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与绝对值相关的竞赛题_刘清泉

发布时间:2013-12-14 13:41:27  

2中等数学

??数学活动课程讲座??

与绝对值相关的竞赛题

刘清泉

(浙江省宁波市镇海蛟川书院,315200)

中图分类号:O122.1????文献标识码:A????文章编号:1005-6416(2010)06-0002-04

????(本讲适合初中)

绝对值是初中代数中的一个基本概念,又是初中数学竞赛中的一个重要概念.在解决代数式化简求值、方程(组)、不等式(组)和函数最值等问题中有着广泛的应用.利用绝对值概念在解题过程中常会涉及到分类讨论、化归及数形结合等数学思想.1??与求值、化简相关

例1??有一个电子跳蚤在数轴上跳来跳去,并且跳到负数亮一次红灯,跳到正数不亮灯.起点是在表示数-2的点(记亮一次红灯),第一步向左跳1个长度单位,第二步向右跳2个长度单位,第三步向左跳3个长度单位,第四步向右跳4个长度单位,依此类推.

(1)当跳到第十步时,电子跳蚤离原点的距离是多少?亮了几次红灯?

(2)若要使电子跳蚤亮十次红灯,则电子跳蚤至少需要跳几次?此时,离原点的距离是多少?

分析!从数轴上看,|a|表示数a的点到原点的距离,亮红灯的次数是由电子跳蚤每次跳的结果出现负数的次数决定(出发点按约定记亮一次红灯).

解??(1)注意到

S=|-2-1+2-3+4-5+?-9+10|=|-2+1#5|=3.故出现负数为-2,-3,-1,-4,-5,

????:-6,-7共七次.所以,亮红灯七次.

(2)事实上,电子跳蚤跳完第四次的位置是原点,已经亮了四次红灯(包括起跳时),后面是每次跳奇数步,亮红灯一次.所以,要使红灯亮十次,则电子跳蚤得跳4+2#6-1=15次,此时,电子跳蚤离原点的距离

S=|-2-1+2-3+4-5+?-15|=|-2+1#7-15|=10.例2??将1,2,?,200这200个数任意分为两组,每组100个数.将一组按由小到大的顺序排列(记为a1<a2<?<a100),另一组按由大到小的顺序排列(记为b1>b2>?>b100).试求

|a1-b1|+|a2-b2|+?+|a100-b100|的值.

分析!要求

|a1-b1|+|a2-b2|+?+|a100-b100|的值,就要用到去绝对值的符号法则,就要判定代数式的任何一项|ak-bk|(k=1,2,?,100)中的ak、bk的大小.

解??先证明:对于代数式的任何一项|ak-bk|(k=1,2,?,100)中的ak、bk,较大的数一定大于100,较小的数一定不大于100.

(1)若ak?100,且bk?100,则由a1<a2<?<ak?100及??100%bk>bk+1>?>b100

得a1,a2,?,ak,bk,bk+1,?,b100共101个数都不大于100,这是不可能的;

ak,k,

2010年第6期3

a100>a99>?>ak+1>ak>100及??b1>b2>?>bk>100

得b1,b2,?,bk,ak,ak+1,?,a100共101个数都大于100,这也是不可能的.

于是,代数式中100个绝对值

|a1-b1|,|a2-b2|,?,|a100-b100|中较小的数为1,2,?,100,较大的数为101,102,?,200.

故原式

=(101+102+?+200)-(1+2+?+100)=10000.例3??证明:

A=||x-y|+x+y-2z|+|x-y|+x+y+2z=4max{x,y,z},

其中,max{x,y,z}表示x、y、z这三个数中的最大者.

分析!欲证的等式中含有三个绝对值符号,且其中一个在另一个内,要把绝对值符号去掉似乎较为困难,但等式的另一边给出了提示,如果x为x、y、z中的最大者,即证A=4x,依次再考虑y、z是它们中的最大值即可.

