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1990-2013年全国初中数学联合数学竞赛试题及答案(word版本)

发布时间:2013-12-17 14:35:47  

一九九0年

第一试

一、选择题

本题共有8个小题,每小题都给出了(A)、(B)(C)、(D)四个答案结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内. 1. 设等式a(x?a)?a(y?a)?x?a?a?y在实数范围内成立,其中

3x2?xy?y2

a,x,y是两两不同的实数,则2的值是 2x?xy?y

15 (A)3 ; (B); (C)2; (D). 33

答( ) 2. 如图,AB‖EF‖CD,已知AB=20,CD=80,BC=100,那么EF的值是

(A) 10; (B)12;

(C) 16; (D)18.

答( )

3. (A)方程x2?x?1?0的解是 1??1?5; (B); 22

?1?51??1?5或; (D)?. 222(C)

答( ) 4. 是

?1?1(A)1991; (B)?1991; ?1n已知:x?(1991?1991n)(n是自然数).那么(x??x2)n,的值211

?1(C)(?1)n1991; (D)(?1)n1991.

答( )

5. 若1?2?3???99?100?12nM,其中M为自然数,n为使得等式成立的

最大的自然数,则M

(A)能被2整除,但不能被3整除;

(B)能被3整除,但不能被2整除;

(C)能被4整除,但不能被3整除;

- 1 -

(D)不能被3整除,也不能被2整除.

答( )

6. 若a,c,d是整数,b是正整数,且满足a?b?c,b?c?d,c?d?a,

那么

a?b?c?d的最大值是 (A)?1;(B)?5;(C)0;(D)1.

答( )

7. 如图,正方形OPQR内接于ΔABC.已知ΔAOR、ΔBOP和ΔCRQ的面积分

别是S1?1,S2?3和S3?1,那么,正方形OPQR的边长是 (A)2;(B);(C)2 ;(D)3.

答( )

8.

S2?3

S1?1

S3=1

在锐角ΔABC中,AC?1,AB?c,?A?60?,ΔABC的外接圆半径R≤

1,则 11

(A)< c < 2 ; (B)0< c ≤;

22

答( )

(C)c > 2; (D)c = 2.

答( )

二、填空题

1.E是平行四边形ABCD中BC边的中点,AE交对角线BD于G,如果ΔBEG的面积是1,则平行四边形ABCD的面积是 .

2.已知关于x的一元二次方程ax2?bx?c?0没有实数解.甲由于看错了二次项系数,误求得两根为2和4;乙由于看错了某一项系数的符号,误求得两

2

b?3c

? . 根为-1和4,那么,a

(x?1)m(x?1)p

?1?3.设m,n,p,q为非负数,且对一切x >0,恒成立,nq

xx

(m2?2n?p)2q? .

4.四边形ABCD中,∠ ABC?135?,∠BCD?120?,AB?,BC?5?,

CD = 6,则AD = .

120?

135?

- 2 -

第二试

x + y, x - y, x y, x y

四个数中的三个又相同的数值,求出所有具有这样性质的数对(x , y).

二、ΔABC中,AB<AC<BC,D点在BC上,E点在BA的延长线上,且

BD=BE=AC,ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点(如图).

求证:BF=AF+CF

三、将正方形ABCD分割为 n2个相等的小方格(n是自然数),把相对的顶点A,C染成红色,把B,D染成蓝色,其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色.证明:恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数.

- 3 -

一九九二年

第一试

一.选择题

本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.

1.满足a?b?ab?1的非负整数(a,b)的个数是

(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.

2.若x0是一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的根,则判别式??b2?4ac与平方式M?(2ax0?b)2的关系是

(A)?>M (B)?=M (C)?>M; (D)不确定.

3.若x2?13x?1?0,则x4?x?4的个位数字是

(A)1; (B)3; (C)5; (D)7.

答( )

4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为

(A)7; (B)6; (C)5; (D)4.

答( )

5.如图,正比例函数y?x和y?ax(a?0)的图像与反比例函k(k?0)的图像分别相交于A点和C点.若Rt?AOB和?CODx

的面积分别为S1和S2,则S1与S2的关系是 y?数

(A)S1?S2 (B)S1?S2

(C)S1?S2 (D)不确定 答( )

6.在一个由8?8个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S1,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S2,则S1的整数部分是 S2

答( ) (A)0; (B)1; (C)2; (D)3.

- 4 -

7.如图,在等腰梯形ABCD中, AB//CD, AB=2CD,

?A?60?,又E是底边AB上一点,且FE=FB=AC, FA=AB.

则AE:EB等于

(A)1:2 (B)1:3

(C)2:5 (D)3:10

答( )

8.设x1,x2,x3,???,x9均为正整数,且

x1?x2?????x9,x1?x2?????x9?220,则当x1?x2?x3?x4?x5的值最大时,x9?x1的最小值是

(A)8; (B)9; (C)10; (D)11.

答( )

二.填空题

1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm,腰上的中线等15cm,则这个等腰三角形的面积等于________________.

?x2?x4??x4

2.若x?0,则的最大值是__________. x

3.在?ABC中,?C?90?,?A和?B的平分线相交于P点,又PE?AB于E点,若BC?2,AC?3,则AE?EB?.

4.若a,b都是正实数,且111ba???0,则()3?()3?aba?bab

第二试

一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程x2?6x?a?0的两根,当这样的三角形只有一个时,求a的取值范围.

二、如图,在?ABC中,AB?AC,D是底边BC上一点,E是线段AD上一点,且?BED?2?CED??A.

求证:BD?2CD.

三、某个信封上的两个邮政编码M和N均由0,1,2,3,5,6这六个不同数字组成,现有四个编码如下:

A:320651 B:105263

C:612305 D:316250

已知编码A、B、C、D各恰有两个数字的位置与M和N相同.D恰有三个数字的位置与M和N相同.试求:M和N.

- 5 -

一九九三年

第一试

一.选择题

本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.

1.多项式x12?x6?1除以x2?1的余式是

(A)1; (B)-1; (C)x?1; (D)x?1;

2.对于命题

Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.

Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是

(A)Ⅰ,Ⅱ都对 (B)Ⅰ对,Ⅱ错 (C)Ⅰ错,Ⅱ对. (D)Ⅰ,Ⅱ都错.

3.设x是实数,y?x??x?.下列四个结论:

Ⅰ.y没有最小值;

Ⅱ.只有一个x使y取到最小值;

Ⅲ.有有限多个x(不止一个)使y取到最大值;

Ⅳ.有无穷多个x使y取到最小值.

其中正确的是

(A)Ⅰ (B)Ⅱ (C)Ⅲ (D)Ⅳ

4.实数x1,x2,x3,x4,x5满足方程组

?x1?x2?x3?a1;?x?x?x?a;2342?? ?x3?x4?x5?a3;

?x?x?x?a;514?4

??x5?x1?x2?a5.

其中a1,a2,a3,a4,a5是实常数,且a1?a2?a3?a4?a5,则x1,x2,x3,x4,x5的大小顺序是

(A)x1?x2?x3?x4?x5; (B)x4?x2?x1?x3?x5;

(C)x3?x1?x4?x2?x5; (D)x5?x3?x1?x4?x2.

5.不等式x?1?(x?1)2?3x?7的整数解的个解

- 6 -

(A)等于4 (B)小于4 (C)大于5 (D)等于5

6.在?ABC中,?A是钝角,O是垂心,AO?BC,

则cos(?OBC??OCB)的值是 (A)?22 (B) 22

(C)13 (D)?. 22

答( )

7.锐角三角ABC的三边是a, b, c,它的外心到三边的距离分别

为m, n, p,那么m:n:p等于 111(A)::; (B)a:b:c abc

(C)cosA:cosB:cosC (D)sinA:sinB:sinC.

答( ) 8.(421?1??)可以化简成 999

(A)3(2?1); (B)(2?1) (C)2?1 (D)2?1

答( )

二.填空题

3x2?6x?51.当x变化时,分式12的最小值是___________.

x?x?1

2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.

3.若方程(x2?1)(x2?4)?k有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k=____________.

4.锐角三角形ABC中,?A?30?.以BC边为直径作圆,与AB, AC

分别交于D, E,连接DE, 把三角形ABC分成三角形ADE与四边形

BDEC,设它们的面积分别为S1, S2,则S1:S2=___________.

第二试

一.设H是等腰三角形ABC垂心,在底边BC保持不变的情况下让顶点A至底边BC的距离变小,这时乘积S?ABC?S?HBC的值变小,变大,还是不变?

证明你的结论.

二.?ABC中, BC=5, AC=12, AB=13, 在边AB ,AC

上分别取点

- 7 -

D, E, 使线段DE将?ABC分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE的最小长度.

?,x2?,三.已知方程x2?bx?c?0及x2?cx?b?0分别各有两个整数根x1,x2及x1

?x2??0. 且x1x2?0,x1

??0,x2??0; (1)求证:x1?0,x2?0,x1

(2)求证:b?1≤c≤b?1;

(3)求b,c所有可能的值.

- 8 -

1994年全国初中数学联赛试题

第一试

(4月3日上午8:30—9:30)

考生注意:本试共两道大题,满分80分.

一、选择题(本题满分48分,每小题6分)

本题共有8个小题都给出了A,B、C,D,四个结论,其中只有一个是正确的,请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内,每小题选对得6分;不选、选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在圆括号内),一律得0分.

〔答〕( )

2.设a,b,c是不全相等的任意实数,若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,z

A.都不小于0 B.都不大于0

C.至少有一个小0于 D.至少有一个大于0 〔答〕( )

3.如图1所示,半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上,且与其余三边BC,CD,DA相切,若BC=2,DA=3,则

AB的长

A.等于4 B.等于5

C.等于6 D.不能确定

〔答〕( )

A.1 B.-1 C.22001 D.-22001

〔答〕( )

5.若平行直线EF,MN与相交直线AB,CD

相交成如图2所示的图形,则共得同旁内角

A.4对 B.8对

C.12对 D.16对

〔答〕( )

〔答〕( )

- 9 -

7.设锐角三角形ABC的三条高AD,BE,CF相交于H。若BC=a,AC=b,AB=c,则AH·AD+BH·BE+CH·CF的值是

( )

答〕

A.1001 B.1001,3989

C.1001,1996 D.1001,1996,3989 〔答〕( )

二、填空题(本题满分32分,每小题8分)

各小题只要求在所给横线上直接填写结果.

3.在△ABC中,设AD是高,BE是角平分线,若BC=6,CA=7,AB=8,则DE=______.

4.把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上,使它们两两外切,若要有用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住,则这个大圆形纸片的最小半径等于______.

第二试

(4月3日上午10:00—11:30)

考生注意:本试共三道大题,满分60分.

一、(本题满分20分)

如图所示,在△ABC中,AB=AC.任意延长CA到P,再延长AB到Q,使AP=BQ.求证:

△ABC的外心O与A,P,Q四点共圆。

- 10 -

二、(本题满分20分)

周长为6,面积为整数的直角三角形是否存在?若不存在,请给出证明;若存在,请证明共有几个?

三、(本题满分20分)

某次数学竞赛共有15个题.下表是对于做对n(n=0,1,2,??,15)个题的人数的一个统计.

n 0 1 2 3 ?? 12 13 14 15

做对n个题的人数 7 8 10 21 ?? 15 6 3 1

如果又知其中做对4个题和4个题以上的学生每人平均做对6个题,做对10个题和10个题以下的学生每人平均做对4个题.问这个表至少统计了多少人?

1994年全国初中数学联赛参考答案

第一试答案

一、选择题;

小题号 1 2 3 4 5 6 7 8

答案 A D B B D C B C

二、填空题:

第二试提示及答案.

一、连结OA,OC,OP,OQ.证明△OCP≌△OAQ,于是

∠CPO=∠AQO,所以O,A,P,Q四点共圆.

三、这个表至少统计了200人.

- 11 -

1995年全国初中数学联赛试题

第一试

一、选择题

1.已知a=355,b=444,c=533,则有[ ]

A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b

A.1 B.2 C.3 D.4

3.如果方程(x-1)(x2-2x-m)=0的三根可以作为一个三角形的三边之长,那么实数m的取值范围是

4.如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆,那么此圆的周长为 [ ]

A.62π B.63π C.64π D.65π

5.设AB是⊙O的一条弦,CD是⊙O的直径,且与弦AB相交,记M=|S△CAB-S△DAB|,N=2S△OAB,则 [ ]

A.M>N B.M=N C.M<N D.M、N的大小关系不确定

6.设实数a、b满足不等式||a|-(a+b)|<|a-|a+b||,则

[ ]

A.a>0且b>0 B.a<0且b>0

C.a>0且b<0 D.a<0且b<0

二、填空题

1.在12,22,32?,952这95个数中,十位数字为奇数的数共有____个。

- 12 -

4.以线段AB为直径作一个半圆,圆心为O,C是半圆周上的点,且OC2=AC·BC,则∠CAB=______.

