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华罗庚杯几何部分(小高组)

发布时间:2013-12-16 12:32:37  

华罗庚杯几何部分

第19讲 图形的分割与拼接

怎样把一个图形按照要求分割成若干部分?怎样把一个图形分割成若干部分后,再按要求拼接成另一个图形?这就是本讲要解决的问题。

例1请将一个任意三角形分成四个面积相等的三角形。

分析与解:本题要求分成面积相等的三角形,因此可以利用“同底等高的三角形面积相等”这一性质来分割。

方法一:将某一边等分成四份,连结各分点与顶点(见左下图)。

方法二:画出某一边的中线,然后将中线二等分,连结分点与另两个顶点(见右上图)。 方法三:找出三条边上的中点,然后如左下图所示连结。

方法四:将三条边上的中点两两连结(见右上图)。

前三种方法可以看成先将三角形分割成面积相等的两部分,然后分别将每部分再分割成面积相等的两部分。本题还有更多的分割方法。

例2将右图分割成五个大小相等的图形。

分析与解:因为图中共有15个小正方形,所以分割成的图形的面积应该等于15÷5=3(个)小正方形的面积。3个小正方形有和

两种形式,于是可得到很多种分割方法,下图是其中的三种。

例3右图是一个4×4的方格纸,请在保持每个小方格完整的情况下,将它分割成大小、形状完全相同的两部分。

分析与解:因为分割成完全相同的两块,所以每块有8个小方格,并且这两块关于中心点对称。下面是六种分割方法。

例4将下图分割成两块,然后拼成一个正方形。

分析与解:图形的面积等于16个小方格,如果以每个小方格的边长为1,那么拼成的正方形的边长应是4。因为题图是缺角长方形,长为6宽为3,所以分割成两块后,右边的一块应向上平移1(原来宽为3,向上平移1使宽为4),向左平移2(原来长为6,向左平移2使长为4)。考虑到缺角这一特点,可做下图所示的分割和拼接。

例5有一块长4.8米、宽3米的长方形地毯,现在把它铺到长4米、宽3.6米的房间中。请将它剪成形状相同、面积相等的两块,使其正好铺满房间。

分析与解:首先验证地毯的面积与房间的面积是否相等,然后考虑如何

以可将原来的长分为4份,宽分为3份(见下页左上图),现在的长与宽如下页右上图。

容易得到下图所示的分割与拼接的方法。

例6用四块相同的不等腰的直角三角板,拼成一个外面是正方形,里面有正方形孔的图形。

分析与解:右图所示的三角板,∠A是直角,∠B+∠C=90°。因为要拼的图形有内外两个正方形,所以有将∠A作为外正方形的角(左下图)和拼内正方形的角(下中图)两种情况。若三角板可以重叠放置,还有右下图所示的拼法。

练习19

1.试将一个等边三角形分割成8个全等的直角三角形。

2.用四种方法将左下图分割成完全相同的两部分,但要保持每个小方格的完整。

3.将右上图分成四个大小相等、形状相同的图形。

4.将下图分成两块,然后拼成一个正方形。

5.将一块30×20的方格纸分成大小、形状都相同的两块,然后拼成一个24×25的长方形。

6.将一个正方形分成相等的4块,然后用这4块分别拼成三角形、平行四边形和梯形。

第20讲 多边形的面积

我们已经学习过三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形以及圆、扇形等基本图形的面积计算,图形及计算公式如下:

正方形面积=边长×边长=a,

长方形面积=长×宽=ab,

平行四边形面积=底×高=ah, 2

圆面积=半径×半径×π=πr,

扇形面积=半径×半径×π×圆心角的度数÷360° 2

在实际问题中,我们遇到的往往不是基本图形,而是由基本图形组合、拼凑成的组合图形,它们的面积不能直接用公式计算。在本讲和后面的两讲中,我们将学习如何计算它们的面积。

例1 小两个正方形组成下图所示的组合图形。已知组合图形的周长是52厘米,DG=4厘米,求阴影部分的面积。

分析与解:组合图形的周长并不等于两个正方形的周长之和,因为CG部分重合了。用组合图形的周长减去DG,就得到大、小正方形边长之和的三倍,所以两个正方形的边长之和等于(52-4)÷3=16(厘米)。 又由两个正方形的边长之差是4厘米,可求出

大正方形边长=(16+4)÷2=10(厘米),

小正方形边长=(16-4)÷2=6(厘米)。

两个正方形的面积之和减去三角形ABD与三角形BEF的面积,就得到阴影部分的面积。

10+6-(10×10÷2)-(10+6)×6÷2=38(厘米)。

例2如左下图所示,四边形ABCD与DEFG都是平行四边形,证明它们的面积相等。

222

分析与证明:这道题两个平行四边形的关系不太明了,似乎无从下手。我们添加一条辅助线,即连结CE(见右上图),这时通过三角形DCE,就把两个平行四边形联系起来了。在平行四边形ABCD中,三角形DCE的底是DC,高与平行四边形ABCD边DC上的高相等,所以平行四边形ABCD的面积是三角形DCE的两倍;同理,在平行四边形DEFG中,三角形DCE的底是DE,高与平行四边形DEFG边DE上的高相等,所以平行四边形DEFG的面积也是三角形DCE的两倍。

两个平行四边形的面积都是三角形DCE的两倍,所以它们的面积相等。

例3如左下图所示,一个腰长是20厘米的等腰三角形的面积是140厘米,在底边上任意取一点,这个点到两腰的垂线段的长分别是a厘米和b厘米。求a+b的长。

2

分析与解:a,b与三角形面积的关系一下子不容易看出来。连结等腰三角形的顶点和底边上所取的点,把等腰三角形分为两个小三角形,它们的底都是20厘米,高分别为a厘米和b厘米(见右上图)。大三角

形的面积与a,b的关系就显露出来了。根据三角形的面积公式,两个小三角形的面积分别为 20×a÷2和20×b÷2。

因为这两个小三角形的面积之和等于原等腰三角形的面积,所以有

20×a÷2+20×b÷2=140,

10×(a+b)=140,

a+b=14(厘米)。

在例2、例3中,通过添加辅助线,使图形间的关系更清晰,从而使问题得解。下面再看一例。

例4如左下图所示,三角形ABC的面积是10厘米,将AB,BC,CA分别延长一倍到D,E,F,两两连结D,E,F,得到一个新的三角形DEF。求三角形DEF的面积。

2

分析与解:想办法沟通三角形ABC与三角形DEF的联系。连结FB(见右上图)。

因为CA=AF,所以三角形ABC与三角ABF等底等高,面积相等。因为AB=BD,所以三角形ABF与三角形BDF等底等高,面积相等。由此得出,三角形ADF的面积是10+10=20(厘米)。