证明??(1)当x%y,x%z时,

A=|x-y+x+y-2z|+x-y+x+y+2z=2x-2z+2x+2z=4x;(2)当y%z,y%x时,

A=|y-x+x+y-2z|+y-x+x+y+2z=2y-2z+2y+2z=4y;(3)当z%x,z%y时,

因|x-y|+x+y=2max{x,y}?2z,所以,A=2z-|x-y|-x-y+|x-y|+x+y+2z=4z.

综上,A=4max{x,y,z}.2??与方程(组)、不等式(组)相关

例4??如果实数a、b满足条件

2222a+b=1,|1-2a+b|+2a+1=b-a,则a+b=??????.

(2009,全国初中数学联合竞赛)

分析!通过已知条件挖掘1-2a+b的,.

解??由a+b=1,得

b=1-a,且-1?a?1,-1?b?1.由|1-2a+b|+2a+1=b-a,得

22

|1-2a+b|=b-a-2a-1=(1-a)-a-2a-1=-2a-2a.从而,-2a-2a%0??-1?a?0.故1-2a+b%0.因此,1-2a+b=-2a-2a,即1+b=-2a=-2(1-b).

2

整理得2b-b-3=0.3

).22

把b=-1代入1+b=-2a中,得解得b=-1(另一根b=

a=0.

所以,a+b=-1.例5??解不等式

||x-2|-6|+|3x+2|%8.

分析!运用&零点讨论法?将不等式的左边转化为常见的一元一次不等式分类讨论得以求解.

解??由x-2=0,3x+2=0,|x-2|-6=0,得零点

2

x=2,x=-x=8,x=-4.

3(1)当x%8时,4x-6%8,解得x%,

2

则x%8;(2)当2?x<8时,2x+10%8,解得x%-1,则2?x<8;

2

(3)当-?x<2时,4x+6%8,解得3

11

x%则?x<2;

22

(4)当-4?x<-时,-2x+2%8,解3

2

22

22

2

2

2

2

2

2

22

得x?-3,则-4?x?-3;

(5)当x<-4时,-4x-6%8时,解得x?-,则x<-4.

2

综上,x%x?-3.

4中等数学

3??与函数最值相关

例6??函数y=|x+1|+|x+2|+|x+3|.当x=??????时,y有最小值,且最小值等于.

(2007,全国初中数学竞赛浙江赛区复赛)

分析!利用绝对值的几何意义,从数轴上看,|a-b|表示数轴上a与b间的距离.

解??可知|x+1|+|x+2|+|x+3|表示数轴上点x到点-1、-2、-3的三个距离和(线段的长度和).易知,当x=-2时,这个距离和最小,即y的值最小,此时,ymin=2.

2

例7??y=2x+4|x|-1的最小值是??????.

(2007,全国初中数学竞赛浙江赛区复赛)

分析!利用换元转化为有条件限制的二次函数.

解??令t=|x|%0.则

22

y=2t+4t-1=2(t+1)-3(t%0).易知,当t=|x|=0,即x=0时,y最小为-1.

例8??求函数

2

f(x)=max{|x+1|,|x-5|}

的最小值,并求当f(x)取最小值时自变量x的值.

分析!因为

2

f1(x)=|x+1|与f2(x)=|x-5|

的图像都容易作出,而y=f(x)的图像是由y1=f1(x)的图像与y2=f2(x)的图像的上方部分组成,所以,y=f(x)的图像也可画出.

解??如图1,在同一直角坐标系中,分别

2

画出f1(x)=|x+1|与f2(x)=|x-5|的图像.两图像有A、B、C、D四个交点,它们的横

2

坐标可由方程|x+1|=|x-5|解得.

去绝对值符号得

22

x+1=x-5或x+1=5-x.解得x1=3,x2=-2,

2

,x4=

.

图1

由图1易见点A、B、C、D的横坐标依次-2、3.22

按f(x)的定义,它的图像为图中的实线部分所示,点B的纵坐标为函数f(x)的最小值,此时,f(-2)=1.是

4??与离散最值相关

例9??黑板上写着两个正整数,一个为2002,另外一个为小于2002的数.如果这两个数的平均数m为整数,则可以进行下述操作:其中的一个数被擦去,而代之以m.则这样的操作最多可以进行多少次?