第二试

一、已知∠ACE=∠CDE=90°,点B在CE上,CA=CB=CD,经A、

C、D三点的圆交AB于F(如图)求证F为△CDE的内心。

二、在坐标平面上,纵坐标与横坐标都是整数

理由。

三、试证:每个大于6的自然数n,都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和。

- 13 -

1995年全国初中数学联赛参考答案

第一试

一、选择题

1.讲解:这类指数幂的比较大小问题,通常是化为同底然后比较指数,或化为同指数然后比较底数,本题是化为同指数,有

c=(53)11=12511

<24311=(35)11=a

<25611=(44)11=b。选C。

利用lg2=0.3010,lg3=0.4771计算lga、lgb、lgc也可以,但没有优越性。

2.讲解:这类方程是熟知的。先由第二个方程确定z=1,进而可求出两个解:(2,21,1)、(20,3,1).也可以不解方程组

直接判断:因为x≠y(否则不是正整数),故方程组①或无解或有两个解,对照选择支,选B。

3.讲解:显然,方程的一个根为1,另两根之和为x1+x2=2>1。三根能作为一个三角形的三边,须且只须|x1-x2|<1又

有0≤4-4m<1.

- 14 -

4.讲解:四个选择支表明,圆的周长存在且唯一,从而直径也存在且唯一.又由

AB2+AD2

=252+602

=52×(52+122)

=52×132

=(32+42)×132

=392+522

=BC2+CD2

故可取BD=65为直径,得周长为65π,选D.

5.讲解:此题的得分率最高,但并不表明此题最容易,因为有些考生的理由是错误的.比如有的考生取AB为直径,则M=N=0,于是就选

B.其实,这只能排除A、C,不能排除D.

不失一般性,设CE≥ED,在CE上取CF=ED,则有OF=OE,且S△ACE-S△ADE=S△AEF=2S△AOE.同理,S△BCE-S△BDE=2S△BOE.相加,得S△ABC-S△DAB=2S△OAB,即M=N.选B.

若过C、D、O分别作AB的垂线(图3),CE⊥AB、DF⊥AB、OL⊥AB,垂足分别为E、F、L.连CF、DE,可得梯形CEDF.又由垂径分弦定理,知L是EF的中点.根据课本上做过的一道作业:

梯形对角线中点的

- 15 -

连线平行底边,并且等于两底差的一半,有

|CE-DF|=2OL.

即M=N.选B.

6.讲解:取a=-1、b=2可否定A、C、D,选B.一般地,对已知不等式平方,有

|a|(a+b)>a|a+b|.

显然|a||(a+b)|>0(若等于0,则与上式矛盾),有

两边都只能取1或-1,故只有1>-1,即

有a<0且a+b>0,从而b>-a>0.选B.

二、填空题

1.讲解:本题虽然以计算为载体,但首先要有试验观察的能力.经计算12,22,?,102,知十位数字为奇数的只有42=16,62=36.然后,对两位数10a+b,有

(10a+b)2=20a(5a+b)+b2.

其十位数字为b2的十位数字加上一个偶数,故两位数的平方中,也中有b=4或6时,其十位数字才会为奇数,问题转化为,在1,2,?,95中个位数出现了几次4或6,有2×9+1=19.

2.讲解:这类问题一般都先化简后代值,直接把a

学生在这道题上的错误主要是化简的方向不明确,最后又不会将a2+a作为整体代入.这里关键是整体代入,抓住这一点,计算可以灵活.比如,由①有

由②-①,得

由③-②并将④代入,得

- 16 -

还可由①得

⑥÷⑤即得所求.

3.讲解:这个题目是将二次函数y=x2-x与反比例函数

因而x=1时,y有最小值1.

4.讲解:此题由笔者提供,原题是求sin

∠CAB,让初中生用代数、几何相结合的方法求特殊角的三角函数值sin75°、sin15°.解法如下:

- 17 -

与AB2=AB2+AC2 ②

联立,可推出

而式①、③表明,AB、AC是二次方程

改为求∠CAB之后,思路更宽一些.如,由

第二试

一、讲解:首先指出,本题有IMO29-5(1989年)的背景,该题是:在直角△ABC中,斜边BC上的高,过△ABD的内心与△ACD的内心的直线分别交边AB和AC于K和L,△ABC和△AKL的面积分别记为S和T.求证S≥2T.

- 18 -

在这个题目的证明中,要用到AK =AL=AD.

今年的初中联赛题相当于反过来,先给出AK=AL=AD(斜边上的高),再求证KL通过△ABD、△ADC的内心(图7).

其次指出,本题的证法很多,但思路主要有两个:其一,连FC、FD、FE,然后证其中两个为相应的角平分线;其二是过F作三边的垂线,然后证明其中两条垂线段相等.下面是几个有代表性的证法.

证法1:如图6,连DF,则由已知,有

连BD、CF,由CD=CB,知

∠FBD=∠CBD-45°

=∠CDB-45°=∠FDB,

得FB=FD,即F到B、D和距离相等,F在线段BD的垂直平分线上,从而也在等腰三角形CBD的顶角平分线上,CF是∠ECD的平分线.

由于F是△CDE上两条角平分线的交点,因而就是△CDE的内心. 证法2:同证法1,得出∠CDF=45°=90°-45°=∠FDE之后,由于∠ABC=∠FDE,故有B、E、D、F四点共圆.连EF,在证得

∠FBD=∠FDB之后,立即有∠FED=∠FBD=∠FDB=∠FEB,即EF是∠CED的平分线.

本来,点E的信息很少,证EF为角平分线应该是比较难的,但四点共圆把许多已知信息集中并转移到E上来了,因而证法2并不比证法1复杂.

由这个证明可知,F是△DCB的外心.

- 19 -

证法4:如图8,只证CF为∠DCE的平分线.由∠AGC=∠GBA+∠GAB=45°+∠2,

∠AGC=∠ADC=∠CAD=∠CAB+∠1

=45°+∠1

得∠1=∠2.

从而∠DCF=∠GCF,

得CF为∠DCE的平分线.

证法5:首先DF是∠CDE的平分线,故

△CDE的外心I在直线DF上.

现以CA为y轴、CB为x轴建立坐标系,并记CA=CB=CD=d,则直线AB是一次函数

y=-x+d ①

的图象(图9).若记内心I的坐标为(x1,y1),则

x1+y1=CH+IH

=CH+HB=CB=d

满足①,即I在直线AB上,但I在DF上,故I是AB与DF的交点.由交点的唯一性知I就是F,从而证得F为Rt△CDE的内心.

还可延长ED交⊙O于P1,而CP为直径来证.

二、讲解:此题的原型由笔者提供.题目是:

于第一象限内,纵坐标小于横

坐标的格点.

这个题目的实质是解不等式

求正整数解.直接解,数字较繁.但有巧法,由

- 20 -

及1≤y<x,

知1+2+?+(x-1)<1995<1+2+?+x.

但1953=1+2+?+62<1995<1+2+?+62+63=2016,得x=63,从而y=21,所求的格点为(21,63).

经过命题组的修改之后,数据更整齐且便于直接计算.

有x2-x+18≤10|x|.

当x≥0时,有x2-11x+18≤0,

得2≤x≤9,代入二次函数,得合乎条件的4个整点:(2,2),(4,3),(7,6),(9,9);

当x<0时,有

x2+9x+18≤0,

得-6≤x≤-3,代入二次函数,得合乎条件的2个整点:

(-6,6),(-3,3).

对x≥0,取x=2,4,7,9,12,14,?顺次代入,得(2,2)、(4,3)、(7,6)、(9,9),且当x>9时,由

对x<0,取x=-1,-3,-6,-8,?顺次代入,得(-3,3)、(-6,6),且当x<-6时,由

知y>-x,再无满足y≤|x|的解.

故一共有6个整点,图示略.

解法3:先找满足条件y=|x|的整点,即分别解方程

x2-11x+18=0 ①

x2+9x+18=0 ②

可得(2,2)、(9,9)、(-6,6)、(-3,3).

再找满足y<|x|的整点,这时

2<x<9或-6<x<-3,

依次检验得(4,3)、(7,6).故共有6个整点.

三、讲解:直观上可以这样看,当n>6时,在2,3,?,n-2中,必有一个数A与n互质(2≤A≤n-2),记

B=n-A≥2,

有n=A+B.

- 21 -

此时,A与B必互质,否则A与B有公约数d>1,则d也是n的约数,从而A与n有大于1的公约数,与A、n互质矛盾.

但是,对于初中生来说,这个A的存在性有点抽象,下面分情况,把它具体找出来.

(1)当n为奇数时,有

n=2+(n-2),

(2)当n为偶数,但不是4的倍数时,有

(3)当n为偶数,且又是4的倍数时,有

- 22 -

1996年全国初中数学联赛试题

第一试

一、选择题(本题满分42分,每小题7分)

A.M>N B.M=N C.M<N D.不确定

A.有一组 B.有二组 C.多于二组 D.不存在

3.如图,A是半径为1的圆O外的一点,OA=2,AB是圆O的切线,B是切点,弦BC∥OA,连结AC,则阴影部分的面积等于 [ ]

4.设x1、x2是二次方程x2+x?3=0的两个根,那么x13?4x22+19的值等于 [ ]

A.?4 B.8 C.6 D.0

5.如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分,那么该直线必通过这个三角形的 [ ]

A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心

6.如果20个点将某圆周20等分,那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形的个数有 [ ]

A.4个 B.8个 C.12个 D.24个

二、填空题(本题满分28分,每小题7分)

- 23 -

2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABN=∠MBC,BM=NM,BN=a,则点N到边BC的距离等于______.

3.设1995x3=1996y3=1997z3,xyz>0,且

4.如图,将边长为1的正方形ABCD绕A点按逆时针方向旋转60°至AB'C'D'的位置,则这两个正方形重叠部分的面积是______.

第二试

一、(本题满分20分)

某校在向“希望工程”捐款活动中,甲班的m个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男人和n个女生的捐款总数相等,都是(m·n+9m+11n+145)元,已知每人的捐款数相同,且都是整数元,求每人的捐款数.

二、(本题满分25分)

设凸四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M,过点M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F,交BC的延长线于点O,P是以O为圆心OM为半径的圆上一点(位置如图所示),求证:∠OPF=∠OEP.

- 24 -

三、(本题满分25分)

已知a、b、c都是正整数,且抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点A、B,若A、B到原点的距离都小于1,求a+b+c的最小值.

1996年全国初中数学联赛参考答案

第一试

一、选择题

1.B 2.A

4.D 5.A

二、填空题

3.B 6.C

第二试

一、

解 据题意m+11=n+9,且整除mn+9m+11n+145,而mn+9m+11n+145=(m+11)(n+9)+46,故m+11,n+9都整除46,由此得

综上可知,每人捐款数为25元或47元.

二、

证 作AD、BO的延长线相交于G,∵OE

- 25 -

三、

解 据题意,方程ax2+bx+c=0有两个相异根,都在(?1,0)中,故

经检验,符合题意,∴a+b+c=11最小.

- 26 -

一九九七年

第一试

一.选择题

本题共有6小题,每一个小题都给出了以(A), (B), (C), (D)为代号的四个答案,其中只有一个答案是正确的.请将正确的答案用代号填在各小题的括号内.

1.下述四个命题

(1)一个数的倒数等于自身,那么这个数是1;

(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形;

(3)a2的平方根是?a;

(4)大于直角的角一定是钝角.

(A)1个 (B)2个; (C)3个; (D)4个.

答( )

2.已知4

3?2?x?4

5?,那么满足上述不等式的整数x的个数是

答( )

(A)4; (B)5; (C)6; (D)7.

答( )

3.若实数a,b,c满足a2?b2?c2?9,代数式(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2的最大值是

(A)27 (B)18; (C)15; (D)12.

答( )

4.给定平面上n个点,已知1,2,4,8,16,32都是其中两点之间的距离,那么点数n的最小可能值是

(A)4; (B)5; (C)6; (D)7. 答( )

5.在梯形ABCD中,AD?DC,?B?300,?C?600,E,M,F,N分别为AB,BC,CD,DA的中点,已知BC=7,MN=3,则EF之值为

- 27 -

1(A)4 (B)4 (C)5; (D)6. 答( ) 2

6.如图,已知?A??B,AA,PP,BB1均垂直于11

A1B1,AA1?17,PP1?16,BB1?20,A1B1?12,则AP+PB等于

(A)12; (B)13; (C)14; (D)15. 答( )

二、填空题

1.从等边三角形内一点向三边作垂线,已积压这三条垂线的长分别为1,3,5,则这个等边三角形的面积是 .

2.当a取遍0到5的所有实数值时,满足3b?a(3a?8)的整数b的个数是 .

3.若a,b满足3a?5b?7,则S?22?3b的取值范围是 .

4.若正整数x, y满足x2?y2?1997,则x?y等于___________.

第二试

一.设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点, PE垂直AC于点F, PF垂直BC于点F, PG垂直EF于点G, 延长GP并在其延长线上取一点D, 使得PD=PC,试证:BC?BD,且BC=BD.

