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八年级希望杯竞赛试题

发布时间:2013-12-16 10:36:51  

八年级数学希望杯

一、选择题:

1.与的关系是( )。 B

(A)互为倒数 (B)互为相反数 (C)互为负倒数 (D)相等

C

2.已知x≠0,则的值是( )。 A

D(A)0 (B)-2 (C)0或-2 (D)0或2 图1

3.适合|2a+7|+|2a-1|=8的整数a的值的个数有( )。

(A)5个 (B)4个 (C)3个 (D)2个

4.如图1,四边形ABCD中,AB//CD,∠D=2∠B,若AD=a,AB=b,则CD的长等于( )。

(A)b-a (B)b- (C)(b-a) (D)2(b-a)

5.有四条线段,a=14,b=13,c=9,d=7,用a、c分别作一个梯形的下、上两底,用b、d分别作这个梯形的两腰(作出的全等的梯形算一种),那么这样的梯形( )。

(A)只能作一种 (B)可以作两种 (C)可以作无数种 (D)一种也作不出

6.当1≤x≤2时,代数式

(A)0 (B)2 (C)2

7.已知

(A)=a, (B) (D)-2 可以化简为( )。 =b,则 (C)用a、b表示为( )。 (D)

8.互不相等的三个正数a、b、c恰为一个三角形的三条边长,则以下列三个数为长度的线

段一定能作成三角形的是( )。

(A)(C), , , (B)a2, b2, c2 , (D)|a-b|, |b-c|, |c-a|

9.在一个凸八边形中,每三个顶点形成三个角(如又A、B、C三个顶点形成∠ABC、∠BAC、

∠ACB),一共可以作出168个角,那么这些角中最小的一个一定( )。

(A)小于或等于20° (B)小于或等于22.5°

(C)小于或等于25° (D)小于或等于27.5°

10.设a、b、c均为正数,若,则a、b、c三个数的大小关系是( )。

(A)c<a<b (B)b<c<a (C)a<b<c (D)c<b<a

二、A组填空题:

11.分解因式a3b+ab+30b的结果是 。

12.若实数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示,则-|b-a|+|b+c|等于 。

13.已知分式的值是-,那么x的值应是 。

14.如图3,∠1=27.5°,∠2=95°, ∠3=38.5°,则∠4的大小是 。

A

A

D

F

F

图3

B

图5

B

E

图4

C

C

E

15.设A1A2A3??An是一个有n个顶点的凸多边形,对每一个顶点Ai (i=1, 2, 3, ??, n),

将构成该角的两边分别向外延长至Ai1, Ai2, 连接Ai1Ai2得到两个角∠Ai1, ∠Ai2,那么所有这些新得到的角的度数的和是 。

16.如图4,矩形ABCD中,AB=4,BC=7,过顶点A作∠BAD的平分线交BC于E,过E作EF⊥ED交AB于F,则EF的长等于 。

17.如图5,Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠C=60°,BC=2,D是AC的中点,过D作DE⊥AC与CB的延长线交于E,以AB、BE为邻边作长方形ABEF,连接DF,则DF的长等于 。

18.某次数学竞赛第一试有试题25道,阅卷规定:每答对一题得4分,每答错(包括未答)一题扣除一分,若得分不底于60分的同学可以参加二试,那么参加二试的同学在一试中至少需答对的题数是 。 19.若510510的所有质因数按照从小到大的顺序排列为a1, a2, a3, ??, a k(k是最大的质因数的序号),则(a1-a2)(a2-a3)(a3-a4)??(a k-1-a k)的值是 。

20.两个七进制整数454与5的商的七进制表示为 。 三、B组填空题: 21.已知a+

,则a5+

的值等于 或 。

22.一项工程,甲单独完成需要a天,乙单独完成需要b天,a、b都是自然数,现在乙先 工作3天后,甲、乙再共同工作1天恰好完工,则a+b的值等于 或 。 23.一个凸多边形的某一个内角的外角与其余内角的和恰为500°,那么这个多边形的边数 是 或 。

24.小张以两种形式储蓄了500元,第一种储蓄的年利率为3.7%,第二种储蓄的年利率为 2.25%,一年后得到利息为15.6元,那么小张以这两种形式储蓄的钱数分别是 或 。 25.若a为整数,且分式或 。

参考答案

一、选择题

-的值是正整数,则a的值等于

三、B组填空题

第十一届“希望杯”数学竞赛初二第二试

一、选择题:

99819991998999, -, -, -这四个数从小到大的排列顺序是 999200019991000

9989981999199899999919981999 (AA)-<-<-<- (B)-<-<-<- 999999200019991000100019992000

9989981998199999999919991998 (C)-<-<-<- (D)-<-<-<- 9999991999200010001000200019991.-

2.一个三角形的三条边长分别是a, b, c(a, b, c都是质数),且a+b+c=16,则这个三角形的形状是

(A)直角三角形(B)等腰三角形(C)等边三角形(D)直角三角形或等腰三角形

3.已知25x=2000, 80y=2000,则11?等于 xy

31 (D) 22

b?cc?aa?b??4.设a+b+c=0, abc>0,则的值是 |a||b||c| (A)2 (B)1 (C)

(A)-3 (B)1 (C)3或-1 (D)-3或1

5.设实数a、b、c满足a<b<c (ac<0),且|c|<|b|<|a|,则|x-a|+|x-b|+|x+c|的最小值是

(A)|a?b?c| (B)|b| (C)c-a (D)―c―a 3

6.若一个等腰三角形的三条边长均为整数,且周长为10,则底边的长为

(A)一切偶数 (B)2或4或6或8 (C)2或4或6 (D)2或4

7.三元方程x+y+z=1999的非负整数解的个数有

(A)20001999个 (B)19992000个 (C)2001000个 (D)2001999个

8.如图1,梯形ABCD中,AB//CD,且CD=3AB,EF//CD,EF将梯形

ABCD分成面积相等的两部分,则AE :ED等于( )。

(A)2 (B)AEDBFC5?1?13 (C) (D) 222?1í

9.如图2,一个边长分别为3cm、4cm、5cm的直角三角形的一个

顶点与正方形的顶点B重合,另两个顶点分别在正方形的两条边AD、 A

B

DC上,那么这个正方形的面积是( )。

16215222

(A)cm (B)cm

15161721622

(C)cm (D)cm2

1617

10.已知p+q+r=9,且

pqpx?qy?rzr

??, 则等于

x?y?zx2?yzy2?zxz2?xy

(A)9 (B)10 (C)8 (D)7 二、填空题:

11.化简:

23?66?42

3?2

2

m3?1

12.已知多项式2x+3xy-2y-x+8y-6可以分解为(x+2y+m)(2x-y+n)的形式,那么2的值

n?1

2

是 。

13.△ABC中,AB>AC,AD、AE分别是BC边上的中线和∠A的平分线,则AD和AE的大小关系是ADAE。(填“>”、“<”或“=”)

14.如图3,锐角△ABC中,AD和CE分别是BC和AB边上的高, 若AD与CE所夹的锐角是58°,则∠BAC+∠BCA的大小是 。

15.设a2-b2=1+2, b2-c2=1-2,则a4+b4+c4-a2b2-b2c2-c2a2

B58D

C

图3

113

=3,则x+的值是 。 23xx

A

的值等于 。

16.已知x为实数,且x2+

n2?3n?10

17.已知n为正整数,若2是一个既约分数,那么这个分数的值等于 。

n?6n?16

E

18.如图4,在△ABC中,AC=2,BC=4,∠ACB=60°,将△ABC 折叠,使点B和点C重合,折痕为DE,则△AEC的面积是 。

19.已知非负实数a、b、c满足条件:3a+2b+c=4, 2a+b+3c=5, 设S=5a+4b+7c的最大值为m,最小值为n,则n-m等于 。

20.设a、b、c、d为正整数,且a7=b6, c3=d2, c-a=17,则d-b等于 三.解答题:

21.已知实数a、b满足条件|a-b|=式。

22.如图5,正方形ABCD中,AB=3,点E、F分别在BC、CD上, 且∠BAE=30°,∠DAF=15°,求△AEF的面积。

B

D图4

C

b11

<1,化简代数式(-)(a?b?1)2,将结果表示成只含有字母a的形aab

ADF

B

E

C

23.将编号为1,2,3,4,5的五个小球放入编号为1,2,3,4,5 的五个盒子中,每个盒子只放入一个,

① 一共有多少种不同的放法?

② 若编号为1的球恰好放在了1号盒子中,共有多少种不同的放法?

③ 若至少有一个球放入了同号的盒子中(即对号放入),共有多少种不同的放法?

