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八年级数学竞赛试题(含答案)-

发布时间:2013-12-16 09:33:20  

八年级数学竞赛试题

一、选择题:

??x?y?12,1.方程组?的解的个数为( ).

??x?y?6

2.口袋中有20个球,其中白球9个,红球5个,黑球6个.现从中任取10个球,使得白球不少于2

个但不多于8个,红球不少于2个,黑球不多于3个,那么上述取法的种数是( ).

(A) 14 (B) 16 (C)18 (D)20

3.已知三个关于x的一元二次方程

ax2?bx?c?0,bx2?cx?a?0,cx2?ax?b?0 a2b2c2

恰有一个公共实数根,则??的值为( ). bccaab

(A) 0 (B)1 (C)2 (D)3

4.若x3?x2?x?1?0,则x?27?x?26+ … +x?1?1?x+ … +x26?x27的值是( )

(A)1 (B)0 (C)-1 (D)2

5.若abc???t,则一次函数y?tx?t2的图象必定经过的象限是( ) b?cc?aa?b

(A)第一、二象限 (B)第一、二、三象限

(C)第二、三、四象限 (D)第三、四象限

6.满足两条直角边长均为整数,且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有( )

(A)1个 (B) 2个 (C) 3个 (D)无穷多个

7.如图在四边形ABCD中,∠DAB=∠BCD=90°,AB=AD,若这个四边形的面积是10,则BC+CD等于

C( )

D

A.4 B.

C.4 D.

AB

18、已知一组正数x1,x2,x3,x4,x5的方差S2?(x12?x22?x32?x42?x52?20),则关于数据5

(1)方差为S2;(2)平均数为2;(3)平均数为4; x1?2,x2?2,x3?2,x4?2,x5?2,的说法:

(4)方差为4S2,其中正确的说法是( )

- 1 -

(A)(1)与(2) (B)(1)与(3) (C)(2)与(4) (D)(3)与(4)

二、填空题:

9、已知对所有的实数

x,x?1?m?x?2恒成立,

则m可取得的最大值为_______.

10.已知方程2x2?mx?3?0的方程3x2?2m?3?0有一个公共根?,则实数m=_________;这两个

方程的公共根?= _________。

11.设a, a + 1, a + 2为钝角三角形的三边,那么a的取值范围是______________。

12.如图,?A??B??C??D??E??F??G?n?90?,则n= .

13.已知对于任意正整数n,都有

a1?a2???an?n3, 则

三、解答题:

114.已知a,b都是正整数,试问关于x的方程x2?abx?(a?b)?0是否有两个整数解?如果有,2

请把它们求出来;如果没有,请给出证明. 111????? . a2?1a3?1a100?1

15、如图△ABC,D是△ABC内一点,延长BA至点E,延长DC至点F,使得AE=CF,G,H,M分别为BD,

AC,EF的中点,如果G,H,M三点共线

求证:AB=CD。

BCFFDHAE

16.兰溪市六洞山自然生态风景旅游区,山青水秀,吸引着各方游客。“五一”黄金周为吸引更多

的游客,管理处在普通票价每人a

元的基础上,订出两种团队票优惠方案:甲方案是团队中

- 2 -

两人按原票价购买,其余每人优惠25%;乙方案是按团队人数每人均优惠20%。某团队共18人,应选择哪种优惠方案更合算,共可比另一方案节省多少元?

八年级数学竞赛试题及答案

一、选择题:

??x?y?12,1.方程组?的解的个数为( ).

??x?y?6

(A)1 (B) 2 (C) 3 (D)4

答:(A).

??x?y?12,解:若x≥0,则?于是y?y??6,显然不可能. x?y?6,?????x?y?12,若x?0,则 ? ??x?y?6,

于是y?y?18,解得y?9,进而求得x??3.

?x??3,所以,原方程组的解为?只有1个解.

?y?9,

2.口袋中有20个球,其中白球9个,红球5个,黑球6个.现从中任取10个球,使得白球不少于2

个但不多于8个,红球不少于2个,黑球不多于3个,那么上述取法的种数是( ).

(A) 14 (B) 16 (C)18 (D)20

解:用枚举法:

红球个数 白球个数 黑球个数 种 数

5 2,3,4,5 3,2,1,0 4

4 3,4,5,6 3,2,1,0 4

3 4,5,6,7 3,2,1,0 4

2 5,6,7,8 3,2,1,0 4

所以,共16种.

3.已知三个关于x的一元二次方程

ax2?bx?c?0,bx2?cx?a?0,cx2?ax?b?0

- 3 -

a2b2c2

恰有一个公共实数根,则bc?ca?ab的值为( ).

