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初三数学竞赛之一元二次方程

发布时间:2013-12-16 12:29:06  

一、降次

(一)直接用方程降次

1.已知x?3?1,求代数式x3?(2?)x2?(1?33)x??5=______________.

2.当x?1?32001时,多项式(4x?1997x?1994)的值为 2

3.若x??1,则x5?2x4?17x3?x2?18x?16的值为。

4.若a?1996

?1,则a?2a?1996a的值为 543

(二)用根的关系式降次

5.已知?,?是方程x?x?1?0的两个根,则??3?的值为

6.设x1,x2是二次方程x?x?3?0的两个根,求x1?4x2?19=______________.

二、用根的判别式解题

7.已知a,b,c是整数,且a?2b?4,ab?c?1?0,求a?b?c的值。

8.已知a,b,c均为实数,且a?b?4,2c?ab?4c?10,求ab的值。

9.已知a,b为整数,且x?ax?3?b?0有两个不相等的实数根;22242322

x2?(6?a)x?7?b?0有两个不相等的实数根;x2?(4?a)x?(5?b)?0没有实数根,则a?b= 。

10.m为整数时,关于x的方程x?4(m?1)x?(3m?2m?2k)?0的根是有理数,求k 的值。

三、用韦达定理解题

11.若ab?1,且有5a?2003a?9?0及9b?2003b?5?0,则

22222a的值是 。 b12.?ABC的一边长为5,另两边长恰为2x?12x?m?0的两根,求m的取值范围。

13.已知x1,x2是3x?x?1?0的两根,不解方程。

求(1)3x1(x2?1)的值; (2)9x1?6x1?3x2的值。

1

2322

14.如果方程(x?1)(x?2x?m)?0的三根可作为一个三角形的三边之长,求实数m。

15.已知a,b是方程x?11x?5?0的两根,ab(

四、构造一元二次方程解题

16.已知实数a,b满足a?ab?b?1,且t?ab?a?b,那么t的取值范围是 2222ba?)=_______________. ab22

17.已知p、q是有理数,x?

18.已知?13满足x?px?q?0,则p?q的值是。 21b?c? (b?c)2?(a?b)(c?a)且a?0,则a4

22x19.若实数x、y满足x?3y?12y?12?0,则y的值是

20.已知x?1?3,则x4?3x3?16x2?3x?17的值等于 x

2222五、一元二次方程的整数根的探究 21.设关于x的二次方程(k?6k?8)x?(2k?6k?4)x?k?4的两根都是整数。求

满足条件的所有实数k的值。

22.设m为整数且4?m?40,方程x?2(2m?3)x?4m?14m?8?0有两个整数根,求m的值及方程的根。

23.已知方程x?(k?3)x?k?0的根都是整数,求整数k的值及方程的根。

24.一直角三角形的两直角边长为整数,且满足方程x?(m?2)x?4m?0,试求m的值及此直角三角形三边的长。

25.求使关于x的方程(a?1)x?(a?1)x?2a?6?0有整数根时所有整数a。

26.m是什么整数时,方程(m?1)x?6(3m?1)x?72?0有两个不相等的正整数根?

27.若k为正整数,且一元二次方程(k?1)x?px?k?0的两个根都是正整数,则22222322222

kpk(pp?kk)?(p?k)的值等于。

2

参考答案:

(1)√3+11 (2)-1 (3)0 (4)0 (5)5

(6)0 (7)c=1,-1,a=4,b=0. 或 c=1,-1,a=0,b=-2,所以a+b+c=5或3或-1或-3

(8)4 (9)a=2,b=3,a+b=5 (10)k=-5/2 (11)9/5

(12)11/2<m≤18 (13)1 5 (14)3/4<m≤1 (15)11√5

(16)-3≤t≤-1/3 (17)p=-2,q=1 ,p+q=-1 (18)2 (19)1

(20)-18 (21)k=3或6 (22)m=12时,x=16或26。 m=24时,x=52或38

(23)k=3,x=3; k=-1,x=1; k=0,x=0或3; k=2,x=1或4 (24)m=15,三边为5,

12,13; m=12,三边为6,8,10 (25)a=0,1,-1 (26)m=2

(27)k=2,p=3 ,原式=1989

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