参考答案

三.解答题: 21.∵|a-b|=

b

<1, a

∴ a、b同号,且a≠0, b≠0, ∴ a-b-1=(a-b)-1<0,

1111b?a-)(a?b?1)2=(-)[1-(a-b)]=[1?(a?b)]. ababab

b

① 若a、b同为正数,由<1,得a>b,

a

a2b2

∴ a-b=, a-ab=b, 解得b=,

a?1a

b?

11bb?a∴(-)(a?b?1)2=[1?(a?b)]=(1-)

ababaab

1ba?b

=-22=-4

aaa

∴(

=-1. 2a(a?1)

b<1,得b>a, a

a2b2∴ a-b=-, a-ab=-b, 解得b=, a?1a② 若a、b同为负数,由

b

11bb?a∴(-)(a?b?1)2=[1?(a?b)]=a(1+) ababaab

a2

a?a?b =3=aa3

=2a?1. 2a(a?1)

12a?1;当a、b同为负数时,原式的结果为 a2(a?1)a2(a?1)综上所述,当a、b同为正数时,原式的结果为-

22.将△ADF绕A点顺时针方向旋转90°到△ABG的位置,

∴ AG=AF,∠GAB=∠FAD=15°,

∠GAE=15°+30°=45°,

∠EAF=90°-(30°+15°) =45°,

∴∠GAE=∠FAE,又AE=AE,

∴△AEF≌△AEG, ∴EF=EG, A∠AEF=∠AEG=60°,

在Rt△ABE中,AB=3,∠BAE=30°,

∴∠AEB=60°,BE=1,

在Rt△EFC中,∠FEC=180°-(60°+60°)=60°,

EC=BC-BE=3-1,EF=2(3-1),

∴EG=2(-1),S△AEG=

∴S△AEF=S△AEG=3-3. DFGB?6íEC1EG2AB=3-3, 2

23.① 将第一个球先放入,有5种不同的的方法,再放第二个球,这时以4种不同的放法,依此类推,放入第三、四、五个球,分别有3、2、1种放法,所以总共有534333231=120种不同的放法。

② 将1号球放在1号盒子中,其余的四个球随意放,它们依次有4、3、2、1种不同的放法,这样共有4333231=24种不同的放法。

③ (解法一)

在这120种放法中,排除掉全部不对号的放法,剩下的就是至少有一个球放入了同号的盒子中的放法种数。 为研究全部不对号的放法种数的计算法,设A1为只有一个球放入一个盒子,且不对号的放法种数,显然A1=0,A2为只有二个球放入二个盒子,且不对号的放法种数,∴ A2=1,A3为只有三个球放入三个盒子,且都不对号的放法种数,A3=2,??,A n为有n个球放入n个盒子,且都不对号的放法种数。

下面我们研究A n+1的计算方法,考虑它与A n及A n-1的关系,

如果现在有 n个球已经按全部不对号的方法放好,种数为A n。取其中的任意一种,将第n+1个球和第n+1个盒子拿来,将前面n个盒子中的任一盒子(如第m个盒子)中的球(肯定不是编号为m的球)放入第n+1个

盒子,将第n+1个球放入刚才空出来的盒子,这样的放法都是合理的。共有n A n种不同的放法。

但是,在刚才的操作中,忽略了编号为m的球放入第n+1个盒子中的情况,即还有这样一种情况,编号为m的球放入第n+1个盒子中,且编号为n+1的球放入第m个盒子中,其余的n-1个球也都不对号。于是又有了nA n-1种情况是合理的。

综上所述得A n+1=nA n+nA n-1=n(A n+A n-1).

由A1=0, A2=1, 得A3=2(1+0)=2, A4=3(2+1)=9, A5=4(9+2)=44.

所以至少有一个球放入了同号的盒子中的放法种数为全部放法的种数减去五个球都不对号的放法种数,即120-44=76种。

(解法二)

从五个球中选定一个球,有5种选法,将它放入同号的盒子中 (如将1号球放入1号盒子),其余的四个球随意放,有24种放法,这样共有5324=120种放法。

但这些放法中有许多种放法是重复的,如将两个球放入同号的盒子中(例如1号球和2号球分别放入1号盒

23子、2号盒子中)的放法就计算了两次,这样从总数中应减去两个球放入同号的盒子中的情况,得120-C5=P3

120-60(种)。

很明显,这样的计算中,又使得将三个球放入同号的盒子中(例如1号球、2号球和3号球分别放入1号盒

2子、2号盒子和3号盒子中)的放法少计算了一次,于是前面的式子中又要加入C3

5P2=20种,

41再计算四个球、五个球放入同号盒子的情况,于是再减去四个球放入同号盒子中的情况C5P1,最后加上五

个球放入同号中的情况C5

5。

241523整个式子为120-C5+C3P35P2-C5P1+C5=120-60+20-5+1=76(种)。

希望杯第十二届(2001年)初中二年级第一试试题

一、选择题(第小题5分.共50分)

1.设x=2001?2000,y=2000?则x.y的大小关系是( ).

A.x>y B.x=y C.x<y D.无法确定的

2.代数式x?x?1?x?2的最小值是( ).

A.0 B.1+2 C.1 D.不存在的

3.设b≠a且满足(3+1)(a-b)+2(b-c)=a-c,则a?b的值( ). b?c

A.大于零 B.等于零 C.小于零 D.的正负号不确定

4324.设y=x-4x+8x—8x+5.其中x为任意实数,则y的取值范围是( ).

A.一切实数

B.一切正实数

C.一切大于或等于5的实数

D.一切大于或等于2的实数

5.已知点D在线段EF上,下列四个等式:①DE=2DF,②DE=11EF,③EF=2DF,④DF= DE,其中能表示点D是线段32

EF的一个三等分点的表达式是( ).

A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④

2226.已知△ABC中,∠B=60°,∠C>∠A,且(∠C)=(∠A)+(∠B),则△ABC的形状是( ).

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形 D.直角或钝角三角形

7.凸n边形中有且仅有两个内角为钝角,则n的最大值是( ).

A.4 B5 C.6 D.7

8.如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,正方形EFGH内接于正方形ABCD,AE=a,AF=b.若s正方形EFGH=则|b-a|等于( ).

A.2,3223 B. C. D. 3223

141是次品,实际检查时,只发现其中次品的被剔除,另有的正品也被误以为是次品55209.某工厂生产的灯泡中有

而剔除,其余的灯泡全部上市出售,那么该工厂出售的灯泡中次品所占的百分率是( ).

A.4% B.5% C.6.25% D.7.25%

lO.在正常情况下,一个司机每天驾车行驶t h,且平均速度为v km/h,若他一天内多行驶1 h,平均速度比平时快5 km/h,则比平时多行驶70 km,若他一天内少行驶1 h,平均速度比平时慢5 km/h,他将比平时少行驶 ( ).

A.60 km B.70 km C.75 km D.80 km

二、A组填空题(每小题5分,共50分)

11.计算:2001320002000—2000320012001= .

2m?x4mx-13?的解是x≥,那么m的值是 324

xxxx???2 is . 13.Root of the equation?315356312.已知关于x的不等式

(英汉小字典:root根;equation方程.)

24214.已知x+2x+5是x+ax+b的一个因式,那么a+b的值是

l5.若三角形的三个外角的比是2:3:4,则它的三个内角的比是

16.若∠A的补角的余角大于30°,1∠B的余角的补角小于150°,那么∠A与∠B的大小关系是 2

平分线,EF是∠DEA的平

且PE+PC=1,那么边长AB17.如图,△ABC中,∠A=30°,CD是∠BCA的平分线,ED是∠CDA的分线,DF=FE,那么∠B的大小是 18.如图,在菱形ABCD中,∠DAB=120°,点E平分DC,点P在BD上,

的最大值是

?x?2y-z ?6 22219.已知x,y, z为实数,且满足?.那么x+y+z的最

?x-y?2z?3

20。已知n是正整数,且n—16n+100是质数,那么n=

三、B组填空题(每小题10分,共50分)

21.设A=|2x+1|—|1—2x|,则当x<-42小值是 11 时,A= .当x> 时.

A= 22

22.Suppose both a and b are integer.As(a-2b)(8-a)=1,then

a+b= or .

(英汉小字典:integer整数.)

23.如图,延长凸五边形AlA2A3A4A5的各边相交得到五个角∠B1、∠B2、∠B3、∠B4、∠B5,它们的和等于 ;若延长凸n边形(n≥5)的各边相交,则得到的n个角的和等于 .

24.我国在使用公元纪年的同时,也一直沿用我国古代创立的干支纪年法,如甲午战争中的甲午,辛亥革命中的辛亥就是年份的名称.干支中的干是天干的简称,是指甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸;支是地支的简称,是指子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.在纪年时,同时分别从甲子开始,不改变各自的顺序,循环往复下去.已知公元2001年是辛巳年,那么公元1999年是 年,上一个辛巳年是公元 年.

