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【培优专讲】天津市南大附中2013年初中竞赛内部讲义:第一讲 和绝对值有关的问题(部分含答案)

发布时间:2013-09-21 10:06:26  

第一讲 和绝对值有关的问题

一、 知识结构框图:

二、 绝对值的意义:

(1)几何意义:一般地,数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值,记作|a|。

(2)代数意义:①正数的绝对值是它的本身;②负数的绝对值是它的相反数;

③零的绝对值是零。

?a?当a为正数???也可以写成: |a|??0?当a为0?

????a?当a为负数?

说明:(Ⅰ)|a|≥0即|a|是一个非负数;

(Ⅱ)|a|概念中蕴含分类讨论思想。

三、 典型例题

例1.(数形结合思想)已知a、b、c在数轴上位置如图:

则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于( A )

A.-3a B. 2c-a C.2a-2b D. b

解:| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c

|=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a

分析:解绝对值的问题时,往往需要脱去绝对值符号,化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时,必须先确定绝对值符号内各个数的正负性,再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想,由a、b、c在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号,从而去掉绝对值符号,完成化简。

例2.已知:x?0?z,xy?0,且y?z?x, 那么x?z?y?z?x?y

的值( C )

A.是正数 B.是负数 C.是零 D.不能确定符号 解:由题意,x、y、z在数轴上的位置如图所示:

所x?z?y?z?x?y以

?x?z?(y?z)?(x?y) ?0

分析:数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x、y、z三个数的大小关系,为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴,但我们应该有数形结合解决问题的意识。

例3.(分类讨论的思想)已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍,且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧,两点之间的距离为8,求这两个数;若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢?

分析:从题目中寻找关键的解题信息,“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反,即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数,我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。

解:设甲数为x,乙数为y 由题意得:x?3y,

(1)数轴上表示这两数的点位于原点两侧:

若x在原点左侧,y在原点右侧,即 x<0,y>0,则 4y=8 ,所以y=2 ,x= -6 若x在原点右侧,y在原点左侧,即 x>0,y<0,则 -4y=8 ,所以y=-2,x=6

(2)数轴上表示这两数的点位于原点同侧:

若x、y在原点左侧,即 x<0,y<0,则 -2y=8 ,所以y=-4,x=-12

若x、y在原点右侧,即 x>0,y>0,则 2y=8 ,所以y=4,x=12

例4.(整体的思想)方程x??2008?x 的解的个数是( D )

A.1个 B.2个 C.3个 D.无穷多个

分析:这道题我们用整体的思想解决。将x-2008看成一个整体,问题即转化为求方程a??a的解,利用绝对值的代数意义我们不难得到,负数和零的绝对值等于它的相反数,所以零和任意负数都是方程的解,即本题的答案为D。

例5.(非负性)已知|ab-2|与|a-1|互为相互数,试求下式的值.

1111 ?????aba?1b?1a?2b?2a?2007b?2007分析:利用绝对值的非负性,我们可以得到:|ab-2|=|a-1|=0,解得:a=1,b=2 于是1111 ?????aba?1b?1a?2b?2a?2007b?20071111?????22?33?42008?2009

1111111?????????2233420082009 1?1?2009

2008?2009?

在上述分数连加求和的过程中,我们采用了裂项的方法,巧妙得出了最终的结

1111?????2?

44?66?82008?2010

如果题目变成求 值,你有办法求解吗?有兴趣的同学可以在课下继续探究。

例6.(距离问题)观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与?2,3与5,?2与?6,?4与3.

并回答下列各题:

(1)你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗?答:____相等 .

(2)若数轴上的点A表示的数为x,点B表示的数为―1,则A与B两点间的

x?(?1)?x?距离

可以表示为 .

分析:点B表示的数为―1,所以我们可以在数轴上找到点B所在的位置。那么

点A呢?因为x可以表示任意有理数,所以点A可以位于数轴上的任意位置。那么,如何求出A与B两点间的距离呢?

结合数轴,我们发现应分以下三种情况进行讨论。

当x<-1时,距离为-x-1, 当-1<x<0时,距离为x+1, 当x>0,距离为x+1

综上,我们得到A与B两点间的距离可以表示为x?1

(3)结合数轴求得x?2?x?3的最小值为 5 ,取得最小值时x的取值范

围为 -3≤x_≤2______. 分析:x?2即x与2的差的绝对值,它可以表示数轴上x与2之间的距离。

x?3?x?(?3)即x与-3的差的绝对值,它也可以表示数轴上x与-3之间的距离。

如图,x在数轴上的位置有三种可能:

图1 图2 图3 图2符合题意

(4) 满足x??x?4?3的x的取值范围为 x<-4或x>-1

分析: 同理x?1表示数轴上x与-1之间的距离,x?4表示数轴上x与-4之

间的距离。本题即求,当x是什么数时x与-1之间的距离加上x与-4之间的距离会大于3。借助数轴,我们可以得到正确答案:x<-4或x>-1。 说明:借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题,反之,有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题。这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便。事实上,A?B 表示的几何意义就是在数轴上表示数A与数B的点之间的距离。这是一个很有用的结论,我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了(3)、(4)这两道难题。

四、 小结

1.理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性

2.体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用

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