二.已知a,b为整数,且a?b,方程

3x2?3(a?b)x?4ab?0

的两个根?,?满足关系式

?(??1)??(??1)?(??1)(??1)

- 28 -

试求所有的整数点对(a,b).

三.已知定理:“若三个大于3的质数,a,b,c满足关系式2a?5b?c,则a?b?c是整数n的倍数”.试问:上述定理中的整数n的最大可能值是多少?并证明你的结论.

1998年全国数学联赛试卷

一、选择题:(每小题6分,共30分)

1、已知a、b、c都是实数,并且a?b?c,那么下列式子中正确的是( )

(A)ab?bc(B)a?b?b?c(C)a?b?b?c(D)ab? cc

2、如果方程x2?px?1?0?p?0?的两根之差是1,那么p的值为( )

(A)2(B)4(C)3(D)5

3、在△ABC中,已知BD和CE分别是两边上的中线,并且BD⊥CE,BD=4,CE=6,那么△ABC的面积等于( )

(A)12(B)14(C)16(D)18

4、已知abc?0,并且a?bb?cc?a???p,那么直线y?px?p一定通过第( )cab

象限

(A)一、二(B)二、三(C)三、四(D)一、四

5、如果不等式组??9x?a?0的整数解仅为1,2,3,那么适合这个不等式组的整数a、b8x?b?0?

的有序数对(a、b)共有( )

(A)17个(B)64个(C)72个(D)81个

二、填空题:(每小题6分,共30分)

6、在矩形ABCD中,已知两邻边AD=12,AB=5,P是AD边上任意一点,PE⊥BD,PF⊥AC,E、F分别是垂足,那么PE+PF=___________。

7、已知直线y??2x?3与抛物线y?x相交于A、B两点,O为坐标原点,那么△OAB的面积等于___________。

8、已知圆环内直径为acm,外直径为bcm,将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链,那么这条锁链拉直后的长度为___________cm。

9、已知方程ax?3a?8ax?2a?13a?15?0(其中a是非负整数),至少有一个整数根,那么a=___________。

10、B船在A船的西偏北450处,两船相距2km,若A船向西航行,B船同时向南航行,且B船的速度为A船速度的2倍,那么A、B两船的最近距离是___________km。

- 29 - 222?2?2

三、解答题:(每小题20分,共60分)

11、如图,在等腰三角形ABC中,AB=1,∠A=900,点

E为腰AC中点,点F在底边BC上,且FE⊥BE,求△

CEF的面积。

12、设抛物线y?x??2a?1?x?2a?2A

5的图象与x轴4

?6BFC只有一个交点,(1)求a的值;(2)求a?323a的值。

13、A市、B市和C市有某种机器10台、10台、8台,现在决定把这些机器支援给D市18台,E市10台。已知:从A市调运一台机器到D市、E市的运费为200元和800元;从B市调运一台机器到D市、E市的运费为300元和700元;从C市调运一台机器到D市、E市的运费为400元和500元。

(1)设从A市、B市各调x台到D市,当28台机器调运完毕后,求总运费W(元)关于x(台)的函数关系式,并求W的最大值和最小值。

(2)设从A市调x台到D市,B市调y台到D市,当28台机器调运完毕后,用x、y表示总运费W(元),并求W的最大值和最小值。

18

1998年全国初中数学联赛参考答案

一、选择题

1.B

根据不等式性质.

2.D

由△=p2-4>0及p>2,设x1,x2为方程

的两根,那么有x1+x2=-p,x1x2=l.又由

(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2,

得l2=(-p)2-4.∴p2=5,

3.C

如图连ED,

- 30 -

又∵DE是△ABC两边中点连线.

故选C.

4.B

得 2(a+b+c)=p(a+b+c).

∴有p=2或a+b+c=0.

当p=2时,y=2x+2.则直线通过第一、二、三象限. 当a+b+c=0时,不妨取a+b=-c,于是

∴y=-x-1,则直线通过第二、三、四象限.

综合上述两种情况,直线一定通过第二、三象限,故选B.

5.C

在数轴上画出这个不等式组解集的可能区间,如下图

∴a=1,2,3?9,共9个.

∴b=3×8+1,3×8+2,3×8+3,?,

3×8+8.共8个.

∵9×8=72(个),故选C.

二、填空题

- 31 -

6.解 如图,过A作AG⊥BD于G,

∵“等腰三角底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高”. ∴PE+PF=AG.

∵AD=12,AB=5,

∴BD=13.

7.解 如图,直线y=-2x+3与抛物线y=x2的交点坐标为A(1,1),B(-3,

9),作AA1,BB1分别垂直于x轴,垂足为A1,B1,

∴S△OAB=S梯形AA1B1B-S△AA1O-S△BB1O

8.解 如图,当圆环为3个时,链长为3a+

- 32 -

故a可取1,3或5.

10.解 如图,设经过t小时后,A船、B船分别航行到A1,B1,设AA1=x,于是BB1=2x.

∴A1C=|10-x|,B1C=|10-2x|.

三、解答题

11.解法1 过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D,

∵∠ABE+∠AEB=90°,

∠CED+∠AEB=90°,

∴∠ABE=∠CED.

于是Rt△ABE∽△CED,

又∠ECF=∠DCF=45°,所以,CF是∠DCE的平分线,点F到CE和CD的距离相等.

解法2 作FH⊥CE于H,设FH=h.

- 33 -

∵∠ABE+∠AEB=90°,

∠FEH+∠AEB=90°,

∴∠ABE=∠FEH.

∴Rt△EHF∽Rt△BAE.

即EH=2h,

又∵HC=FH,

12.解(1)因为抛物线与x轴只有一个交点,所以一元二次方程

(2)由(1)知,a2=a+1,反复利用此式可得

a4=(a+1)2=a2+2a+1=3a+2,

a8=(3a+2)2=9a2+12a+4=21a+13,

a16=(21a+13)2=441a2+546a+169

=987a+610.

a18=(987a+610)(a+1)=987a2+1597a+610=2584a+1597.

∵a2-a-1=0,∴64a2-64a-65=-1,

即 (8a+5)(8a-13)=-1.

∴a18+323a-6=2584a+1597+323(-8a+13)=5796.

13.解(1)由题设知,A市、B市、C市发往D市的机器台数分x,x,18-2x,发往E市的机器台数分别为10-x,10-x,2x-10.于是

W=200x+300x+400(18-2x)+800(10-x)+700(10-x)+500(2x-10)

- 34 -

=-800x+17200.

∴5≤x≤9.

∴W=-800x+17200(5≤x≤9,x是整数)

由上式可知,W是随着x的增加而减少的,所以当x=9时,W取到最小值10000元;当x=5时,W取到最大值13200元.

(2)由题设知,A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x,y,18-x-y,发往E市的机器台数分别是10-x,10-y,x+y-10,于是

W=200x+800(10-x)+300y+700(10-y)+400(19-x-y)+500(x+y-10) =-500x-300y-17200

∴W=-500x-300y+17200,

W=-200x-300(x+y)+17200

≥-200×10-300×18+17200=9800.

当x=10,y=8时,W=9800.所以,W的最小值为9800.

又W=-200x-300(x+y)+17200

≤-200×0-300×10+17200=14200.

当x=0,y=10时,W=14200,所以,W的最大值为14200.

- 35 -

1999年全国初中数学联合竞赛试卷

第一试 (4月4日上午8:30--9:30)

考生注意:本试两大题共10道小题,每题7分。全卷满分70分。

一、选择题(本题满分42分,每小题7分)

本题共有6个小题,每小题都给出了(A)、(B)、(C)、(D)四个结论,其中只有一个是正确的,请把你认为正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。每小题选对得7分;不选、选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在圆括号内),一律得0分。

1、计算的值是( )。

(A)1;(B)-1;(C)2;(D)-2。

2、△ABC的周长是24,M是AB的中点,MC=MA=5,则△ABC的面积是( )。

(A)12;(B)16;(C)24;(D)30。

3、设,

将一次函数与的图象画在同一平面直角坐标系内,则有一组的取值,使得下列4个图中的一个为正确的是( )。

- 36 -

4、若函数,则当自变量取1、2、3、?、100这100个自然数时,函数值的和是( )。

(A)540;(B)390;(C)194;(D)97。

5、如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AB=998,DC=1001,AD=1999,点P在线段AD上,则满足条件∠BPC=90°的点P的个数为( )。

(A)0;(B)1;(C)2;(D)不小于3的整数。

6

、有下列三个命题:(甲)若是不相等的无理数,则是无

理数;(乙)若是不相等的无理数,则

是无理数;(丙)若是不相等的无理数,则是无理数。其中正确命题的个数是( )。

(A)0;(B)1;(C)2;(D)3。

二、填空题(本题满分28分,每小题7分)

本题共有4道小题,要求直接把答案写在横线上。

1、已知且,则=________。

2、如图,在△ABC中,∠B=36°,∠ACB=128°,∠CAB的平分线交BC于M,△ABC的外接圆的切线AN交BC的延长线于N,则△ANM的最小角等于________。 - 37 -

3、已知为整数,且满足

,则

=________。

4、在正方形ABCD中,N是DC的中点,M是AD上异于D的点,且∠NMB=∠MBC,则tg∠ABM=________。

=============== =============== ===============

第二试 (4月4日上午10:00--11:30)

考生注意:本试三大题,第一题20分,第二、三题各25分,全卷满分70分。

一、(本题满分20分)

某班参加一次智力竞赛,共

中题

三题,每题或者得满分或者得0分。其满分分别为25分。竞赛结果,每个学生至少答- 38 - 满分20分,题、题

对了一题,三题全答对的有1人,答对其中两道题的有15人,答对题

与答对题

答对题的人数之和为29,答对题的人数与答对题的人数与答对题的人数的人数之和为25,的人数之和为20,问这个班的平均成绩是多少分?

二、(本题满分25分)

如图,设△ABC是直角三角形,点D在斜边BC上,BD=4DC。已知圆过点C且与AC相交于F,与AN相切于AB的中点G。求证:AD⊥BF。

三、(本题满分25分)

已知和为整数,方程的两根都大于-1且小于0,求的值。

=============== =============== ===============

第一试参考答案

一、选择题(本题满分42分,每小题7分)

本题共有6个小题,每小题都给出了(A)、(B)、(C)、(D)四个结论,其中只有一个是正确的,请把你认为正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。每小题选对得7分;不选、选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在圆括号内),一律得0分。

1、计算的值是( D )。

(A)1;(B)-1;(C)2;(D)-2。

- 39 -

解:原式=。

2、△ABC的周长是24,M是AB的中点,MC=MA=5,则△ABC的面积是( C )。

(A)12;(B)16;(C)24;(D)30。

解:∵MA=MB=MC=5,∴∠ACB=90°,已知周长是24,则AC+BC=14,AC2+BC2=102。∴2AC×BC=(AC+BC)2-(AC2+BC2)=142-102=4×24。∴。

3、设,

将一次函数与的图象画在同一平面直角坐标系内,则有一组的取值,使得下列4个图中的一个为正确的是( B )。

解:由方程组的解知两直线的交点为,而图A中交点横坐标是负数,故图A不对;图C中交点横坐标是2≠1,故图C不对;图D中交点纵坐标是大于,小于的数,不等于,故图D不对;故选B。

4、若函数,则当自变量1、2、3、?、100这100个自然数时,函数值的和是( B )。

(A)540;(B)390;(C)194;(D)97。 取

- 40 -

解:当

。∴当自变量时,取2、3、?、98

时,函数值都为0。而当取1、99、100

时,

,故所求的和为:

5、如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AB=998,DC=1001,AD=1999,点P在线段AD上,则满足条件∠BPC=90°的点P的个数为( C )。

(A)0;(B)1;(C)2;(D)不小于3的整数。

解:AD的中点M对BC张成90°角,又在AD上取点N使AN=998,则ND=1001。由△ABN和△DCN都为等腰三角形推知∠BNC=90°,注意到以BC为直径的圆与AD至多有两个交点,可知所求点的个数为2。

6、有下列三个命题:(甲)若是不相等的无理数,则是无

理数;(乙)若是不相等的无理数,则

是无理数;(丙)若是不相等的无理数,则是无理数。其中正确命题的个数是( A )。

(A)0;(B)1;(C)2;(D)3。

- 41 -

解:,,则,只要令为有理数,故(甲)不对;又若令,,则

为有理数,故(乙)不对;又若令为有理数,故(丙)不对;故正确命,则

题个数是0,应选(A)。

二、填空题(本题满分28分,每小题7分)

本题共有4道小题,要求直接把答案写在横线上。

1、已知且,则= 2 。 解:

,即

,,。

2、如图,在△ABC中,∠B=36°,∠ACB=128°,∠CAB的平分线交BC于M,△ABC的外接圆的切线AN交BC的延长线于N,则△ANM的最小角等于 44° 。

