haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 小学教育 > 学科竞赛学科竞赛

三角1

发布时间:2013-12-14 09:36:08  

三角函数

1、角的概念的推广:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角,一条射线没有作任何旋转时,称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边,终止位置称为终边。

2、象限角的概念:在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限。

3. 终边相同的角的表示:

(1)注意:?终边与?终边相同(?的终边在?终边所在射线上)?????2k?(k?Z),

?相等的角的终边一定相同,终边相同的角不一定相等.如与角?1825的终边相同,且绝对

值最小的角的度数是___,合___弧度。

(2)?终边与?终边共线(?的终边在?终边所在直线上) ?????k?(k?Z).

(3)?终边与?终边关于x轴对称??????2k?(k?Z).

(4)?终边与?终边关于y轴对称???????2k?(k?Z).

(5)?终边与?终边关于原点对称???????2k?(k?Z).

(6)?终边在x轴上的角可表示为:??k?,k?Z;?终边在y轴上的角可表示为:

?k???k??,k?Z;?终边在坐标轴上的角可表示为:??,k?Z. 22

?如?的终边与的终边关于直线y?x对称,则?=____________。 6

4、?与的终边关系:由“两等分各象限、一二三四”确定.如若?是第二象限角,2

则?是第_____象限角 2

5.弧长公式:l?|?|R,扇形面积公式:S?lR?|?|R2,1弧度(1rad)?57.3?. 如已知扇形AOB的周长是6cm,该扇形的中心角是1弧度,求该扇形的面积。

6、任意角的三角函数的定义:设?是任意一个角,P(x,y)是?的终边上的任意一点

yx??,c?os?,(异于原点),它与原点的距离

是r??0,那么sinrr

yrxrtan??,?x?0?,cot??(y?0),sec???x?0?,csc???y?0?。三角函数值只xxyy

与角的大小有关,而与终边上点P的位置无关。如

(1)已知角?的终边经过点P(5,-12),则sin??cos?的值为__。

2m?3(2)设?是第三、四象限角,sin??,则m的取值范围是_______ 4?m

|sin?|cos??)的符号 ??0,试判断cot(sin?)?tan(cos(3)若sin?|cos?|

7.三角函数线的特征是:正弦线MP“站在x轴上(起点在x轴上)”、余弦线OM“躺在

、正切线AT“站在点A(1,0)处(起点是x轴上(起点是原点)” T A)”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和 B 解 S

三角不等式。如

?

(1)若????0,则sin?,cos?,tan?的大小关系为 O

M x

8_____

(答:tan??sin??cos?);

(2)若?为锐角,则?,sin?,tan?的大小关系为_______

(答:sin????tan?);

(3)函数y??2cosx?lg(2sinx?)的定义域是_______

?2?

](k?Z))

(答:(2k??,2k??

33

(1)平方关系:sin2??cos2??1,1?tan2??sec2?,1?cot2??csc2? (2)倒数关系:sin?csc?=1,cos?sec?=1,tan?cot?=1,

sin?cos?

,cot??(3)商数关系:tan?? cos?sin?

同角三角函数的基本关系式的主要应用是,已知一个角的三角函数值,求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时,要根据已知角的范围和三角函数的取值,尽可的基本关系式,而是先根据角的范围确定三角函数值的符号,再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。

sin??tan?

(1)函数y?的值的符号为____

cos??cot?

(2)若0?2x?2?,则使?sin22x?cos2x成立的x的取值范围是____

m?34?2m?

(????),则tan?=____ (3)已知sin??,cos??

m?5m?52tan?sin??3cos?

??1,则(4)已知=___;sin2??sin?cos??2=____

tan??1sin??cos?

(5)已知sin200??a,则tan160?等于

?a2?a2

A、? B、 C、? D、 22aa?a?aaa

(6)已知f(cosx)?cos3x,则f(sin30?)的值为______

k10.三角函数诱导公式(???)的本质是:奇变偶不变(对k而言,指k取奇数或2

偶数),符号看象限(看原函数,同时可把?看成是锐角).诱导公式的应用是求任意角的三角函数值,其一般步骤:(1)负角变正角,再写成2k?+?,0???2?;(2)转化为锐角三角函数。

9?7??tan(?)?sin21?的值为________ (1)cos46

4?(2)已知sin(540???)??,则cos(??270)?______,若?为第二象限角,则5

[sin(180???)?cos(??360?)]2

?________。 ?tan(180??)