(A) 0 (B)1 (C)2 (D)3 解:设x0是它们的一个公共实数根,则

ax222

0?bx0?c?0,bx0?cx0?a?0,cx0?ax0?b?0.

把上面三个式子相加,并整理得

(a?b?c)(x2

0?x0?1)?0. 因为x2

0?x13

0?1?(x0?2)2?4?0,所以a?b?c?0.

于是

a2b2c2a3?b3?c3a3?b3?(a?b)3

bc?ca?ab?abc?abc

??3ab(a?b)

abc?3.

故选(D).

4.若x3?x2?x?1?0,则x?27?x?26+ … +x?1?1?x+ … +x26?x27的值是(

(A)1 (B)0 (C)-1 (D)2

答案:C

解:由x3?x2?x?1?0,得x??1,

所以x?27?x?26+ … +x?1?1?x+ … +x26?x27=-1

5.若a

b?c?b

c?a?c

a?b?t,则一次函数y?tx?t2的图象必定经过的象限是(

(A)第一、二象限 (B)第一、二、三象限

(C)第二、三、四象限 (D)第三、四象限 答案:A

解:由已知可得a?b?c?2(a?b?c)t, )

- 4 - )

当a?b?c?0时,t?111,y?x?,直线过第一、二、三象限; 224

当a?b?c?0时,t??1,y??x?1,直线过第一、二、四象限.

综合上可得,直线必定经过的象限是第一、二象限.

6.满足两条直角边长均为整数,且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有( )

(A)1个 (B) 2个 (C) 3个 (D)无穷多个

答案:C

解:设直角三角形的两条直角边长为a,b(a?b),则

1a?b??k?ab(a,b,k均为正整数), 2

?ka?4?1?ka?4?2化简,得(ka?4)(kb?4)?8,所以?或?.

?kb?4?8?kb?4?4

?k?1?k?2?k?1,???解得?a?5或?a?3或?a?6, 即有3组解.

?b?12?b?4?b?8.???

7.如图在四边形ABCD中,∠DAB=∠BCD=90°,AB=AD,若这个四边形

的面积是10,则BC+CD等于 ( B )

C

A.4 B.

C.4 D.

DAB

18、已知一组正数x1,x2,x3,x4,x5的方差S2?(x12?x22?x32?x42?x52?20),则关于数据5

(1)方差为S2;(2)平均数为2;(3)平均数为4;x1?2,x2?2,x3?2,x4?2,x5?2,的说法:

(4)方差为4S2,其中正确的说法是( )

(A)(1)与(2) (B)(1)与(3) (C)(2)与(4) (D)(3)与(4)

- 5 -

解:S2?1

5(x2

1?x22

2?x3?x2

4?x2

5?5?22),∴2?22,?2,(3)正确

S2?1

5??(x1?2?4)2?(x2?2?4)2?(x3?2?4)2?(x4?2?4)2?(x2

5?2?4)???S2

(1)正确 故选(B)

二、填空题:

9、已知对所有的实数

x,x?1?m?x?2恒成立,

则m可取得的最大值为_______

解:当-1≤x≤2时,x??x?2的最小值为3

0,

∴当x=1

时,x?x?2的最小值为3,∴3≥m,m的最大值为3。

10.已知方程2x2?mx?3?0的方程3x2?2m?3?0有一个公共根?,则实数m=___________ 这两个方程的公共根?= _____________。

解:∵a是这两个方程的公共根,则

??2

?2d?ma?3?0(1)

??3a2?2ma?3?0(2)

由(1)×3 -(2)×2得 ma = - 15

若 m = 0,则这两个方程无公共根;

若m≠0,则a??15

m 将a??15

m代入(1),得2?222515

m2?m?m?3?0

解之得m = ±5,因此,当m = 5时,a = -3;当 m = - 5时,a = 3。

11.设a, a + 1, a + 2为钝角三角形的三边,那么a的取值范围是______________。 钝角三角形的三边a, a + 1, a + 2满足:

- 6 -

?a?(a?1)?a?2?a?1 即??2222a?2a?3?0?a?(a?1)?(a?2)?

?a?1∴?故1?a?3 ?1?a?3?

12.如图,?A??B??C??D??E??F??G?n?90?,则n= .

答:6.

解:如图,设AF与BG相交于点Q,则

?AQG??A??D??G,

于是?A??B??C??D??E??F??G

??B??C??E??F??AQG

??B??C??E??F??BQF

?540??6?90?.