- 42 -

解:∵∠B=36°,∠ACB=128°,AM为∠CAB

的平分线,∴∠CAM=∠MAB=

,∵∠AMC=44°。又AN为切线,∴∠NAC=∠B

=36°,∠NAM=44°,∴∠N=180°-44°-44°=92°,∴△ANM的最小角为44°。

3、已知为整数,且满足

,则

= 3 。 解:左边=数,且不相等,,即,只可能取值或

,而为整。不妨设

,则,

或,∵(2)无整数解,由(1)得,。

4、在正方形ABCD中,N是DC的中点,M是AD上异于D的点,且∠NMB=∠MBC,则tg∠ABM=。

- 43 -

解:延长MN交BC的延长线于T,设MB的中点为O,连TO,则△BAM∽△TOB,∴

,即

AM=

(1)式得,BM=。令DN=1,CT=MD=http://www.shuxuezy.cn/,BT=,则,代入,注意到

,解得

=============== =============== ===============

第二试参考答案

一、(本题满分20分)

某班参加一次智力竞赛,共

中题满分20分,题、题三题,每题或者得满分或者得0分。其满分分别为25分。竞赛结果,每个学生至少答

的人数对了一题,三题全答对的有1人,答对其中两道题的有15人,答对题

与答对题

答对题的人数之和为29,答对题的人数与答对题的人数与答对题的人数之和为25,的人数之和为20,问这个班的平均成绩是多少分? 解:设分别表示答对题、题、题

的人数,则有,,,∴答对一题的人数

为37-1×3-2×15=4,全班人数为1+4+15=20

,∴平均成绩为

答:班平均成绩为42分。

- 44 -

二、(本题满分25分)

如图,设△ABC是直角三角形,点D在斜边BC上,BD=4DC。已知圆过点C且与AC相交于F,与AN相切于AB的中点G。求证:AD⊥BF。

证:作DE⊥AC于E,则AC=AE,AG=ED。由切割线定理有:AG2=AF·AC, ∴ED2=AF·AE,∴5ED2=AF·AE,∴AB·ED=AF·AE,∴,∴△BAF∽△AED,∴∠ABF=∠EAD,而∠EAD+∠DAB=90°,∴∠ABF+∠DAB=90°,∴AD⊥BF。

三、(本题满分25分)

已知和为整数,方程的两根都大于-1且小于0

,求的值。

解:根据函数,∴的图象和题设条件知:当

?①;当时,时,,∴∴?②。抛物线顶点的横坐标?③。 满足, - 45 -

∵,即,∴

,若?④,由①、③、④得,则由②、④得且,得; 若,则且,无整数解; 若,则且,无整数解; 若,则 且,无整数解;故所求

的值为

2000年全国初中数学联合竞赛试卷

第一试(4月2日上午8:30----9:30)

一、选择题(本题满分42分,每小题7分)

1、计算的值是( )。

(A)1;(B);(C);(D)5。

2、若,则的值是( )。

(A)

;(B);(C)5;(D)6。 - 46 -

3、设是不相等的任意正数,又个数一定( )。 ,则这两

(A)都不大于2;(B)都不小于2;(C)至少有1个大于2;(D)至少有1个小于2。

4、正整数

过小于100,并满足等式有( )。 ,其中表示不超的最大整数,这样的正整数

(A)2个;(B)3个;(C)12个;(D)16个。

5、已知一个梯形的四条边的长分别为1、2、3、4,则此梯形的面积等于( )。

(A)4;(B)6;(C);(D)。

6、已知ABCD是一个半径为R的圆的内接四边形,AB=12,CD=6,分别延长AB和DC,它们相交于P且BP=8,∠APD=60°,则R等于( )。

(A)10;(B);(C);(D)14。

二、填空题(本题满分28分,每小题7分)

1、是正数,

并且抛物线和都与轴有公共点,则的最小值是________。

2、某果品店组合销售水果,甲种搭配:2千克A水果,4千克B水果;乙种搭配:3千克A水果,8千克B水果,1千克C水果;丙种搭配:2千克A水果,6千克B水果,l千克C水果。A水果价格每千克2元,B水果价格每千克1.2元,C水果价格每千克10元。某天该店销售三种搭配共得441.2元,其中A水果的销售额为116元,则C水果的销售额为________元。

3、实数________。 满足和,则

- 47 -

4、设正三角形ABC的边长为2,M是AB边上的中点,P是边BC上的任意一点,PA+PM的最大值和最小值分别记为和,则________。

第二试(4月2日上午10:30----11:30)

一、(本题满分20分)

点是实数,二次函数。 的图象与轴有两个不同的交 (1)求证:;

(2)若间的距离不超过,求的最大值。

二、(本题满分25分)

EFGH是正方形ABCD的内接四边形,两条对角线EG和FH所夹的锐角为θ,且∠BEG与∠CFH都是锐角。已知EG=,FH=,四边形EFGH的面积为。

(1)求证:;

(2)试用表示正方形ABCD的面积。

三、(本题满分25分)

- 48 -

设关于的二次方程

的值。 的两根都是整数,求满足条件的所有实数

=============== =============== ===============

第一试试题答案

一、1、(C);2、(A);3、(C);4、(D);5、(D);6、(B)。 二、1、20;2、150;3、4;4、。

第二试部分试题答案 三、

2001年全国初中数学联赛

一、选择题(每小题7分,共42分)

1、a,b,c为有理数,且等式a?b?c??2成立,则2a+999b+1001c的值是( )

(A) 1999(B)2000(C)2001(D)不能确定

2、若ab?1,且有5a2+2001a+9=0及9b2?2001b?5?0,则a的值是( ) b

- 49 -

(A)9(B)5(C)?2001(D)?2001 5959

3、已知在△ABC中,∠ACB=900,∠ABC=150,BC=1,则AC的长为( )

(A)2?(B)2?(C)0?3(D)?

4、如图,在△ABC中,D是边AC上的一点,下面四种情况中,△ABD∽△ACB不一定成立的情况是( )

(A)AD?BC?AB?BD (B)AB2?AD?AC

(C)∠ABD=∠ACB (D)AB?BC?AC?BD

5、①在实数范围内,一元二次方程ax?bx?c?0的根为x?2?b?2?4ac;2a②在△ABC中,若AC2?BC2?AB2,则△ABC是锐角三角形;③在△ABC和?A1B1C1中,a,b,c分别为△ABC的三边,a1,b1,c1分别为?A1B1C1的三边,若a?a1,b?b1,c?c1,则△ABC的面积S大于?A1B1C1的面积S1。以上三个命题中,假命题的个数是( )

(A)0(B)1(C)2(D)3

6、某商场对顾客实行优惠,规定:①如一次购物不超过200元,则不予折扣;②如一次购物超过200元但不超过500元的,按标价给予九折优惠;③如一次购物超过500元的,其中500元按第②条给予优惠,超过500元的部分则给予八折优惠。某人两次去购物,分别付款168元和423元;如果他只去一次购物同样的商品,则应付款是( )

(A)522.8元(B)510.4元(C)560.4元(D)472.8

二、填空题(每小题7分,共28分)

1、已知点P在直角坐标系中的坐标为(0,1),O为坐标原点,∠QPO=1500,且P到Q的距离为2,则Q的坐标为 。

2、已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P,则点P到两圆外公切线的距离为。

3、已知x,y是正整数,并且xy?x?y?23,x2y?xy2?120,则x2?y2

4、一个正整数,若分别加上100和168,则可得到两个完全平方数,这个正整数为 。

三、解答题(共70分)

1、在直角坐标系中有三点A(0,1),B(1,3),C(2,6);已知直线y?ax?b上横坐标为0、1、2的点分别为D、E、F。试求a,b的值使得AD2+BE2+CF2达到最大值。(20分)

- 50 -

(1) 证明:若x取任意整数时,二次函数y?ax2?bx?c总取整数值,那么

2a,a?b,c都是整数;

(2)写出上述命题的逆命题,并判断真假,且证明你的结论。(25分)

3、如图,D,E是△ABC边BC上的两点,F是BC延长线上的一点,∠DAE=∠CAF。(1)判断△ABD的外接圆与△AEC的外接圆的位置关系,并证明你的结论;(2)若△ABD的外接圆的半径的2倍,BC=6,AB=4,求BE的长。 HD A

A E DECG

BC解答题:

1、如图,EFGH是正方形ABCD的内接四边形,两条对角线EG和FH所

夹的锐

角为θ,且∠BEG与∠CFH都是锐角。已知EG=k,FH=l,四边形EFGH的面积为S。

(1)求证:sinθ=2S; kl

(2)试用k,l,S来表示正方形的面积。

2、求所有的正整数a,b,c,使得关于x的方程x2?3ax?2b?0,

x2?3bx?2c?0,

x2?3cx?2a?0的所有的根都是正整数。

3、在锐角△ABC中,AD⊥BC,D为垂足,DE⊥AC,E为垂足,DF⊥AB,F为垂足。O为△ABC的外心。

求证:(1)△AEF∽△ABC;

(2)AO⊥EF

4、如图,在四边形ABCD中,AC与BD交于点O,直线l平行于BD,且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P。

求证:PM?PN=PR?PS

M

- 51 -

2002年全国初中数学联合竞赛试卷

(2002年4月21日8:30—10:30)

一、选择题(本题42分,每小题7分)

1、已知a=2-1,b=22-,c=-2,那么a,b,c的大小关系是(

(A) a<b<c (B) b<a<c (C) c<b<a (D)c<a<b

- 52 - )

2、若m2=n+2,n2=m+2(m≠n),则m3-2mn+n3的值为( )

(A) 1 (B)0 (C)-1 (D)-2

3、已知二次函数的图象如图所示,并设M=|a+b+c|-|a-b+c|+|2a+b|-|2a-b|,则( )

(A)M>0 (B)M=0 (C)M <0 (D)不能确定M为正、为负或为0

4、直角三角形ABC的面积为120,且∠BAC=90o,AD是斜边上的中线,过D作DE⊥AB

于E,连CE交AD于F,则△AFE的面积为( )

(A)18 (B)20 (C)22 (D)24

5、圆O1与O2圆外切于点A,两圆的一条外公切线与圆O1相切于点B,若AB与两圆的另

一条外公切线平行,则圆O1与圆O2的半径之比为( )

(A)2:5 (B)1:2 (C)1:3 (D)2:3

6、如果对于不小于8的自然数n,当3n+1是一个完全平方数是,n+1都能表示成个k完全

平方数的和,那么k的最小值为( )

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

二、填空题(每小题7分,共28分)

1、已知a<0,ab<0,化简,1?|a?b?32|?|b?a?3|

2、如图,7根圆形筷子的横截面圆的半径均为r,则捆扎这7根筷子一周的绳子和长度为

3、甲乙两人到特价商店购买商品,已知两人购买商品的件数相等,且每件商品的单价只有

8元和9元,若两人购买商品一共花费了172元,9元的商品有

4、设N=23x+92y为完全平方数,且不超过2392,则满足上述条件的一切正整数对(x,y)

共有 对。

三、(本题满分70分)

1、(本题满分20分)

a?b?8?已知:a ,b,c三数满足方程组?,试求方程bx2+cx-a=0的根。 2?ab?c?83c?48

2、(本题满分25分)

如图,等腰三角形ABC中,P为底边BC上任意点,过P作两腰的平行线分别与AB,

AC相交于Q,R两点,又P`的对称点,证明:P'在△ABC的外接圆上。

- 53 -

C B P 3、(本题满分25分)

试确定一切有理数r,使得关于x的方程rx2+(r+2)x+r-1=0有且只有整数根。

参考答案

一、BDCBCC

二、1、3?3 2、2(??6)r 3、12 4、27 15

三、1、由方程组得:a、b是方程x2-8x+c2-82c+48=0的两根

△=-4(c-82)2≥0,c=42 a=b=4

所以原方程为 x2+2x-1=0

?2?6?2?6,x2= 22

2、连结BP'、P'R、P'C、P'P

(1)证四边形APPQ为平行四边形

(2)证点A、R、Q、P'共圆

(3)证△BP'Q和△P'RC为等腰三角形

(4)证∠P'BA=∠ACP',原题得证

x1=

1,原方程无整数根 2

r?2r?1 (2)当r≠0时,x1+x2=? x1x2= rr3、(1)若r=0,x=

消去r得:4x1x2-2(x1+x2)+1=7 得(2x1-1)(2x2-1)=7

由x1、x2是整数得:r=?1,r=1 3

2003年全国初中数学联合竞赛试卷

第一试(4月13日上午8:30—9:30)

一、选择题(本题满分42分,每小题7分)

1.

A

.5? B

.1 C.5 D.1

2.在凸10边形的所有内角中,锐角的个数最多是

A.0 B.1 C.3 D.5

- 54 -

3.若函数

△ABC的面积为

A.1 B.2 C.k D.k2 1y?kx?k?0?与函数y?的图象相交于A,C两点,AB垂直x轴于B,则

4.