25.若

abcda?b?c?d???,则的值是 或 bcdaa?b?c?d

初中二年级 第1试答案

一、1.C、 2.B 3.C 4. D 5.C 6.A 7.B 8.D 9.B l0.A

二、1 1.0 12.9/10 l3. 9/2 14. 3 1

1 5.5:3:1 l6.∠A>∠B 17.50°18.2 /3

1 9. 14 20. 3

三、21.-2,2 22.10或14

23.(1)180°,(n-4)180° 24.己卯;1941 25.0,2

提示:

希望杯第12届八年级第2试试题

一、选择题(每小题5分,共50分)以下每题的四个结论中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内。

1.化简代数式3?22?3?2的结果是( )

A. 3 B. 1? C. 2?

322 D. 2 2.已知多项式ax?bx?cx?d除以x?1时,所得的余数是1,除以x?2时所得的余数是3,那么多项式

ax3?bx2?cx?d除以(x?1)(x?2)时,所得的余式是( )

A.2x?1 B. 2x?1 C. x?1 D. x?1

3.已知a?1且|a?b|?a,那么( ) a?b

a?ca?bb?ca?c,|b|?2|a|,S1?||,S2?||,S3?||,则S1、S2、S3的大小关系是( ) 2cab A. ab?0 B. ab?0 C. ab?0 D. a?b?0 4.若|a|?|c|,b?

A. S1?S2?S3 B. S1?S2?S3

C. S1?S3?S2 D. S1?S3?S2

5.若一个三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一条边,则此三角形肯定是( )

A. 直角三角形 B. 等边三角形

C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形

b?c?a?ac,c?a?b?ab,6. 若?ABC的三边长是a、b、c,且满足a?b?c?bc,则?ABC

是( ) 444224442244422

A. 钝角三角形 B. 直角三角形

C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形

7. 平面内有n条直线(n?2),这n条直线两两相交,最多可以得到a个交点,最少可以得到b个交点,则a?b的值是( )

n2?nn2?n?2 A. n(n?1) B. n?n?1 C. D. 222

8.In fig. 1, let ?ABC be an equilateral triangle, D and E be points on edges AB and AC respectively, F be intersection of segments BE and CD, and ?BFC?120, then the magnitude relation between Ad and CE is ( )

A. AD?CE B. AD?CE C. AD?CE D. indefinite

(英汉词典:equilateral等边的;intersection交点;magnitude大小,量;indefinite不确定的)

?

9. 已知两个不同的质数p,q满足下列关系:

p2?2001p?m?0,q2?2001q?m?0,m是适当的整数,那么p2?q2的数值是( )

A. 4004006 B. 3996005 C. 3996003 D. 4004004

10.小张上周工作a小时,每小时的工资为b元,本周他的工作时间比上周减少10%,而每小时的工资数额增加10%,则他本周的工资总额与上周的工资总额相比( )

A. 增加1% B. 减少1% C. 增加1.5% D. 减少1.5%

二、填空题:(每小题6分,共60分)

11. 化简:??3的结果是_________。 230?6?43

p?2的值等于_______。 q?32212. 已知p、q为实数,且q?3,满足pq?12p?12?3p?4pq?4q,那么

13. 无理数(1?2)4的整数部分是________。

14. 设a、b、c均为不小于3的实数,则a?2??1?|1?c?1|的最小值是_____。

15. 如图2,直线AB//CD,?EFA?30,?FGH?90,?HMN?30, ???

?CNP?50?,则?GHM的大小是_____。

2216. 代数式x?4?(12?x)?9的最小值是_______。 17. 有大小两个杯子,大杯中盛满48混合溶液,再用水加满大杯,这时大杯中还剩余27升纯酒精,那么小杯的容积是18. If p and q are unequal primes, m and n are unequal positive integers (英汉词典:prime质数) n2?pn?q?0, then the value of p?qis ________。

19. 如图3,Rt?ABC中,?C?90?,?A?

30?,点D、E分别在AB、AC上,且DE?AB,若DE将?ABC分成面积相等的两部分,那么线段CE与AE的长度的比是________。

20. 如图4,将矩形ABCD的四个角向内折起,恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH,若EH?3,EF?4,那么线段AD与AB的比等于_________。

三、解答题(21、22题各13分,23题14分,共40分)要求:写出推算过程

21.六个排球队参加小组循环赛,取前4结果有3

22. 从甲站到乙站共有800千米,开始400千米是平路,接着300千米是上坡路,余下的是下坡路,已知火车在上坡路、平路、下坡路上的速度的比是3:4:5,

(1)若火车在平路上的速度是80千米/小时,那么它从甲站到乙站所用的时间比从乙站到甲站所用的时间多多少小时?

(2)若要求火车来回所用的时间相同,那么火车从甲站到乙站在平路上的速度与乙站到甲站在平路上的速度的比是多少?

23. 如图5,等边?ABC的边长a?

求PA、PB的长。

25?123,点P是?ABC内的一点,且PA2?PB2?PC2,若PC?5,

〖答案〗

一. 选择题(本大题共50分。对于每个小题,答对,得5分;答错或不答,不给分)

1. D 2. A 3. B 4. A 5. C

6. D 7. D 8. C 9. B 10. B 二. 填空题:

11. 12. 0 13. 33 14. 2?2 12

15. 40 16. 13 17. 12升 18. 5 ?

19.

256?2 20. 242

三. 解答题:

21. 设各队得分分别是x,x,x,y,z,w,

且x?y?z?w?0

6?5?15场, 2

所以3x?y?z?w?15 因为六个队之间共比赛

首先,最后两名之间也有一场比赛,所以z与w不可能都得0,

因而z?1,y?2,

即y?z?w?3

当y?z?w?3时,3x?15?3?12

所以x?4,y?2,z?1,w?0

当y?z?w?3时,y?z?w?15?3x,

则y?z?w可以被3整除,

因此y?z?w?6,

所以3x?9,x?3

因为x?y,所以y?2,

此时y?z?w?2?2?2?6与y?z?w?6矛盾,

所以当y?z?w?3时无解,

因此6个队得分分别是4,4,4,2,1,0。

22. (1)甲乙两地之间的距离是800千米,开始400千米是平路,接着300千米是上坡路,所以下坡路是100千米,火车在平路上的速度是800千米/小时,所以火车在上坡路上的速度是600千米/小时,在下坡路上的速度是100千米/小时,所以

从甲地到乙地用的时间为

400300100???11小时, 8060100

4003001002???9小时, 80100603 从乙地到甲地用的时间为

所以从甲地到乙地用的时间比从乙地到甲地用的时间多4小时。 3

(2)设火车从甲地到乙地在平路上的速度是4V1千米/小时,则它在上坡路上的速度是3V1千米/小时,在下坡路上的速度是5V1千米/小时,

所以火车从甲地到乙地用的时间是

400300100220小时 ???4V13V15V1V1

同样,设火车从乙地到甲地在平路上的速度是4V2千米/小时,则它在上坡路上的速度是3V2千米/小时,在下坡路上的速度是5V2千米/小时,所以火车从乙地到甲地用的时间是

400300100580小时 ???4V25V23V23V2

220580, ?V13V2 依题意有

所以V133 ?V229

23. 设?ABC、?PAB、?PBC、?PAC的面积分别是S、S1、S2、S3,线段PA、PB、PC的长分别是x、y、z,如图,

PC?PA?PB,

即z2?x2?y2,

及P'B?PC?z,PP'?x,

所以在?PP'B中,满足P'B?PP'?PB

则?PP'B是直角三角形

于是S四边形APBP'?S1?S3?S?P'AP?S?P'PB, 222222

即S1?S3?21x?xy42(1)

将?APB绕B顺时针旋转60,将?APC绕C逆时针转60,可分别得 ??

21y?xy42 21S3?S2?z?xy42S1?S2?

(1)?(2)?(3)得 (2) (3)

S?S1?S2?S3

123?[(x?y2?z2)?xy] 242

323?z?xy44

2232a?z?xy, a,所以4444 又S?

即xy?a2?z2

又由已知和(4)得 (4)

22??x?y?25 ? 2??xy?(25?123)?25

?x2?y2?25, 所以??xy?12

因为x?0,y?0, (5)(6)

?x?4?x?3 解方程得? 或?y?3y?4??

所以PA?4,PB?3或PA?3,PB?4

第十三届“希望杯”全国数学邀请赛初二年级

第一试

一、选择题 以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内.