同理可知,三角形BDE与三角形CEF的面积都等于20厘米。

所以三角形DEF的面积等于20×3+10=70(厘米)。

例5一个正方形,将它的一边截去15厘米,另一边截去10厘米,剩下的长方形比原来正方形的面积减少1725厘米,求剩下的长方形的面积。

分析与解:根据已知条件画出下页左上图,其中甲、乙、丙为截去的部分。

2222

由左上图知,丙是长15厘米、宽10厘米的矩形,面积为15×10=150(厘米)。

因为甲、丙形成的矩形的长等于原正方形的边长,乙、丙形成的矩形的长也等于原正方形的边长,所以可将两者拼成右上图的矩形。右上图矩形的宽等于10+15=25(厘米),长等于原正方形的边长,面积等于

(甲+丙)+(乙+丙)

= 甲+乙+丙)+丙

= 1725+150

= 1875(厘米)。 22

所以原正方形的的边长等于1875÷25=75(厘米)。剩下的长方形的面积等于75×75-1725=3900(厘米)。

例6有红、黄、绿三块同样大小的正方形纸片,放在一个正方形盒的底部,它们之间互相叠合(见右图)。已知露在外面的部分中,红色面积是20,黄色面积是14,绿色面积是10,求正方形盒子底部的面积。

2

分析与解:把黄色正方形纸片向左移动并靠紧盒子的左边。由于三个正方形纸片面积相等,所以原题图可以转化成下页右上图。此时露出的黄、绿两部分的面积相等,都等于

(14+10)÷2=12。

因为绿:红=A∶黄,所以

绿×黄=红×A,

A=绿×黄÷红

=12×12÷20=7.2。

正方形盒子底部的面积是红+黄+绿+A=20+12+12+7.2=51.2。

练习20

1.等腰直角三角形的面积是20厘米,在其中做一个最大的正方形,求这个正方形的面积。

2.如左下图所示,平行四边形ABCD的周长是75厘米,以BC为底的高是14厘米,以CD为底的高是16厘米。求平行四边形ABCD的面积。

2

3.如右上图所示,在一个正方形水池的周围,环绕着一条宽2米的小路,小路的面积是80米,正方形水池的面积是多少平方米?

4.如右图所示,一个长方形被一线段分成三角形和梯形两部分,它们的面积差是28厘米,梯形的上底长是多少厘米?

22

5.如下图,在三角形ABC中,BD=DF=FC,BE=EA。若三角形EDF的面积是1,则三角形ABC的面积是多少?

6.一个长方形的周长是28厘米,如果它的长、宽都分别增加3厘米,那么得到的新长方形比原长方形的面积增加了多少平方厘米?

7.如下图所示,四边形ABCD的面积是1,将BA,CB,DC,AD分别延长一倍到E,F,G,H,连结E,F,G,H。问:得到的新四边形EFGH的面积是多少?

第21讲 用等量代换求面积

一个量可以用它的等量来代替;被减数和减数都增加(或减少)同一个数,它们的差不变。前者是等量公理,后者是减法的差不变性质。这两个性质在解几何题时有很重要的作用,它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积,或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差,从而使隐蔽的关系明朗化,找到解题思路。

例1两个相同的直角三角形如下图所示(单位:厘米)重叠在一起,求阴影部分的面积。

分析与解:阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形,然而它的上底与下底都不知道,因而不能直接求出它的面积。因为三角形ABC与三角形DEF完全相同,都减去三角形DOC后,根据差不变性质,差应相等,即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等,所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。直角梯形OEFC的上底为10-3=7(厘米),面积为(7+10)×2÷2=17(厘米)。

所以,阴影部分的面积是17厘米。

例2在右图中,平行四边形ABCD的边BC长10厘米,直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米,求平行四边形ABCD的面积。

222

分析与解:因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米,都加上梯形FGCB后,根据差不变性质,所得的两个新图形的面积差不变,即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米,所以平行四边形ABCD的面积等于

10×8÷2+10=50(厘米)。

例3在右图中,AB=8厘米,CD=4厘米,BC=6厘米,三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米。求ED的长。

2222

分析与解:求ED的长,需求出EC的长;求EC的长,需求出直角三角形ECB的面积。因为三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米,这两个三角形都加上四边形FDCB后,其差不变,所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18厘米。也就是说,只要求出梯形ABCD的面积,就能依次求出三角形ECB的面积和EC的长,从而求出ED的长。

梯形ABCD面积=(8+4)×6÷2=36(厘米),

三角形ECB面积=36-18=18(厘米),

EC=18÷6×2=6(厘米),

ED=6-4=2(厘米)。

例4 下页上图中,ABCD是7×4的长方形,DEFG是10×2的长方形,求三角形BCO与三角形EFO的面积之差。

2222

分析:直接求出三角形BCO与三角形EFO的面积之差,不太容易做到。如果利用差不变性质,将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差,而这两个图形的面积之差容易求出,那么问题就解决了。 解法一:连结B,E(见左下图)。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形BEO,则原来的问题转化为求三角形BEC与三角形BEF的面积之差。所求为4×(10-7)÷2-2×(10-7)÷2=3。

解法二:连结C,F(见右上图)。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形CFO,则原来的问题转化为求三角形BCF与三角形ECF的面积之差。所求为4×(10-7)÷2-2×(10-7)÷2=3。

解法三:延长BC交GF于H(见下页左上图)。三角形BCO与三角形EFO都加上梯形COFH,则原来的问题转化为求三角形BHF与矩形CEFH的面积之差。所求为(4+2)×(10-7)÷2-2×(10-7)=3。

解法四:延长AB,FE交于H(见右上图)。三角形BCO与三角形EFO都加上梯形BHEO,则原来的问题转化为求矩形BHEC与直角三角形BHF的面积之差。所求为4×(10-7)-(10-7)×(4+2)÷2=3。 例5左下图是由大、小两个正方形组成的,小正方形的边长是4厘米,求三角形ABC的面积。

分析与解:这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件,实际上本题的结果与大正方形的边长没关系。连结AD(见右上图),可以看出,三角形ABD与三角形ACD的底都等于小正方形的边长,高都等于大正方

形的边长,所以面积相等。因为三角形AFD是三角形ABD与三角形ACD的公共部分,所以去掉这个公共部分,根据差不变性质,剩下的两个部分,即三角形ABF与三角形FCD面积仍然相等。根据等量代换,求三角形ABC的面积等于求三角形BCD的面积,等于4×4÷2=8(厘米)。 2

练习21

1.左下图中,等腰直角三角形ABC的腰为10厘米,以C为圆心、CF为半径画弧线EF,组成扇形CEF。如果图中甲、乙两部分的面积相等,那么扇形所在的圆的面积是多少?