满足等式A.1 B.2 C.3 D.4

3的面积为1D.2003的正整数对?x,y?的个数是 AD?15.设△ABC的面积为1,D是边AB上一点,且使四边形DECB1A.1B.CE,则.若在边AC上取一点E,的值为

6.如图,在□ABCD中,过A,B,C三点的圆交AD于E,且与CD相切.若AB=4,

D C BE=5,则DE的长为

A.3 B.4 二、填空题(本题满分28分,每小题7分)

21.抛物线y?ax?bx?c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.若△ABC是直角

三角形,则ac=__________.

2.设m是整数,且方程3x?

mx?2?0的两根都大于而小于,则m=____________.

3.如图,AA',BB'分别是∠EAB,∠DBC的平分线.若AA'?BB'?AB,则∠BAC

的度数为_____________.

4.已知正整数a,b之差为120,它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍,那么a,b中较大的数是_________. 21C.15C.416D.5?932003年全国初中数学联合竞赛试卷

第二试(A)(4月13日上午10:00—11:30)

考生注意:本试三大题,第一题20分,第二、三题各25分,全卷满分70分.

一、(本题满分20分)

试求出这样的四位数,它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方,恰好等于这个四位数.

二、(本题满分25分)

在△ABC中,D为AB的中点,分别延长CA,CB到点E,F,使DE=DF;过E,F分别作CA,CB的垂线,相交于P.设线段PA,PB的中点分别为M,N. 求证:⑴△DEM≌△DFN;⑵∠PAE=∠PBF.

三、(本题满分25分)

已知实数a,b,c,da?1?b?1?c?1?d?1?x互不相等,且,试求x的值.

2003年全国初中数学联合竞赛试卷

- 55 -

第二试(B)(4月13日上午10:00—11:30)

考生注意:本试三大题,第一题20分,第二、三题各25分,全卷满分70分.

一、(本题满分20分)

试求出这样的四位数,它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方,恰好等于这个四位数.

二、(本题满分25分)

在△ABC中,D为AB的中点,分别延长CA,CB到点E,F,使DE=DF;过E,F分别作CA,CB的垂线,相交于P.求证:∠PAE=∠PBF.

三、(本题满分25分)

已知四边形ABCD的面积为32,AB,CD,AC的长都是整数,且它们的和为16. ⑴这样的四边形有几个?

⑵求这样的四边形边长的平方和的最小值.

2003年全国初中数学联合竞赛试卷

第二试(C)

(4月13日上午10:00—11:30)

考生注意:本试三大题,第一题20分,第二、三题各25分,全卷满分70分.

一、(本题满分20分)

已知实数a,b,c,d,试求x的值.

二、(本题满分25分)

在△ABC中,D为AB的中点,分别延长AC,BC到点E,F,使DE=DF;过E,F分别作AC,BC的垂线,相交于P.求证:∠PAE=∠PBF.

三、(本题满分25分)

已知四边形ABCD的面积为32,AB,CD,AC的长都是整数,且它们的和为16. ⑴这样的四边形有几个?

⑵求这样的四边形边长的平方和的最小值.

a?1?b?1?c?1?d?1?x互不相等,且

2004年全国初中数学联合数学竞赛试题

第一试

一.选择题

a2b2c2

??1.已知abc≠0,且a+b+c=0, 则代数式的值是( ) bccaab

- 56 -

(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0

2.已知p,q均为质数,且满足5p2+3q=59,则以p+3,1-p+q,2p+q-4为边长的三角形是( )

(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 等腰三角形

3. 一个三角形的边长分别为a,a,b,另一个三角形的边长分别为b,b,a,其中a>b,若两个三角形的最小内角相等,则a的值等于( )

b

(A)

(B)

(C)

(D) 4.过点P(-1,3)作直线,使它与两坐标轴围成的三角形面积为5,这样的直线可以作( )

(A) 4条 (B) 3条 (C) 2条 (D) 1条

5.已知b2-4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个实数根,则ab的取值范围为( ) (A) ab?1111 (B) ab? (C) ab? (D) ab? 8844

6.如图,在2×3矩形方格纸上,各个小正方形的顶点称为格点,则以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为( )

(A) 24 (B) 38 (C) 46

(D) 50

DA

B

二.填空题

1

.计算???BN. NC2.如图ABCD是边长为a的正方形,以D为圆心,DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆交于另一点P,延长AP交BC于点N,则

3.实数a,b满足a3+b3+3ab=1,,则.

4.设m是不能表示为三个合数之和的最大整数,则.

第二试

一. 已知方程x2-6x-4n2-32n=0的根都是整数,求整数n的值。

二.(A) 已知如图,梯形ABCD中,AD∥BC, 以两腰AB,CD为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF,设线段AD的垂直平分线l交线段EF于点M,EP⊥l于P,FQ⊥l于Q。 求证:EP=FQ

- 57 -

G

H

二.(B) 已知如图,梯形ABCD中,AD∥BC, 以两腰AB,CD为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF,设线段AD的垂直平分线l交线段EF于点M。

求证:M为EF的中点。

G

G

B

二. (C)已知如图,梯形ABCD中,AD∥BC, 以两腰AB,CD为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF, 连接EF,设线段EF的中点为M。 求证:MA=MD。

三. 已知点A(0,3)

,B(-2,-1),C(2,-1) P(t,t2)为抛物线y=x2上位于三角形ABC内(包括边界)的一动点,BP所在的直线交AC于E, CP所在的直线交AB于F。将量t的函数。 参考答案:

一试 一.ABBCBD 二.1. 1 2.

BF

表示为自变CE

1

3.1或-2 4.17 2

t2?2t?5

(?1?t?1) 二试 一. -18,-8,0,10 二.(略)三.2

t?2t?5

2005年全国初中数学联赛初赛试卷

- 58 -

3月25日下午2:30-4:30或3月26日上午9:00-11:30

一、选择题(每小题7分,共计42分)

1、若a、b为实数,则下列命题中正确的是( )

(A)a>b?a2>b2 (B)a≠b?a2≠b2 (C)|a|>b?a2>b2 (D)a>|b|?a2>b2 2、已知:a+b+c=3,a2+b2+c2=3,则a2005+b2005+c2005的值是( )

(A) 0 (B) 3 (C) 22005 (D)3·22005 3、有一种足球是由若干块黑白相间的牛皮缝制而成,黑皮为正五边形,白皮为正六边形,(如图),如果缝制好的这种足球黑皮有12块,则白皮有( )块。 (A) 16 (B) 18 (C) 20 (D) 22

4、在Rt△ABC中,斜边AB=5,而直角边BC、AC之长是一元二次方程x-(2m-1)x+4(m-1)=0的两根,则m的值是( )

(A)4 (B)-1 (C)4或-1 (D)-4或1 5、在直角坐标系中,横坐标都是整数的点称为整点,设k为整数,当直线y=x-3与y=kx+k的交点为整数时,k的值可以取( )

(A)2个 (B)4个 (C)6个 (D)8个 6、如图,直线x=1是二次函数 y=ax2+bx+c的图像的对称轴,则有( )

(A)a+b+c=0 (B)b>a+c (C)c>2b (D)abc<0 二、填空题 (每小题7分,共计28分)

2

x2?1

1、已知:x为非零实数,且x?x = a, 则 =_____________。

x

?

1

212

2、已知a为实数,且使关于x的二次方程x+ax+a = 0有实根,则该方程的根x所能取到的最大值是_______________________.

3、p是⊙o的直径AB的延长线上一点,PC与⊙o相切于点C,∠APC的角平分线交AC于Q,则

则∠PQC = _________.

4、对于一个自然数n,如果能找到自然数a和b,使n=a+b+ab,则称n为一个“好数”,例如:

3=1+1+1×1,则3是一个“好数”,在1~20这20个自然数中,“好数”共有__________个。 三、(本题满分20分)设A、B是抛物线y=2x+4x-2上的点,原点位于线段AB的中点处。

试求A、B两点的坐标。

- 59 - 2

22

四、(本题满分25分)如图,AB是⊙o的直径,AB=d,过A作⊙o的切线并在其上取一点C,使AC=AB,连结OC叫⊙o于点D,BD的延长线交AC于E,求AE

的长。

O

A E

五、(本题满分25分)设x = a+b-c ,y = a+c-b ,z = b+c-a ,其中a、b、c是待定的质数,如果x试求积abc的所有可能的值。

2 - 60 -

2005年全国初中数学联赛初赛试题参考解答及评分标准

一、选择题(每小题7分,共计42分)

1、D 2、B 3、C 4、A 5、C 6、C

二、填空题 (每小题7分,共计28分)

1、 a-2 2、

2 3、 45° 4、 12 三、解:∵原点是线段AB的中点?点A和点B关于原点对称

设点A的坐标为(a,b),则点B的坐标为(―a,―b)????????????5分

又 A、B是抛物线上的点,分别将它们的坐标代入抛物线解析式,得:

2b = 2a+4a-2

??????????????????????????10分2 -b = 2a-4a-2

解之得: a = 1 , b = 4 或者a = -1 ,b = -4????????????????????15分

故 A为(1,4),B为(-1,-4) 或者 A(-1,-4),B(1,4).?????????20分

四、解:如图连结AD,则∠1=∠2=∠3=∠4

∴ΔCDE∽ΔCAD ∴T?1T?1CDCA?? ① ??????5分 22DEADO 又∵ΔADE∽ΔBDA E AEAB?∴ ② ??????10分 DEAD

由①、②及AB=AC,可得AE=CD ????15分

又由ΔCDE∽ΔCAD可得A CDCE22?,即AE=CD=CE?CA ????20分 CACD

2设AE=x,则CE=d-x ,于是 x=d(d-x)

即有 (负值已舍去) ??????????25分 五、解:∵a+b-c=x, a+c-b=y, b + c-a =z ,

∴a=111(x?y), b=(x?z), c=(y?z) ???????5分 222

- 61 -

又∵ y=x2 , 故 a=(x?x2)---(1); 1

2

1b=(x?z)-----(2) 2

1c=(x2?z)----(3) 2

---------------(4) 2∵x是整数,得1+8a=T

于是,2a=

∴T=5 ,其中T是正奇数。 ??????10分 T?1T?1T?1T?1? ,其中a是质数,故有=2,=a 2222,a=3 ????????15分 将a=3代入(4) 得 x=2或-3.

当x=2时,y=x2=4,

2=2, z=16 ,

代入(2)、(3)可得b=9 ,c=10,

与b、c是质数矛盾,当舍去。 ??????????????20分 当x=-3时,

y=9 . 3=2,

∴z=25

代入(2)、(3)可得 b=11,c=17

∴abc=3×11×17=561 ???????????????25分

- 62 -

2005年全国初中数学联赛决赛试卷

一、选择题:(每题7分,共42分)

1

的结果是__。

A、无理数 B、真分数 C、奇数 D、偶数

2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14;则这个四边形的面积为__。

A、78.5 B、97.5 C、90 D、102

3、设r≥4,a=-1

1,b

,c

,则下列各式一定成立的是__。

A、a>b>c B、b>c>a C、c>a>b D、c>b>a

4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成,如果中间一块阴影的

面积等于上下两块面积之和,则这两圆的公共弦长是__。

A

D

B

C

5、已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象如图所示,

记p=|a-b+c|+|2a+b|,q=|a+b+c|+|2a-b|A、p>q B、p=q C、p<q D、p、q

6、若x1,x2,x3,x4,x5为互不相等的正奇数,满足(2005-x1)(2005-x2)(2005-x3)(2005

22222-x4)(2005-x5)=242,则x1的未位数字是__。 +x2+x3+x4+x5

A、1 B、3 C、5 D、7

二、填空题(共28分)

1、不超过100的自然数中,将凡是3或5的倍数的数相加,其和为__。

2,则x=___。

3、若实数x、y满足x+y=1,x+y=1,则x+y=__。 33+4333+6353+4353+63

- 63 -

4、已知锐角三角形ABC的三个内角A、B、C满足:A>B>C,用a表示A-B,B-C以

及90°-A中的最小者,则a的最大值为___。

三、解答题(第1题20分,第2、3题各25分)

1、a、b、c为实数,ac<0

,证明:一元二次方程ax2+bx+c=0有大于3而小于1的根。 4

2、锐角ΔABC中,AB>AC,CD、BE分别是AB、AC边上的高,过D作BC的垂线交

BE于F,交CA的延长线于P,过E作BC的垂线,交CD于G,交BA的延长线于Q,证明:BC、DE、FG、PQ四条直线相交于一点。

3、a、b、c为整数,且a2+b3=c4,求c的最小值。

参考答案:

一、1、D 2、C 3、D 4、D 5、C 6、A

二、1、2418 2、12 3、x+y=33+43+53+63=432 4、15° 7

三、1、略 2、略 3、c的最小值为6。

- 64 -

2006年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案

- 65 -

- 66 -

答案:

- 67 -

- 68 -

- 69 -

- 70 -

- 71 -

- 72 -

- 73 -

- 74 -

- 75 -

2007年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案 - 76 -

- 77 -

- 78 -

- 79 -

答案:

- 80 -

- 81 -

- 82 -

2008年全国初中数学联合竞赛一试试题及答案

- 83 -

- 84 -

- 85 -

答案:

- 86 -

- 87 -

2008年全国初中数学联合竞赛二试试题及答案

答案:

- 88 -

- 89 -

- 90 -

2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

第一试

一、选择题(本题满分42分,每小题7分)

1.