1. 使分式?x?x

x?x2的值为零的x的一个值是 ( )

(A) 0 (B) 1 (C)-1 (D) -2

2. 下列各式分解因式后,可表示为一次因式乘积的是( )

(A)x?9x?27x?27 (B)x?x?27x?27

(C)x?x?27x?27 (D) x?3x?9x?27

3. 2001年7月13日,北京市获得了第29届奥运会的主办权,这一天是星期五,那么第29届奥运会在北京市举办的那一年的7月13日是( )

(A) 星期四 (B) 星期五 (C)星期六 (D) 星期日

4. 设P是等边△ABC内任意一点,从点P作三边的垂线PD、PE、PF,点D、E、F是垂足,则43323232PD?PE?PF等于( ) AB?BC?CA

(A) 123 (B) (C) (D) 2262

5. 若三角形的三个内角A、B、C的关系满足A>3B,C<2B,那么这个三角形是( )

(A) 钝角三角形 (B) 直角三角形

(C) 等边三角形 (D) 不等边的锐角三角形

4?xx?32?3x,n?,p?,且m>n>p,那么x的取值范围是( ) 345

147147(A) x<1 (B) ?<x<1 (C) ?<x<1 (D) ?<x<? 1717556. 已知m?7. If a<b<0, then the following inequality must be hold

(英语小词典:following:下面的; inequality:不等式) 111111(A) < (B)> (C) >aba?baab1??1?? (D) ?b??<?a?? a??b??22

ab2b8. 已知b<0,0<a<b<c,且?ac,则a、b、c的大小顺序是( ) cc

(A) a<b<c (B) c<b<a (C) b<a<c (D) b<c<a

9. 在凸四边形ABCD中,AB∥CD,且AB+BC=CD+DA,则( )

(A) AD>BC (B) AD<BC (C) AD=BC (D) AD与BC的大小关系不能确定

010. 如图1,在直角△ABC中,∠C=90,AC=3,以AB为一边向三

ABEF,正方形的中心为O,且OC=42,那么BC的长等于( ) (A) 32 (B) 5 (C) 2 (D)

二、A组填空题

11. 若对于一切实数X,等式

值是 .

角形外作正方形9 2E x2?px?q?x?1??x?2?均图1 成立,则p?4q的2

12. 2001年北京市的气候条件较好又无病虫害,这一年北京市海淀区的冬储大白菜的种植面积约为2000亩,与一一年相比,面积持平而亩产量达5000公斤,比上一年的亩产量增加了25%,但平均价格低于上一年,2001年在地头批发的平均价格为每公斤0.20元,假设所有的大白菜都在地头批发,且两年收入相同,则上一年在地头批发大白菜的平均价格约为每公斤 元. 13.若3a

2n?m

和4a

n?2m

都是2a的同类项,则2n3m5

5

??

2

?1?

??n5m??nm3的值是 ?2?

??

14. 若x?x?1?0,则?x?2x?2002 的值等于15. 若a,b均为正数,且a2?b2,4a2?b2,a2?4b2是一个三角形的三条边的长,那么这个三角形的面积等于 .

0016. In Fig.2,In the Rt△ABC,∠ACB=90,∠A=30,CD is the ∠ACB,MD is the perpendicular to BA and MD through the segment AB,thrn ∠CDM= .

B E

(英语小词典:bisector:平分线;perpendicular:垂线;

图2 17. 边长为整数且面积为2002的长方形共有 种.(对形算作同一种)

00

18. 一个凸n边形的最小内角为95,其他内角依次增加10,则n的值等于 19. 如图3,D、E分别在△ABC的边AC,AB上,BD与CE相交于F,

图3

B的距离的和等bisector to midpoint of midpoint:中点) 应边长相等的长方

23

AE

?2,EB

AD1

?,△ABC的面积S△ABC=21,那么四边形AEFD的面积等DC2

20. 在数轴上,A和B是两个定点,坐标分别是-3和2,点P到点A,于6,那么点的坐标是 . 三、B组填空题

21. 方程x2?xy?5x?5y?1?0的整数解是或于 .

22. 两个凸多边形,它们的边长之和为12,对角线的条数之和为19,那么这两个多边形的边数分别是 和 . 23. 方程

x?y?5?y?18?0的解是 或 .

24. 在一个三位数的百位和十们之间插入:0,1,2,?,9中的一个数码得到的四位数恰是原三位数的9倍,那么这样的三位数中最小的是 ,最大的是 .

25. 已知n是自然数,且n?17n?73是完全平方数,那么n的值是 或 . 答案

2

三、B组填空题

2002年度初二第二试“希望杯”全国数学邀请赛

一、选择题:(每小题5分,共50分)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内.

1.若a≠,

(A)都是有理数. (B)一个是有理数,另一个是无理数

.

(C)都是无理数. (D)是有理数还是无理数不能确定

.

2222222.已知a>b>c,M=ab+b

c+ca,N=ab+bc+ca,则M与N的大小关系是( ).

(A)M<N (B)M>N (C)M=N (D)不确定的

3.上午九点钟的时候,时针与分针成直角,那么下一次时针与分针成直角的时间是( ).

58分 (D)9时32分 1111

1114.有理数a、b、c满足下列条件

:a+b+c=0且abc<0,那么??的值是

( ). abc (A)9时30分 (B)10时5分; (C)10时5

(A)是正数 (B)是零

(C)是负数 (D)不能确定是正数、负数或0

5.

已知a?其中m>0,那么a,b,c的大小关系是( ). b?c? (A)a>b>c (B)c>a>b; (C)a>c>b (D)b>c>a

6.已知△ABC中,∠A=60°,BC=a,AC=b,AB=c,AP是BC边上的中线,则AP 的长是( ).

7.(Figure 1) In the parallelogram ABCD,AD=2AB,a point M is mid- point of segment AD,CE⊥AB,if∠CEM=40°,then the value of∠DME it( ).

(A)150° (B)140° (C)135° (D)130°

8.如图,在四边形ABCD中,E、F分别是两组对边延长线的交点,EG、FG 分别平分∠BEC、∠DFC,若∠ADC=60°,∠ABC=80°,则∠EGF的大小是( ).

(A)140° (B)130° (C)120° (D)110°

E

AE?MDDBFBC

9.设ai=1989+i,当i取1,2,3,?,100时,得到100个分式 55ii?(如i=5,则=),在这100个分式中,最简aiai1989?51994

分式的个数是( ).

(A)50 (B)58 (C)63 (D)65

10.一个长方体的棱长都是正整数,体积是2002, 若对应棱长相等的长方体算作同一种长方体,那么这样的长方体

( )

(A)有6种 (B)有12种

(C)有14种 (D)多于16种

二、填空题:(每小题6分,共60分)

11.某储蓄所每年工资支出10万元,其他固定支出每年17万元. 对于吸收的存款每年应付2.25%的利息,吸收来的存款全部存到上级银行,可得年利率4.05%的内部核算收入,那么该储蓄所为使内部核算没有亏损, 每年至少应吸收存款____________________________万元.

12.

,最后得_________. ?1???1????x????y?4???0 ,那么x-y的值是________. ?23??32?

1313.设x,y都是有理数,且满足方程?16131614. 15与33的大小关系是15________33 . (填“>”,“<”或“=”)

15.If N is natural number,and N?6?N?1,then the value of N is______.( natural number自然数)

16.如果1?a1?b2?,那么(2+a)(2+b)+b=__________. 1?a1?b

17.如图所示的八个点处各写一个数字,已知每个点处所写的数字等于和这个点有线段相连的三个点处的数字的平均

1a?b?c?d?(e?f?g?h)数,则代数式:=_____. a?b?c?d?(e?f?g?

h)3

18.2001年某种进口轿车每辆标价40万元人民币,买此种车时还需另外交纳汽车标价的80%的关税,我国加入WTO后,进口车的关税将逐渐下降.预计到2006年7月1日,关税降到25%,又因为科技的发展使成本降低,到2006年7月1日,该种

车的标价降到2001年的65%,那么2006年7月1日后买一辆该种轿车将比2001 年少付人民币______万元.

19.在△ABC中,∠A=40°,H是△ABC的垂心,且H不与B、C重合,则∠BHC的大小等于_______.

20.如图,正九边形ABCDEFGHI中,AE=1,那么AB+AC的长是

_______.

三、解答题:(21题16分,22、23题各12分)要求:写出推算过程.

21.如图,在锐角△ABC中,AD、CE分别是BC、AB边上的高,AD、CE相交于F, BF的中点为P,AC的中点为Q,连接PQ、DE.

(1)求证:直线PQ是线段DE的垂直平分线;

(2)如果△ABC是钝角三角形,∠BAC>90°,那么上述结论是否成立? 请按钝角三角形改写原题,画出相应的图形,并给予必要的说明.

A

EDCPB

22.已知在等式ax?b?s中,a,b,c,d都是有理数,x是无理数,解答: cx?d

(1)当a,b,c,d满足什么条件时,s是有理数;

(2)当a,b,c,d满足什么条件时,s是无理数.