2.右上图(单位:厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起,求阴影部分的面积。

3.左下图中,扇形ABD的半径是4厘米,甲比乙的面积大3.44厘米。求直角梯形ABCD的面积。(π=3.14)

2

4.在右上图的三角形中,D,E分别是所在边的中点,求四边形ADFE的面积。

5.下页左上图中,矩形ABCD的边AB为4厘米,BC为6厘米,三角形ABF比三角形EDF的面积大9厘米,求ED的长。

2

6.右上图中,CA=AB=4厘米,三角形ABE比三角形CDE的面积大2厘米,求CD的长。

影部分的面积和。

2

第22讲 用割补法求面积

在组合图形中,除了多边形外,还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形,为了计算它们的面积,常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补,使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中,为了计算面积,有时也要用到割补的方法。

例1求下列各图中阴影部分的面积:

分析与解:(1)如左下图所示,将左下角的阴影部分分为两部分,然后按照右下图所示,将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出,原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形,其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。

π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。

(2)在题图虚线分割的两个正方形中,右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆,在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。

如下图所示,将右边的阴影部分平移到左边正方形中。可以看出,原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积,为5×5=25。

例2在一个等腰三角形中,两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段(见右图),求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。

分析与解:阴影部分是一个梯形。我们用三种方法解答。

(1)割补法

从顶点作底边上的高,得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三角

(2)拼补法

将两个这样的三角形拼成一个平行四边形(下页左上图)。

积和平行四边行面积同时除以2,商不变。所以原题阴影部分占整个图形面

(3)等分法

将原图等分成9个小三角形(见右上图),阴影部分占3个小三角形,

注意,后两种方法对任意三角形都适用。也就是说,将例题中的等腰三角形换成任意三角形,其它条件不变,结论仍然成立。

例3如左下图所示,在一个等腰直角三角形中,削去一个三角形后,剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形(阴影部分)。求这个梯形的面积。

分析与解:因为不知道梯形的高,所以不能直接求出梯形的面积。可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑。将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形(上页右下图),图中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米的两个正方形面积之差,也是所求梯形面积的4倍。所以所求梯形面积是(9×9-5×5)÷4=14(厘米)。

例4在左下图的直角三角形中有一个矩形,求矩形的面积。

2

分析与解:题中给出了两个似乎毫无关联的数据,无法沟通与矩形的联系。我们给这个直角三角形再拼补上一个相同的直角三角形(见右上图)。因为A与A′,B与B′面积分别相等,所以甲、乙两个矩形的面积相等。乙的面积是4×6=24,所以甲的面积,即所求矩形的面积也是24。

例5下图中,甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米,甲正方形比乙正方形的面积大40厘米。求乙正方形的面积。

2

分析与解:如果从甲正方形中“挖掉”和乙正方形同样大的正方形丙,所剩的A,B,C三部分之和就是40厘米(见左下图)。 2

把C割下,拼补到乙正方形的上面(见右上图),这样A,B,C三块就合并成一个长20厘米的矩形,面积是40厘米,宽是40÷20=2(厘米)。这个宽恰好是两个正方形的边长之差,由此可求出乙正方形的边长为(20-2)÷2=9(厘米),从而乙正方形的面积为9×9=81(厘米)。

练习22

1.求下列各图中阴影部分的面积:

(1) (2) 22

2.以等腰直角三角形的两条直角边为直径画两个半圆弧(见下图),直角边长4厘米,求图中阴影部分的面积。

3.在左下图所示的等腰直角三角形中,剪去一个三角形后,剩下的部分是一个直角梯形(阴影部分)。已知梯形的面积为36厘米,上底为3厘米,求下底和高。

2

4.在右上图中,长方形AEFD的面积是18厘米,BE长3厘米,求CD的长。

5.下图是甲、乙两个正方形,甲的边长比乙的边长长3厘米,甲的面积比乙的面积大45厘米。求甲、乙的面积之和。

22

6.求下图(单位:厘米)中四边形ABCD的面积。

立体几何

第十一讲:圆和扇形(一)

(一)基本知识

1、圆:圆周长公式:C=πd或C=2πr。

圆面积公式:S??r。

圆环面积:S环??(R2?r2)

图一 图二 图三

2、扇形。如上图二,连接两条半径OA、OB,就可得到一个扇形OAB,扇形

n?r2

面积公式是:S=。扇形的圆弧长=所在圆周长的3602。其中r是指扇形的在圆的面积,n指的是圆心角的度数。

例1、图二中n=60°,半径为6厘米,扇形面积是多少?弧AB是多少?

3、弓形。如上图三, S弓AC= S扇AOC—S△AOC

例2、图三中,直角三角形AOC的直角边OA= 6厘米,求弓形AC的面积。

(二)基本运用

例3、街心花园中圆形花坛的周长是18.84米。花坛的面积是多少平方米?

例4、计算下图阴影部分的面积.(单位:厘米)

例5、在一块长4.5米,宽2米的长方形铁板上截下2个最大的圆形后,剩下的铁板面积是多少平方米?

例6、从一块边长10厘米的正方形铁皮上剪下一个最大的圆,这块圆形铁皮的面积是多少平方厘米?剩下的面积是多少?

例7、从一个直径为10厘米的圆中,剪去一个最大的正方形,正方形面积是多少?

例8、求下图中阴影部分的面积和周长。

练 习

一、基本题

1、一个圆形花坛的周长是25.12米。花坛的面积是多少平方米?

2、已知一个圆的面积是28.26平方厘米,求这个圆的周长。

3、下图涂色部分是个环形,它的内圆半径是10厘米,外圆半径是15厘米,它的面积是多少?

4、从一块边长8厘米的正方形铁皮上剪下一个最大的圆,阴影部分面积是多少?

5、下图圆的半径为6厘米,圆心角为45度,扇形AOC的面积是多少?弧AC是

多少?

