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八年级数学5月竞赛试题

发布时间:2013-12-17 09:02:59  

八年级数学竞赛试题

一、选择题(共5小题,每小题6分,共30分)

1.如果实数a,b,c

在数轴上的位置如图所示,那么代数式

|a?b||b?c|可以化简为( )

A.2c?a B.2a?2b C.?a D.a

2.如图,将长为 4cm,宽为2cm的矩形纸片ABCD折叠,使点B落在

CD边上的中点E处,压平后得到折痕MN,则线段AM的长度为( )

1319 cm D. cm 88

3.如果a,b为给定的实数,且1?a?b,那么

1,a?1, 2a?b,a?b?1这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是( ) A.1 B.2a?111 C. D. 424

4.如图,一个大长方形被两条线段AB、CD分成四个小长方形,如果其中图形Ⅰ、Ⅱ、

Ⅲ的面积分别为8、6、5,那么图中阴影部分的面积为( )

971015A. B. C. D.2238

5.在平面直角坐标系xOy中,满足不等式x+y≤2x+2y的

整数点坐标

(x,y)的个数为( ) A.10 B.9 C.7 D.5

二、填空题(共5小题,每小题6分,共30分)

6.已知关于x的方程(a-1)x+2x-a-1=0的根都是正整数,则符合条件的整数a有 个.

7.从小明家到学校是一段长度为a的上坡路,接着一段长度为b的下坡路 (两段路长

度不等但坡度相同),已知小明骑自行车走上坡路时的速度比走平路时的速度慢20%,走下坡路时的速度比走平路时的速度快20%,又小明上学途中花10分钟,放学途中花12分钟,则a与b的比值为 .

8.正方形ABCD的边长为5,E为边BC上一点,使得BE=3,P是对角线BD上的一点,使

得PE+PC的值最小.则PB= .

9.按如图的程序进行操作,规定:程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487

?”

用心 爱心 专心

1 222

为一次操作. 如果操作进行四次才停止,那么x的取值范围是 .

10. 已知在平面直角坐标系xOy中,直线y=2kx+3-4k与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A、B,P是线段AB上一点,PM⊥x轴于点M,PN⊥y轴于点N.则当矩形OMPN面积的最大值时,k的值为 .

三、解答题(共4题,每题15分,共60分)

11.某公司用1400元向厂家订了22张办公椅,办公椅有甲、乙、丙三种,它们的单价分别是80元,50元,30元,问有哪些不同的订购方案.

12.已知

13. 如图,正方形ABCD的边长为1,点F在线段CD上运动,AE平分∠BAF交BC边于点E.

(1)求证: AF=DF+BE.

(2)设DF=x(0≤x≤1),△ADF与△ABE的面积和S是否存在最大值?若存在,求出此时x的值及S. 若不存在,请说明理由.

14.有三种操作,对于整数对(m,n),第一种操作将之变为(m-n,n),第二种操作将之变为(m+n,n),第三种操作将之变为(n,m)。现在对(19,81)进行操作,问能否通过上述三种操作,使之得到:

(1) (7,13); (2) (12,

21). abacbc?4 ?5 ?6. 求17a?13b?7c的值. a?ba?cb?c

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八年级数学竞赛试题参考答案及评分标准

一、选择题(共5小题,每小题6分,共30分) 1.C

解:由实数a,b,c在数轴上的位置可知b?a?0?c,且b?c, 所以

|a?b||b?c|??a?(a?b)?(c?a)?(b?c)??a.

用心 爱心 专心 3

2. C

解:如图,连接BM,EM,BE.

由题意得四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称.

∴MN垂直平分BE.∴BM?EM ∵点E是CD的中点,DE=1∴ 在Rt△ABM和在Rt△DEM中,

AM2?AB2?BM2,DM2?DE2?EM2,

∴AM2?AB2?DM2?DE2.

设AM?x,则DM?4?x,

∴x?2?(4?x)?1. 解得x?13,即AM?13. 88

3.D

解:由题设知,1?a?1?a?b?1?2a?b,所以这四个数据的平均数为 2222

1?(a?1)?(a?b?1)?(2a?b)3?4a?2b, ?44

(a?1)?(a?b?1)4?4a?2b中位数为 , ?24

4?4a?2b3?4a?2b1于是 ??. 444

4.C

解:设四个小长方形的长、宽分别为a、b、c、d

20110则ac=8,cb=6,bd=5。得ad= ,∴S阴= ad323

5.B

解:由题设x+y≤2x+2y, 得0≤(x?1)2?(y?1)2≤2. 22AB

因为x,y均为整数,所以有

2222??(x?1)?0,??(x?1)?0,??(x?1)?1,??(x?1)?1, ? ? ? ?2222??(y?1)?0;??(y?1)?1;??(y?1)?0;??(y?1)?1.

