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2009年希望杯数学

发布时间:2013-12-15 16:41:23  

第十九届“希望杯”全国数学邀请赛

高一 第一试 (第二类)

一、选择题(每小题4分, 共40分)以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的,请

将你认为正确答案的英文字母写在下面的表格中。

1.设全集U?{1,3,5,7}, 集合A?{3,5},B?{1,3,7}, 则A?(CUB)等于

( ) A.{5}

B. {3,5} C. {1,5,7}

D. ?

( )

2.函数f(x)?lg(2x?1)的定义域为 A.R

B. (??,?) C. [?,??)

1212

D. (?,??)

12

3.已知定义在R上的函数f(x)的图像是连续的, 且其中的四组对应值如右表, 那么在下列区 间中, 函数f(x)存在零点的是 ( ) A.(1,2)

B. {3,5}

C. {1,5,7} D. ?

4.函数y?()x与函数y?log2()的图像

5

121x

( )

A.有且只有1个公共点, 且在直线y?x上。 B.有且只有1个公共点, 且不在直线y?x上。 C.有且只有3个公共点, 且有1个在直线y?x上。 D.没有公共点.

(55?1)

5.55的五次方根是

A.5

45

( )

54

B.5 C.5 D

5

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6.Let ? be the binary operator on positive intergers defined by a?b?ab. Consider the

following identities:

①a?b?b?a

( ) ②(a?b)?c?a?(b?c) ③a?(b?c)?(a?b)?(a?c) ④

(a?b)?c?(a?c)?(b?c)

A. ① and ② are true C.② is true B.③and ④ are true D. None is true

7.若三棱锥的三个侧面的斜高相等, 棱锥的顶点在底面所在的平面内的射影在底面三角形的内部, 则该射影是底面三角形的

( )

A.外心 B.内心 C. 垂心 D. 旁心

8.实验室里有一架不等臂天平: 同学甲说: 分别把所称物体放在左右两个盘中各称一

次, 则两次称得的质量的平均数就等于被称物体的真实质量; 同学乙说: 将一个物体放到左盘称得的质量是1千克, 将另一个物体放到右盘中, 称得的质量也是1千克, 则这两个物体的质量之和的真实值是2千克。 甲, 乙的判断中

( )

A. 甲对, 乙不对 B. 乙对, 甲不对

C.甲、乙都对。 D.甲、 乙都不对

9.一个三棱锥的四个面所在的平面把空间分成的部分数为 ( )

A. 9 B. 11 C.13 D.15

10.在第一象限内, 由过点(3,1)的直线与坐标轴围成的三角形面积的最小值是 ( )

A. 4 B. 6 C. 27 D. 8 4

二、 A组填空题(每小题4分, 共40分)

11.若奇函数f(x)在(??,0)上是增函数, 且f(?1)?0, 则能使f(x)?0的取值范围

是_____________

12.函数f(x)?log2(x2?2x?10)的值域为______________

13

lg1?3log32的值为___________________ 100

14.设全集U为全体质数的集合, 且A?{x2?5x?p?0,x?U}中有两个元素, 则

p=___________

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15.In the figure, shows the speed-time graph of a body over a period of 90 seconds. Given

that the distance moved is 1.84km. The value of v 16.某小学生练习将1,2,3,?顺序相加, 从1到n, 少加了一个数, 所得的和是2008, 则少加的那个数 是__________

17这样的平面有4个, 用这样的四个平面截去4个小棱

锥后,

剩下的几何体的表面积与原四面体的表面积之

比是________. 18.设方程x3?x?1?0与x?1?0的根分别是?,?, 则???=___________ ??(x?1)2x?1

19.已知函数f(x)???2x?2?1?x?1, 若f(?)?1, 则?的取值范围是

??1

?x?1x?1

__________

20.已知集合M?{(x,y)|y?3?x,0?x?3},N?{(x,y)|y??x2?mx?1},M?N只有一个元素, 则实数m的取值范围是____________

三、B组填空题(每小题8分, 共40分, 每小题两个空, 每空4分)

2.如果二次函数y?ax2?bx?1的图像的对称轴是x?1, 并且图象通过点A(?1,7),

a?__________, b?___________.

22.若直线y?x?b与曲线y?有且只有1个公共点, 则b的取值范围是

____________, 若直线与曲线有2个公共点,则b的取值范围是____________。

23.已知函数y?ax2?bx?c的图像与函数y?f(x?1)?2的图像重合, 那么

a?__________, b?___________.

24.函数f(x)?4x?a?2x?1(?1?x?2)的最小值为g(a),则g(2)=______,

g(a)=________.

25.已知长方体ABCD?A1B1C1D1的棱长AB?10,BC?8,AA1?6. 点O在棱长AB上,

AO?6。 现已O为球心,r为半径作一球面, 则与长方体的6个面都有公共点的高考学习网-中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识!

球面所对应的半径r的取值范围为_______________; 若r?11, 则该球面与长方体的6个面中的____________个面有公共点。

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第十九届“希望杯”全国数学邀请赛答案

(11

) (?1,0)?(1,??) (12)

[2log23,??) (13) 0 (14) 6

(15) 40 (16) 8 (17)1:2 (18) -1 (19)(??,?2)?(,1)

(20

)(??,?)?{1?

三、B组填空题(每小题8分, 共40分, 每小题两个空, 每空4分)

(21) 2, -4 (22)[?2,2)?, [2, (23) 0,2 1283

?1?4?a

??2(24)-4 ??a

??16?8a??a?121?a?4 (25)[8,, 3 2a?4

19.届高一希望杯9题:一个三棱锥的四个面所在平面把空间分成的部分为 ( )

A. 9 B. 11 C. 13 D. 15 n3?5n?6推广:空间n个平面最多把空间分成f(n)部分,求证: f(n)? 6

证明:设平面内n条直线把平面分成最多bn块, 空间n个平面把空间最多分成an个部分

n2?n?2则b1?2,bn?1?bn?(n?1), ?bn?b1?(b2?b1)???(bn?bn?1)?; 2

而a1?2,an?1?an?bn?an?a1?(a2?a1)???(an?an?1)

12?1?222?2?2n2?n?2n3?5n?6?an?2?????? 2226

n3?5n?6故 f(n)? ?f(4)?15 6

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