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初中数学联赛试卷

发布时间:2013-12-15 09:31:59  

全国初中数学联合竞赛 测试二

(4月10日 上午8:45——11:15)

考生注意:1.本试卷共三大题(13个小题),全卷满分140分.

2.用圆珠笔、签字笔或钢笔作答.

3.解题书写不要超出装订线.

4.不能使用计算器.

一、选择题(本题满分42分,每小题7分)

1.一个凸多边形的每一个内角都等于150°,则这个凸多边形所有对角线的条数总共有( )

A.42条 B.54条 C.66条 D.78条

A2.如图,矩形ABCD的对角线相交于O,AE平分∠BAD交BC于E.若∠CAE

=15°,则∠BOE=( )

A.30° B.45° C.60° D.75°

3.设方程(x?a)(x?b)?x?0的两根是c,d,则方程(x?c)(x?d)?x?0的分根 BE是( )

A.a,b B.-a,-b C.c,d D.-c,-d

4.若不等式2x?1?3x?3?a有解,则实数a的最小值是( )

A.1 B.2 C.4 D.6

5.若一个三角形的任意两条边都不相等,则称它为“不规则三角形”.用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中,“不规则三角形”的个数是( )

A.18 B.24 C.30 D.36

6.不定方程x2?2y2?5的正整数解(x,y)的组数是( )

A.0组 B.2组 C.4组 D.无穷多组.

二、填空题(本大题满分28分,每小题7分)

本题共有4小题,要求直接将答案写在横线上.

1.二次函数y?x2?ax?2的图象关于直线x=1对称,则y的最小值是__________.

2

.已知a?1,则a2012?2a2011?2a2010的值为_____________.

3.已知△ABC中,AB

BC=6,CA

,点M是BC的中点,过点B作AM延长线的垂线,垂足为D,则线段BD的长度是_______________.

4.一次棋赛,有n个女选手和9n个男选手参赛,每位选手都与其余10n-1个选手各对局一次.计分方式为:胜者得2分,负者得0分,平局各得1分.比赛结束后统计发现,所有男选手的得分总和是所有女选手得分总和的4倍.则n的所有可能值是__________.

三、解答题(本题共三小题,第1题20分,第2、3题各25分)

1.(本题满分20分)

已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2?(3a?1)x?2a2?1?0的两个实数根,使得D(3x1?x2)(x1?3x2)??80成立.求实数a的所有可能值.

2.(本题满分25分)

抛物线y?ax2?bx?c的图象与x轴有两个交点M(x1,0),N(x2,0),且经过点A(0,1),其中0<x1<x2.过点A的直线l与x轴交于点C,与抛物线交于点B(异于点A),满足△CAN是等腰直角三角形, 且S△BMN=5S△AMN.求该抛物线的解析式. 2

3.(本题满分25分)

如图,AD、AH分别是△ABC(其中AB>AC)的角平分线、高线,M是AD的中点.△MDH的外接圆交CM于E.求证:∠AEB=90°. A

BCHD

全国初中数学联合竞赛 测试二

试题参考答案

说明:评阅试卷时,请依据本评分标准:选择题和填空题只设7分和0分两档;其余各题,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.

一、选择题(本题满分42分,每小题7分)

1、B 2、D 3、A 4、C 5、B 6、A

二、填空题(本题满分28分,每小题7分)

1、1 2、0 3、3 4、1 2

三、解答题(本题共三小题,第1题20分,第2、3题各25分)

1、(本题满分20分)

已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2?(3a?1)x?2a2?1?0的两个实数根,使得(3x1?x2)(x1?3x2)??80成立。求实数a的所有可能值。

`解:由条件知??(3a?1)?4(2a?1)?a?6a?5?0,

解得a?5或a?1. (5分)

又由根与系数的关系知x1?x2??(3a?1),x1x2?2a?1,

于是(3x1?x2)(x1?3x2)?3(x1?x2)?10x1x2?3(x1?x2)?16x1x2 2222222

?3(3a?1)2?16(2a2?1)??5a2?18a?19, (10分)

由?5a?18a?19??80,解得a?3(舍去)或a??

于是a??233. (15分) 53333.综上所述,所求的实数a??. ( 20分 ) 55

22、(本题满分25分) 抛物线y?ax?bx?c的图象与x轴有两个交点M(x1,0),N(x2,0),且经过点A(0,1),其中

0?x1?x2.过点A的直线l与x轴交于点C.,与抛物线交于点B(异于点A),满足?CAN是等腰直角三角形,且S?BMN?5S?AMN.求该抛物线的解析式. 2

解:由条件知该抛物线开口向上,与x的两个交点在y轴的右侧.

由于?CAN是等腰直角三角形,故点C在x轴的左侧,且?CAN?90.

故?ACN?45,从而C(?1,0),N(1,0). (5分)

于是直线l的方程为:y?x?1. ??

设B(x3,y3),由S?BMN?

从而x3?55S?AMN知y3?, (10分) 22335,即B(,). (15分) 222

综上可知,该抛物线通过点A(0,1),B(,),N(1,0). 35

22

?1?c?593于是??a?b?c, (20分) 2?24

?0?a?b?c

?a?4?解得?b??5.

?c?1?

所以所求抛物线的解析式为y?4x?5x?1. (25分)

3、(本题满分25分)

如图,AD、AH分别是?ABC(其中AB?AC)的角平分线、高线,M是AD的中点.?MDH的外接圆交CM于E.求证:?AEB?90.

证明:如图,连结MH,EH,

2?

∵M是Rt?AHD斜边AD的中点

∴MA?MH?MD (5分)

∴?MHD??MDH

∵M,D,H,E四点共圆

∴?CEH??MDH

∴?MHD??MDH??HEC

∴?MHC?180??MHD?180??HEC??MEH (10分)

∵?CMH??HME,∴?CMH∽?HME ∴??MHME2,即MH?ME?MC (15分) ?MCMH

2∴MA?ME?MC,又∵?CMA??AME

∴?CMA∽?AME,

∴?MCA??MAE (20分)

∴?BHE??BAE??DHE??BAD??MAE

??DHE??MAC??MCA??DHE??DME?180?

∴A,B,H,E四点共圆,∴?AEB??AHB?90. (25分)

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