6、下图是一个直角边长为20厘米的等腰直角三角形。求弓形面积。

7、求阴影部分的面积:(单位:分米) (π=3)

8、右图中直角三角形ABC的底AB= 20 厘米,以AB为直径画成一个圆,圆心为O,CO垂直于AB,求弓形AC的面积。

9、求下图中阴影部分面积和周长

(1)等腰梯形的腰是0.8。(单位:厘米)

(2)三角形ABC是等边三角形,底BC= 6厘米,扇形圆心角为120度。

思考题:

10、在下图中左右两个正方形一样大小,且图(2)中四个小圆一样大.试问是图(1)中的大圆面积大,还是图(2)中四个小圆的面积之和大?请说明理由。

第11讲 圆与扇形

五年级已经学习过三角形、矩形、平行四边形、梯形以及由它们形成的组合图形的相关问题,这一讲学习与圆有关的周长、面积等问题。

圆的面积=πr,

圆的周长=2πr,

2

本书中如无特殊说明,圆周率都取π=3.14。

例1 如下图所示,200米赛跑的起点和终点都在直跑道上,中间的弯道是一个半圆。已知每条跑道宽

1.22米,那么外道的起点在内道起点前面多少米?(精确到0.01米)

分析与解:半径越大,周长越长,所以外道的弯道比内道的弯道长,要保证内、外道的人跑的距离相等,外道的起点就要向前移,移的距离等于外道弯道与内道弯道的长度差。虽然弯道的各个半径都不知道,然而两条弯道的中心线的半径之差等于一条跑道之宽。

设外弯道中心线的半径为R,内弯道中心线的半径为r,则两个弯道的长度之差为

πR-πr=π(R-r)

=3.14×1.22≈3.83(米)。

即外道的起点在内道起点前面3.83米。

例2 有七根直径5厘米的塑料管,用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆(如左下图),此时橡皮筋的长度是多少厘米?

分析与解:由右上图知,绳长等于6个线段AB与6个BC弧长之和。将图中与BC弧类似的6个弧所对的圆心角平移拼补,得到6个角的和是360°,所以BC弧所对的圆心角是60°,6个BC弧等于直径5厘米的圆的周长。而线段AB等于塑料管的直径,由此知绳长=5×6+5×3.14=45.7(厘米)。

例3 左下图中四个圆的半径都是5厘米,求阴影部分的面积。

分析与解:直接套用公式,正方形中间的阴影部分的面积不太好计算。容易看出,正方形中的空白部分是4个四分之一圆,利用五年级学过的割补法,可以得到右上图。右上图的阴影部分的面积与原图相同,等于一个正方形与4个半圆(即2个圆)的面积之和,为(2r)+πr×2=10+3.14×50≈257(厘米)。 例4 草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈,在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊(见左下图)。问:这只羊能够活动的范围有多大?

2222

分析与解:如右上图所示,羊活动的范围可以分为A,B,C三部分,

所以羊活动的范围是

例5 右图中阴影部分的面积是2.28厘米,求扇形的半径。

2

分析与解:阴影部分是扇形与等腰直角三角形相差的部分。

所以,扇形的半径是4厘米。

例6 右图中的圆是以O为圆心、径是10厘米的圆,求阴影部分的面积。

分析与解:解此题的基本思路是:

从这个基本思路可以看出:要想得到阴影部分S1 的面积,就必须想办法求出S2和S3的面积。

S3的面积又要用下图的基本思路求:

现在就可以求出S3的面积,进而求出阴影部分的面积了。

S3=S4-S5=50π-100(厘米),

S1=S2-S3=50π-(50π-100)=100(厘米)。

练习11

1.直角三角形ABC放在一条直线上,斜边AC长20厘米,直角边BC长10厘米。如下图所示,三角形由位置Ⅰ绕A点转动,到达位置Ⅱ,此时B,C点分别到达B1,C1点;再绕B1点转动,到达位置Ⅲ,此时A,C1点分别到达A2,C2点。求C点经C1到C2走过的路径的长。

22

2.下页左上图中每个小圆的半径是1厘米,阴影部分的周长是多少厘米?

3.一只狗被拴在一个边长为3米的等边三角形建筑物的墙角上(见右上图),绳长是4米,求狗所能到的地方的总面积。

5.右上图是一个400米的跑道,两头是两个半圆,每一半圆的弧长是100米,中间是一个长方形,长为100米。求两个半圆的面积之和与跑道所围成的面积之比。

6.左下图中,正方形周长是圆环周长的2倍,当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时,这个圆环转了几圈?

7.右上图中,圆的半径是4厘米,阴影部分的面积是14π厘米 ,求图中三角形的面积。 答案与提示

练习11

1.68厘米。

2

2.62.8厘米。

解:大圆直径是6厘米,小圆直径是2厘米。阴影部分周长是6π+2π×7=62.8(厘米)。

3.43.96米。

解:如下页右上图所示,可分为半径为4米、圆心角为300°的扇形与两个半径为1米、圆心角为120°的扇形。面积为

2

4.60°。

解:设∠CAB为n度,半圆ADB的半径为r。由题意有

解得n=60。

5.1∶3。

6.3圈。

7.8厘米。

2

解:圆的面积是4π=16π(厘米),空白扇形面积占圆面积的

1-

22

的等腰直角三角形,面积为4×4÷2=8(厘米)。

第12讲 圆柱与圆锥

这一讲学习与圆柱体和圆锥体有关的体积、表面积等问题。

2

例1 如右图所示,圆锥形容器中装有5升水,水面高度正好是圆锥高度的一半,这个容器还能装多少升水?

分析与解:本题的关键是要找出容器上半部分的体积与下半部分的关系。

这表明容器可以装8份5升水,已经装了1份,还能装水5×(8-1)=35(升)。

例2 用一块长60厘米、宽40厘米的铁皮做圆柱形水桶的侧面,另找一块铁皮做底。这样做成的铁桶的容积最大是多少?(精确到1厘米)

分析与解:铁桶有以60厘米的边为高和以40厘米的边为高两种做法。

3

时桶的容积是

桶的容积是

例3 有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈),容积是30分米。现在瓶中装有一些饮料,正放时饮料高度为20厘米,倒放时空余部分的高度为5厘米(见右图)。问:瓶内现有饮料多少立方分米?

3

分析与解:瓶子的形状不规则,并且不知道底面的半径,似乎无法计算。比较一下正放与倒放,因为瓶子的容积不变,装的饮料的体积不变,所以空余部分的体积应当相同。将正放与倒放的空余部分变换一下位置,可以看出饮料瓶的容积应当等于底面积不变,高为 20+5=25

(厘米)

例4 皮球掉进一个盛有水的圆柱形水桶中。皮球的直径为15厘米,水桶

中后,水桶中的水面升高了多少厘米?

解:皮球的体积是

水面升高的高度是450π÷900π=0.5(厘米)。

答:水面升高了0.5厘米。

例5 有一个圆柱体的零件,高10厘米,底面直径是6厘米,零件的一端有一个圆柱形的圆孔,圆孔的直径是4厘米,孔深5厘米(见右图)。如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆,那么一共要涂多少平方厘米?

