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2010年第一届拓普杯大学物理竞赛试题答案及评分标准

发布时间:2013-12-15 09:31:58  

2010年“拓普杯”天津市大学生物理竞赛参考答案及评分标准

一、请写出国际单位制中七个基本物理量单位的名称和量纲。

答:

长度(m)2分 质量(kg)2分 时间(s)2分 电流(A)1分 热力学温度(K)1分 发光强度(cd)1分 物质的量(mol)1分

二、一列静止长度为600米的超快速火车通过一个封闭式的火车站,据站长讲车站全长为450米,火车通过时正好装进车站,即站长观察到火车后端刚好在进口处的同时其前端刚好在出口处。求: (1)火车的速率是多少? (2) 对火车上的乘务员来说,他观测到的车站长度是多少?

解:(1

)L?L 4分 2分

V??

(2

)L?? 2分 ?337.5m 2分

三、航天英雄乘坐的神州六号舱容积为9.0立方米,在标准状态下,求:(1)舱内空气的质量是多少?(2)舱内氮气的分压是多少?(3)在正常照度下,人眼瞳孔直径为3.0mm,在可见光中眼最敏感的波长λ=550nm。若晴好白天飞船位于长城正上方350公里处,设长城宽度5.0米,航天英雄能直接看清长城吗?(按质量百分比计,氮气76﹪,氧气23﹪,氩气1﹪,其它气体可略,它们的分子量分别为28, 32, 40)

解:标准状态,气化P0=1atm,气温为0 0c,空气平均mol质量??28.9?10千克/摩尔。 ?3

V9?103

?3?28.9?10??11.6(千克) 3分 1. 内质量: M???V022.4

2. 由气体状态方程可得:P0V?M

RT 2分

PN2V?MN2?NRT 1分 2

?PN2

P0?MN2M??28.9?0.76??0.7844 ?N282

?PN2?0.7844P0?0.7844?atm? 1分 3. 依瑞利判据知人眼的最小分辨角为

???1.22

?

D

?2.2?10?5rad

2分

?5

可分辨最小间距:?y?L????350000?2.2?10 看不到长城!

?77(米) 1分

四、将质量相同、温度分别为T1、T2 的两杯水在等压下绝热地混合,试问:(1)此系统达到最后状态,计算此过程的熵变。(2)分析判断熵是增加、减少、还是未变?要有推算过程并对结论说明理由。(设水的摩尔等压热容量为Cp,每杯水的量为ν摩尔) 解:

(1)两杯水在等压下绝热的混合,可视为不可逆过程,为了求出两杯水的熵变,可以设想这样一个可逆过程,令两杯水经可逆等压过程,温度分别为T1和T2变为压热容量为CP,每杯水为?mol。

T1?T2

.设摩尔等2

Cp?

dQpndT

则:dQp??CpdT (3分) 总的熵变应等于两杯水熵变之和:

T1?T22

对第一杯水熵变:?S1?

T1

??

dQ

?T

T1?T22

T1

??

?CPdT

T

??CPln

T1?T2

(1分) 2T1

T1?T22

对第二杯水熵变:?S2?

T2

dQ

?T

T1?T22

?CPdT

T

??CPln

T2

T1?T2

(1分) 2T2

??T1?T2???Cln(1分) ?P

4TT?12

2

?T?T2T?T

?ln12总熵变为:?S??S1??S2??CP?ln1

2T12T2?

T12?T22?2TT12

(2).由:?S??CPln

4TT12

?T1?T2,?T1?T2?2T1T2

2

2

T12?T22?2TT2TT?2TT1212??CPln12?0 (2分) ??S??CPln4TT4TT1212

即?S?0。此过程熵增加。(2分)

水在等压绝热的混合过程,系统变化时自发宏观过程,总是向熵增加的方向进行。

五、在两正交偏振片M、N之间,放置一厚度为0.5mm

的石英晶片(ne主 =1.5534,no=1.5443),其光轴Z与M、

0N之间夹角均为45,垂直入射到M的自然光的波长为

0.5μm,设所有元件对光没有散射和吸收,问:(1) 在偏

振片N后能看见多少条等厚干涉条纹?(2) 如果所放置

的石英晶片为如图所示的劈尖形状(其劈背厚度

a=0.5mm,光轴不变),则在偏振片N后A处(对应于

劈尖最顶端处)观测到的光强度为多少?

解:.M的投射光为线偏光,设光强为Im,它振动的方

向与晶轴夹角45,故晶体出射光强: 。A M 1Im 2

2。1 Io?Imsin45?Im 2 Ie?Imcos45?2。

此时o,e光(在劈背)光程差:

??2?d

?(ne主?no)

o,e光出射后的光强:

IeN?Iecos45?