23.在线段AB上,先在A点标注0,在B点标注2002,这称为第一次操作; 然后在AB的中点C处标注0?2002=1001,称2

0?1001为第二次操作;又分别在得到的线段AC、BC的中点D、E处标注对应线段两端所标注的数字和的一半,即与2

1001?2002,称为第三次操作;照此下去,那么经过11次操作之后,在线段AB上所有标注的数字的和是多少? 2

2002年度初二第二试“希望杯”全国数学邀请赛答案:

一、

1.当两数不等时,两数的差为有理数,说明这两数都是有理数,

,选(A).

2.M-N=(ab+bc+ca)-(ab+bc+ca)= ab+bc+ca-ab-bc-ca=a(b-c)+b(c-a)+c(a-b) ∵ a>b>c ∴ b-c>0,c-a<0,a-b>0

222 ∵a(b-c)≥0,b(c-a)≤0,c(a-b) ≥0

222 ∴a(b-c)+c(a-b)> b(c-a)

∴ M-N>0.选(B).

3.把时针转动速度以“度/分钟”为单位,

分针转动速度是2222222222222223601? (度/分钟) 12?602360=6(度/分钟) 60

18 再成直角所用时间为180?(6?)?32(分钟) 211

8 所以下一次时针与分针成直角时间是32分,选(D). 11

4.由abc<0知a、b、c均不为0.

2222∴(ab+c)=a+b+c+2(ab+bc+ca)=0 122(a+b+c+2)<0 2

111bc?ac?ab?0,选(A) ∴???abcabc ab+bc+ca=-

5.

∵a??1,∴

a>b; bb??1, ∴

c>b ca??1,∴a>c c ∴ a>c>b.选(C).

6.如图延长中线AP到E,使PE=AP,连接EB,可得△ABC≌△APC,∴∠E=∠PAC, BE=AC=b. ∴∠PAB+∠E=∠CAB=60°

E ∴ ∠ABE=120°;

作EF⊥AB延长线于F,∴∠EBF=180°-120°=60°

∴ ∠BEF=30 ∴BF=011BE=b. 22

22 在Rt△BEF中,根据勾股定理:EF=b+???

?b??2?23b. 42ABF?. 在Rt△AEF中,根据勾股定理

∴ PA=11

AE=22选(B)

7.如图,连接CM,作MN⊥EC于N.

∵ AB⊥CE ∴MN∥AB,且MN∥CD,从N为梯形AECD的中位数.

由MN⊥CE,MN是EC边中线,∴△EMC为等腰△,

∴∠ECM=∠MEC=40° ∠EMC=180°-2340°=100° ∵ ∠ECD=∠AEC=90°,∴∠MCD=90°-40°=50°, 又∵ DC=

1

AD=DM,∴∠MCD=∠DMC=50°,∴ 2

∠EMD=∠EMC+∠CMD=100°+50°=150°.选(A) 8. 2∠4=360°-(60°-∠E)-(180°-∠F) =220°+∠E+∠F

E

111100

∠E+∠F,?2?60??E,?3?80??F, 2222

100010101∴∠C=360-(∠4+∠2+∠3)=360-110-∠E-∠F-60+∠E-80+∠F

2222

∵ ∠4=110°+

=360°-110°-60°-80°=110°

选(D).

9.当i=3n(n≤33);i=13n(n≤7);i=17n(n≤5)这些数时;

F

A

G

C

B

i

不是质数, 这样的数共有: ai

33+7+5=45(个)

其中i=1333=39,i=1336=78与i=1733=51时,与i=3n中的39,78,51重复, 所以不是质数的数共有 45-3=42个. 所以100个分式中最简分式的个数是100-42=58个. 选(B).

3

10.∵ x=2002=13237311313,把1、2、7、11、13组成三数的乘积. 有如下14种: 13132002 13231001 1373286 13113182 13133154 13143143 1322391 1326377 2373143 7311326 1132391 1332377 14311313 2237313 选(C). 二、

11.设每年至少应吸收存款x万元,

4.052.25

x?10?17?x 100100

x=1500万元 应填1500.

12.原式

?.

13.

1?1?

x?x?y?y?4??, 2332

3x?2?x?2y?3?y?24?6?

(3x?2y)??(2x?3y)?24?6?

∴??3x?2y?24?x?12,得?

?2x?3y?6?y?y??6

∴x-y=18.

1613161613131356131333131313331314.15-33=325-3211=3(325-11)=3(32525-11)=3(1525-11)

313131613 显然,1525-11<0, ∴15-33<0, 填<.

15.6?2]3?(53

=5+3353

333

2.449时,原式=969.9,N=969.

16.由原已知得 (1+a)(1+b)=(1-a)(1-b)

∴ a+b=0

222 原式=4+2a+2b+ab+b=4+2(a+b)+ab+b=4+ab+b=4+b(a+b)=4.

应填4

17. 因为 a?322

3

d?b?ca?c?fb?d?ga?c?h,b?,d?,c?, 3333

2(a?b?c?d)?(e?f?g?h) ∴a?b?c?, 3

设a+b+c+d=m,e+f+g+h=n,

2m?n, 3

2m?n∴m=,∴m=n, 3∴a+b+c+d=

即a+b+c+d=e+f+g+h 11a?b?c?d?(e?f?g?h)m?n ∴?11a?b?c?d?(e?f?g?h)m?n33

2m?n32m?m33????. =23m?n23m?m4

18.根据题意,得 40?1??

?80?65?25??40?1?????39.5 100?100?100?

应填39.5

19.分锐角三角形和钝角三角形两种情况,如图:

A

A

?

CB?B(1)(2)H

如图1.由∠A=40°,得∠ABH=50°

∴∠α=40°,∠BHC=180°-α=140°

如图2.由∠A=40°,得∠β=50° ∴∠r=∠β=50

∴ ∠BHC=90°-∠r=90°-50°=40°

应填140°或40°.

000000 20.正九边形内角和为(9-2)3180=1260,每个内角为140, ∠CAB=(180-140)÷2=20

连接AH,作HM,GN分别垂直AE于M,N.

∴ ∠HAM=140°-2 320°-40°=60°,∴∠AHM=30°

设AM=EN=x,MN=y

四边形HGNM是矩形,所以HG=y,即正九边形边长为y,

在Rt△AHM中,∠AHM=∠30°

∴ AH=2AM=2x ∴ AB+AC=y+2x

而x+y+x=1 ∴ 2x+y=1 ∴ AB+AC=1,

应填1.

三、解答题(按参考答案,酌情给分)

21.证明(1)连接PD、PE、QD、QE.

因为 CE⊥AB,P是BF的中点,

所以 △BEF是直角三角形,且

PE是Rt△BEF斜边的中线,

所以 PE=1BF. 2

又因为 AD⊥BC,

所以 △BDF是直角三角形,且PD是Rt△BDF斜边的中线,

所以 PD=1BF=PE, 2

所以 点P在线段DE的垂直平分线上.

同理可证,QD、QE分别是Rt△ADC和Rt△AEC斜边上的中线, FE

P1 所以 QD=AC=QE, 2

所以 点Q也在线段DE的垂直平分线上. BCD 所以 直线PQ垂直平分线段DE.

(2)当△ABC为钝角三角形时,(1)中的结论仍成立.

如右图,△ABC是钝角三角形,∠BAC>90°.

原题改写为:如右图,在钝角△ABC中,AD、CE分别是BC、AB边上的高,DA 与CE的延长线交于点F,BF的中点为P,AC的中点为Q,连接PQ、DE.

求证:直线PQ垂直且平分线段DE.

证明 连接PD,PE,QD,QE,则PD、PE分别是Rt△BDF和Rt△BEF的中线,

所以 PD=11BF, PE=BF, 22

所以 PD=PE,

点P在线段DE的垂直平分线上.

同理可证 QD=QE,

所以 点Q在线段DE的垂直平分线上.

所以 直线PQ垂直平分线段DE.

b是有理数. d

aadad(cx?d)?b?b?ax?b?a?, 当c≠0时,s=?cx?dcx?dccx?d

aad 其中:是有理数,cx+d是无理数,b?是有理数. cc

ad 要使s为有理数,只有b?=0,即 bc=ad. c22.(1)当a=c=0,d≠0时, s=

综上知,当a=c=0且d≠0或c≠0且ac=bd时,s是有理数.

(2)当c=0,d≠0,且a≠0时,s是无理数.

aadad(cx?d)?b?b?ax?b?a? 当c≠0时,s=?cx?dcx?dccx?d

aad 其中: 是有理数,cx+d是无理数,b?是有理数. cc

ad 所以 当b?≠0,即bc≠ad,s为无理数. c

综上知,当c=0,a≠0,d≠0或c≠0,ac≠bd时,s是无理数.

