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小升初数学重要知识点汇总及训练

发布时间:2013-12-17 14:35:50  

一、 重要知识点汇总

第一章数和数的运算

一概念

1. 整数

1) 整数的意义

自然数和0都是整数。

2) 自然数

我们在数物体的时候,用来表示物体个数的1,2,3??叫做自然数。 一个物体也没有,用0表示。0也是自然数。

3) 计数单位:

一(个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿??都是计数单位。 每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。

4) 数位

计数单位按照一定的顺序排列起来,它们所占的位置叫做数位。

5) 数的整除

? 整数a除以整数b(b ≠ 0),除得的商是整数而没有余数,我们就说a能被b整除,或者说b能整除a 。

? 如果数a能被数b(b ≠ 0)整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的约数(或a的因数)。倍数和约数是相互依存的。

因为35能被7整除,所以35是7的倍数,7是35的约数。

? 一个数的约数的个数是有限的,其中最小的约数是1,最大的 约数是它本身。 例如:10的约数有1、2、5、10,其中最小的约数是1,最大的约数是10。 ? 一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身。

3的倍数有:3、6、9、12??其中最小的倍数是3 ,没有最大的倍数。 ? 个位上是0、2、4、6、8的数,都能被2整除,例如:202、480、304,都能

被2整除。。

? 个位上是0或5的数,都能被5整除,例如:5、30、405都能被5整除。。 ? 一个数的各位上的数的和能被3整除,这个数就能被3整除

例如:12、108、204都能被3整除。

? 一个数各位数上的和能被9整除,这个数就能被9整除。

? 能被3整除的数不一定能被9整除,但是能被9整除的数一定能被3整除。 ? 一个数的末两位数能被4(或25)整除,这个数就能被4(或25)整除。

例如:16、404、1256都能被4整除,50、325、500、1675都能被25整除。 ? 一个数的末三位数能被8(或125)整除,这个数就能被8(或125)整除。

例如:1168、4600、5000、12344都能被8整除,1125、13375、5000都能被125整除。

? 能被2整除的数叫做偶数。

? 不能被2整除的数叫做奇数。

? 0也是偶数。自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。

? 一个数,如果只有1和它本身两个约数,这样的数叫做质数(或素数),100

以内的质数有:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

? 一个数,如果除了1和它本身还有别的约数,这样的数叫做合数,例如 4、6、

8、9、12都是合数。

? 1不是质数也不是合数,自然数除了1外,不是质数就是合数。如果把自然数

按其约数的个数的不同分类,可分为质数、合数和1。

? 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因

数,叫做这个合数的质因数

例如15=3×5,3和5 叫做15的质因数。

? 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。

例如把28分解质因数

? 几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数。其中最大的一个,叫做这几个数

的最大公约数,

例如12的约数有1、2、3、4、6、12;18的约数有1、2、3、6、9、18。其中,1、2、3、6是12和1 8的公约数,6是它们的最大公约数。

? 公约数只有1的两个数,叫做互质数,成互质关系的两个数,有下列几种情况:

1和任何自然数互质。

相邻的两个自然数互质。

两个不同的质数互质。

当合数不是质数的倍数时,这个合数和这个质数互质。

两个合数的公约数只有1时,这两个合数互质,如果几个数中任意两个都互质,就说这几个数两两互质。

如果较小数是较大数的约数,那么较小数就是这两个数的最大公约数。

如果两个数是互质数,它们的最大公约数就是1。

? 几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个,叫做这几个数

的最小公倍数

如2的倍数有2、4、6 、8、10、12、14、16、18 ??