IoN1Im 41?Iocos245。?Im 42。

IeN 与IoN又有附加光程?,在N后看劈背出来IeN,IoN的相位差:

(2k+1)? (k=0,1,2,

3….) 暗纹

??2

?d

?(ne主?no)?? (5分) 2k? (k=0,1,2,3….) 明纹

10.5?10?31(1.5534?1.5443)??9.6(2分) 若是明纹:k?(ne??no)???20.5?10?62d

可看到10条条纹

(2)在劈尖的最顶端A处,其d=0mm

则:??? 为暗纹(2分)

则其光强I?0(1分)

六、空气折射率n约为1.0003。用下列给定装置:一台迈克尔逊干涉仪;扩展钠光灯面光源(平均波长为λ);两个完全相同的长度为L的玻璃管,侧面带有阀门都是打开的,其内为一个大气压的空气;一台高精度真空泵及真空管、阀等配件;若干个可升降光学支架。设计一个可行方案,要求:(1)画出实验设计光路图;(2)简略写出主要操作步骤;(3)推算出空气折射率n的数学表达式。

解:

实验设计图……………………………………….3

七、在光滑水平桌面上,有一长为L质量为m的匀质金属棒,绕一端在桌面上旋转,棒的另一端在半径为L的光滑金属圆环上滑动,接触良好。旋转中心的一端与圆环之间连接一电阻R(不影响棒转动),若在垂直桌面加一均匀磁场B,当t=0,起始角θ=0处,金属棒获得初角速度为ω0。求:(1)任意时刻t 金属棒的角速度ω ;(2)金属棒停下来时转过的角度θ=?(其它电阻、摩擦力不计)。

解:(1)某时刻大,棒的角速度为?, 12??B?L此时,棒切割磁力线获得电动势:, 2

B?L2

? 棒中电流:I?R2R? 2分

棒中(r-r+dr)所受安培力为::dF

dr所受的磁力矩:dM?

合力矩:ML?IBdr, IBrdr; L

0??dM??012B2L4IBrdr?IBL?? 2分 24R

d?1J?mL2)dt3

d?(?0)dt由力学转动方程:M?J B2L41d????mL4R3dt

B2L2

分量变量:???dt?4Rm

?d?tB2L2

积分:????dt?0?04Rmd?

????0e?3B2L2t4Rm .........................................2分d?(2)????d???dt........................2分dt

?

?0d????0e0?3B2L2?t4Rmdt 4Rm?0???.........................................2分223BL

八、粒子在无限深方势阱 [-a/2,a/2] 内作一维运动的波函数为?n?Acosn?x

a

(n=1,2,3,……)。求:(1) 归一化常数A;(2) 粒子的零点能;(3) 第一激发态,粒子在 [a/8,a/2] 间出现的几率; (4) 粒子运动的坐标不确定度?x?x?x(x为位移平均值,x222

为位移平方的平均值),由不确定关系,估算在基态时相应的动量不确定度?p不小于多少? 解:

(1)由归一化条件:?a/2

?a/2ndx?1 1分 1?cos2n?xdx?A2?a?1 222得 A2?a/2

?a/2cos2a/2n?xdx?A2?

?a/2a

?A? 1分

所以,归一化的波函数为:?n?

(2)零点能即基态能,这是n?1 n?x?n?1,2,3?? a

???E? 1分

可由H111

?2?2??2?2

x)??1?E1?1 即?222m?xa2ma

?2?2h2

?E1?? 1分 2ma28ma2

(3)第二激发态n?2 波函数为

?2?a

2a

822?x 0.5分 aa2a82?31cx2dx)???????2dx 1分

?a84?

(4

)基态下:?0. 26 0.5分 9 ?a/2

?a/2x1dx??2a/2

?a/2x?ax)2dx?0 1分

??2a/2

?a/2x1222a/22a2a22?dx??xcosxdx??2 1分

a?a/2a122?

??x???

由不确定关系:?x??p?? 2

6??2

??p?22 a(??6)

6??2

1分 ?p不小于22a(??6)

九、有一不带自由电荷铁电体(去掉外电场仍然保持极化状态的电介质)长圆筒,其长度为L,内外半径为a、b,极化强度矢量p=kr/r2 (k为常数,介质内部无极化电荷),相对介电常数为εr、相对磁导率为μr,求:(1)圆筒内外的电场强度E、电位移矢量D分布;(2)若圆筒绕其中心轴以匀角速ω转动,圆筒内外的磁场强度H、磁感应强度B分布。 解: 极化体电荷密度:???D1?p?'