11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:

令???sin??????sin?cos??cos?sin?????sin2??2sin?cos?

令???cos??????cos?cos??sin?sin?????cos2??cos2??sin2?

                       ??2cos2??1?1?2sin2?

tan??tan?1+cos2?       ?cos2?=1?tan?tan?2

1?cos2?                    ?sin2?=2

2tan?   tan2??1?tan2?

11)下列各式中,值为的是 2

?? A、sin15?cos15? B、cos2?sin2 1212 tan??????

tan22.5? C、 D

2?1?tan22.5

2)命题P:tan(A?B)?0,命题Q:tanA?tanB?0,则P是Q的

A、充要条件 B、充分不必要条件

C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

33)已知sin(???)cos??cos(???)sin??,那么cos2?的值为____ 5

12. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是:一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心!第二看函数名称之间的关系,通常“切化弦”;第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:

(1)巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如??(???)???(???)??,2??(???)?(???),

?????????????等),,如 2??(???)?(???),????2?2222?1?(1)已知tan(???)?,tan(??)?,那么tan(??)的值是_____ 5444

??1?2(2)已知0???????,且cos(??)??,sin(??)?,求cos(???)的22923

3(3)已知?,?为锐角,sin??x,cos??y,cos(???)??,则y与x的函数关系5

为______

(2)公式变形使用(tan??tan??tan??????1?tan?tan??。如 ????

(1)已知A、B为锐角,且满足tanAtanB?tanA?tanB?1,则cos(A?B)=_____

(2)设?

ABC中,tanA?tanB

AtanB,sinAcosA?

____三角形

1?cos2?1?cos2?,sin2??与升幂公22

式:1?cos2??2cos2?,1?cos2??2sin2?)。如 ,则此三角形是(3)三角函数次数的降升(降幂公式:cos2??3(1)若??

(?,?),化简为_____ 2

(2)

函数f(x)?

5sinxcosx?2xx?R)的单调递增区间为____

(5)常值变换主要指“1”的变换(1?sin2x?cos2x?sec2x?tan2x?tanx?cotx ?tan?sin??等),如已知tan??2,求sin2??sin?cos??3cos2? sinxcosx”的内存联系――“知一求二”(6)正余弦“三兄妹—sinx?cosx、,如

(1)若 sinx?cosx?t,则sinxcosx? __ t2?1(答:?),特别提醒

:这里t?[; 2

(2)若??(0,?),sin??cos??,求tan?的值。

??sin2??2sin2??k(???),试用k表示sin??cos?的值 (3)已知421?tan?

13、辅助角公式中辅助角的确定

:asinx?bcosx??x???(其中?角所在的象限由a, b的符号确定,?角的值由tan??

(1)

若方程sinxx?c有实数解,则c的取值范围是___________.

(2)当函数y?2cosx?3sinx取得最大值时,tanx的值是______

(3)如果f?x??sin?x????2cos(x??)是奇函数,则tan?=

(4)求值:312??64sin20??________ 22sin20?cos20?b确定)在求最值、化简时起着重要作用。a

14、正弦函数和余弦函数的图象:正弦函数y?sinx和余弦函数y?cosx图象的作图

?3?方法:五点法:先取横坐标分别为0,,?,,2?的五点,再用光滑的曲线把这五点连22

接起来,就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。

15、正弦函数y?sinx(x?R)、余弦函数y?cosx(x?R)的性质:

(1)定义域:都是R。

?(2)值域:都是??1,1?,对y?sinx,当x?2k???k?Z?时,y取最大值1;当2

3?x?2k???k?Z?时,y取最小值-1;对y?cosx,当x?2k??k?Z?时,y取最大值2

1,当x?2k????k?Z?时,y取最小值-1。如

?31(1)若函数y?a?bsin(3x?)的最大值为,最小值为?,则a?__,b?_ 226

(2)函数f(x)?sinx?cosx(x?[???

22,])的值域是____

(3)若2?????,则y?cos??6sin?的最大值和最小值分别是____ 、_____

?(4)

函数f(x)?2cosxsin(x?)2x?sinxcosx的最小值是_____,此时x=3

__________

(5)己知sin?cos??

221,求t?sin?cos?的变化范围 2 (6)若sin??2sin??2cos?,求y?sin??sin?的最大、最小值

。特别提醒:在解含有正余弦函数的问题时,你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗?