3的倍数有3、6、9、12、15、18 ?? 其中6、12、18??是2、3的公倍数,6是它们的最小公倍数。。

? 如果较大数是较小数的倍数,那么较大数就是这两个数的最小公倍数。 ? 如果两个数是互质数,那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。 ? 几个数的公约数的个数是有限的,而几个数的公倍数的个数是无限的。

2. 小数

1) 小数的意义

? 把整数1平均分成10份、100份、1000份?? 得到的十分之几、百分之几、

千分之几?? 可以用小数表示。

? 一位小数表示十分之几,两位小数表示百分之几,三位小数表示千分之几?? ? 一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。数中的圆点叫做小数点,

小数点左边的数叫做整数部分,小数点左边的数叫做整数部分,小数点右边的数叫做小数部分。

? 在小数里,每相邻两个计数单位之间的进率都是10。小数部分的最高分数单

位“十分之一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是10。

2) 小数的分类

? 纯小数:整数部分是零的小数,叫做纯小数。例如: 0.25 、 0.368 都是纯

小数。

? 带小数:整数部分不是零的小数,叫做带小数。 例如: 3.25 、 5.26 都是

带小数。

? 有限小数:小数部分的数位是有限的小数,叫做有限小数。 例如: 41.7 、

25.3 、 0.23 都是有限小数。

? 无限小数:小数部分的数位是无限的小数,叫做无限小数。 例如: 4.33 ??

3.1415926 ??

? 无限不循环小数:一个数的小数部分,数字排列无规律且位数无限,这样的小

数叫做无限不循环小数。 例如:∏

? 循环小数:一个数的小数部分,有一个数字或者几个数字依次不断重复出现,

这个数叫做循环小数。 例如: 3.555 ?? 0.0333 ?? 12.109109 ?? ? 一个循环小数的小数部分,依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环

节。 例如: 3.99 ??的循环节是“ 9 ” , 0.5454 ??的循环节是“ 54 ” 。 ? 纯循环小数:循环节从小数部分第一位开始的,叫做纯循环小数。 例如:

3.111 ?? 0.5656 ??

? 混循环小数:循环节不是从小数部分第一位开始的,叫做混循环小数。

3.1222 ?? 0.03333 ??

? 写循环小数的时候,为了简便,小数的循环部分只需写出一个循环节,并在这

个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。如果循环 节只有 一个数字,就只在它的上面点一个点。例如: 3.777 ?? 简写作 0.5302302 ?? 简写作 。

3. 分数

1) 分数的意义

? 把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或者几份的数叫做分数。 ? 在分数里,中间的横线叫做分数线;分数线下面的数,叫做分母,表示把单位

“1”平均分成多少份;分数线下面的数叫做分子,表示有这样的多少份。 ? 把单位“1”平均分成若干份,表示其中的一份的数,叫做分数单位。

2) 分数的分类

? 真分数:分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。

? 假分数:分子比分母大或者分子和分母相等的分数,叫做假分数。假分数大于

或等于1。

? 带分数:假分数可以写成整数与真分数合成的数,通常叫做带分数。

3) 约分和通分

? 把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数 ,叫做约分。 ? 分子分母是互质数的分数,叫做最简分数。

? 把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数,叫做通分。

4. 百分数

表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫做百分率或百分比。百分数通常用"%"来表示。百分号是表示百分数的符号。

二方法

1. 数的读法和写法

1) 整数的读法:

从高位到低位,一级一级地读。读亿级、万级时,先按照个级的读法去读,再在后面加一个“亿”或“万”字。每一级末尾的0都不读出来,其它数位连续有几个0都只读一个零。

2) 整数的写法:

从高位到低位,一级一级地写,哪一个数位上一个单位也没有,就在那个数位上写0。

3) 小数的读法:

读小数的时候,整数部分按照整数的读法读,小数点读作“点”,小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。

4) 小数的写法:

写小数的时候,整数部分按照整数的写法来写,小数点写在个位右下角,小数部分

顺次写出每一个数位上的数字。

5) 分数的读法:

读分数时,先读分母再读“分之”然后读分子,分子和分母按照整数的读法来读。

6) 分数的写法:

先写分数线,再写分母,最后写分子,按照整数的写法来写。

7) 百分数的读法:

读百分数时,先读百分之,再读百分号前面的数,读数时按照整数的读法来读。

8) 百分数的写法:

百分数通常不写成分数形式,而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。

2. 数的改写

一个较大的多位数,为了读写方便,常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。有时还可以根据需要,省略这个数某一位后面的数,写成近似数。

1) 准确数:

在实际生活中,为了计数的简便,可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。改写后的数是原数的准确数。例如把 1254300000 改写成以万做单位的数是 125430 万;改写成以亿做单位的数 12.543 亿。

2) 近似数:

根据实际需要,我们还可以把一个较大的数,省略某一位后面的尾数,用一个近似数来表示。例如: 1302490015 省略亿后面的尾数是 13 亿。

3) 四舍五入法:

要省略的尾数的最高位上的数是4 或者比4小,就把尾数去掉;如果尾数的最高位上的数是5或者比5大,就把尾数舍去,并向它的前一位进1。例如:省略 345900 万后面的尾数约是 35 万。省略 4725097420 亿后面的尾数约是 47 亿。

4) 大小比较

? 比较整数大小:比较整数的大小,位数多的那个数就大,如果位数相同,就看

最高位,最高位上的数大,那个数就大;最高位上的数相同,就看下一位,

哪一位上的数大那个数就大。

? 比较小数的大小:先看它们的整数部分,,整数部分大的那个数就大;整数部

分相同的,十分位上的数大的那个数就大;十分位上的数也相同的,百分位

上的数大的那个数就大??

? 比较分数的大小:分母相同的分数,分子大的分数比较大;分子相同的数,分

母小的分数大。分数的分母和分子都不相同的,先通分,再比较两个数的大小。

3. 数的互化

1) 小数化成分数:

原来有几位小数,就在1的后面写几个零作分母,把原来的小数去掉小数点作分子,能约分的要约分。

2) 分数化成小数:

用分母去除分子。能除尽的就化成有限小数,有的不能除尽,不能化成有限小数的,一般保留三位小数。

一个最简分数,如果分母中除了2和5以外,不含有其他的质因数,这个分数就能化成有限小数;如果分母中含有2和5 以外的质因数,这个分数就不能化成有限小数。

3) 小数化成百分数:

只要把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号。

4) 百分数化成小数:

把百分数化成小数,只要把百分号去掉,同时把小数点向左移动两位。

5) 分数化成百分数:

通常先把分数化成小数(除不尽时,通常保留三位小数),再把小数化成百分数。

6) 百分数化成小数:

先把百分数改写成分数,能约分的要约成最简分数。

4. 数的整除

1) 把一个合数分解质因数,通常用短除法。先用能整除这个合数的质数去除,一直除

到商是质数为止,再把除数和商写成连乘的形式。

2) 求几个数的最大公约数的方法是:先用这几个数的公约数连续去除,一直除到所得

的商只有公约数1为止,然后把所有的除数连乘求积,这个积就是这几个数的的最大公约数。

3) 求几个数的最小公倍数的方法是:先用这几个数(或其中的部分数)的公约数去除,

一直除到互质(或两两互质)为止,然后把所有的除数和商连乘求积,这个积就是这几个数的最小公倍数。

4) 成为互质关系的两个数:1和任何自然数互质;相邻的两个自然数互质;当合数不

是质数的倍数时,这个合数和这个质数互质;两个合数的公约数只有1时,这两个合数互质。

5. 约分和通分

1) 约分的方法:用分子和分母的公约数(1除外)去除分子、分母;通常要除到得出

最简分数为止。

2) 通分的方法:先求出原来的几个分数分母的最小公倍数,然后把各分数化成用这个

最小公倍数作分母的分数。

三性质和规律

1. 商不变的规律

商不变的规律:在除法里,被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍,商不变。

2. 小数的性质

小数的性质:在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。

3. 小数点位置的移动引起小数大小的变化

1) 小数点向右移动一位,原来的数就扩大10倍;小数点向右移动两位,原来的数就

扩大100倍;小数点向右移动三位,原来的数就扩大1000倍??

2) 小数点向左移动一位,原来的数就缩小10倍;小数点向左移动两位,原来的数就

缩小100倍;小数点向左移动三位,原来的数就缩小1000倍??