分析与解:需要涂漆的面有圆柱体的下底面、外侧面、上面的圆环、圆孔的侧面、圆孔的底面,其中上面的圆环与圆孔的底面可以拼成一个与圆柱体的底面相同的圆。涂漆面积为

例6 将一个底面半径为20厘米、高27厘米的圆锥形铝块,和一个底面半径为30厘米、高20厘米的圆柱形铝块,熔铸成一底面半径为15厘米的圆柱形铝块,求这个圆柱形铝块的高。

解:被熔的圆锥形铝块的体积:

被熔的圆柱形铝块的体积:π×302×20=18000π(厘米)。

熔成的圆柱形铝块的高:(3600π+18000π)÷(π×15) =21600π÷225π=96(厘米)。 答:熔铸成的圆柱体高96厘米。

练习12

1.右图是一顶帽子。帽顶部分是圆柱形,用黑布做;帽沿部分是一个圆环,用白布做。如果帽顶的半径、高与帽沿的宽都是a厘米,那么哪种颜色的布用得多?

23

2.一个底面直径为20厘米的圆柱形木桶里装有水,水中淹没着一个底面直径为18厘米、高为20厘米的铁质圆锥体。当圆锥体取出后,桶内水面将降低多少?

3.用直径为40厘米的圆钢锻造长300厘米、宽100厘米、厚2厘米的长方形钢板,应截取多长的一段圆钢?

容器高度的几分之几?

5.右上图是一个机器零件,其下部是棱长20厘米的正方体,上部是圆柱形的一半。求它的表面积与体积。

6.有两个盛满水的底面半径为10厘米、高为30厘米的圆锥形容器,将它们盛的水全部倒入一个底面半径为20厘米的圆柱形容器内,求水深。

答案与提示

练习12

1.一样多。

2.5.4厘米。

3.47.8厘米。

解:(300×100×2)÷(3.14×202)≈47.8(厘米)。

解:设水面高度是容器高度的x倍,则水面半径也是容器底面半径的x倍。根据题意得到

5.表面积2942厘米,体积11140厘米。

23

6.5厘米。

第13讲 立体图形(一)

我们学过的立体图形有长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等。这一讲将通过长方体、正方体及其组合图形,讲解有关的计数问题。

例1 左下图中共有多少个面?多少条棱?

分析与解:如右上图所示,可以分前、后、左、右、上、下六个方向看这个立体图形。

前、后看各有1个面,左面看有1个面,右面看有2个面,上面看有2个面,下面看有1个面。所以共有

1+1+1+2+2+1= 8(个)面。

前后方向的棱有6条,左右方向的棱有6条,上下方向的棱也有6条,所以共有棱6+6+6=18(条)。 例2 右图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的,求它的表面积。

分析与解:如果一面一面去数,那么虽然可以得到答案,但太麻烦,而且容易出错。仔细观察会发现,这个立体的上面与下面、左面与右面、前面与后面的面积分别相等。

如上图所示,可求得表面积为

(9+7+8)×2=48(厘米)。

例3 右图是由22个小正方体组成的立体图形,其中共有多少个大大小小的正方体?由两个小正方体组成的长方体有多少个?

2

分析与解:正方体只可能有两种:

由1个小正方体构成的正方体,有22个;

由8个小正方体构成的2×2×2的正方体,有4个。

所以共有正方体 22+4=26(个)。

由两个小正方体组成的长方体,根据摆放的方向可分为下 图所示的上下位、左右位、前后位三种,其中上下位有13个,左右位有13个,前后位有14个,共有13+13+14=40(个)。

例4 有一个棱长为5厘米的正方体木块,从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的孔(见下页左上图),求这个立体图形的表面积。

分析与解:由于正方体中间被穿了孔,表面积不好计算。我们可以将这个立体图形看成由8个棱长为2厘米的正方体和12个棱长为1厘米的立方体粘合而成。如右上图所示,八个棱长为2厘米的正方体分别在8个顶角,12个棱长1厘米的正方体分别在12条棱的中间。由于每个小正方体都有2个面分别粘接两个较大正方体,相对于不粘接,减少了表面积4厘米 ,所以总的表面积为

(2×2×6)×8+(1×1×6)×12-4×12=216(厘米)。

例5 右图是由120块小立方体构成的4×5×6的立方体,如果将其表面涂成红色,那么其中一面、二面三面被涂成红色的小立方体各有多少块?

22

分析与解:一个长方体有8个角、12条棱、6个面,角上的8个小立方体三面涂有红色,在棱上而不在角上的小立方体两面涂有红色,在面上而不在棱上的小立方体一面涂有红色,不在面上的小立方体没有涂上红色。

根据上面的分析得到:

三面涂有红色的小立方体有8块;

两面涂有红色的小立方体,因为每条棱上要去掉两头的2块,故有[(4-2)+(5-2)+(6-2)]×4=36(块);

一面涂有红色的小立方体,因为每个面上要去掉周围一圈的小立方体,故有

[(4-2)×(5-2)+(4-2)×(6-2)+(5-2)×(6-2)]×2= 52(块)。

一般地,当a,b,c都不小于2时,对于a×b×c的立方体:

三面涂有红色的小立方体有8块;

两面涂有红色的小立方体的块数是:

[(a-2)+(b-2)+(c-2)]×4;

一面涂有红色的小立方体的块数是:

[(a-2)×(b-2)+(a-2)×(c-2)+(b-2)×(c-2)]×2;

没有被涂上红色的小立方体的块数是:

(a-2)×(b-2)×(c-2)。

例6 给一个立方体的每个面分别涂上红、黄、蓝三种颜色中的一种,每种颜色涂两个面,共有多少种不同涂法?(两种涂法,经过翻动能使各种颜色的位置相同,认为是相同的涂法。)

分析与解:根据两个红色面相对还是相邻可分为两情况。

(1)两个红色面相对。此时,有蓝蓝相对和蓝蓝相邻两种涂法。

(2)两个红色面相邻。此时,除蓝蓝相对和黄黄相对两种涂法外,当蓝黄相对时,按右图摆放,底面有蓝或黄两种涂法。

所以共有6种不同涂法。

练习13

1.下页左上图中共有多少个面?多少条棱?

2.有30个边长为1米的正方体,在地面上摆成右上图的形式,然后把露出的表面涂成红色。求被涂成红色的表面积。

3.有一个正方体,红、黄、蓝色的面各有两面。在这个正方体中,有一些顶点是三种颜色都不同的面的交点,这种顶点最多有几个?最少有几个?