(3)周期性:①y?sinx、y?cosx的最小正周期都是2?;②f(x)?Asin(?x??)和22

f(x)?Acos(?x??)的最小正周期都是T?2?。如 |?|

(1)若f(x)?sin?x

3,则f(1)?f(2)?f(3)???f(2003)=___

(2) 函数f(x)?cos4x?2sinxcosx?sin4x的最小正周期为____

??(3) 设函数f(x)?2sin(x?),若对任意x?R都有f(x1)?f(x)?f(x2)成立,则25

|x1?x2|的最小值为____

(4)奇偶性与对称性:正弦函数y?sinx(x?R)是奇函数,对称中心是?k?,0??k?Z?,对称轴是直线x?k???

2?k?Z?;余弦函数y?cosx(x?R)是偶函数,对称中心是

???对称轴是直线x?k??k?Z?(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或k??,0??k?Z?,?2??

最低点且垂直于x轴的直线,对称中心为图象与x轴的交点)。如

?5??(1)函数y?sin??2x?的奇偶性是______、 ?2?

(2)已知函数f(x)?ax?bsin3x?1(a,b为常数),且f(5)?7,则f(?5)?______

(3)函数y?2cosx(sinx?cosx)的图象的对称中心和对称轴分别是_______、_______

(4)

已知f(x)?sin(x??)x??)为偶函数,求?的值。

????(5)单调性:y?sinx在?2k??,2k????k?Z?上单调递增,在22??

?3???2k??,2k???k?Z?单调递减;y?cosx在?2k?,2k?????k?Z?上单调递减,在??22??

?2k???,2k??2???k?Z?上单调递增。特别提醒,别忘了k?Z!

16、形如y?Asin(?x??)的函数:

1(1)几个物理量:A―振幅;f?―频率(周期的倒数);?x??―相位;?―初T

相;

(2)函数y?Asin(?x??)表达式的确定:A

?由周期确定;?由图象上的特殊点确?f(x)?Asin(?x??)(A?0,??0,|?|?)f(x)215?=_____(答:f(x)?2sin(x?)); 23

(3)函数y?Asin(?x??)图象的画法:①“五点法”――设X??x??,令X=0,

3?,2?求出相应的x值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象;②图象变换法:22

这是作函数简图常用方法。

(4)函数y?Asin(?x??)?k的图象与y?sinx图象间的关系:①函数y?sinx的图,?,?象纵坐标不变,横坐标向左(?>0)或向右(?<0)平移|?|个单位得y?sin?x???的图象;②函数y?sin?x???图象的纵坐标不变,横坐标变为原来的1

?

y?sin??x???的图象;③函数y?sin??x???图象的横坐标不变,纵坐标变为原来的A,得到函数倍,得到函数y?Asin(?x??)的图象;④函数y?Asin(?x??)图象的横坐标不变,纵坐标向上(k?0)或向下(k?0),得到y?Asin??x????k的图象。要特别注意,若由y?sin??x?得到y?sin??x???的图象,则向左或向右平移应平移|?|个单位,如 ?

?(1)函数y?2sin(2x?)?1的图象经过怎样的变换才能得到y?sinx的图象? 4

??(答:y?2sin(2x?)?1向上平移1个单位得y?2sin(2x?)的图象,再向左平移44

?个单位得y?2sin2x的图象,横坐标扩大到原来的2倍得y?2sinx的图象,最后将纵8

1即得y?sinx的图象); 2

x?x(2) 要得到函数y?cos(?)的图象,只需把函数y?sin的图象向___平移____242

个单位 坐标缩小到原来的

?7?(3)将函数y?2sin(2x?)?1图像,按向量a平移后得到的函数图像关于原点对称,3?这样的向量是否唯一?若唯一,求出a;若不唯一,求出模最小的向量

(4)若函数f?x??cosx?sinx?x??0,2???的图象与直线y?k有且仅有四个不同的

交点,则k的取值范围是

(5)研究函数y?Asin(?x??)性质的方法:类比于研究y?sinx的性质,只需将y?Asin(?x??)中的?x??看成y?sinx中的x,但在求y?Asin(?x??)的单调区间

时,要特别注意A和?的符号,通过诱导公式先将?化正。如

?(1)函数y?sin(?2x?)的递减区间是______ 3

x?(2)y?log1cos(?)的递减区间是_______ 342

(3)设函数f(x)?Asin(?x??)(A?0,??0,??????)的图象关于直线x?2?对称,它223的周期是?,则

1A、f(x)的图象过点(0,) 2

5?2?,]上是减函数 123

C、f(x)的图象的一个对称中心是(5?,0) B、f(x)在区间[12

D、f(x)的最大值是A

???(4)对于函数f?x??2sin?2x??给出下列结论: 3??