所以,n=6.

13.已知对于任意正整数n,都有a1?a2???an?n3,

则 111?????. a2?1a3?1a100?1

33. 100答:

三、解答题:

114.已知a,b都是正整数,试问关于x的方程x2?abx?(a?b)?0是否有两个整数解?如果有,2

请把它们求出来;如果没有,请给出证明.

解:不妨设a≤b,且方程的两个整数根为x1,x2(x1≤x2),则有

?x1?x2?ab,11?所以 x1x2?x1?x2?a?b?ab, ?1x1x2?(a?b),22?2?

4(x1?1)(x2?1)?(2a?1)(2b?1)?5.

因为a,b都是正整数,所以x1,x2均是正整数,

- 7 -

于是,x1?1≥0,x2?1≥0,2a?1≥1,2b?1≥1,所以

(?x1?1)(x2?1)?1,?(x1?1)(x2?1)?0,

? 或 ?

(2a?1)(2b?1)?5,(2a?1)(2b?1)?1.?? (1)当?

?(x1?1)(x2?1)?0,

时,由于a,b都是正整数,且a≤b,可得

(2a?1)(2b?1)?5?

a=1,b=3,

此时,一元二次方程为x2?3x?2?0,它的两个根为x1?1,x2?2. (2)当?

?(x1?1)(x2?1)?1,

时,可得 a=1,b=1,

(2a?1)(2b?1)?1?

此时,一元二次方程为x2?x?1?0,它无整数解.综上所述,当且仅当a=1,b=3时,题设方程

有整数解,且它的两个整数解为x1?1,x2?2.

15、如图△ABC,D是△ABC内一点,延长BA至点E,延长DC至点F,使得AE=CF,G,H,M分别为BD,AC,EF的中点,如果G,H,M三点共线 求证:AB=CD。

证明:取BC中点T,AF的中点S,连GT,HT,HS,SM。 ∵G,H,M分别为BD,AC,EF的中点

∴MS∥AE,MS?1AE,HS∥CF,HS?1CF,

22∴HS=SM,∴∠SHM=∠SMH

∵GT∥CD,HT∥AB,GT?1CD,HT?1AB

2

2

EA

F

DEA

F

D

B

T

C

F

H

SC

F

H

B

∴GT∥HS,HT∥SM

∴∠SHM=∠TGH,∠SMH=∠THG ∴∠TGH=∠THG ∴GT=TH ∴AB=CD

16.兰溪市六洞山自然生态风景旅游区,山青水秀,吸引着各方游客。“五一”黄金周为吸引更多

的游客,管理处在普通票价每人a元的基础上,订出两种团队票优惠方案:甲方案是团队中两人按原票价购买,其余每人优惠25%;乙方案是按团队人数每人均优惠20%。某团队共18人,

- 8 -

应选择哪种优惠方案更合算,共可比另一方案节省多少元?

解:设团队人数为x人,甲方案需门票费用共y甲元,乙方案门票费用共y乙元,

依题意得

y甲?(1?25%)(x?2)a?2a,y乙?(1?20%)ax

设y甲?y乙 即(1?25%)(x?2)a?2a?(1?20%)ax

解得 x?10

即当团队人数少于10人时,选择乙方案合算,当团队人数为10人时,

两方案费用一样。当团队人数超过10人时,选择甲方案合算

当x?18时,y甲?14a,y乙?14.4a,

y乙?y甲?14.4a?14a?0.4a(元)

答:这团队应选择甲方案买票更合算,共可比乙方案节省0.4a元。

2011-2012八年级上学期数学竞赛

时间:90分钟 满分:100分 制卷人:林焕清 计分

一、选择题(共7小题,每小题4分,共28分. 以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个

选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请在答题卡上相应位臵进行正确填涂。)

1、下列图案都是由字母m组合而成的,其中不是中心对称图形的是

A、 B、 C、D、

2、如果梯子的底端离建筑物9m,那么15m长的梯子可以达到建筑物的高度是

A、10m B、11m C、12m D、13m

3、某产品的生产流水线每小时可生产100件产品,生产前没有产品积压,生产3小时后安排工人装箱,若每小时装产品150件,未装箱的产品数量y随时间t变化的大致图象只能是

- 9 -

4、以线段a=16,b=13,c=10,d=6为边,且使a∥c作四边形,这样的四边形

A、能作一个 B、能作两个 C、能作三个

D、不能作

5、已知非零实数a,b 满足 2a?4?b?2?4?2a,则a?b等于

A、3 B、-2 C、1 D、5

6、方程|x+1|+|x-3|=4的整数解有

A、2个 B、3个 C、5个 D、无穷多个

7、购买铅笔7支,作业本3个,圆珠笔1支共需3元;购买铅笔10支,作业本4个,圆珠笔1

支共需4元,则购买铅笔11支,作业本5个,圆珠笔2支共需

A、4.5元. B、5元.