23.设第n次操作后,线段AB上所标注的数字和是an ,那么第n+1次操作后,使得除A、B两点外,其他的数字都再加上一次(两边各加上一半),而A、B两点的数字, 则再加上它们的一半,即 an?1?an?(an?2002)?02002??2an?1001(n?1) 22

又因为 a1=2002+0=2002

所以 a2=2a1-1001=3003

2所以 a11=2a10-1001=2(2a9-1001)-1001=22a9-(2+1)21001=?

10987=22a1-(2+2+2+?+2+1)21001

=1024.2002-(1024-1).1001

=1026025.

答:经过11次操作后,在线段AB上标注的所有数字的和为1026025.

第十四届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试

2003年3月23日 上午8:30至10:00

校名____________班__________姓名____________辅导老师____________成绩____________

一、选择题(每小题5分,共50分)

1.已知x是实数,则x-?+-x+

(A)1-x-1?的值是( ) 111 (B)1+ (C)-1 (D)无法确定的 ???

432222342.若x+y=-1,则x+5xy+xy+8xy+xy+5xy+y的值等于( )

(A)0

(A)[a]=|a|

(A)0 (B)-1 (C)1 (D)3 (D)[a]>a-1 (D)2b-2c 3.设[a]表示不超过a的最大整数,如[4.3]=4,[-4.3]=-5,则下列各式中正确的是( ) (B)[a]=|a|-1 (C)[a]=-a (B)2a+2b+2c (C)4a

(B)两条边对应相等

(D)斜边与一个锐角对应相等

(C)3个

(C)EF=BC

E

A4.a,b,c为三角形的三边长,化简|a+b+c|-|a-b-c|-|a-b+c|-|a+b-c|,结果是( ) 5.下列条件中,能判定两个直角三角形全等的是( ) (A)两个锐角对应相等 (C)一条边与一个锐角对应相等 (A)1个 (A)AC=AF

1 6.如图1,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠1=30°,∠DCB=60°,则图中的等腰三角形有( ) (B)2个 (B)∠FAB=∠EAB E(D)4个 (D)∠EAB=∠FAC B7.如图2,△ABC≌△AEF,AB=AE,∠B=∠E,则下列结论中不一定成立的是( ) DBF图2 C图3 BFFFigure4 C

8.如图3,△ABC中,∠C=90°,∠BAD=

(A)105° (B)90°

9.(Figure 4)In the trapezium(梯形)ABCD,AD∥BC,point E is midpoint(中点)of the AD,point F is midpoint of the BC,

1EF=(BC-AD),the result of the ∠B+∠C is ( ) 2

(A)90° (B)100° (C)110° (D)120°

10.2002年9月28日,“希望杯”组委会第二次赴俄考查团启程,途经哈巴罗夫斯克和莫斯科,两地航程约9000千米,

往返飞行所用的时间并不相同,这是因为在北半球的高纬度地区,有一股终年方向恒定的西风,人们称它为“高空西风带”.已知往返飞行的时间相差1.5小时,飞机在无风天气的平均时速为每小时1000千米,那么西风速度最接近( ) ...

(A)60千米/小时 (B)70千米/小时

二、A组填空题(每小题5分,共50分)

11.设0<x<1<y<2,则x2+y2-2xy+4x-4y+4+-2x+x2-y2-4y+4=__________.

12.已知a5-a4b-a3+a-b-1=0,且2a-3b=1,则a3+b3的值等于____________.

13.四种水果糖的价格分别是每斤6、7、9、12元.现将每斤6元和7元的糖各10斤,每斤9元和12元的糖各6斤混合

为什锦糖,以四种糖的平均价格出售,这32斤糖可多收入_______元.

14.某市举行中学生运动会,有7千多人参加入场式,如果他们10人站一排,将多出1人,如果分别以9人、8人、7人、

6人、5人、4人、3人站成一排,都将多出1人,那么参加入场式的人数是____________.

15.If polynomial(多项式)5x3-34x2+94x-81 can be espressed as(表示成)a(x-2)3+b(x-2)2+c(x-2)+d,then numerical value

(数值)if ad+bc is ____________. 11∠BAE,∠ABD=∠ABF,则∠D的大小是( ) 33(C)75° (D)60° (C)80千米/小时 (D)90千米/小时

16.In the Rt△ABC,∠ACB=90°,AB+BC+CA=2+6,midline for hypotenuse(斜边)is 1,then AC2BC=__________.

17.如图5,两点A、B在直线MN外的同侧,A到MN的距离AC=8,B到MN的距离BD=5,CD=4,P在直线MN上

运动,则|PA-PB|的最大值等于__________.

18.如图6,等腰梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=60°,AC平分∠DAB,且AC=2,则梯形ABCD的周长等于__________.

B

A

NCPDM的中点,如果它们的面积均为1,19.如图7,两个全等的正六边形ABCDEF、PQRSTU,其中点

则阴影部分的面积是__________. 三、B组填空题(每小题10分,共50分)

图5 图6 图7

20.正整数A除以3余2,除以4余1,那么A除以12的余数是__________.

21.四个数w、x、y、z满足x-2001=y+2002=z-2003=w+2004,那么其中最小的数是______,最大的数是_______. 22.从1开始的n个连续整数的和等于一个各个数码都相同的两位数,则n的值等于__________或__________. 23.如图8,三个含30°角的直角三角形从小到大

条边相等,AB=A'C'=B''C'',在这三个三角形=3∶_______∶_______.

24.若x,y为正整数,且x2+y2+4y-96=0,则

B

B

/

依次排列,彼此有一

B

//

中,BC∶B'C'∶B''C''xy=________或

CA/

________.

1260

25.已知2是正整数,则正整数a=____________.

a+a-6

/A图8

//

2003年第十四届“希望杯” (初二笫2试)

一、选择题:(50分)

221.y-2x+1是4xy-4x-y-k的一个因式,则k的值是( )

(A)0; (B)-1;(C)1; (D)4

2.不等式0≤ax+5≤4的整数解是1、2、3、4,则a的取值范围是( )

555(A)a≤-; (B)a<-1;(C)-≤a<-1;(D)a≥- 444

3.整数x、y满足不等式x+y+1≤2x+2y,则x+y的值有( )

(A)1个; (B)2个; (C)3个; (D)4个

4.如图1,在矩形ABCD中,AE,AF三等分∠BAD,若BE=2,CF=1,则最接近矩形面积的是( )

(A)13; (B)14; (C)15; (D)16 D

AFG22ADF

BE

图1CC图2BE图3

1105.如图2,RtΔABC中,∠C=90,∠DAF=∠DAB,∠EBG=∠EBA,则射线AF与BG( ) 33

(A)平行;(B)延长后相交;(C)反向延长后相交;(D)可能平行也可能相交

36.If the radius(半径) of circle Ⅲ in the figure3(图3) is of the radius of circle Ⅱ,and the radius 4

4of circle Ⅱ is of the radius of circle Ⅰ,then the area of the shaded region iswhat part of the 5

area of circle Ⅰ?( ) (A)79316; (B);(C);(D) 252025507.凸n边形(n≥4)中,不算两个最大的内角,其余内角的和为110,则n等于( )

(A)12; (B)11; (C)10或9; (D)10

8.将长为12的线段截成长为整数的三段,使它们成为一个三角形的三边,则构成的三角形( )

(A)不可能是等腰三角形;(B)不可能是等腰三角形;

(C)不可能是等边三角形;(D)不可能是钝角三角形;

9.数轴上的点A、B、P分别对应数:-1、-4、x,并且P与A的距离大于P与B的距离,则( ) 5(A)x>-3; (B)x>-2; (C)x<-2; (D)x<- 2

10.如图4,啤酒瓶高为h瓶内酒面高为a,若将瓶

盖盖好后倒置,酒面高为a(a+b=h),则酒瓶

的容积与瓶内酒的体积的比为( )

bbaa'

(A) 1+'; (B)1+; (C)1+; (D)1+ abab,,

二、填空题: (50分)

911.方程丨x+3丨+丨3-x丨=丨x丨+5的解是___________. 2

12.有人问毕达哥拉斯,他的学校中有多少学生,他回答说:“现在,有一半学生学数学,四分之一的学生学音乐,七分之一的学生在休息,还剩三个女同学┉┉.”那么毕达哥拉斯的学校中有____________学生.

11=4的一个根是4,则另一个根是_____________. 2x?2

?14.已知:对于正整数n,

,若某个正整数k满足

13.方程x+

??2,则k=___________。 3

15.已知xy?yz?zxxz=________________. ?y??0,那么2x?3y2?4z232

16.小明到商场购买某个牌子的铅笔x支,用了y元(y为整数).后来他又去商场时,发现这种牌子的铅笔降阶20%,于是他比上一次多买了10支铅笔,用了4元钱,那么小明两次共买了铅笔_______支.

