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八年级数学竞赛讲座 第二十四讲 配方法的解题功能 新版

发布时间:2013-12-17 10:29:32  

第二十四讲 配方法的解题功能 把代数式通过凑配等手段,得到完全平方式,再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的,这种解题方法叫配方法.

配方法的作用在于改变代数式的原有结构,是求解变形的一种手段;配方法的实质在于改变式子的非负性,是挖掘隐含条件的有力工具,配方法在代数式的化简求值、解方程、解最值问题、讨论不等关系等方面有广泛的应用.

运用配方法解题的关键是恰当地“配凑”,应具有整体把握题设条件的能力,即善于将某项拆开又重新分配组合,得到完全平方式.

例题求解

【例1】已知有理数x,y,z满足x?y?1?z?2?

为 . (北京市竞赛题) 思路点拨 三元不定方程,尝试从配方法人手.

【例2】 若x?1?

A.3 B.y?1z?2,则x2?y2?z2可取得的最小值为( ) ?2312(x?y?z),那么(x—yz)的值2599 C. D.6 142

y?1z?2??k,把x,y,z用k的代数式表示,则23 (武汉市选拔赛试题) 思路点拨 通过引参,设x?1?

x2?y2?z2转化为关于k的二次三项式,运用配方法求其最小值.

【例3】怎样的整数a、b、c满足不等式:a2?b2?c2?3?ab?3b?2c.

(匈牙利数学奥林匹克试题)

思路点拨 一个不等式涉及三个未知量,运用配方法试一试.

22 【例4】 求方程m-2mn+14n=217的自然数解. (上海市竞赛题)

思路点拨 本例是个复杂的不定方程,由等式左边的特点,不难想到配方法.

222 【例5】求实数 x、y的值,使得(y-1)+(x+y-3)+(2x+y-6)达到最小值.

(全国初中数学联赛试题)

思路点拨 展开整理成关于x(或y)的二次三项式,从配方的角度探求式子的最小值,并求出最小值存在时的x、y的值.

【例6】 为了美化校园环境,某中学准备在一块空地(如图,矩形ABCD,AB=10m,BC=20m)上进行绿化,中间的一块(图中四边形EFGH)上种花,其他的四块(图中的四个直角三角形)上铺设草坪,并要求AC=AH=CF=CG,那么在满足上述条件的所有设计中,是否存在一种设计,使得四边形EFGH (中间种花的一块)面积最大?若存在,请求出该设计中AE的长和四边形EFGH的面积;若不存在,请说明理由.

(2温州市中考题)

思路点拨 这是一道探索性几何应用题,解题的关键是代数化.设AE=AH=CF=CG=xm,则BE=DG=(20-x)m,四边形EFGH的面积可用x 的代数式表示,利用配方法求该代数式的最大值.

注 配方的对象具有多样性,数,字母、等式、不等式都可以配方;同一个式于可以有不同的配方结果,可以配一个平方式,也可以配多个平方式.

配方法的实质在于揭示式子的非负性,而非负数有以下重要性质:

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(1)若有限个非负数的和为0,则每一个非负数都为零;

(2)非负教的最小值为零.

学历训练

1.若a2?b2?c2?2(a?b?c)?3?0,则a3?b3?c3?3abc? . (2江西省中考题)

2.设a2?b2?1?2,b2?c2?1?2,则a4?b4?c4?a2b2?b2c2?c2a2的值等于. ( “希望杯”邀请赛试题)

3.分解因式:a2?b2?4a?2b?3.

4,已知实数 x、y、z满足x?y?5,z2?xy?y?9,那么x?2y?3z (“祖冲之杯”邀请赛试题)

5.若实数x、y 满足x2?y2?4x?2y?5?0,则x?y

y?2x的值是( )

3A.1 B.?2 C.3?22 D.2 2

6.已知a?1999x?2000,b?1999x?2001,c?1999x?2002,则多项式a2?b2?c2?ab?bc?ac

的值为( )

A.0 B.1 C. 2 D.3

(全国初中数学竞赛题)

7.整数x、y满足不等式x2?y2?1?2x?2y,则x+y的值有( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ( “希望杯”邀请赛试题)

8.化简24?23?21?12为( )

A.5-43 B. 4-l C.5 D. 1 (2003年天津市竞赛题)

9.已知正整数 a、b、c满足不等式a2?b2?c2?42?ab?9b?8c,求a、b、c的值. (江苏省竞赛题)

10.已知x、y、z为实数,且满足??x?2y?z?6,求x2?y2?z2的最小值. ?x?y?2z?3

(第12届“希望杯”邀请赛试题)

11.实数x、y、z满足??x?6?3y

2?x?3y?2xy?2z?0,则x2y?z的值为 .

112.若a?b?2a?1?4b?2?3?3?c?5,则a+b+c的值为. 2

y2

13.x、y为实数,且x??4?xy?2y,则x、y的值为,. 22

14.已知M?4x2?12xy?10y2?4y?9,那么当时,M的值最小,M的最小值为 .

15.已知a?b?4,ab?c2?4?0,则a+b=( )

用心 爱心 专心 2

A.4 B.0 C.2 D.-2

(重庆市竞赛题)

16.设a.?b?0,a2?b2?3ab,则a?b的值为( ) a?b

A.2 B. C .2 D.5 (江苏省竞赛题)

17.若 a、b、c、d是乘积为l的4个正数,则代数式a2?b2?c2?d2?ab?ac?ad?bc?bd?cd 的最小值为( )

A.0 B.4 C.8 D.10

18.若实数a、b、c满足a2?b2?c2?9,代数式(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2的最大值是( )

A.27 D.18 C.15 D.12

19.已知x+y+z=1,求证:x2?y2?z2?.

(苏奥尔德莱尼基市竞赛题)

20.已知a>b,且(a?b)?(a?ab?b)?a?243,a、b 为自然数,求a、b的值. b

2a2

1?a21321.已知a、b、c是△ABC的三边长,且满足?b,2b2

1?b2?c,2c2

1?c2?a,试求

△ABC的面积. 22.某种产品按质量分为10个档次,生产最低档次产品,每件获利润8元,每提高一个档次,每件产品利润增加2元.用同样工时,最低档次产品每天可生产60件,提高一个档次将减少3件.如果获利润最大的产晶是第k档次(最低档次为第一档次,档次依次随质量增加),求k的值. (山东省竞赛题)

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