?a≤66,可得1≤a≤3.

2

2若a?1,则?b?8??59,无正整数解; 若a?2,则?b?8??40,无正整数解;

若a?3,则?b?8??9,于是可解得b?11,b?5.

(i)若b?11,则c?61,从而可得abc?3?11?61?2013;

(ii)若b?5,则c?13,从而可得abc?3?5?13?195.

综上知abc的最大值为2013.

2

9.实数a,b,c,d满足:一元二次方程x2?cx?d?0的两根为a,b,一元二次方程x2?ax?b?0的两根为c,d,则所有满足条件的数组(a,,,bcd)为.

【答案】(1,?2,,1?2),(t,,0?t,0)(t为任意实数)

?a?b??c,

??ab?d,【解答】由韦达定理得? c?d??a,???cd?b.

由上式,可知b??a?c?d.

若b?d?0,则a?db?1,c??1,进而b?d??a?c??2. bd

若b?d?0,则c??a,有(a,,,. bcd)?(t,,0?t,0)(t为任意实数)

经检验,数组(1,?2,,1?2)与(t,,0?t,0)(t为任意实数)满足条件.

10.小明某天在文具店做志愿者卖笔,铅笔每支售4元,圆珠笔每支售7元.开始时他有铅笔和圆珠笔共350支,当天虽然笔没有全部卖完,但是他的销售收入恰好是2013元.则他至少卖出了支圆珠笔.

【答案】207

?4x?7y?2013,【解答】设x,y分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数,则? x?y?350,?

所以x?2013?7yy?1, ?(503?2y)?44

于是y?1是整数.又2013?4(x?y)?3y?4?350?3y, 4

所以y?204,故y的最小值为207,此时x?141.

三、解答题

11.如图,抛物线y?ax2?bx?3,顶点为E,该抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴

1交于点C,且OB=OC=3OA.直线y??x?1与y轴交于点D. 3

求∠DBC?∠CBE.

1【解答】将x?0分别代入y??x?1,y?ax2?bx?3知,3

D(0,1),C(0,?3),

1所以B(3,0),A(?1,0).直线y??x?1过点B. 3(第11题)

将点C(0,?3)的坐标代入y?a(x?1)(x?3),得a?1.

…………5分

抛物线y?

x2?2x?3的顶点为E(1,?4).于是由勾股定理得

BC=CE,BE=

因为BC2+CE2=BE2,所以,△BCE为直角三角形, ?BCE?90?.

…………10分

因此tan?CBE=(第11题答题) CE1OD1=.又tan∠DBO=?,则∠DBO=?CBE. OB3CB3

…………15分

所以,?DBC??CBE??DBC??DBO??OBC?45?.

…………20分

12.设△ABC的外心,垂心分别为O,H,若B,C,H,O共圆,对于所有的△ABC,求?BAC所有可能的度数.

【解答】分三种情况讨论.

(i)若△ABC为锐角三角形.

因为?BHC?180???A,?BOC?2?A,

所以由?BHC??BOC,可得180???A?2?A,于是?A?60?.

…………5分

(ii)若△ABC为钝角三角形.

当?A?90?时,因为?BHC?180???A,?BOC?2?180???A?,

所以由?BHC??BOC?180?,可得3?180???A??180?,于是?A?120?。

…………10分

当?A?90?时,不妨假设?B?90?,因为?BHC??A,?BOC?2?A, 所以由?BHC??BOC?180?,可得3?A?180?,于是?A?60?.

…………15分

(iii)若△ABC为直角三角形.

当?A?90?时,因为O为边BC的中点,B,C,H,O不可能共圆,

所以?A不可能等于90?;

当?A?90?时,不妨假设?B?90?,此时点B与H重合,于是总有B,C,H,O共圆,因此?A可以是满足0???A?90?的所有角.

综上可得,?A所有可能取到的度数为所有锐角及120?.

…………20分

(第12题答题(i))

(第12题答题(ii))

13.设a,b,c是素数,记x?b?c?a,y?c?a?b,z?a?b?c,

当z2?y,时,a,b,c能否构成三角形的三边长?证明你的结论.

【解答】不能.

111

依题意,得a?(y?z),b?(x?z),c?(x?y).

222

?2

因为y?z2,所以a?

11z(z?1)

. (y?z)?(z2?z)?

222

又由于z为整数,a为素数,所以z?2或?3,a?3.

…………10分

当z?

2时,y?z2?4,x?2)2?16.进而,b?9,c?10,与b,c是素数矛盾;

…………15分

当z??3时,a?b?c?0,所以a,b,c不能构成三角形的三边长.

…………20分

14.如果将正整数M放在正整数m左侧,所得到的新数可被7整除,那么称M为m的“魔术数”(例如,把86放在415的左侧,得到的数86415能被7整除,所以称86为415的魔术数).求正整数n的最小值,使得存在互不相同的正整数a1,a2,…,an,满足对任意一个正整数m,在a1,a2,…,an中都至少有一个为m的魔术数.

【解答】若n≤6,取m?1,2,?,7,根据抽屉原理知,必有a1,a2,…,an中的一个正整数M是i,j(1≤i<j≤7)的公共的魔术数,即7|(10M?i),7|(10M?j).则有7|(j?i),但0<j?i≤6,矛盾.

故n≥7.

…………10分

又当a1,a2,…,an为1,2,?,7时,对任意一个正整数m,设其为k位数(k为正整

2,数).则10ki?m(i?1,?,7)被7除的余数两两不同.若不然,存在正整数i,j(1≤i<

j≤7),满足7|[(10kj?m)?(10ki?m)],即7|10k(j?i),从而7|(j?i),矛盾.

故必存在一个正整数i(1≤i≤7),使得7|(10ki?m),即i为m的魔术数. 所以,n的最小值为7.

…………20分

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