设a?1,则3a3?12a2?6a?12? ( )

A.24. B. 25. C.

10. D. 12.

2.在△ABC中,最大角∠A是最小角∠C的两倍,且AB=7,AC=8,则BC=

( )

A.10

3.用[x]表示不大于x的最大整数,则方程x2?2[x]?3?0的解的个数为

( )

A.1. B. 2. C. 3. D. 4.

4.设正方形ABCD的中心为点O,在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角

形中任意取出两个,它们的面积相等的概率为

( ) A.33

14. B. 14

7. C. 2. D. 7.

5.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,以BC为直径在矩形内作半圆,自点A作半

圆的切线AE,则sin?CBE= ( )

A.3213. C. 3

. D. 10.

6.设n是大于1909的正整数,使得n?1909

2009?n为完全平方数的n的个数是

( )

A.3. B. 4. C. 5. D. 6.

二、填空题(本题满分28分,每小题7分)

1.已知t是实数,若a,b是关于x的一元二次方程x2?2x?t?1?0的两个非负实根,

则(a2?1)(b2?1)的最小值是___________.

- 91 - D

C

2. 设D是△ABC的边AB上的一点,作DE//BC交AC于点E,作DF//AC交BC于点F,已知△ADE、△DBF的面积分别为m和n,则四边形DECF的面积为_____.

3.如果实数a,b满足条件a?b?1,|1?2a?b|?2a?1?b2?a2,则a?b?____. 22

4.已知a,b是正整数,

且满足对. 则这样的有序数对(a,b)共有____是整数,第二试

一.(本题满分20分)已知二次函数y?x2?bx?c(c?0)的图象与x轴的交点分别为A、B,与y轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.

(1)证明:⊙P与y轴的另一个交点为定点.

(2)如果AB恰好为⊙P的直径且S△ABC=2,求b和c的值.

解 (1)易求得点C的坐标为(0,c),设A(,x0)1,则x1?x2??b,B(x2,0),x1x2?c. 设⊙P与y轴的另一个交点为D,由于AB、CD是⊙P的两条相交弦,它们的交点为点O,所以OA×OB=OC×OD,则OD?cOA?OBx1x2???1. OCcc

因为c?0,所以点C在y轴的负半轴上,从而点D在y轴的正半轴上,所以点D为定点,它的坐标为(0,1).

(2)因为AB⊥CD,如果AB恰好为⊙P的直径,则C、D关于点O对称,所以点C的坐标为(0,?1),

即c??1.

又AB?x1?x2???,所以

S△ABC?1AB?OC?1?2,

2解得b??.

二. (本题满分25分) 已知△ABC中,∠ACB=90°,AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线 AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证:EF∥AB. - 92 -

A

NMB

解 因为BN是∠ABC的平分线,所以?ABN??CBN.

又因为CH⊥AB,所以?CQN??BQH?90???ABN?90???CBN??CNB, 因此CQ?NC.

又F是QN的中点,所以CF⊥QN,所以?CFB?90???CHB,因此C、F、H、B四点共圆.

又?FBH=?FBC,所以FC=FH,故点F在CH的中垂线上.

同理可证,点E在CH的中垂线上.

因此EF⊥CH.

又AB⊥CH,所以EF∥AB. 三.(本题满分25分)已知a,b,c为正数,满足如下两个条件:

a?b?c?32 ①

b?c?ac?

a

?ba?b?c1??? ② bc

caab4

. 解法1 将①②两式相乘,得(b?c?ac?a?ba?b?c??)(a?b?c)?8, bccaab

(b?c)2?a2(c?a)2?b2(a?b)2?c2

???8, 即bccaab

(b?c)2?a2(c?a)2?b2(a?b)2?c2

?4??4??0, 即bccaab

- 93 -

(b?c)2?a2(c?a)2?b2(a?b)2?c2

???0, 即bccaab

(b?c?a)(b?c?a)(c?a?b)(c?a?b)(a?b?c)(a?b?c)???0, bccaab

(b?c?a)[a(b?c?a)?b(c?a?b)?c(a?b?c)]?0, 即abc

(b?c?a)(b?c?a)2[2ab?a2?b2?c2]?0,即[c?(a?b)2]?0, 即abcabc

(b?c?a)(c?a?b)(c?a?b)?0, 即abc

0或c?a?b?0或c?a?b?0,即b?a?c或c?a?b或所以b?c?a?

c?b?a.

90°.

32?2a32?2b32?2c1???, bccaab4

1222变形,得1024?2(a?b?c)?abc ③ 4解法2 结合①式,由②式可得

又由①式得(a?b?c)2?1024,即a2?b2?c2?1024?2(ab?bc?ca), 代入③式,得1024?2[1024?2(ab?bc?ca)]?

即abc?16(ab?bc?ca)?4096. 1abc, 4

(a?16)(b?16)(c?16)?abc?16(ab?bc?ca)?256(a?b?c)?163

??4096?256?32?163?0,

所以a?16或b?16或c?16.

结合①式可得b?a?c或c?a?b或c?b?a.

90°.

D A C C B B ?3

?1 7

- 94 -

2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

第一试

一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)

1. 若a,b,c均为整数且满足(a?b)10?(a?c)10?1,则|a?b|?|b?c|?|c?a|? ( )

A.1. B.2. C.3. D.4.

2.若实数a,b,c

满足等式3|b|?

6,9|b|?6c,则c可能取的最大值为 ( )

A.0. B.1. C.2. D.3.

3

( )

A.0?a?b?

2.若a,b是两个正数,且 a?1b?1??1?0,ba 则 1144. B.?a?b?1. C.1?a?b?. D.?a?b?2. 3333424.若方程x?3x?1?0的两根也是方程x?ax?bx?c?0的根,则a?b?2c的

值为 ( )

A.-13. B.-9. C.6. D. 0.

5.在△ABC中,已知?CAB?60?,D,E分别是边AB,AC上的点,且?AED?60?,ED?DB?CE?CDB?2?CDE?DCB? ,,则

( )

A.15°. B.20°. C.25°. D.30°.

6.对于自然数n,将其各位数字之和记为an,如a2009?2?0?0?9?11,a2010?2?0?1?0?3

( ) ,则a1??a2? a3??a

A.28062. B.28065. C.28067. D.28068.

二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)

?x3?y3?19,221.已知实数x,y满足方程组?则x?y??x?y?1,

2.二次函数y?x?bx?c的图象与x轴正方向交于A,B两点,与y轴正方向交于点C.已知AB?2AC,?CAO?30?,则c? .

3.在等腰直角△ABC中,AB=BC=5,P是△ABC内一点,且PA

PC=5,则PB=_____.

- 95 -

4.将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行,要求两种颜色的球都要出现,且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放,最多可以摆放______个球.

第二试 (A)

一.(本题满分20分)设整数a,b,c(a?b?c)为三角形的三边长,满足a2?b2?c2?ab?ac?bc?13,求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.

解 由已知等式可得

(a?b)2?(b?c)2?(a?c)2?26

令a?b?m,b?c?n,则a?c?m?n,其中m,n均为自然数.

于是,等式①变为m2?n2?(m?n)2?26,即

m2?n2?mn?13

由于m,n均为自然数,判断易知,使得等式②成立的m,n只有两组:? ?m?3,?m?1,和?

?n?3.?n?1

(1)当m?3,n?1时,b?c?1,a?b?3?c?4.又a,b,c为三角形的三边长,所以b?c?a,即(c?1)?c?c?4,解得c?3.又因为三角形的周长不超过30,即a?b?c?(c?4)?(c?1)?c?30,解得c?2525.因此3?c?,所以c可以取值4,5,33

6,7,8,对应可得到5个符合条件的三角形.

(2)当m?1,n?3时,b?c?3,a?b?1?c?4.又a,b,c为三角形的三边长,所以b?c?a,即(c?3)?c?c?4,解得c?1.又因为三角形的周长不超过30,即a?b?c?(c?4)?(c?3)?c?30,解得c?2323.因此1?c?,所以c可以取值2,3,33

4,5,6,7,对应可得到6个符合条件的三角形.

综合可知:符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5+6=11.

二.(本题满分25分)已知等腰三角形△ABC中,AB=AC,∠C的平分线与AB边交于点P,M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点,作MD//AC,交

⊙I于点D.证明:PD是⊙I的切线. A

证明 过点P作⊙I的切线PQ(切点为Q)并延长,交BC

于点N. 因为CP为∠ACB的平分线,所以∠ACP=∠BCP. - 96 -

N

C

又因为PA、PQ均为⊙I的切线,所以∠APC=∠NPC.

又CP公共,所以△ACP≌△NCP,所以∠PAC=∠PNC.

由NM=QN,BA=BC,所以△QNM∽△BAC,故∠NMQ=∠ACB,所以MQ//AC.

又因为MD//AC,所以MD和MQ为同一条直线.

又点Q、D均在⊙I上,所以点Q和点D重合,故PD是⊙I的切线.

三.(本题满分25分)已知二次函数y?x2?bx?c错误!未找到引用源。的图象经过两点P(1,a),Q(2,10a).

(1)如果a,b,c都是整数,且c?b?8a,求a,b,c的值.

(2)设二次函数y?x2?bx?c错误!未找到引用源。的图象与x轴的交点为A、B,与y轴的交点为C.错误!未找到引用源。如果关于x的方程x?bx?c?0的两个根都是整数,求△ABC的面积.

解 点P(1,a)、Q(2,10a)在二次函数y?x2?bx?c错误!未找到引用源。的图象上,故1?b?c?a,4?2a?c?10a,

解得b?9a?3,c?8a?2.

(1)由c?b?8a知?2?8a?2?9a?3,解得1?a?3.

?9a?3?8a,

又a为整数,所以a?2,b?9a?3?15,c?8a?2?14.

(2) 设错误!未找到引用源。m,n是方程的两个整数根,且m?n.

由根与系数的关系可得m?n??b?3?9a,mn??c?2?8a,消去a,得9mn?8(m?n)??,6

两边同时乘以9,得81mn?72(m?n)??54,分解因式,得(9m?8)(9n?8)?10. 所以??9m?8?1,?9m?8?2,?9m?8??10,?9m?8??5,或?或?或? 9n?8?10,9n?8?5,9n?8??1,9n?8??2,????

1021???m?,m??,m?,???m?1,????9993解得?或?或?或?

?n?2,?n?13,?n?7,?n?2,???993???

又m,n是整数,所以后面三组解舍去,故m?1,n?2.

因此,b??(m?n)??3,c??mn??2,二次函数的解析式为y?x?3x?2. 易求得点A、B的坐标为(1,0)和(2,0),点C的坐标为(0,2),所以△ABC的面积为2 - 97 -

1?(2?1)?2?1. 2

第二试 (B)

一.(本题满分20分)设整数a,b,c为三角形的三边长,满足a2?b2?c2?ab?ac?bc?13,求符合条件且周长不超过30的三角形的个数(全等的三角形只计算1次).

解 不妨设a?b?c,由已知等式可得

(a?b)2?(b?c)2?(a?c)2?26

令a?b?m,b?c?n,则a?c?m?n,其中m,n均为自然数.

于是,等式①变为m2?n2?(m?n)2?26,即

m2?n2?mn?13

由于m,n均为自然数,判断易知,使得等式②成立的m,n只有两组:? ?m?3,?m?1,和?

?n?3.?n?1

(1)当m?3,n?1时,b?c?1,a?b?3?c?4.又a,b,c为三角形的三边长,所以b?c?a,即(c?1)?c?c?4,解得c?3.又因为三角形的周长不超过30,即a?b?c?(c?4)?(c?1)?c?30,解得c?2525.因此3?c?,所以c可以取值4,5,33

6,7,8,对应可得到5个符合条件的三角形.

(2)当m?1,n?3时,b?c?3,a?b?1?c?4.又a,b,c为三角形的三边长,所以b?c?a,即(c?3)?c?c?4,解得c?1.又因为三角形的周长不超过30,即a?b?c?(c?4)?(c?3)?c?30,解得c?2323.因此1?c?,所以c可以取值2,3,33

4,5,6,7,对应可得到6个符合条件的三角形.

综合可知:符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5+6=11.

二.(本题满分25分)题目和解答与(A)卷第二题相同.

三.(本题满分25分)题目和解答与(A)卷第三题相同.

第二试 (C)

- 98 -

一.(本题满分20分)题目和解答与(B)卷第一题相同.

二.(本题满分25分)题目和解答与(A)卷第二题相同.

三.(本题满分25分)设p是大于2的质数,k为正整数.若函数y?x2?px?(k?1)p?4的图象与x轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数,求k的值.