解得

?x?1,?x?1,?x?1,?x?0,?x?0,?x?0,?x?2,?x?2,?x?2, ? ? ? ? ? ? ? ? ??y?1;?y?2;?y?0;?y?1;?y?0;?y?2;?y?1;?y?0;?y?2.以上共计9对. (x,y)

用心 爱心 专心 4

二、填空题(共5小题,每小题6分,共30分) 6. 3

解:易知a=1时,方程有整数解x=1,

a+1a-1+22a≠1时,x1=1,x2= =1+ ,这时a取2、3, a-1a-1a-1

综上所述:a有1、2、3共三个整数。

7.3∶8

解:设小明在平路上的骑车速度为x,则

ab+=10,---------① 0.8x1.2x

ab+=12。--------② 由①、②得a∶b=3∶8。 1.2x0.8x

8. 152 /8.

因为PE+PC=PE+PA,所以,当A、P、E三点共线时,PE+PA最小.

如图,建立直角坐标系,设B为坐标原点,BA为x轴.则lBD:y=x,

lAE:3x+5y=15.所以,P(15/8,15/8).故PB=152/8.

9.7<x≤19

解:前四次操作的结果分别为

3x-2,3(3x-2)-2 = 9x-8,3(9x-8)-2 = 27x-26,3(27x-26)-2 = 81x-80.由已知得 27x

x-80>487.

解得 7<x≤19.

容易验证,当7<x≤19时,3x?2≤487 9x?8≤487,故x的取值范围是

7<x≤19.

10. -3/4.

设点P的坐标为(x0,y0),矩形OMPN的面积为S.则x0>0,y0>0,S=x0y0.

因为点P(x0,y0)在y=2kx+3-4k上,所以,y0=2kx0+3-4k.

故S=x0(2kx0+3-4k)=2kx0+(3-4k)x0. 2

4?2k?0-(3-4k)2

2因此,S最大=,即16k-(24-8S最大) k+9=0. 4?2k

因为k为实数,则有Δ=[-(24-8S最大)]2-4×16×9≥0.故|24-8S最大|≥24.

用心 爱心 专心 5

解得S最大≥6或S最大≤0(舍去).

当S最大=6时,k= -3/4.

三、解答题(共4题,每题15分,共60分)

11.解:设80元x张,50元y张,则30元(22-x-y)张. 由题意得 ??80x?50y?30(22?x?y)=1400

?x?0, y?0, x?y?22

(5分)

?5?375

解得 ??y=37?x???2x?0

?10?x?

?2 ?

?x?y?22???x?37?514.8

2x?22(5分)

因为 x、y和5

2x都为整数,所以x 的值可取 10、 12、 14 方案列表如下:(有三种方案可选择)

(5分)

12.解:由ab

a?b?4?a?b

ab?1111

4?a?b?4 ①

同理得:1a?1c?1

5 ②, 1

b?1

c?1

6 ③

(6分)

将①②③式相加得: 1

a?1137

b?c?120 ④

④-①得 17120

c?120?c?7

④-②得 113120

b?120?b?13

④-③得 1

a?17120

120?a?17

∴17a?13b?7c?120?120?120?120

(9分)

用心 爱心 专心 6

13.(1)证明: 如图,延长CB至点G,使得BG=DF,连结AG. 因为ABCD是正方形,所以在Rt△ADF和Rt△ABG中,AD=AB,∠ADF=∠ABG=90°,DF=BG.

∴ Rt△ADF≌Rt?ABG(SAS),∴AF=AG,∠DAF=∠BAG. 又 ∵

AE是∠BAF的平分线

∴∠EAF=∠BAE, ∴ ∠DAF+∠EAF=∠BAG+∠BAE

即∠EAD=∠GAE.

∵ AD∥BC,∴∠GEA=∠EAD,∴∠GEA=∠GAE,∴ AG=GE. 即

AG=BG+BE.∴ AF=DF+BE,得证.

(5分)G B

F E C (2)S?S?ADF?S?ABE?

∵ AD=AB=1, ∴ S?11DF?AD?BE?AB 221(DF?BE) 2

1由(1)知,AF=DF+BE, 所以S?AF. 2

在Rt△ADF中,AD=1,DF=x, ∴AF?

2x2?1,∴S?1x2?1. 2由上式可知,当x达到最大值时,S最大.而0≤x≤1,

所以,当x=1时,S最大值为11 x2?1?2. 22(10分)

用心 爱心 专心 7

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