4.将一个表面涂有红色的长方体分割成若干个体积为1厘米 的小正方体,其中一点红色都没有的小立方体只有3块。求原来长方体的体积。

5.将一个5×5×5的立方体表面全部涂上红色,再将其分割成1×1×1的小立方体,取出全部至少有一个面是红色的小立方体,组成表面全部是红色的长方体。那么,可组成的长方体的体积最大是多少?

6.在边长为3分米的立方体木块的每个面的中心打一个直穿木块的洞,洞口呈边长为1分米的正方形(见左下图)。求挖洞后木块的体积及表面积。

3

7.把正方体的六个表面都划分成9个相等的正方形(右上图)。用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形,要求有公共边的正方形染不同的颜色,那么,用红色染的正方形最多有多少个?

答案与提示

练习13

1.9个面,21条棱。

2.56米。

解:4×4+(1+2+3+4)×4=56(米)。

3.8个;2个。

提示:颜色相同的面两两相对时有8个;

颜色相同的面两两相邻时有2个。

4.45厘米。

解:由3块小立方体构成的长方体体积为1×1×3厘米,故原来长方体的体积为

(1+2)×(1+2)×(3+2)=45(厘米)。

5.96。

解:至少有一个面是红色的小立方体有5-3=98(个),其中三面红的8个,两面红的36个,一面红的54个。可以组成4×4×6的表面全是红色的长方体,体积是4×4×6=96。

6.20分米;72分米。

7.22个。

解:一个面最多有5个方格可染成红色(见左下图)。因为染有5个红色方格的面不能相邻,可以相对,所以至多有两个面可以染成5个红色方格。

333333322

其余四个面中,每个面的四个角上的方格不能再染成红色,至多能染4个红色方格(见上中图)。因为染有4个红色方格的面也不能相邻,可以相对,所以至多有两个面可以染成4个红色方格。

最后剩下两个相对的面,每个面最多可以染2个红色方格(见右上图)。

所以,红色方格最多有5×2+4×2+2×2=22(个)。

第14讲 立体图形(二)

本讲主要讲长方体和立方体的展开图,各个面的相对位置,提高同学们的看图能力和空间想象能力。

例1 在下面的三个图中,有一个不是右面正四面体的展开图,请将它找出来。

分析与解:观察四面体容易看出,每个顶点都是三个面的交点,即四面体的每个顶点只与三个面相连,而在图2中,“中心点”与四个面相连,所以图2不是正四面体的展开图。

例2 在下面的四个展开图中,哪一个是右图所示立方体的展开图?

分析与解:观察立方体图形,A,B,C三个面两两相邻,即三个面有一个公共顶点。再看四个展开图,图1中A与C不相邻,是相对的两个面,不合题意;图3中C与B是相对的两个面,也不合题意;图2、图4中A,B,C三个面都相邻,还需进步判别。我们看下面的两个立方体图形:

这两个图虽然相似,但是A,B,C三个面的相对位置不同。

我们可以借助一个现成工具——右手,帮助判断三个面的相对位置。伸出右手,让除大姆指外的四指从A向B弯曲,此时,左上图中C位于大姆指指向的方向,右上图中C位于大姆指指向的相反方向。所以两个图A,B,C三个面的相对位置不同。用这种方法判断三个面相对位置的方法称为右手方法。(这也是建立空间坐标系的方法)。

用右手方法很容易判断出,图4是所求的展开图。

例3 右图是一个立方体纸盒的展开图,当折叠成纸盒时,1 点与哪些点重合?

分析与解:直接想象将展开图折叠成纸盒时的情景,也可以得到答案。现在我们从另一个角度来分析。在左下图所示的立方体上观察8个顶点,其中与A点不在一个

表面上的只有B点,也就是说,沿着表面走,这两个点的路程最远。在展开图上,这两个点恰好是相邻两个小正方形所构成的长方形的对角线上的两个端点。在上页右下图中,1,2,6点都距9点最远,也就是说,1,2,6点都与9点不在一个表面上。而与9点不在一个表面上的只有一个点,所以1,2,6点是同一个点,即折叠成纸盒时,1,2,6点重合。

例4 有两块六个面上分别写着1~6的相同的数字积木,摆放如下图。在这两块积木中,相对两个面上的数字的乘积最小是多少?

分析与解:由两图看出,5与1,3,4,6都相邻,所以5的对面只能是2;对右上图使用右手方法,四指由5向4弯曲,大姆指指向6,将5,4,6的这个关系移到左上图,立刻得到1的对面是4,3的对面是6。

5×2=10,1×4=4,3×6=18,

相对两个面上的数字的乘积最小是4。

例5 有五颗相同的骰子放成一排(如下图),五颗骰子底面的点数之和是多少?

分析与解:五颗骰子有三颗露出了5,并且5和1,2,3,6相邻,所以5的对面是4;2与1,3,5相邻,因为5与4相对,故2也与4相邻,所以2的对面是6;剩下的1与3必相对。

五颗骰子底面的点数从左至右依次是4,6,3,1,4,其和为4+6+3+1+4=18。

例6 用一平面去截一个立方体,把立方体截成两个部分,截口是一个矩形的。问:这两个部分各是几个面围成的?

分析与解:截的方法有多种,所以一定要分情况讨论。截口通过1条棱是1种情况,截口通过2条棱是1种情况,截口不通过任何棱有2种情况。所以共有下图所示的四种可能。

练习14

1.在下列各图中,哪些是正方体的展开图?

2.将左下图沿虚线折成一个立方体,它的相交于一个顶点处的三个面上的数字之和的最大值是多少?最小值是多少?

3.有四枚相同的骰子,展开图如右上图(1)。问:在右上图(2)中,从上往下数第二、三、四枚骰子的上顶面的点数之和是多少?

4.将一个立方体纸盒沿棱剪开,使之展开成右图所示的图形,一共要剪开几条棱?

5.左下图是图(1)(2)(3)中哪个正方体的展开图?

6.在一个立方体的六个面上分别写有A,B,C,D,E五个字母,其中两个面写有相同的字母。下图是它的三个视图。问:哪个字母被写了两遍?

7.右图中第1格内放着一个立方体木块,木块六个面上分别写着A,B,C,D,E,F六个字母,其中A与D,B与E,C与F相对。如果将木块沿着图中方格滚动,那么当木块滚动到第21个格时,木块向上的面写的是哪个字母?