①图象关于原点成中心对称; ?②图象关于直线x?成轴对称; 12

?③图象可由函数y?2sin2x的图像向左平移个单位得到 3

?;④图像向左平移个单位,即得到函数y?2cos2x的图像。 12

其中正确结论是_______

(5)已知函数f(x)?2sin(?x??)图象与直线y?1的交点中,距离最近两点间?的距离为,那么此函数的周期是_______ 3

17、正切函数y?tanx的图象和性质:

?(1)定义域:{x|x??k?,k?Z}。遇到有关正切函数问题时,你注意到正切函数2

的定义域了吗?

(2)值域是R,在上面定义域上无最大值也无最小值;

(3)周期性:是周期函数且周期是?,它与直线y?a的两个相邻交点之间的距离是一个周期?。绝对值或平方对三角函数周期性的影响:一般说来,某一周期函数解析式加绝对值或平方,其周期性是:弦减半、切不变.既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值,其周期性不变,其它不定。 如y?sin2x,y?sinx的周期都是?, 但y?sinx ?cosx的周期为?|n3(is,而y?22?1)x?,|(is?y)2|?62x?6??,y?|tanx|的周期不变;

?k??(4)奇偶性与对称性:是奇函数,对称中心是?,0??k?Z?,特别提醒:正(余)?2?

切型函数的对称中心有两类:一类是图象与x轴的交点,另一类是渐近线与x轴的交点,但无对称轴,这是与正弦、余弦函数的不同之处。

????(5)单调性:正切函数在开区间???k?,?k???k?Z?内都是增函数。但要注意2?2?

在整个定义域上不具有单调性。如下图:

18. 三角形中的有关公式:

(1)内角和定理:三角形三角和为?,这是三角形中三角函数问题的特殊性,解题可不能忘记!任意两角和与第三个角总互补,任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形?三内角都是锐角?三内角的余弦值为正值?任两角和都是钝角?任意两边的平方和大于第三边的平方.

(2)正弦定理:???2R(R为三角形外接圆的半径).注意:①正弦sinAsinBsinC

ab,sinB?,sinC 定理的一些变式:?i?a?b?c?sinA?sinB?sinC;?ii?sinA?2R2R

c?;?iii?a?2RsinA,b?2RsinB,b?2RsinC;②已知三角形两边一对角,求解三角形2R

时,若运用正弦定理,则务必注意可能有两解.

222222(3)余弦定理:a?b?c?2bccosA,cosA?等,常选用余弦定理鉴定三2bc

角形的形状.

(4)面积公式:S?aha?absinC?r(a?b?c)(其中r为三角形内切圆半径).222

如?ABC中,若sin2Acos2B?cos2Asin2B?sin2C,判断?ABC的形状

特别提醒:(1)求解三角形中的问题时,一定要注意A?B?C??这个特殊性:

A?BCA?B???C,sin(A?B)?sinC,sin?cos;(2)求解三角形中含有边角混合关系的

22

问题时,常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。如

b,且A=60?, a? b?4,那么满足条件(1)?ABC中,A、B的对边分别是a、

的?ABC A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定

(2)在?ABC中,A>B是sinA?sinB成立的_____条件

(3)在?ABC中, (1?tanA)(1?tanB)?2,则log2sinC=_____

,别是角A、B、C(4)在?ABC中,a,b分

(a?b?c)(sinA?sinB?sinC)

?3asinB,则?C=____ 所对的边,若

222

(5)在?ABC中,若其面积S??C=____

(6)在?ABC中,A?60?, b?1?ABC外接圆的直径是_______

1B?C(7)在△ABC中,a、b、c是角A、B、C的对边,a?A?,则cos2,32

b2?c2的最大值为

(8)在△ABC中AB=1,BC=2,则角C的取值范围是(9)设O是锐角三角形ABC的外心,若?C?75?,且?AOB,?BOC,?COA的面积

满足关系式S?AOB?S?BOC??COA,求?A

网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com