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八年级数学竞赛讲座 第二十讲 飞跃-从全等到相似 新版

发布时间:2013-12-17 09:02:58  

第二十讲 飞跃-从全等到相似

全等三角形是相似三角形的相似比等于1的特殊情况,从全等到相似是认识上的一个巨大飞跃,不但认识形式上有质的变化.而且思维方式也产生突变,相等是全等三角形的主旋律,在相似形的问题中出现的线段间的关系比全等形中的等量关系复杂,不仅有比例式,还有等积式、平方式、线段乘积的和、差、线段比的和差等.

通过寻找(或构造)相似三角形,用以计算或论证的方法,我们称为相似三角形法,在线段长度的计算、角相等的证明、比例线段的证明等方面有广泛的应用,是几何学中应用最广泛的方法之一.

熟悉以下形如“A型”、“X型”“子母型”等相似三角形.

例题求解

【例1】如图,△ABC中,∠ABC=60’°,点P是△ABC内一点,使得∠APB=∠BPC=∠CPA,且PA=8,PC=6,则PB= .

(全国初中数学竞赛题)

思路点拨 PA、PB、PC分别是△ABP、△BCP的边,从判定这两个三角形的关系入手. 注 相似是几何中的一个概念,但相似性不仅表现在事物的几何形态上,而且还体现在事物的功能、结构、原理上.

类比推理也贯穿在物理学的全部发展过程中,著名物理学家麦克斯韦曾说:“借助类比,我试图以便利的形式提出研究电现象所必须的数学手段和公式.” 在新事物面前,人们往往习惯于把它们与原有的、熟知的事物相比.这里蕴含的思想方法就是类比.

【例2】 a、b、c分别是△ABC的三边的长,且aa?b,则它的内角∠A、∠B的?ba?b?c

关系是( )

A.∠B>2∠A B.∠B=2∠A C.∠B<2∠A D.不确定

(全国初中数学联赛试题)

思路点拨 先化简已知等式,根据所得等式构造相应线段,通过全等或相似寻找角的关系.

【例3】 如图,在△ABC中,AB=AC,AD是中线,P是AD上一点,过C作CF∥AB,延

2长BP交AC于E,交CF于F.求证:BP=PE×PF

(吉林省中考题)

思路点拨 由于BP、PE、PF在同一条直线上,所以必须通过作辅助线寻找等线段来转化问题.

用心 爱心 专心 1

【例4】 如图,在矩形ABCD中,E为AD的中点,EF⊥EC交AB于F,连结FC(AB>AE) .

(1)△AEF与△EFC是否相似,若相似,证明你的结论,若不相似,请说明理由;

(2)设AB?k,是否存在这样的k值,使△AEF与△BFC相似?若存在,证明你的结论并BC

求出k的值:若不存在,说明理由.

(重庆市中考题)

思路点拨 本例是一道存在性探索问题,对于(2),假设存在,则Rt△AEF与Rt△BFC中有一对锐角相等,怎样由边的比值得出角的关系?不妨从特殊角入手,逆推求出k的值.

【例5】 如图,△ABC和△AlBlC1均为正三角形,BC和B1C1的中点均为D.求证:AA1⊥CC1.

(重庆市竞赛题)

思路点拨 作出等边三角形最基本的辅助线,并延长AAl交CCl于E,寻找相似三角形,证明∠A=90°.

注 比例线段(或等积式的)证明是几何问题中的常见题型.基本证法有:

(1)从相似三角形入手;

(2)利用平行截割定理.

有时需根据要证明的式子,过恰当的点作平行线,在具体证明过程中,常常要作等线段代换、等比代抉或等积代换,以促使问题的转化.

将问题置于几何问题的背景中探索,要综合运用几何代数知识,多角度思考尝试,需要注意的是,若题目没有指出具体的对应关系,结论常常具有不确定性,需要分类讨论.

学力训练

1.如图,由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC,在网格上,画出一个与△ABC相似且面积最大的△A1BlC1,使它的三个顶点都落在小正方形的顶点上,则△A1BlC1的面积是 . (泰州市中考题)

2.如图,在△ABC中,AB=15cm,AC=12cm,AD是∠BAC的外角平分线,DE∥AB交AC的延长线于点C,那么CE= cm. (重庆市中考题)

3.如图,正方形ABCD的边长为2,AE=BE,MN=1,线段MN的两端点在CB、CD上滑动,当CM= 时,△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似.