17.If a,b and c are sieds(边) of the ΔABC,and a-bc=a(b-c),then the figure(形状) of the triangle(三角形) is_________.(用汉语填写)

18.如图5,是一个圆形花坛,中间的鲜花构成一个菱形图案

(单位:米),若每平方米种植鲜花20株,那么这个菱形图

案中共有鲜花______株.

19.如图6,ΔABC中,AC=BC=5,∠ACB=80,O为ΔABC中一点,

∠OAB=10,∠OBA=30,则线段AO的长是_______.

20.已知x、y、z均为正整数,且7x+2y-5z是11的倍数,那么

3x+4y+12z除以11,得到的余数是

_____. A图60002B

三、解答题:(要求写出推算过程,21题20分,22,23题各15分)

21.有一批影碟机(VCD)原售价:800元/台.甲商场用如下办法促销:

乙商场用如下办法促销:每次购买1~8台,每台打九折;每次购买9~16台,每台打八五折;每次购买17~24台,每台打八折;每次购买24台以上,每台打七五折.

(1)请仿照甲商场的促销列表,列出到乙商场购买VCD的购买台数与每台价格的对照表.

(2)现在有A、B、C三个单位,A单位要买10台VCD,B单位要买16台VCD,C单位要买20台VCD,问他们到哪家商场购买花费较少?

22.如图7,在锐角ΔABC中,D、E、F分别是AB、BC、CA边上的三等分点,P、Q、R分别是ΔADF、ΔBDE、ΔCEF的三余中线的交点.(1)求ΔDEF与ΔABC的面积比;(2)求ΔPDF与ΔADF 的面积比;(3)求多边形PDQERF与ΔABC 的面积比.

A

PD

R

B图7

23.两条直线上各有n个点,用这n对点按如下规则连结线段:

①同直线上的点不连结;

②连结的任意两条线段可以有共同的端点,但不得有其它的端点;

(1)画图说明当n=1、2、3时,连结的线段最多各有多少条?

(2)由(1)猜想n(n为正整数)对点之间连结的线段最多有多少条,证明你的结论.

(3)当n=2003时,所连结的线段最多有多少条?

参考答案:

一.BCCCA,ADDDC.

二. 211.?; 9

12.28;

513.; 2

14.8; 115.; 2

16.40或90;

17.等腰三角形;

18.480;

19.5;

20.0.

三.

21.(1)乙商场的促销办法列表如下:

(2)比较两商场的促销办法可知:

因为到甲商场买21台VCD时共需

600321=12600元,

而到乙商场买20台VCD时共需640320=12800元,

12800>12600,

所以购买20台VCD时应去甲商场购买.

所以甲单位应到乙商场购买,B单位应到甲商场购买,C单位应到甲商场购买.

22.(1)如图1,过点D作DG⊥BC于G,过点A作AH⊥BC于H,则DG∥AH,所以ΔBDG∽ΔBAH,又

BD12?,BE=BC, BA33

12所以DG=AH,SΔBDE=SΔABC, 39

2同理SΔADF=SΔCEF=SΔABC 9

1所以SΔDEF=SΔABC-SΔADF-SΔCEF

=SΔABC. 3G(2)分别延长DP,FP交AF,AD于M,N,因为点P是ΔADF的三条中线的交点, 图1

2所以M,N分别是AF,AD的中点,且DP=DM, 3

2过点P,M分别作DF的垂线

,垂足分别为K,S,则ΔDKP∽ΔDSM,相似比为2∶3,所以KP=SM, 3

2SΔPDF=SΔMDF, 3

1又SΔMDF=SΔADF,得 2

1SΔPDF=SΔADF. 3

(3)由(2)知,

11SΔQDE=SΔBDE,SΔREF=SΔCEF, 33

所以SΔPDF=SΔQDE=SΔREF=1SΔABC. 27

5所以SPDQERF=SΔDEF+SΔPDF+SΔQDE+SΔREF=SΔABC. 9

23.(1)由图2可以看出,n=1时,最多可以连结1条线段,n=2时,最多可以连结3条线段,n=3时,最多可以连结5条线段.

(2)猜想:对于正整数n,这n对点之间连结的直线段最多有2n-1条

.

An=1n=2

图2

n=3iBi+1图3n+1l2

证明: 将直线标记为l1,l2,它们上面的点从左到右排列为A1,A2A3,┉,An和B1,B2,B3,┉,Bn,设这n对点之间连结的直线段最多有Pn条,显然,其中必有AnBn这一条,否则,Pn就不是最多的数.

当在l1,l2分别加上笫n+1个点时,不妨设这两个点在An与Bn的右侧,那么除了原来已经有的Pn条直线段外,还可以连结An+1Bn,An+1Bn+1这两条线段,或连结AnBn+1,An+1Bn+1,这两条线段.

所以Pn+1≥Pn+2.

另一方面,设对于n+1对点有另一种连法:

考虑图3中以An+1为端点的线段,若以An+1为端点的线段的条数大于1,则一定可以找到一个i≤n,使得对于任意的j<i,An+1Bj都不在所画的线段中,这时,Bi+1,Bi+2,┉,Bn+1只能与An+1连结,不妨设An+1Bi+1,An+1Bi+2,┉,An+1Bn+1都已连结,此时图中的线段数为Pn+1,我们做如下操作:

去掉An+1Bi,连结AnBi+1,得到新的连结图,而新的连结图满足要求且线段总数不变,将此操作一直续断下去,直到与An+1连结的线段只有一条An+1Bn+1为止.最后图中,与点Bn+1相关的线段 只剩两条,即AnBn+1,An+1Bn+1,去掉这两条线段,则剩余Pn+2-2条线段,而图形恰是n对点的连结 图,所以Pn+1-2≤Pn.

由此,我们得到Pn+1=Pn+2,而P1=1,P2=3,所以Pn=1+23(n-1)=2n-1.

(3)当n=2003时,P2003=4005(条).

第十五届“希望杯”全国数学邀请赛

初二 第1试

一、选择题(每小题4分,共40分)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母写在下面的表格内。

1、小伟自制了一个小孔成像演示仪,如图1所示,在一个圆纸筒的两端分别用半透明纸和黑纸封住,并用针在黑纸的中心刺出一个小孔。小伟将有黑纸的一端正对着竖直放置则他在半透明纸上观察到的像的形状是

(A)

2、代数式(A)

(B)

(C)

(B)

(C)

(D)F 的化简结果是

(D),那么

的“ F”形状的光源,

3、已知是实数,且

(A)31 (B)21 (C)13 (D)13或21或31 4、已知①

(>)是两个任意质数,那么下列四个分数 ; ②

; ③

; ④

中,总是最简分数的有

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 5、Given

are real numbers, and

is

, then the value of

(A)4 (B)6 (C)3 (D)4or6

6、某出版社计划出版一套百科全书,固定成本为8万元,每印制一套需增加成本20元。如果每套定价100元,卖出后有3成给承销商,出版社要盈利10%,那么该书至少应发行(精确到千位)

(A)2千套 (B)3千套 (C)4千套 (D)5千套

7、△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C,满足3∠A>5∠B,3∠C≤∠B,则这个三角形是

(A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)等边三角形

8、如图2,正方形ABCD的面积为256,点E在AD上,点F在AB

△CEF的面积是200,则BF的长是

(A)15 (B)12 (C)11 (D)10

9、如图3,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,点E、F分

中点,则

(A)

(C)

10、 (B) (D) BD的别是对角线AC、的延长线上,EC⊥FC,表示不大于的最大整数,如[3.15]=3,[-2.7]=-3,[4]=4,则

(A)1001 (B)2003 (C)2004 (D)1002

二、A组填空题(每小题4分,共40分。含两个空的小题,每个空2分。)

11、计算:12、已知13、已知52,那么是三个实数,且的平均数是 。 的平均数是127,的和的三分之一是78,的和的四分之一是

14、Given in the △ABC,a,b,c are three sides of the triangle, a=3, b=10 and perimeter of the triangle is multiple of 5,

(英汉小词典:side:边;perimeter:周长;multiple:倍数)

15、某学校有学生2000名,从中随意询问200名,调查收看电视的情况,结果如下表:

则全校每周收看电视不超过6小时的人数约为

16、如图4,等腰梯形ABCD的面积是49平方厘米,AD∥BC,则BD= 平方厘米,AF= 平方厘米。

17、方程18、已知

或。

是三个互不相同的非零实数,设

是 。

19、已知

均为实数,且

的大小关系

AF⊥BC,且AC⊥BD,

20、小明做数学题时,发现

按上述规律,第五个等式是 ;第n个等式是 。 三、B组填空题(每小题8分,共40分。每题两个空,每个空4分。)

