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八年级数学竞赛讲座 第二讲 分解方法的延拓 新版

发布时间:2013-12-17 09:03:00  

第二讲 分解方法的延拓

——配方法与待定系数法

在数学课外活动中,配方法与待定系数法也是分解因式的重要方法.

把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或几个完全平方式的和的形式,这种方法叫配方法,配方法分解因式的关键是通过拆项或添项,将原多项式配上某些需要的项,以便得到完全平方式,然后在此基础上分解因式.

对所给的数学问题,根据已知条件和要求,先设出问题的多项式表达形式(含待定的字母系数),然后利用已知条件,确定或消去所设待定系数,使问题获解的这种方法叫待定系数法,用待定系数法解题的一般步骤是:

1.根据多项式次数关系,假设一个含待定系数的等式;

2.利用恒等式对应项系数相等的性质,列出含有待定系数的方程组;

3.解方程组,求出待定系数,再代人所舌问题的结构中去,得到需求问题的解. 例题求解

【例1】分解因式:4x2?4x?y2?4y?3.

(2002年重庆市竞赛题)

思路点拨 直接分组分解困难,由式子的特点易想到完全平方式,关键是将常数项拆成几个数的代数和,以便凑配.

注:拆项即把代数式中的某顷拆成两项的和或差,添项即把代数式添上两个符号相反的项,通过拆添项,多项式增加了项数,从而可以用分组分解发分解. 配方法与待定系数法是数学中重要的思想方法,不仅仅拘泥于分解因式,在后续的学习中如解高次方程、确定函数解析式、挖掘隐舍条件、讨论最值问题等方面有广泛的应用.

【例2】如果x3?ax2?bx?8有两个因式x+1和x+2,则a+b=( ).

A.7 B.8 C.15 D.2l

(2001年武汉市选拔赛试题)

思路点拨 原多项式的第三个因式必是形如x+c的一次两项式,故可考虑用待定系数法解.

【例3】把下列各式分解因式:

(1)x4?7x2?1; (“祖冲之杯”邀请赛试题)

(2)x4?x2?2ax?1?a2; (哈尔滨市竞赛题)

(3)(1?y)2?2x2(1?y2)?x4(1?y)2; (扬州市竞赛题)

(4)x4?2x3?3x2?2x?1 (河南省竞赛题)

思路点拨 所给多项式,或有两项的平方和,或有两项的积的2倍,只需配上缺项,就能用配方法恰当分解.

【例4】k为何值时,多项式x2?2xy?ky2?3x?5y?2能分解成两个一次因式的积? (天津市竞赛题)

思路点拨 因k为二次项系数,故不宜从二次项入手,而x2?3x?2?(x?1)(x?2),可得多项式必为(x?my?1)(x?ny?2)的形式.

【例5】 如果多项式x2?(a?5)x?5a?1能分解成两个一次因式(x?b)、(x?c)的乘积

用心 爱心 专心 1

(b、c为整数),则a的值应为多少?

(江苏省竞赛题)

思路点拨 由待定系数法得到关于b、c、a的方程组,通过消元、分解因式解不定方程,求出b、c、a的值.

学历训练

1.(1)完成下列配方问题:x2?2px?1?x2?2px?()

(江西省中考题)

(2)分解因式:a2?b2?4a?2b?3的结果是(郑州市竞赛题)

2.若x3?3x2?3x?k有一个因式是x+1,则k= .

3.若x2?2xy?y2?a(x?y)?25是完全平方式,则a

(2003年青岛市中考题)

4.已知多项式2x2?3xy?2y2?x?8y?6可以i分解为(x?2y?m)(2x?y?n)的形式,那么m3?1

n?12???()?(x?)2?() 的值是 . ( “希望杯”邀请赛试题)

a?b的值为( ) a?b5.已知a2?b2?4a?2b?5?0,则

A.3 B.11 C.?3 D.? 33

6.如果 a、b是整数,且x2?x?1是ax3?bx2?1的因式.那么b的值为( )

A.-2 B.-l C.0 D.2

(江苏省竞赛题)

7.a4?4d分解因式的结果是( )

A.(a2?2a?2)(a2?2a?2) B.(a2?2a?2)(a2?2a?2)

C.(a2?2a?2)(a2?2a?2) D.(a2?2a?2)(a2?2a?2)

(北京市竞赛题)

8.把下列各式分解因式:

(1)a4?16b4; (2)x4?x2y2?y4;

(3)x2?(1?x)2?(x?x2)2;

(4)(c?a)2?4(b?c)(a?b); (昆明市竞赛题)

(5)x3?9x?8; (“祖冲之杯”邀请赛试题)

(6)x3?2x2?5x?6 (重庆市竞赛题)

9.已知x2?2x?5是x4?ax2?b的一个因式,求a?b的值.

(第15届“希望杯”邀请赛试题)

10.已知x2?x?6是多项式2x4?x3?ax2?bx?a?b?1的因式,则a=

(第15届江苏省竞赛题)

11.一个二次三项式的完全平方式是x4?6x3?7x2?ax?b,那么这个二次三项式是.

用心 爱心 专心 2

(重庆市竞赛题)

12.已知x2?y2?z2?2x?4y?6z?14?0,则(x?y?z)2002

(北京市竞赛题)

13.已知n为正整数,且47?4n?41998是一个完全平方数,则n的值为 .

14.设m、n满足m2n2?m2?n2?10mn?16?0,则(m,n)=( )

A.(2,2)或(-2,-2) B.(2,2)或(2,-2)

C.(2,-2)或(-2,2) D.(-2,-2)或(-2,2)

15.将x5?x4?1因式分解得( )

A.(x2?x?1)(x3?x?1) B.(x2?x?1)(x3?x?1)

C.(x2?x?1)(x3?x?1) D.(x2?x?1)(x3?x?1)

16.若 a、b、c、d都是正数,则在以下命题中,错误的是( )

A.若a2?b2?c2?ab?bc?ca,则a?b?c

B.若a2?b2?c2?3abc,则a?b?c

C.若a4?b4?c4?d4?2(a2b2?c2d2),则a?b?c?d

D.若a4?b4?c4?d4?4abcd,则a?b?c?d

17.把下列各式分解因式:

(1)4x3?31x?15; (2)2a2b2?2a2c2?2b2c2?a4?b4?c4;

(3)x5?x?1; (4)x3?5x2?3x?9;

(5)2a4?a3?6a2?a?2 (2003年河南省竞赛题)

18.已知关于x、y的二次式x2?7xy?my2?5x?43y?24可分解为两个一次因式的乘积,求m的值. (大原市竞赛题)

19.证明恒等式:a4?b4?(a?b)4?2(a2?ab?b2)2 (北京市竞赛题)

20.一个自然数a若恰好等于另一个自然数b的平方,则称自然数a为完全平方数.如64

22222=8,64就是一个完全平方数,已知a=2001+2001× 2002十2002,求证:a是一个完全平方数.(希望杯题)

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