分析!对于操作问题,力求找到其中的规律,本题将具体的数用字母代替反而容易探求规律.

解??不失一般性,设这两个正整数为a、b(a>b).

考虑两数差的绝对值.

起初为|a-b|,经过第一次操作,两数差

的绝对值为a-=.依次类推,22

每次操作后,两数差的绝对值都变为原两数差的绝对值的一半,且两个数的平均数m为整数.于是,允许操作的次数n应满足

n

2<2002.

显然,n的最大值为10,即操作最多可以进行10次.

此时,黑板上最初的两个正整数为2002和978.

例10??设x1,x2,?,xn是1,2,?,n的任一排列.求

u=|x1-1|+|x2-2|+?+|xn-n|

2010年第6期5

的最大值.

分析!问题可转化为在数1,1,2,2,?,n,n中如何添加n个加号、n个减号,使得所得到的代数和最大,最大值为多少.显然,减去的数越小,和越大.

解??(1)若n=2k(k为正整数),则u最大=[n+n+?+(k+1)+(k+1)]-(k+k+?+1+1)

=2(1+2+?+n)-4(1+2+?+k)=n(n+1)-2k(k+1)=

2

n.2

个值的和的最大值是

51+52+?+100=3775.

3.在数轴上把坐标为1,2,?,2006的点称为&标点?.一只青蛙从点1出发,经过2006次跳动,历经所有标点,且回到出发点.则该青蛙所跳过的全部路径的最大长度是多少?说明理由.

(2006,山东省初中数学竞赛)

提示:设青蛙依次到达的点为x1,x2,?,x2006(x1=1).则整个过程跳过的长度

S=|x1-x2|+|x2-x3|+?+|x2006-x1|.称{1,2,?,1003}为上半区,{1004,1005,?,2006}为下半区.如果使上半区各点在计算过程中两次均取&-?号,下半区各点两次均取&+?号,则

S最大=2(1004+1005+?+2006)-2(1+2+?+1003)

2

=2#1003.

事实上,只要每次跳动都是从上半区跳到下半区,或从下半区跳到上半区,则上半区各点将取&-?,下半区各点将取&+?.

4.求实数a的值,使得函数

f(x)=(x+a)(|x-a+1|+|x-3|)-2x+4a

(2)若n=2k+1(k为正整数),则u)+(k+2)+(k+1)]-最大=[n+n+?+(k+2

[(k+1)+k+k+?+1+1]=2(1+2+?+n)-??4(1+2+?+k)-2(k+1)=n(n+1)-2k(k+1)-2(k+1)=

2

(n-1).2

练习题

1.已知

|x+2|+|1-x|=9-|y-5|-|1+y|.????求x+y的最大值与最小值.

提示:由绝对值的几何意义知|x+2|+|x-1|%3,|y-5|+|y+1|%6.故|x+2|+|x-1|=3,|y-5|+|y+1|=6.从而,-2?x?1,-1?y?5.

所以,x+y的最大值为6,最小值为-3.2.将1,2,?,100这100个自然数任意分成50组,每组两个数.现将每组的两个数(记为a、b)代入

1

(|a-b|+a+b)中进行计2

的图像为中心对称图形.

提示:当x?min{a-1,3}时,

22

f(x)=-2x-ax+a+6a;当x%max{a-1,3}时,

22

f(x)=2x+(a-4)x-a+2a.可见,函数f(x)的图像在左、右两边为两段抛物线弧,而在中间这一段上为一条线段.当且仅当它的对称中心为中间这一线段的中点M,且左、右两端抛物线弧的顶点A、B也关于点M对称时,函数f(x)的图像为中心对称图形.

因为xM==,

22

xA=-xB=-44xA+xB所以,=xM.解得a=-.

23

,.

算,求出其结果得到50个值.求这50个值的和的最大值.

提示:因为1~100这100个数都不相同,所以,每组两个数中必然有个较大数.因此,

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