答案与提示 练习14

1.(2)(3)(6)(8)(9)(12)(14)(16)(17)(19)(20)共11个。

2.13;8。

提示:最大是6+4+3=13;最小是1+2+5=8。

3.12。

提示:用右手方法可得,第二、三、四枚骰子上顶面的点数依次为3,6和1。

4.7条。

提示:每剪开一条棱,展开图的周长就会增加2条棱长。展开图的周长是14条棱长,所以剪开了14÷2=7(条)棱。

注:沿棱剪,无论剪成哪种连通的展开图,都要剪开7条棱。也就是说,无论哪种展开图,周长都等于14条棱长。

5.图(1)。

提示:图(2)正面有两个相连的阴影的正方形,展开图中找不到,所以不是图(2);图(3)正面与右侧面各有两个阴影正方形,这四个阴影正方形没有相邻的边,而展开图中有两个阴影正方形的面,折叠后有两个阴影正方形相邻,所以不是图(3)。

6.C。

解:假设C只写了一遍。因为C与A,B,D,E都相邻,所以被写了两遍的字母在C的对面。与C相邻的四个字母的相互位置是确定的。图(2)(3)都有D,C,用右手方法判断,图(2)与图(3)不符。这个矛盾的出现,是因为假设C只写了一遍,所以C写了两遍。

7.A。

提示:木块沿直线滚动4格,与原来的状态相同,所以木块到第5,9,13,17,21格时,与在第1格的状态相同。

第15讲 棋盘的覆盖

同学们会下棋吗?下棋就要有棋盘,下面是中国象棋的棋盘(图1),围棋棋盘(图2)和国际象棋棋盘(图3)。

用某种形状的卡片,按一定要求将棋盘覆盖住,就是棋盘的覆盖问题。实际上,这里并不要求一定是某种棋盘,只要是有关覆盖若干行、若干列的方格网的问题,就是棋盘的覆盖问题。

棋盘的覆盖问题可以分为两类:一是能不能覆盖的问题,二是有多少种不同的覆盖方法问题。 例1 要不重叠地刚好覆盖住一个正方形,最少要用多少个右图所示的图形?

分析与解:因为图形由3个小方格构成,所以要拼成的正方形内所含的小方格数应是3的倍数,从而正方形的边长应是3的倍数。经试验,不可能拼成边长为3的正方形。所以拼成的正方形的边长最少是6(见右图),需要用题目所示的图形

36÷3= 12(个)。

分析与解:在五年级学习“奇偶性”时已经讲过类似问题。左上图共有34个小方格,17个1×2的卡片也有34个小方格,好象能覆盖住。我们将左上图黑白相间染色,得到右上图。细心观察会发现,右上图中黑格有16个,白格有18个,而1×2的卡片每次只能盖住一个黑格与一个白格,所以17个1×2的卡片应当盖住黑、白格各17个,不可能盖住左上图。

例3 下图的七种图形都是由4个相同的小方格组成的。现在要用这些图形拼成一个4×7的长方形(可以重复使用某些图形),那么,最多可以用上几种不同的图形?

分析与解:先从简单的情形开始考虑。显然,只用1种图形是可以的,例如用7个(7);用2种图形也没问题,例如用1个(7),6个(1)。经试验,用6种图形也可以拼成4×7的长方形(见下图)。

能否将7种图形都用上呢?7个图形共有4×7=28(个)小方格,从小方格的数量看,如果每种图形用1个,那么有可能拼成4×7的长方形。但事实上却拼不成。为了说明,我们将4×7的长方形黑、白相间染色(见右图),图中黑、白格各有14个。在7种图形中,除第(2)种外,每种图形都覆盖黑、白格各2个,共覆盖黑、白格各12个,还剩下黑、白格各2个。第(2)种图形只能覆盖3个黑格1个白格或3个白格1个黑格,因此不可能覆盖住另6种图形覆盖后剩下的2个黑格2个白格。

综上所述,要拼成 4×7的长方形,最多能用上 6种图形。

例4 用1×1,2×2,3×3的小正方形拼成一个11×11的大正方形,最少要用1×1的正方形多少个? 分析与解:用3个2×2正方形和2个3×3正方形可以拼成1个5×6的长方形(见左下图)。用4个5×6的长方形和1 个 1×1的正方形可以拼成 1个11×11的大正形(见右下图)。

上面说明用1个1×1的正方形和若干2×2,3×3的正方形可以拼成 11×11的大正方形。那么,不用1×1的正方形,只用2×2,3×3的正方形可以拼成11×11的正方形吗?

将11×11的方格网每隔两行染黑一行(见下页右上图)。将2×2或3×3的正方形沿格线放置在任何位置,都将覆盖住偶数个白格,所以无论放置多少个2×2或3×3的正方形,覆盖住的白格数量总是偶数个。但是,右图中的白格有11×7=77(个),是奇数,矛盾。由此得到,不用1×1的正方形不可能拼成11×11的正方形。

综上所述,要拼成11×11的正方形,至少要用1个1×1的小正方形。

例5 用七个1×2的小长方形覆盖下图,共有多少种不同的覆盖方法?

分析与解:盲目无章的试验,很难搞清楚。我们采用分类讨论的方法。

如下图所示,盖住A所在的小格只有两种情况,其中左下图中①②两个小长方形只能如图覆盖,其余部分有4种覆盖方法:右下图中①②③三个小长方形只能如图覆盖,其余部分有3种覆盖方法。所以,共有7种不同覆盖方法。

例6 有许多边长为1厘米、2厘米、3厘米的正方形硬纸片。用这些硬纸片拼成一个长5厘米、宽3厘米的长方形的纸板,共有多少种不同的拼法?(通过旋转及翻转能相互得到的拼法认为是相同的拼法) 解:有一个边长3厘米纸片有如下3种拼法:

有两个边长2厘米纸片的有如下4种拼法:

有一个边长2厘米及11个边长1厘米纸片的有2种拼法,边长全是1 厘米纸片的有1种拼法。

共有不同的拼法3+4+2+1=10(种)。

答:共有10种不同的拼法。

练习15

在不重叠的情形下,不能再在正方形中多放一个这样的卡片?(要求卡片的边缘与格线重合)

4.小明有8张连在一起的电影票(如右图),他自己要留下4张连在一起的票,其余的送给别人。他留下的四张票可以有多少种不同情况?

5.有若干个边长为1、边长为2、边长为3的小正方形,从中选出一些拼成一个边长为4的大正方形,共有

多少种不同拼法?(只要选择的各种小正方形的数目相同就算相同的拼法)

7.能不能用9个1×4的长方形卡片拼成一个6×6的正方形?