解 由题意知,方程x2?px?(k?1)p?4?0的两根x1,x2中至少有一个为整数. 由根与系数的关系可得x1?x2??p,x1x2?(k?1)p?4,从而有

(x1?2)(x2?2)?x1x2?2(x1?x2)?4?(k?1)p ①

(1)若k?1,则方程为x2?px?2(p?2)?0,它有两个整数根?2和2?p.

(2)若k?1,则k?1?0.

因为x1?x2??p为整数,如果x1,x2中至少有一个为整数,则x1,x2都是整数. 又因为p为质数,由①式知p|x1?2或p|x2?2.

不妨设p|x1?2,则可设x1?2?mp(其中m为非零整数),则由①式可得x2?2?k?1, m

k?1k?1,即x1?x2?4?mp?. mm

k?1又x1?x2??p,所以?p?4?mp?,即 m

k?1(m?1)p??4 ② m

k?1k?1?0,从而(m?1)p??6,如果m为正整数,则(m?1)p?(1?1)?3?6,mm故(x1?2)?(x2?2)?mp?与②式矛盾.

如果m为负整数,则(m?1)p?0,k?1k?1?0,?0,从而(m?1)p?与②式矛盾. mm

2因此,k?1时,方程x?px?(k?1)p?4?0不可能有整数根.

综上所述,k?1.

BCCABD 13

1

15 9

- 99 -

2011年全国初中数学联赛决赛试卷

(4月10日 上午8:45——11:15)

考生注意:1.本试卷共三大题(13个小题),全卷满分140分.

2.用圆珠笔、签字笔或钢笔作答.

3.解题书写不要超出装订线.

4.不能使用计算器.

一、选择题(本题满分42分,每小题7分)

1.一个凸多边形的每一个内角都等于150°,则这个凸多边形所有对角线的条数总共有( )

A.42条 B.54条 C.66条 D.78条 A2.如图,矩形ABCD的对角线相交于O,AE平分∠BAD交BC于E.若

∠CAE=15°,则∠BOE=( )

A.30° B.45° C.60° D.75°

3.设方程(x?a)(x?b)?x?0的两根是c,d,则方程(x?c)(x?d)?x?0的

根分别是( )

A.a,b B.-a,-b C.c,d D.-c,-d

4.若不等式2x??3x?3?a有解,则实数a的最小值是( )

A.1 B.2 C.4 D.6

5.若一个三角形的任意两条边都不相等,则称它为“不规则三角形”.用一个正

方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中,“不规则三角形”的个数是( )

A.18 B.24 C.30 D.36

6.不定方程x2?2y2?5的正整数解(x,y)的组数是( )

A.0组 B.2组 C.4组 D.无穷多组.

二、填空题(本大题满分28分,每小题7分)

本题共有4小题,要求直接将答案写在横线上.

1.二次函数y?x2?ax?2的图象关于直线x=1对称,则y的最小值是__________.

2

.已知a1,则a2012?2a2011?2a2010的值为_____________.

3.已知△ABC中,AB

,BC=6,CA

M是BC的中点,过点B

作AM延长线的垂线,垂足为D,则线段BD的长度是_______________.

4.一次棋赛,有n个女选手和9n个男选手参赛,每位选手都与其余10n-1个

选手各对局一次.计分方式为:胜者得2分,负者得0分,平局各得1分.比赛结束后统计发现,所有男选手的得分总和是所有女选手得分总和的4倍.则 - 100 - DBEC

n的所有可能值是__________.

三、解答题(本题共三小题,第1题20分,第2、3题各25分)

1.(本题满分20分)

已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2?(3a?1)x?2a2?1?0的两个实数根,使得(3x1?x2)(x1?3x2)??80成立.求实数a的所有可能值.

2.(本题满分25分)

抛物线y?ax2?bx?c的图象与x轴有两个交点M(x1,0),N(x2,0),且经过点A(0,1),其中0<x1<x2.过点A的直线l与x轴交于点C,与抛物线交于点B(异于点A),满足△CAN是等腰直角三角形,

且S△BMN=S△AMN.求该抛物线的解析式.

3.(本题满分25分)

如图,AD、AH分别是△ABC(其中AB>AC)的角平分线、高线,M是AD的中点.△MDH的外接圆交CM于E.求证:∠AEBA=90°.

52EBDHC

- 101 -

2011年全国初中数学联合竞赛

试题参考答案

说明:评阅试卷时,请依据本评分标准:选择题和填空题只设7分和0分两档;其余各题,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.

一、选择题(本题满分42分,每小题7分)

1、B 凸多边形的每一个外角都等于30°,则n=12,这个凸多边形所有对角线的条数总共有n(n?3)?54 2

2、D AB=AO=BO=BE

3、A (x?a)(x?b)?x?0?x2?(a?b?1)x?ab?0

x1?x2?a?b?1?c?d;x1x2?ab?cd

(x?c)(x?d)?x?0?x2?(c?d?1)x?cd?0

x1?x2?c?d?1?a?b;x1x2?cd?ab

故x1?a,x2?b

4、C 设y?2x?1?3x?3,讨论当x?1;1?x?3;x?3,得出当x=3时y的最小值为4.

5、B 如图,当选定一个面的一条对角线后,对应了两个“不规则三角形”,而每个面有2条,一共有8个面,故有2×2×8=24

6、A

二、填空题(本题满分28分,每小题7分)

3 1、1 2、0 3、 4、1 2

三、解答题(本题共三小题,第1题20分,第2、3题各25分)

1、(本题满分20分)

已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2?(3a?1)x?2a2?1?0的两个实数根,使得(3x1?x2)(x1?3x2)??80成立。求实数a的所有可能值。

`解:由条件知??(3a?1)2?4(2a2?1)?a2?6a?5?0,

解得a?5或a?1. (5分) 又由根与系数的关系知x1?x2??(3a?1),x1x2?2a2?1, 2

- 102 -

2于是(3x1?x2)(x1?3x2)?3(x12?x2)?10x1x2?3(x1?x2)2?16x1x2

?3(3a?1)2?16(2a2?1)??5a2?18a?19, (10分) 由?5a2?18a?19??80,解得a?3(舍去)或a??

于是a??33. (15分) 53333.综上所述,所求的实数a??. ( 20分 ) 55

2、(本题满分25分)

抛物线y?ax2?bx?c的图象与x轴有两个交点M(x1,0),N(x2,0),且经过点A(0,1),其中0?x1?x2.过点A的直线l与x轴交于点C.,与抛物线交于点B(异于点A),满足?CAN是等腰直角三角形,且S?BMN?

析式. 5S?AMN.求该抛物线的解2

解:由条件知该抛物线开口向上,与x的两个交点在y轴的右侧.

由于?CAN是等腰直角三角形,故点C在x轴的左侧,且?CAN?90?. 故?ACN?45?,从而C(?1,0),N(1,0). (5分) 于是直线l的方程为:y?x?1.

设B(x3,y3),由S?BMN?

从而x3?55S?AMN知y3?, (10分) 22353,即B(,). (15分) 222

35综上可知,该抛物线通过点A(0,1),B(,),N(1,0). 22

?1?c?593于是??a?b?c, (20分) 2?24

?0?a?b?c

?a?4?解得?b??5.

?c?1?

所以所求抛物线的解析式为y?4x2?5x?1. (25分)

3、(本题满分25分)

如图,AD、AH分别是?ABC(其中AB?AC)的角平分线、高线,M是AD的中点.?MDH的外接圆交CM于E.求证:?AEB?90?.

- 103 -

证明:如图,连结MH,EH,

∵M是Rt?AHD斜边AD的中点

∴MA?MH?MD (5分) ∴?MHD??MDH

∵M,D,H,E四点共圆

∴?CEH??MDH

∴?MHD??MDH??HEC

∴?MHC?180???MHD?180???HEC??MEH (10分) ∵?CMH??HME,∴?CMH∽?HME MHME?∴,即MH2?ME?MC (15分) MCMH

∴MA2?ME?MC,又∵?CMA??AME ∴?CMA∽?AME,

∴?MCA??MAE (20分) ∴?BHE??BAE??DHE??BAD??MAE ??DHE??MAC??MCA??DHE??DME?180? ∴A,B,H,E四点共圆,∴?AEB??AHB?90?. (25分)

- 104 -

中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年

全国初中数学竞赛试题

一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分)

1.如果实数a,b,c

在数轴上的位置如图所示,那么代数式

. |a?b||b?c|可以化简为( )

(A)2ca (B)2a2b (C)a (D)a

b2.如果正比例函数y = ax(a ≠ 0)与反比例函数y =(b ≠0 )的图象有两个交点,x

其中一个交点的坐标为(-3,-2),那么另一个交点的坐标为( ).

(A)(2,3) (B)(3,-2) (C)(-2,3) (D)(3,2)

3.如果a,b为给定的实数,且1?a?b,那么1,a?1, 2a?b,a?b?1这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是( ).

(A)1 (B)112a?1 (C) (D) 244

4.小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说:“你若给我2元,我的钱数将是你的n倍”;小玲对小倩说:“你若给我n元,我的钱数将是你的2倍”,其中n为正整数,则n的可能值的个数是( ).

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

5.一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,3,4,5,6.掷两次骰子,设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0,1,2,3的概率为p0,p1,p2,p3,则p0,p1,p2,p3中最大的是( ).

(A)p0 (B)p1 (C)p2 (D)p3

二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)

6.按如图的程序进行操作,规定:程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487?”为一次操作. 如果操作进行四次才停止,那么x的取值范围是 .

7.如图,正方形ABCD的边长为

E,F分别是AB,BC的中点,AF与DE,DB分别交

- 105 -

于点M,N,则△DMN的面积是 .

x3298.如果关于x的方程x+kx+k-3k+= 0的两个实数根分别为x1,x2,那么1

2012 的24x222011

值为 .

9.2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛,比赛为单循环,即所有参赛者彼此恰好比赛一场.记分规则是:每场比赛胜者得3分,负者得0分;平局各得1分. 比赛结束后,所有同学的得分总和为130分,而且平局数不超过比赛局数的一半,则m的值为 .

10.如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB是直径,AD = DC. 分别延长BA,CD,交点为E. 作BF⊥EC,并与EC的延长线交于点F. 若AE = AO,BC = 6,则CF的长为 .

三、解答题(共4题,每题20分,共80分)

211.已知二次函数y?x?(m?3)x?m?2,当?1?x?3时,恒有y?0;关于x的方

2(m?3)x?m?2?0的两个实数根的倒数和小于?程x?

9.求m的取值范围. 10

12.如图,⊙O的直径为AB,⊙O 1过点O,且与⊙O内切于点B.C为⊙O上的点,OC与⊙O 1交于点D,且OD?CD.点E在OD上,且DC?DE,BE的延长线与⊙O 1交于点F,求证:△BOC∽△DO1F.

- 106 -

13.已知整数a,b满足:a-b是素数,且ab是完全平方数. 当a≥2012时,求a的最小值.

14.求所有正整数n,使得存在正整数x1,x2, ,?x2012,满足x1?x2???x2012,且122012?????n. x1x2x2012

中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年

全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题

1.C

解:由实数a,b,c在数轴上的位置可知

b?a?0?c,且b?c,

所以

|a?b||b?c|??a?(a?b)?(c?a)?(b?c)??a.

- 107 -

2.D

解:由题设知,?2?a?(?3),(?3)?(?2)?b,所以a?,b?6. 2

3

?y???解方程组??y???2x,?x?3,3得?x??3, ? ?y??2;y?2.6?,?

x

所以另一个交点的坐标为(3,2).

注:利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性,可知两个交点关于原点对称,因此另一个交点的坐标为(3,2).

3.D

解:由题设知,1?a?1?a?b?1?2a?b,所以这四个数据的平均数为

1?(a?1)?(a?b?1)?(2a?b)3?4a?2b, ?44

(a?1)?(a?b?1)4?4a?2b中位数为 , ?24

4?4a?2b3?4a?2b1于是 ??. 444

4.D

解:设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元,x,y均为非负整数. 由题设可得

?x?2?n(y?2), ?y?n?2(x?n),?

消去x得 (2y-7)n = y+4, 2n =(2y?7)?1515?1?. 2y?72y?7

因为15为正整数,所以2y-7的值分别为1,3,5,15,所以y的值只能为4,5,2y?7

6,11.从而n的值分别为8,3,2,1;x的值分别为14,7,6,7.

5.D

解:掷两次骰子,其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个,其和除以4的余数分别是0,1,2,3的有序数对有9个,8个,9个,10个,所以p0?98910,p1?,p2,p3,因此p3最大. 36363636

- 108 -

二、填空题

6.7<x≤19

解:前四次操作的结果分别为

3x-2,3(3x-2)-2 = 9x-8,3(9x-8)-2 = 27x-26,3(27x-26)-2 = 81x-80.

由已知得

26≤487,

-80>487.

解得 7<x≤19.

