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2013年湖州市初三数学竞赛试题

发布时间:2013-12-16 15:36:24  

2013年湖州市初三数学竞赛试题

答题时注意;1.用圆珠笔或钢笔作答. 2.解答书写时不要超过装订线.

3.可以用计算器

一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)

1.一套《少儿百科全书》总价为270元,张老师只用20元和50元两种面值的人民币正好全额..付清了书款,则他可能的付款方式一共有( )

A.2种 B.3种 C.4种 D.5种

2.设x,y为实数,则5x?4y?8xy?2x?4的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.5

3. 如图,将一块边长为4cm的正方形纸片ABCD,叠放在一块足够大的直角三角板上(并使直角顶点落在A点),设三角板的两直角边分别与CD交于点F,与CB延长线交于点E,那么四边形AECF的面积为( ) A.12cm2 B.14cm2 C.16cm2 D.18cm2

4. 若关于x的方程x?

2

2

222

?c?的两个解是x

?c,

x?

,则

关于x的方程xcc

22

的解是( ) ?a?

x?1a?1222a?1A.a, B.a?1, C.a, D.a,

aa?1a?1a?1x?

5. 如图所示,三角形ABC的面积为1cm2.AP垂直∠B的平分线BP于P.则与三角形PBC的面积相等的长方形是( )

A. B.

C. D.

6. 公司职员小王和小陈在同一办事处工作,某天下午2点整要参加公司总部的西部大开发研讨会.下午小陈1点整从办事处出发,乘出租车于1点50分提前到达公司总部;小王因忙于搜集资料,1点25分才出发,为了赶时间,他让出租车从小路走,虽然路程比小陈走的路程缩短了10千米,但由于路况问题,出租车的平均速度比小陈乘坐的出租车的平均速度每小时慢6千米,所以小王还是迟到了5分钟.设小陈乘坐的出租车的平均速度为x千米/时,小陈从办事处到公司总部的距离为y千米,那么( )

A.x=30,y=36 B.x=3,y=36 C.x=36,y=30 D.x=3.6,y=30 7.如图,在反比例函数y=

2

(x>0)的图象上,有点P1,P2,P3,P4,…,Pn,…,它们的x

横坐标依次为1,2,3,4,…,Pn,…,分别过这些点作x轴与y轴的垂线,图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1,S2,S3,…,Sn,…,则S1+S2+S3 +…+S2012 的结果为( )

A.3?

3 B.3?3 42

8?93

3

C.6 D.

二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)

9.如图是二次函数y=ax2+bx的图象,若一元二次方程ax2+bx+m=0 有实数根,则实数m的最大值为 .

10.如图,直线y?kx?2(k>0)与双曲线y?

k

在第一象限内的交点为R,与x轴的交点x

为P,与y轴的交点为Q;作RM⊥x轴于点M,若△OPQ与△PRM的面积之比是4∶1, 则k? .

11. 抛物线y?222x?2x及x轴所围成图形的面积(即图中阴影部分的(x?4)2与y??44

面积)是 。

12.正方形对角线BD长为10,BG是∠DBC的角平分线,点E是BC边上的动点,在BG上找一点F,使CF+EF的值最小,则EF= 。

13.在平面直角坐标系中,如果直线y=kx与函数y= 2x+4(x<-3)???-2(-3≤x≤3)的图象恰有3个不同的交点,则k的取值范围是______________. ??2x-8(x>3)

14.如图,在长和宽分别是8和7矩形内,放置了如图中5个大小相同的正方形,则正方形的边长是 .

BAIG

E

8

CJF

A’

O7H

图 1

三、解答题(共4题,分值依次为12分、12分、12分和14分,满分50分)

15.古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,…,叫做三角形数,它有一定的规律性,若把第一个三角形数记为a1,第二个三角形数记为a2,…,第n个三角形数记为an,…, 求a200的值。

16. 绿都超市对顾客实行优惠购物,规定如下:

(1)若一次购物少于200元,则不予优惠;

(2)若一次购物满200元,但不超过500元,按标价给予九折优惠;

(3)若一次购物超过500元,其中500元部分给予九折优惠,超过500元部分给予八折优惠.

小明两次去该超市购物,分别付款198元和554元.现在小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品,他需付款多少元?

17. 已知AB是⊙O的直径,C、E是⊙O上的点, CD⊥AB,EF⊥AB,垂足分别为D、F,过点E作 EG⊥0C,垂足为G,延长EG交OA于H。

求证:

(1)HO·HF=HG·HE;

(2)FG=CD

AB

18.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,Rt△ABO如图放置,点A、B的坐标分别为(0,3)、(1,3),将此直角三角形绕点O顺时针旋转90°,得到Rt△A'B'O,若抛物线y??x2?bx?c过点A,A',与x轴的另一个交点为C。

(1)求点C的坐标;

(2) 设抛物线的顶点为D,过点D作直线DM?x轴于M, P为线段BM上一动点,求以A,B,P为顶点的三角形和以C,P,M为顶点的三角形相似时点P的坐标;

(3)在抛物线上是否存在点E,使得△AA'D和△AA'E的面积相等?若存在,请求出点E的坐标,若不存在,请说明理由.