二、填空题(共7小题,每小题4分,共28分,请将结果填入答题卡上相应位臵)

8、用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆图案,按照这样的规律摆下去,第2010个图案需

填棋子 枚。

9、三位数3ab的2倍等于ab8,则3ab等于 。

第8题图 C、6元. D、6.5元.

?3x?5y?m?411、已知方程组?中未知数x和y的和等于?1,则m? 。 x?2y?m?12、已知△ABC的三个内角的比是m:(m+1):(m+2),其中m是大于1的正整数,那么

△ABC按角分类应是 三角形。

13、直线y =x?5

495与x轴、y轴的交点分别为A、B,则线段AB上(包括端点A、B)横坐标和纵4

坐标都是整数的点有 个。

14、如图,在△ABC中,CD是高,CE为?ACB的平分线。

若AC=15,BC

=20,CD=12,EF∥AC则∠CEF的大小

为 。 第14题图

三、解答题(共5小题,第15题8分,第16、17、18、19题每题9分,计44分,请将答题过程填写在答题卡上相应位臵)

- 10 -

16、如图1所示,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,?B?90?. 动点P从点B出发,沿梯形的边由

B→C→D→A运动. 设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y. 把y看作x的函数,函数的图像如图2所示,试求当0?x?9时y与x

的函数关系式。

17、10个人围成一个圆圈做游戏.游戏的规则是:每个人心里都

想好一个数,并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人,

然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来。

若报出来的数如图所示,试从方程的角度求报1的人心里想

的数。

- 11 -

18、如图,AD=DB,AE=EC,FG∥AB,AG∥BC。

(1)说明:△AGE≌△CFE.

(2)说明四边形ABFG是平行四边形;

(3)说明四边形BDEF是平行四边形;

(4)研究图中的线段DE,BF,FC之间有怎样的位臵关

系和数量关系。

19、如图,正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为2和,对角线BD、FH都在直线l上.O1、 第18题图

O2分别是正方形的中心,线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距.当中心O2在直线l上平移时,

正方形EFGH也随之平移,在平移时正方形EFGH的形状、大小没有改变.

(1)当中心O2在直线l上平移到两个正方形只有一个公共点时,中心距O1O2等于多少?

(2)随着中心O2在直线l上的平移,两个正方形的公共点的个数还有哪些变化?并求出相对

应的中心距的值或取值范围(不必写计算过程).

2011-2012八年级上学期数学竞赛

八年级数学试题参考答案

- 12 - 第19题图

一、BCADDCB

二、6032;374;?2;-3;锐角;5;450 。

16.解由题意知:BC?4,DC?9?4?5,AD?5…………3分

AB?5?52?4?8………………………………………5分

1ABx?4x……………………………8分 2

1当4?x?9时,y?AB?BC?16………………………9分 2

17 解:设报1的人心里想的数是x…………1分

则报3的人心里想的数应是4?x,于是报5的人心里想的数是4?x,报7的人心里想的数是2当0?x?4时,y?12?(4?x)?8?x,报9的人心里想的数是16?(8?x)?8?x…3分。

则报1的人心里想的数是20?(8?x)?12?x…………4分

所以 12?x?x…………8分

解得x?6…………9分.

所以 报1的人心里想的数是6

18、(1)因为AG∥BC,所以∠G=∠EFC、∠AEG=∠FEC、AE=EC

即△AGE≌△CFE。……3分

(2)因为AG∥BC、FG∥AB,所以四边形ABFG是平行四边形…………5分

(3)因为AB=FG,AD=DB,EF=EG,FG∥AB,所以BD与EF平行且相等,即四边形BDEF是平行四边形……………………7分

(4)DE∥BF,DE∥FC,BF与FC在同一条直线上…………8分

DE=BF=FC………………………………………………………9分

19、(1)|O1O2|=3 …………2分

(2)公共点的个数还可以有两个,无数个,0个 …………4分

当公共点的个数为两个时,1<|O1O2|<3 …………6分

当公共点的个数为无数个时,|O1O2|=1 …………7分

当公共点的个数为0个时,|O1O2|>3或0≤|O1O2|<1 …………9分

- 13 -

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