容易验证,当7<x≤19时,3x?2≤487 9x?8≤487,故x的取值范围是

7<x≤19.

7.8

解:连接DF,记正方形ABCD的边长为2a. 由题设易知△BFN∽△DAN,所以

ADANDN2???, BFNFBN1

2由此得AN?2NF,所以AN?AF. 3

在Rt△ABF中,因为AB?2a,BF?a,所以

AF,

于是 cos?BAF?AB. AF由题设可知△ADE≌△BAF,所以 ?AED??AFB,

?AME?1800??BAF??AED?1800??BAF??AFB?90?.

于是 AM?AE?cos?BAF?, 2MN?AN?AM?AF?AM?, 3 S?MNDMN4??. S?AFDAF15

又S?AFD?148?(2a)?(2a)?2a2,所以S?MND?S?AFD?a2. 21515

因为a,所以S?MND?8.

8.?2 3

- 109 -

解:根据题意,关于x的方程有

39?=k2-4(k2?3k?)≥0, 42

由此得 (k-3)≤0.

又(k-3)≥0,所以(k-3)=0,从而k=3. 此时方程为x+3x+222293=0,解得x1=x2=?. 4

2011

故x11

x2012=x=?2.

223

9.8

解:设平局数为a,胜(负)局数为b,由题设知

2a?3b?130,

由此得0≤b≤43.

又 a?b?(m?1)(m?2)

2,所以2a?2b?(m?1)(m?2). 于是

0≤b?130?(m?1)(m?2)≤43,

87≤(m?1)(m?2)≤130,

由此得 m?8,或m?9.

当m?8时,b?40,a?5;当m?9时,b?20,a?35,

a?a?b

2?55

2,不合题设.

故m?8.

10.32

2

解:如图,连接AC,BD,OD.

由AB是⊙O的直径知∠BCA =∠BDA = 90°.

依题设∠BFC = 90°,四边形ABCD是⊙O

的内接四边形,所以

∠BCF =∠BAD,

所以 Rt△BCF∽Rt△BAD ,因此 BC

CF?BA

AD.

因为OD是⊙O的半径,AD = CD,所以OD垂直平分AC,OD∥BC,

- 110 - 2

于是 DEOE??2. 因此 DCOB

DE?2CD?2AD,CE?3AD.

由△AED∽△CEB,知DE?EC?AE?BE.因为AE?所以 2AD?3AD?BA3,BE?BA, 22BA3?BA,BA=22AD ,故 22

CF?AD?

BC??BA2三、解答题

11.解: 因为当?1?x?3时,恒有y?0,所以

2??(m?3)?(4m?2)?0,

(m?1)?0,所以m??1. ???(5分) 即

当x??1时,y≤0;当x?3时,y≤0,即 2

(?1)2?(m?3)(?1)?m?2≤0,

且 32?3(m?3)?m?2≤0,

解得m≤?5. ???(10分)

设方程x??m?3?x??m?2??0的两个实数根分别为x1,x2,由一元二次方程根与2

系数的关系得

x1?x2???m?3?,x1x2?m?2. 因为119???,所以 x1x210

x1?x2m?39????, x1x2m?210

解得m??12,或m??2.

因此m??12. ????(20分)

12. 证明:连接BD,因为OB为?O1的直径,所以?ODB?90?.又

- 111 -

因为DC?DE,所以△CBE是等腰三角形.

????(5分)

设BC与?O1交于点M,连接OM,则?OMB?90?.又因为OC?

OB?BOC?2?DOM?2?DBC?2?DBF??DO1F.????(15分)

又因为?BOC,?DO1F分别是等腰△BOC,等腰△DO1F的顶角,所以

△BOC∽△DO1F. ????(20分)

13.解:设a-b = m(m是素数),ab = n(n是正整数).

因为 (a+b)-4ab = (a-b),

所以 (2a-m)-4n= m,

(2a-m+2n)(2a-m-2n) = m. ???(5分)

因为2a-m+2n与2a-m-2n都是正整数,且2a-m+2n>2a-m-2n (m为素数),所以 2a-m+2n?m,2a-m-2n?1. 2222 2222

(m?1)2m2?1解得 a?,n?. 44

2(m?1)于是 b= a-m?. ????(10分) 4

(m?1)2

又a≥2012,即≥2012. 4

(89?1)2

又因为m是素数,解得m≥89. 此时,a≥=2025. 4

当a?2025时,m?89,b?1936,n?1980.

因此,a的最小值为2025. ????(20分)

14.解:由于x1,x2, ,?x2012都是正整数,且x1?x2???x2012,所以

x1≥1,x2≥2,?,x2012≥2012.

于是 n?201212201212?2012.????(10分) ????≤????2012x1x2x201212

- 112 -

当n?1时,令x1?2012,x2?2?2012, ,?x2012?2012?2012,则

122012?????1.????(15分) x1x2x2012

当n?k?1时,其中1≤k≤2011,令 x1?1 ,x2?2, ,?xk?k,

xk?1?(2012?k)(k?1),xk?2?(2012?k)(k?2),x2012?(2012?k)?2012,则

1220121?k?1?n. ?????k?(2012?k)?x1x2x20122012?k

, 2, , ?2012. ????(20分) 综上,满足条件的所有正整数n为1

2013年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案

第一试

一、选择题(本题满分42分,每小题7分)

1.

计算?(B)

(A

1 (B)1 (C

2.满足等式?2?m?m2?m?2(D)2 ?1的所有实数m的和为(A)

(A)3 (B)4 (C)5 (D)6

3.已知AB是圆O的直径,C为圆O上一点,?CAB?15,?ABC的平分线交圆O于点D

,若CD?,则AB=(A)

(A)2 (B

4.不定方程3x?7xy?2x?5y?17?0的全部正整数角(x,y)的组数为(B)

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

5矩形ABCD的边长AD=3,AB=2,E为AB的中点,F在线段BC上,且BF:FC=1:2, AF分别与DE,DB交于点M,N,则MN=(C)

- 113 - 2?(C

)(D)3

(A

) (B

) (C

) (D

) 7142828

6.设n为正整数,若不超过n的正整数中质数的个数等于合个数,则称n为“好数”,那么,所有“好数”之和为(B)

(A)33 (B)34 (C)2013 (D)2014

二、填空题(本题满分28分,每小题7分)

1.已知实数x,y,z满足x?y?4,z?1?xy?2y?9,则x?2y?3z?

2.将一个正方体的表面都染成红色,再切割成n3(n?2)个相同的小正方体,若只有一面是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同,则n= 8

3.在?ABC中,?A?60?,?C?75?,AB?10,D,E,F分别在AB,BC,CA上,则?DEF的周长最小值为

4.如果实数x,y,z满足x?y?z??xy?yz?zx??8,用A表示x?y,y?z,z?x的222

最大值,则A的最大值为

3

第二试(A)

2222一、(本题满分20分)已知实数a,b,c,d满足2a?3c?2b?3d??ad?bc??6,求 2

?a2?b2??c2?d2?的值。

22222222解:设m?a?b,n?c?d,则2m?3n?2a?2b?3c?3d?12.

2因为?2m?3n???2m?3n??24mn?24mn,即12?24mn,所以 22

mn?6????????????????????????????○1

22又因为mn?a?b

2???c2?d2??a2c2?b2d2?a2d2?b2c2 2??ac?bd???ad?bc???ad?bc??6????????????○2

22由○1,○2可得mn?6.即a?b2???c2?d2??6

- 114 -

注:符合条件的实数a,b,c,d

存在且不唯一,a?b?1,c?就是一组。 d??33

二、(本题满分25分)已知点C在以AB为直径的圆O上,过点B、C作圆O的切线,交于点P,连AC,若OP?9PBAC,求的值。 2AC

解:连OC,因为PC,PB为圆O的切线,所以∠POC=∠POB。

又因为OA=OC,所以∠OCA=∠OAC。

又因为∠COB=∠OCA+∠OAC,所以2∠POB=2∠OAC,所以∠POB=∠

OAC,所以OP∥AC。

又∠POB=∠OAC,所以?BAC??POB,所以

又OP?ACAB?。 OBOP9AC,AB=2r,OB=r(r为圆O的半径),代入可求得 2

2OP=3r,AC=r. 3

在Rt?

POB中,由勾股定理可求得PB??。

所以PB?? ACr3

2三、(本题满分25分)已知t是一元二次方程x?x?1?0的一个根,若正整数a,b,m使得

等式?at?m??bt?m??31m成立,求ab的值。

解:因为t是一元二次方程x?x?1?0的一个根,显然t是无理数,且t?1?t。 等式?at?m??bt?m??31m即abt?m?a?b?t?m?31m, 22

22即ab?1?t??m?a?b?t?m?31m,即??m?a?b??ab??t?ab?m?31m?0. 22??

因为a,b,m是正整数,t是无理数,所以?

2??a?b?31?m,?m?a?b??ab?0,于是可得? 22??ab?31m?m.?ab?m?31m?0,2因此,a,b是关于x的一元二次方程x??m?31?x?31m?m?0的两个整数根,该方程

的判别式???m?31??431m?m2?2???31?m??31?5m??0.

31. 5又因为a,b是正整数,所以a?b?31?m?0,从而可得0?m?

又因为判别式?是一个完全平方数,验证可知,只有m?6符合要求。

把m?6代入可得ab?31m?m?

150.

- 115 - 2

第二试(B)

一、 (本题满分20分)

已知t?1,若正整数a,b,m使得等式?at?m??bt?m??17m成立,求ab的值。

解:因为t?

1,所以t?3?

等式?at?m??bt?m??17m即abt2?m?a?b?t?m2?17m,

即ab3??m?

a?b?2?1?m2?17m, ?

2整理得??m?

a?b??2ab????3ab?m?a?b??m?17m???0

于是可得???a?b?2?17?m?, 2??ab?17m?m.

22a,b是关于x的一元二次方程x?2(m?17)x?17m?m?0??○因此,1的两个整数根,

方程○1的判别式??4?m?17??417m?m2?2??4?17?m??17?2m??0.

17 2又因为a,b,m是正整数,所以a?b?2?17?m??0,从而可得0?m?

又因为判别式?是一个完全平方数,验证可知,只有m?8符合要求,

把m?8代入得ab?17m?m?72。

二、(本题满分25分)在?ABC中,AB>AC,O、I

分别是?ABC的外心和内心,且满足AB-AC=2OI。

求证:

(1)OI∥BC;

(2)S?AOC?S?AOB?2S?AOI。

证明(1)作OM⊥BC于M,IN⊥BC于N。

设BC=a,AC=b,AB=c。

易求得CM=2111a,CN=?a?b?c?,所以MN=CM-CN=?c?b?=OI, 222

又MN恰好是两条平行线OM,IN之间的垂线段,所以OI也是两条平行线OM,IN

之间的 - 116 -

垂线段,所以OI∥MN,所以OI∥BC。

(2)由(1)知OMNI是矩形,连接BI,CI,设OM=IN=r(即为?ABC的内切圆半径),则

S?AOC?S?AOB??S?AOI?S?COI?S?AIC???S?AIB?S?AOI?S?BOI?

1111?2S?AOI?S?BOI?S?COI?S?AIC?S?AIB?2S?AOI??OI?r??OI?r??AC?r??AB?r2222

?2S?r????OI?1

2b?1

2c?

?AOI???2S?AOI.

三、(本题满分25分)若正数a,b,c满?b2?c2?a2?2?c2?a2?b2?2?a2?b22

2bc??2ca????c2

???

2ab??3,求代数??????

b2?c2?a2c2?a2?b2a2?b2?c2

2bc?2ca?2ab的值。

解:由于a,b,c具有轮换对称性,不妨设0?a?b?c.

(1)若c?a?b,则c?a?b?0,c?b?a?0,从而得:

b2?c2?a2?c?b?22

2bc?1??a

2bc?1,

c2?a2?b2?c?a?2?2

2ca?1?b

2ca?1,

a2?b2?a2a?b?2?c

2ab??2

2ab?1??1, 222

所以??b2?c2?a2?

?2bc??c2?a2?b2??a2?b2?c2?

????2ca?????2ab???3,与已知条件矛盾。

(2)若c?a?b,则0?c?a?b,0?c?b?a,从而可得:

b2?c2?a2?c?b?22

0??a

2bc?1?2bc?1,

c2?a2?b2?c?a?2?b2

0?2ca?1?2ca?1,

a2?b2?c2?a?b?2?c2

0?2ab?1?2ab?1,

- 117 - 足式

a2?b2?a2?a?b??c??1??1, 2ab2ab22

?b2?c2?a2??c2?a2?b2??a2?b2?c2?所以?????????3,与已知条件矛盾。 2bc2ca2ab??????综合(1)(2)可知:一定有c?a?b. 222

b2?c2?a2c2?a2?b2a2?b2?c2

?1,?1,??1 于是可得2bc2ca2ab

b2?c2?a2c2?a2?b2a2?b2?c2

???1. 所以2bc2ca2ab

- 118 -

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