2013年湖州市初三数学竞赛试题评分意见与参考答案

一、选择题

1.B 2.C 3.C 4.D 5.B 6.C 7.D 8. A

二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)

9. 3 10. 11.22 12.52?5 13.2?k?2 14.5 3

三、解答题(共4题,分值依次为12分、12分、12分和14分,满分50分)

15.解:由题意,得:

a2?a1=3-1=2 ---------------------- 1分

a3?a2=6-3=3 ---------------------- 1分

a4?a3=10-6=4

……

an?an?1?n ---------------------- 4分

以上各式相加,得:

an?a1?2?3?4???n ---------------------- 2分 ∴ an?1?2?3???n ---------------------- 2分 ∴ a200?1?2?3???200=20100 ---------------------- 2分 16.解:根据题意可知函数解析式为:

y=x(0≤x<200),y=0.9x(200≤x<500),y=0.8x+450(x≥500)

------------------------- 3分

∵200×0.9=180

∴小明付款198元所购的实际价值有两种情况,

即198元或198÷0.9=220元 ------------------------- 4分 ∵554>500

∴小明付款554元所购的实际价值设为x元,则450+0.8(x-500)=554 解得x=630 -------------------------------------------------- 2分 ∴小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品,实际价值为198+630=828(元)或220+630=850(元) --------------------- 2分 即所付款数为450+(828-500)×0.8=712.4(元)或450+(850-500)×0.8=730(元). --------------------- 1分 答:小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品,他需付款712.4元或730元.

17. 解:(1)证明:∵ EG⊥0C, EF⊥AB

∴ ∠HGO=∠HFE=90 --------------------- 2分

又 ∵ ∠GHO=∠FHE ∴△HGO∽△HFE ------------ 2分

HOHG

即HO·HF=HG·HE --------------------- 2分 ?

HEHF

B (2)过点G作 GM⊥0H,垂足为M,连结OE

HOHG∵ ,∠EHO=∠FHG ?

HEHF

∴ △HGF∽△HOE --------------- 2分 ∴ ∠HFG=∠HEO

∴ Rt△FGM∽Rt△EOG ----------- 2分 ∴

A

GMGF

?

OGOE

GMOGGMCD

又 GM∥CD ∴ 即 ??

CDOCOGOC

GFCD

∴ 由OE=OC,得GF=CD --------------------- 2分 ?

OEOC

方法二:如图添加辅助线,则 KL=2GF,CN=2CD

∵ ∠HEL=∠AOC,

∴ KL= CN, ∴ GF= CD

18. 解:

A

B

(1)∵Rt△A'B'O由Rt△ABO旋转得到,且点A的坐标为(0,3), 点A'的坐标为(3,0)。

∵抛物线y??x2?bx?c过A (0,3),A'(3,0)

?c?3?b?2∴?解得? -------------------------------- 2分 ??9?3b?c?0?c?3

∴过点A,A'的抛物线的解析式为y??x2?2x?3 ----------1分

令y?0,解得x1??1,x2?3(舍去),

∴C(?1,0). -------------------------- 1分 (2)由(1)得D点坐标为(1,4),∴点B在直线DM上, 设点P的坐标为(1,y),则AB=1,PM=y,BP=3-y 以A,B,P为顶点的三角形和以C,P,M为顶点的三角形相似有两种情况: ① 若△ABP∽△CMP,

ABCM12

?,即?,BPMP3?yy则?y?6?2y, ?y?2.

y

即点P(1,2)时,△ABP∽△CMP. --------------- 2分

② 若△ABP∽△PMC,则

ABCM1y

?,即?,BPMP3?y3??y2?3y?2,

?y1?1,y2?2.

即点P(1,1)或(1,2)时,△ABP∽△PMC. --------------- 4分

故点P(1,1)或(1,2)时,以A,B,P为顶点的三角形和以C,P,M为顶点的三角形相似.

(3)存在,理由如下:

易得直线AA'的解析式为y??x?3,D(1,4).

设对称轴与AA'交于点H,显然H(1,2)则DH=yD?yH?4?2.

设E(m,?m2?2m?3),过点E作 EF∥y轴交y轴于F, 交AA'于Q, 则Q(m,-m+3).

若EP?DH,则?AA?D和?AA?E的面积相等. ①

若E在直线AA?的上方,则PF?3?m,EF??m2?2m?3.

?EP?EF?PF??m2?3m.??m2?3m?2,

解得,m1?2,m2?1.

当m?2时,E(2,3).

当m?1时,E点坐标为(1,4),与D点重合. -------------------------- 2分 ②

若E在直线AA?的下方,则PF?3?m,EF??m2?2m?3.

?EP?PF?EF?m2?3m,

?m2?3m?2,

33?m4?22

3?3?1?当m?,E(?22233?1?当m?,E(222解得,m3? ------------------2分

综上所述E点坐标为(2,3)

,( 3?13??1 ?

或(2222

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