???极化面电荷:??p?n'

ar?a1?1?k(r?p)?(r?)?0 1分 r?rr?rr?????kk??p?r0???? 0.5分 r?arr?aa??

?b?'k 0.5分 b

'圆筒表面单位长度的极化电荷: ?a?2?a?1??a??2?k 1分

?b?2?b?1??b?2?k 0.5分

由高斯定理求极化电荷产生附加场E'分布: '''

?0(r?a)?k??' E'??a??(a?r?b) 1分 ?0r?2??0r

??0(r?b)

????????由于E0?0,故E?E0?E'?E',故介质内外电场分布:

?0(r?a)??k E?E'???(a?r?b) 0.5分

??0r

??0(r?b)

由D??0E?P,求D分布,介质外E?0,P?0,故:

?0(r?a)?kk? D???0(?)??0(a?r?b) 1分 ?0rr???0(r?b)

筒旋转,内外表面异号极化电荷形成流向相反的载流长直螺线管,单位长度圆筒面荷?a',?b'旋转形成电流密度:

????2?k???k? 1分 2?2?

?? jb??b'??2?k??k? 1分 2?2? ja??a'?

螺线管内部,H?nI?j,外部为0,磁场叠加:

?0,(r?a)? H??k?,(a?r?b) 1分

?0,(r?b)?

由B??0?H,求得B的分布:

?0,(r?a)? B???0?rk?,(a?r?b) 1分

?0,(r?b)?

十、质量为m的质点A,在一个光滑且足够大的水平桌

面上运动,质点A系一轻绳子,绳子穿过桌面上一光滑小

孔O, 另一端挂一质量也为m的质点B。若A在桌面上

离O点为a的地方,沿垂直于OA的方向以初速度ga2 射出,证明质点A在以后运动中离O点距离必

在a 与 3 a之间。(g为重力加速度)

解:

当A获得初速度后,离心力大于绳子拉力,有向外运动的趋势,速度的径向分量Vr≠0,当离心力和拉力平衡时,由于惯性仍有向外运动的趋势,但Vr在减小,当达到径向最高处时,Vr=0,A的速度垂直径向,这时的上升速度VB=0,此后开始向内运动趋势,达到最近处。 A,B组成质点系,在运动中,A,在水平方向之手绳子拉力作用而B最在竖直方向只受拉力和重力作用,拉里为内力,故系统整过过程角动量守恒,机械能守恒,故初态和A最高点处作为末态来列方程,设A在最高点处速度为V,此时B的速度为0,上升高度设h故 角动量守恒:amA?(a?h)mAv0 (1)2分 机械能守恒:1122 (2)3分 mAv0?mBgh?mAvA22

?av0?(a?h)v(3)?由于mA=mB=m化简:?2 12v0?2gh?mAv()A4?2?

由(3)v?

32a4)化简 v0 1分

和v0?a?h 4h?ah?14ah?0

h(h?2a)(4h?7a)?0

7 3分 得h?0,h?2a,h??a(舍去)4

a<d<3d 1分

十一、现有一质量半径为a的均匀带电圆薄盘,其面电荷密度为σ,求圆盘边缘处的电势大小。(设无穷远处电势为零)

解:

以圆盘边缘为圆心,以r为半径,dr为宽度,作圆弧。

Up??2a

0??2r?dr 6分 4??0r

a2?r2?a2?2racos?

??arccosr

2a 2分

?Up?2??0

?2a0arccosr 2分 2a

十二、光滑水平桌面上有一半径为R、质量为M的匀质圆盘,圆心O沿水平x轴 以速度v0匀速运动,同时圆盘绕其圆心O以匀角速

ω0转动,运动过程中与一静止在x轴上质量也是M的质点相碰,并粘在圆盘的边缘上。求:

(1)碰后系统质心速度;(2)碰后系统绕质心转动角速度;(3)碰撞过程中系统损失的机械能。

解:

圆盘与质点相互作用过程中。在水平方向无外力,之存在内力的作用,故系统动量守恒。角动量守恒,但碰撞是完全非弹性,有机械能的损失。

(1)动量守恒

mv0??m?m?cv

v?1vc024分

(2)碰撞后,质心在R处。 2

221R??R?2 绕质心的转动惯量Ic?mR2?m??m?????mR 2?2??2?

I0?0?Ic?

角动量守恒: 1mR2?0?mR2?2

1????023分

(3)碰撞前系统机械能:E0?

碰撞后系统机械能: 11121?1?222 mv0?I0?0?mv0???mR02??02222?2?

v2111121?222?122 E??m?m?vc?Ic??m(0)?mR??0??mv0?mR?0 222248?2?

故损失的机械能为:?E?E0?E?

21212mv0?mR2?0483分

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