21、一个三位自然数,当它分别被2、3、4、5

7除时,余数都是1,那么具有这个性质的最小三位数是最大三位数是

22、一个直角三角形的三条边长均为整数,已知它的一条直角边的长为15,那么另一条直角边的长有可能,其中最大值是 。

23、已知

都是质数,且

>40,那么满足以上条件的最小质数p=

24、用1、2、3、4、5这五个数字可以组成60个没有重复数字的三位数,那么这60个三位数的和是个和除以111,得到的商是 。

25、如图5,正方形BCDE和ABFG的边长分别为阴影部分的面积是 ;CE和CG的大小关系是 。

,连

接CE和CG,则图中

参考答案

一、

二、 选择题:

A组填空题:

三、 B组填空题:

第十五届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试

一、选择题(每小题5分,共50分)

1.方程|x+1|+|x-3|=4的整数解有( )

(A)2个 (B)3个 (C)5个 (D)无穷多个

2.若等式对任意的x(x≠±3)恒成立,则mn=( )

(A)8 (B)-8 (C)16 (D)-16

3.若x>z,y>z,则下列各式中一定成立的是( )

(A)x+y>4z (B)x+y>3z (C)x+y>2z (D)x+y>z

4.规定[a]表示不超过a的最大整数,当x=-1时,代数式2mx3-3nx+6的值为16,

则[m-n]=( )

(A)-4 (B)-3 (C)3 (D)4

5.如图1,在ABCD中,AC与BD相交于O,AE⊥BD于E,CF⊥BD于F,那么图中的全等三角形共有( )

(A)5对 (B)6对 (C)7对 (D)8对

6.如图2,在直角扇形ABC内,分别以AB和AC为直径作半圆,两条半圆弧相交于点D,整个图形被分成S1,S2,S3,S4四部分,则S2和S4的大小关系是( )

(A)S2<S4 (B)S2=S4 (C)S2>S4 (D)无法确定

7.Given m is a real number, and |1-m|=|m|+1,

simplify an algebraic expression, then

=( )

(A)|m|-1 (B)-|m|+1 (C)m-1 (D)-m+1

(英汉小词典simplify:化简;algebraic expression:代数式)

8.二(1)班共有35名学生,其中的男生和的女生骑自行车上学,那么该班骑自行车上学的学生的人数最少是( )

(A)9 (B)10 (C)11 (D)12

9.李编辑昨天按时间顺序先后收到A、B、C、D、E共5封电子邮件,如果他每次都是首先回复最新收到的一封电子邮件,那么在下列顺序:

①BAECD ②CEDBA ③ACBED ④DCABE中,李编辑可能回复的邮件顺序是( )

(A)①和② (B)②和③ (C)③和④ (D)①和④

10.有A、B、C三把刻度尺,它们的刻度都是从0到30个单位(单位长度各不相同),设三把尺子的0刻度和30刻度处到尺子边缘的长度可以忽略不计,现用其中的一把尺子量度另两把尺子的长度.已知用C尺量度,得A尺比B尺长6个单位;用A尺量度,得B尺比C尺长10个单位;则用B尺量度,A尺比C尺( )

(A)长15个单位 (B)短15个单位 (C)长5个单位 (D)短5个单位

二、填空题(每小题5分,共50分)

11.若方程|1002x-1002|=1002的根分别是x1和x2,则x1+x2=______.

12.分解因式:a423+2a3b+3a2b2+2ab3+b4=______.

13.对于任意的自然数n,有f(n)=,则f(1)+f(3)+f(5)+?+f(999)=______. 14.x1,x2,x3,x4,x5,x6都是正数,且,,,

,,,则x1x2x3x4x5x6=______.

15.(Figure 3)In a trapezoid ABCD,AE=DE,CE⊥AD,CE is a bisector to ∠BCD,then the ratio of the area of a quadrilateral ABCE to that of a triangle CDE is _____.

(英汉小词典trapezoid:梯形;bisector:平分线;ratio:比值;quadrilateral:四边形)

16.已知a,b,c,d为正整数,且______. ,,则的值是______;的值是

17.一个直角三角形的三条边的长均为整数,已知它的一条直角边的长是18,那么另一条直角边的长有______种可能,它的最大值是______.

18.“神舟”飞船由返回舱、轨道舱和推进舱三个舱组成,已知三个舱中每两个舱的长度和分别为4859mm、5000mm、5741mm,那么这三个舱中长度最大的是_____mm,长度最小的是_____mm.

19.若(|x+1|+|x-2|)(|y-2|+|y+1|)(|z-3|+|z+1|)=36,则x+2y+3z的最大值是______,最小值是_____.

20.图4是某电台“市民热线”栏目一周内接到的热线电话的统计图,其中有关房产城建的热线电话有30个,那么有关环境保护的电话有_____个;如果每年按52周计算,每周接到的热线电话的数量相同,那么“市民热线”一年内接到的热线电话有______个.

三、解答题(每题10分,共30分)

21.民航规定:旅客可以免费携带a千克物品,若超过a千克,则

带物品的质量为b千克(b>a)时,所交费用为Q=10b-200(单位:

(1)小明携带了35千克物品,质量大于a千克,他应交多少费用?

(2)小王交了100元费用,他携带了多少千克物品?

(3)若收费标准以超重部分的质量m(千克)计算,在保证所交费用Q不变的情况下,试用m表示Q.

22.如图5,一张矩形纸片ABCD的边长分别为9cm和3cm,把顶点A和C叠合在一起,得到折痕EF.

(1)证明四边形AECF是菱形;

(2)计算折痕EF的长;

(3)求△CEH的面积.

要收取一定的费用,当携元).

23.如图6,用水平线与竖直线将平面分成若干个边长为1的正方形格子,点O、A、B均在正方形格子的顶点(格点)处,其中点O与点A位于同一水平线上,相距a格,点O与点B位于同一竖直线上,相距b格.

(1)若a=5,b=4,则△OAB中(包括三条边)共有多少个格点?

(2)若a,b互质,则在线段AB上(不包括A、B两点)是否有格点?证明你的结论.

(3)若a,b互质,且a>b>8,△OAB中(包括三条边)共有67个格点,求a,b的值.

参考答案

一、1.C 2.D 3.C 4.A 5.C 6.B 7.D 8.D 9.B 10.A

二、11.2004 12.(a+b+ab) 13.5 14.6 15.7:9 16.21;7 17.2;80

18.2941;2059 19.15;-6 20.45;7800

三、21.(1)Q=35310-200=150(元);

(2)设小王携带了x千克物品,则

10x-200=100,解得x=30.

(3)已知最多可以免费携带a千克物品,则

10a-200=0,解得a=20.

所以m=b-a=b-20,

即b=m+20.

故所交费用Q=10b-200=10(m+20)-200=10m(元).

22.(1)如图1,因为AB∥CD,所以AF∥CE,CF∥HE,根据对称性,知∠CEH=∠AED,因为D、E、C三点共线,所以A、E、H三点共线,所以AE∥CF,所以四边形AECF是平行四边形.又AF=CF, 所以四边形AECF是菱形. 222

(2)设AF=x,则

CF=x,BF=9-x.

在△BCF中,CF=BF+BC,

所以x=(9-x)+3,

解得x=5,即CF=5,BF=4. 222222

过E作EM⊥AB交AB于M,则

MF=BM-BF=CE-BF=CF-BF=1,

EM=3.

所以.

(3)根据对称性,知△CEH≌△AED,

所以S△CEH=S△AED=DE2AD=(AF-MF)2AD=3433=6(cm). 2

23.(1)如图2,a=5,b=4,△OAB中(包括三条边)的格点的个数为1+2+3+4+6=16.

(2)若a,b互质,假设线段AB上存在某一点P(恰为格点),可设点P到点O的水平距离为x,竖直距离为y(x,y均为整数),则

S△AOB= S△AOP+S△BOP=ay+bx,

所以ab=ay+bx,

即ab=ay+bx,ay=b(a-x).

因为a,b互质,

所以a-x是a的倍数,它与a-x<a矛盾,

因此,假设不正确,即线段AB上(除A、B两点外)不存在其它格点.

(3)由(2)知,线段AB上(除A、B两点外)不存在其它的格点.

以OA、OB为边作一个矩形OACB,则在△CAB中格点的个数与△OAB中格点的个数相同,且只有A、B两点是公共的,而矩形OACB中格点的个数为(a+1)(b+1).

因此,(a+1)(b+1)+2=2367=134,

(a+1)(b+1)=132=23233311.

由a>b>8,得a+1=12,b+1=11, 即a=11,b=10.

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