用心 爱心 专心 2

(桂林市中考题)

4.如图,在正方形ABCD中,E是BC的中点,F是CD上一点,AE⊥EF,有下列结论:①∠BAE=30°;②CE=AB×CF;③CF=21CD;④△ABE∽△AEF.其中正确结论的序号3

是 . (黄冈市中考题)

5.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,D是BC中点,AE⊥AD交CB延长线于点E,则结论正确的是( ) A.△AEDt∽△ACD B.△AEB∽△ACD C.△BAE∽△ACE D.△AEC∽△DAC

(江苏省竞赛题)

6.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,对角线AC⊥BD于P,若

则BD的值是( ) ACAD3?, BC4

32 B. C. D. (2000年绍兴市中考题) 3423

7.如图,将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°,得△ABF,连结EF交AB于H,A.则下列结论错误的是( )

A.AE⊥AF B.EF:AF=2:1 C.AF=FH×FE D.

(黑龙江省中考题)

8.如图,在等边△ABC中,P为BC上一点,D为AC上一点,且∠APD=60°,BP=1,CD=则△ABC的边长为( )

A.3 B.4 C.5 D. 6 (黑龙江省中考题)

9.已知:正方形的边长为1

(1)如图①,可以算出一个正方形的对角线长为2,求两个正方形并排拼成的矩形的对角线长,并猜想出n个正方形并排拼成的矩形的对角线长.

(2)根据图②,求证:△BCK∽△BED.

(3)由图③,在下列所给的三个结论中,选出一个正确的结论加以证明:

①∠BEC+∠BDE=45°;②∠BEC+∠BED=45°;③∠BEC+∠DFE=45°.

用心 爱心 专心 3 2BFHB ?FCEC2,3

10.如图,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从A点出发,沿AB以每秒4㎝的速度向点B运动;同时点Q从C点出发,沿CA以每秒3㎝的速度向A点运动,设运动的时间为x.

(1)当x为何值时,PQ∥BC?

(2)当S?BCQ

S?ABC?S?BPQ1时,求的值; 3S?ABC

(3)△APQ能否与△CQB相似?若能,求出AP的长;若不能,请说明理由.

(金华市中考题)

11.如图,设P是等边△ABC的一边BC上的任意一点,连结AP,它的垂直平分线交AB、AC于M、N两点,求证:BP×PC=BM×CN. (安徽省竞赛题)

12.已知平行四边形ABCD中,过点B的直线顺次与AC、AD及CD的延长线相交于点E、 F、G,若BE=5,EF=2,则FG的长是 . ( “弘晟杯”上海市竞赛题)

13.如图,ABCD是正方形,E、F是AB、BC的中点,连结CC交DB、DF于G、H,则EG:GH:= . (重庆市竞赛题)

14.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB<CD,一直线交BA延长线于E,交DC延长线于J,交AD于F,BD于G,AC于H,BC于I,已知EF=FG=GH=HI=IJ,则

(“祖冲之杯”邀请赛试题)

15.已知一个梯形被一条对角线分成两个相似三角形,如果两腰的比为

( )

A.1111 B. C. D. (江苏省竞赛题) 241681,那么两底的比为4DC . AB

16.如图,若PA=PB,∠APB=2∠ACB,AC与PB交于点D,且PB=4,PD=3,则AD×DC等于

( )

用心 爱心 专心 4

A.6 B.7 C. 12 D.16

(TI杯全国初中数学竞赛试题)

17.如图,在△ABC中,D是边AC上一点,下面4种情况中,△ABD∽△ACB不一定成立的情况是( )

2A.AD×BC=AB×BD B.AB=AD×AC C.∠ABD=∠ACB D.AB×BC=AC×BD

(全国初中数学联赛题)

18.如图,正方形ABCD中,M为AD中点,以M为顶点作∠BMN=∠MBC,MN交CD于N,求证:DN=2NC.

19.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,AB>CD,K、M分别是AD、BC上的点,已知∠DAM=∠CBK,求证:∠DMA=∠CKB. (“祖冲之杯”邀请赛试题)

2220.如图,△ABC中,∠ACB=2∠ABC,求证:AB=AC+AC×BC.

21.如图,AB是等腰直角三角形的斜边,若点M在边AC上,点N在边BC上,沿直线MN将△MCN翻折,使点C落在AB上,设其落点为点P.

(1)当点P是边AB的中点时,求证:

(2)当点P不是边AB的中点时,

(2001年北京市宣武区中考题)

22.如图,若

BCDEFAABCDEF,求证:.(武汉市选拔赛试题) ????XYYZZXUVVWWUPACM; ?PBCNPACM是否仍然成立?请证明你的结论. ?PBCN

用心 爱心 专心 5

用心 爱心 专心

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用心 爱心 专心

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