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初中数学联赛试卷及答案

发布时间:2013-12-15 09:32:00  

2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

第一试

一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)

1.

已知a?

1,b?

c?2,那么a,b,c的大小

关系是 ( C )

A. a?b?c B. a?c?b C. b?a?c

D.b?c?a

2.方程x?2xy?3y?34的整数解(x,y)的组数为

( B )

A.3. B.4. C.5. D.6.

3.已知正方形ABCD的边长为1,E为BC边的延长线上一点,CE=1,

连接AE,与CD交于点F,连接BF并延长与线段DE交于点G,则BG的长

为 ( D )

A

22 B

C

D

22444.已知实数a,b满足a?b?1,则a?ab?b的最小值为

(B

A.?19. B.0. C.1. D.. 88

25.若方程x?2px?3p?2?0的两个不相等的实数根x1,x2满足

23x12?x13?4?(x2?x2),则 实数p的所有可能的值之和为 ( B )

A.0. B.?

D.?3. C.?1. 45. 4

6.由1,2,3,4这四个数字组成四位数abcd(数字可重复使用),

要求满足a?c?b?.这样的四位数共有 ( C )

A.36个. B.40个. C.44个. D.48

个.

二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)

1.已知互不相等的实数a,b,c满足a?111?b??c?t,则bca

t??1.

2.使得5?2m?1是完全平方数的整数m的个数为.

3.在△ABC中,已知AB=AC,∠A=40°,P为AB上一点,∠ACP=20°,则BC=AP

4.已知实数a,b,c满足abc??1,a?b?c?4,abc4???a2?3a?1b2?3b?1c2?3c?19

332. ,则a2?b?2c=

第二试 (A)

一、(本题满分20分)已知直角三角形的边长均为整数,周长为30,求它的外接圆的面积.

设直角三角形的三边长分别为a,b,c(a?b?c),则a?b?c?30. 显然,三角形的外接圆的直径即为斜边长c,下面先求c的值. 由a?b?c及a?b?c?30得30?a?b?c?3c,所以c?10. 由a?b?c及a?b?c?30得30?a?b?c?2c,所以c?15. 又因为c为整数,所以11?c?14.

根据勾股定理可得a?b?c,把c?30?a?b代入,化简得222

ab?30(a?b)?450?0,所以

(30?a)(30?b)?450?2?32?52,

2??30?a?5,因为a,b均为整数且a?b,所以只可能是?解得2??30?b?2?3,

?a?5, ?b?12.?

所以,直角三角形的斜边长c?13,三角形的外接圆的面积为169?. 4

二.(本题满分25分)如图,PA为⊙O的切线,PBC为⊙O的割线,AD⊥OP于点D.证明:

AD2?BD?CD.

证明:连接OA,OB,OC.

∵OA⊥AP,AD⊥OP,∴由射影定理可得PA?PD,?PO2

AD2?PD?OD.

又由切割线定理可得PA?PB?PC,∴PB?PC?PD?PO,∴D、

B、C、O四点共圆,

∴∠PDB=∠PCO=∠OBC=∠ODC,∠PBD=∠COD,∴△PBD∽△COD, ∴2PDBD2,∴AD?PD?OD?BD?CD. ?CDOD

12三.(本题满分25分)已知抛物线y??x?bx?c的顶点为P,6

与x轴的正半轴交于A(x1,0)、B(x2,0)(x1?x2)两点,与y轴交于点C,PA是△ABC的外接圆的切线.设M(0,?),若AM//BC,求抛物线的解析式.

解 易求得点P(3b,b?c),点C(0,c).

设△ABC的外接圆的圆心为D,则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上,设点D的坐标为(3b,m).

显然,x1,x2是一元二次方程?3232212x?bx?c?0的两根,所

以6

x1?3b

,x2?3bAB的中点E的坐标为(3b,0),所以AE

.

因为PA为⊙D的切线,所以PA⊥AD,又AE⊥PD,所以由射影定理可得AE?PE?

DE,即?(b?c)?|m|,又易知m?0,所以可得m??6.

又由DA=DC得22322DA2?DC2

2,

即c26?)m2?b?(23把??)c入后可(解得,mm?0?6代)

c??6(另一解c?0舍去).

3|?|OAOM?. 又因为AM//BC,所以?

OBOC|?6|

55(另一解b??舍去). 22

15因此,抛物线的解析式为y??x2?x?6. 62把c??6代入解得b?

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