答案与提示 练习15

1.3个。提示:左下图是一种放法。

2.图(2)。

提示:图(1)的小方格数不是3的倍数;图(3)的小方格数是3的倍数但拼不成;图(2)的拼法见右上图。

3.不能。

提示:右图中黑、白格各18个,每张卡片盖住的黑格数是奇数,9张卡片盖住的黑格数之和仍是奇数,不可能盖住18个黑格。

4.25种。

形如图(A)(B)(C)(D)的依次有3,10,6,6种。

5.6种。

解:用小正方形拼成边长为4的大正方形有6种情形:

(1)1个3×3,7个1×1;(2)1个2×2,12个1×1;

(3)2个2×2,8个1×1;(4)3个2×2,4个1×1;

(5)4个2×2;(6)16个1×1。

6.5种。

提示:盖住A有下图所示的5种方法,其中左下图所示的3种都无法覆盖;下中图中,①放好后,左下方和右上方各有2种放法,共有4种覆盖方法;右下图只有1种覆盖方法。

7.不能。

提示:用1,2,3,4对6×6棋盘中的小方格编号(见右图)。一个1×4的矩形一次只能覆盖1,2,3,4号各一个,而1,2,3,4号数目不等,分别有9,10,9,8个。

第16讲 找规律

同学们从三年级开始,就陆续接触过许多“找规律”的题目,例如发现图形、数字或数表的变化规律,发现数列的变化规律,发现周期变化规律等等。这一讲的内容是通过发现某一问题的规律,推导出该问题的计算公式。

例1 求99边形的内角和。

分析与解:三角形的内角和等于180°,可是99边形的内角和怎样求呢?我们把问题简化一下,先求四边形、五边形、六边形??的内角和,找一找其中的规律。

如上图所示,将四边形ABCD分成两个三角形,每个三角形的内角和等于180°,所以四边形的内角和等于180°×2= 360°;同理,将五边形ABCDE分成三个三角形,得到五边形的内角和等于180°×3=540°;将六边形ABCDEF分成四个三角形,得到六边形的内角和等于180°×4=720°。

通过上面的图形及分析可以发现,多边形被分成的三角形数,等于边数减2。由此得到多边形的内角和公式:

n边形的内角和=180°×(n-2)(n≥3)。

有了这个公式,再求99边形的内角和就太容易了。

99边形的内角和=180°×(99-2)=17460°。

例2 四边形内有10个点,以四边形的4个顶点和这10个点为三角形的顶点,最多能剪出多少个小三角形?

分析与解:在10个点中任取一点A,连结A与四边形的四个顶点,构成4个三角形。再在剩下的9个点中任取一点B。如果B在某个三角形中,那么连结B与B所在的三角形的三个顶点,此时三角形总数增加2个(见左下图)。如果B在某两个三角形的公共边上,那么连结B与B所在边相对的顶点,此时三角形总数也是增加2个(见右下图)。

类似地,每增加一个点增加2个三角形。

所以,共可剪出三角形 4+ 2× 9= 22(个)。

如果将例2的“10个点”改为n个点,其它条件不变,那么由以上的分析可知,最多能剪出三角形 4+2×(n-1)=2n+2=2×(n+1)(个)。

同学们都知道圆柱体,如果将圆柱体的底面换成三角形,那么便得到了三棱柱(左下图);同理可以得到四棱柱(下中图),五棱柱(右下图)。

如果底面是正三角形、正四边形、正五边形??那么相应的柱体就是正三棱柱、正四棱柱、正五棱柱?? 例3 n棱柱有多少条棱?如果将不相交的两条棱称为一对,那么n棱柱共有多少对不相交的棱?

分析与解:n棱柱的底面和顶面都是n边形,每个n边形有n个顶点,所以n棱柱共有2n个顶点。观察三棱柱、四棱柱、五棱柱的图形,可以看出,每个顶点都与三条棱相连,而每条棱连接 2个顶点,所以n棱柱共有棱 2n×3÷2=3n(条)。

进一步观察可以发现,n棱柱中每条棱都与4条棱相交,与其余的3n-4-1 =(3n-5)条棱不相交。共有3n条棱,所以不相交的棱有 3n×(3n- 5)(条),因为不相交的棱是成对出现的,各计算一遍就重复了一遍,所以不相交的棱共有 3n×(3n-5)÷2(对)。

例4 用四条直线最多能将一个圆分成几块?用100条直线呢?

分析与解:4条直线时,我们可以试着画,100条直线就不可能再画了,所以必须寻找到规律。如下图所示,一个圆是1块;1条直线将圆分为2块,即增加了1块;2条直线时,当2条直线不相交时,增加了1块,当2条直线相交时,增加了2块。由此看出,要想分成的块尽量多,应当使后画的直线尽量与前面已画的直线相交。

再画第3条直线时,应当与前面2条直线都相交,这样又增加了3块(见左下图);画第4条直线时,应当与前面3条直线都相交,这样又增加了4块(见右下图)。所以4条直线最多将一个圆分成1+1+2+3+4=11(块)。

由上面的分析可以看出,画第n条直线时应当与前面已画的(n—1)条直线都相交,此时将增加n块。因为一开始的圆算1块,所以n条直线最多将圆分成

1+(1+2+3+?+n)

=1+n(n+1)÷2(块)。

当n=100时,可分成

1+100×(100+1)÷2=5051(块)。

例5 用3个三角形最多可以把平面分成几部分?10个三角形呢?

分析与解:平面本身是1部分。一个三角形将平面分成三角形内、外2部分,即增加了1部分。两个三角形不相交时将平面分成3部分,相交时,交点越多分成的部分越多(见下图)。

由上图看出,新增加的部分数与增加的交点数相同。所以,再画第3个三角形时,应使每条边的交点尽量多。对于每个三角形,因为1条直线最多与三角形的两条边相交,所以第3个三角形的每条边最多与前面2个三角形的各两条边相交,共可产生3×(2×2)= 12(个)交点,即增加12部分。因此, 3个三角形最多可以把平面分成

1+1+6+12= 20(部分)。

由上面的分析,当画第n(n≥2)个三角形时,每条边最多与前面已画的(n—1)个三角形的各两条边相交,共可产生交点

3×[(n—l)×2]=6(n—1)(个),能新增加6(n-1)部分。因为1个三角形时有2部分,所以n个三角形最多将平面分成的部分数是

2+6×[1+2+?+(n—1)]

INCLUDEPICTURE "http://www.xiao5.cn/TK/ktlx/6/_OLE2520.JPG" \* MERGEFORMATINET 当n=10时,可分成2+3×10×(10—1)=272(部分)。

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