3) 小数点向左移或者向右移位数不够时,要用“0"补足位。

4. 分数的基本性质

分数的基本性质:分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数(零除外),分数的大小不变。

5. 分数与除法的关系

1) 被除数÷除数= 被除数/除数

2) 因为零不能作除数,所以分数的分母不能为零。

3) 被除数相当于分子,除数相当于分母。

四运算的意义

1. 整数四则运算

1) 整数加法:

把两个数合并成一个数的运算叫做加法。

在加法里,相加的数叫做加数,加得的数叫做和。加数是部分数,和是总数。 加数+加数=和一个加数=和-另一个加数

2) 整数减法:

已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算叫做减法。

在减法里,已知的和叫做被减数,已知的加数叫做减数,未知的加数叫做差。被减数是总数,减数和差分别是部分数。

加法和减法互为逆运算。

3) 整数乘法:

求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。

在乘法里,相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。相同加数的和叫做积。 在乘法里,0和任何数相乘都得0. 1和任何数相乘都的任何数。

一个因数×一个因数 =积一个因数=积÷另一个因数

4) 整数除法:

已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算叫做除法。

在除法里,已知的积叫做被除数,已知的一个因数叫做除数,所求的因数叫做商。 乘法和除法互为逆运算。

在除法里,0不能做除数。因为0和任何数相乘都得0,所以任何一个数除以0,均得不到一个确定的商。

被除数÷除数=商除数=被除数÷商被除数=商×除数

2. 小数四则运算

1) 小数加法:

小数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并成一个数的运算。

2) 小数减法:

小数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算.

3) 小数乘法:

小数乘整数的意义和整数乘法的意义相同,就是求几个相同加数和的简便运算;一个数乘纯小数的意义是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几??是多少。

4) 小数除法:

小数除法的意义与整数除法的意义相同,就是已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。

5) 乘方:

求几个相同因数的积的运算叫做乘方。例如 3 × 3 =32

3. 分数四则运算

1) 分数加法:

分数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并成一个数的运算。

2) 分数减法:

分数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算。

3) 分数乘法:

分数乘法的意义与整数乘法的意义相同,就是求几个相同加数和的简便运算。 乘积是1的两个数叫做互为倒数。

4) 分数除法:

分数除法的意义与整数除法的意义相同。就是已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。

4. 运算定律

1) 加法交换律:

两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变,即a+b=b+a 。

2) 加法结合律:

三个数相加,先把前两个数相加,再加上第三个数;或者先把后两个数相加,再和第一个数相加它们的和不变,即(a+b)+c=a+(b+c) 。

3) 乘法交换律:

两个数相乘,交换因数的位置它们的积不变,即a×b=b×a。

4) 乘法结合律:

三个数相乘,先把前两个数相乘,再乘以第三个数;或者先把后两个数相乘,再和第一个数相乘,它们的积不变,即(a×b)×c=a×(b×c) 。

5) 乘法分配律:

两个数的和与一个数相乘,可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加,即(a+b)×c=a×c+b×c 。

6) 减法的性质:

从一个数里连续减去几个数,可以从这个数里减去所有减数的和,差不变,即a-b-c=a-(b+c)

5. 运算法则

1) 整数加法计算法则:

相同数位对齐,从低位加起,哪一位上的数相加满十,就向前一位进一。

2) 整数减法计算法则:

相同数位对齐,从低位加起,哪一位上的数不够减,就从它的前一位退一作十,和本位上的数合并在一起,再减。

3) 整数乘法计算法则:

先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数,用因数哪一位上的数去乘,乘得的数的末尾就对齐哪一位,然后把各次乘得的数加起来。

4) 整数除法计算法则:

先从被除数的高位除起,除数是几位数,就看被除数的前几位;如果不够除,就多看一位,除到被除数的哪一位,商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1,要补“0”占位。每次除得的余数要小于除数。

5) 小数乘法法则:

先按照整数乘法的计算法则算出积,再看因数中共有几位小数,就从积的右边起数出几位,点上小数点;如果位数不够,就用“0”补足。

6) 除数是整数的小数除法计算法则:

先按照整数除法的法则去除,商的小数点要和被除数的小数点对齐;如果除到被除数的末尾仍有余数,就在余数后面添“0”,再继续除。

7) 除数是小数的除法计算法则:

先移动除数的小数点,使它变成整数,除数的小数点也向右移动几位(位数不够的补“0”),然后按照除数是整数的除法法则进行计算。

8) 同分母分数加减法计算方法:

同分母分数相加减,只把分子相加减,分母不变。

9) 异分母分数加减法计算方法:

先通分,然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。

10) 带分数加减法的计算方法:

整数部分和分数部分分别相加减,再把所得的数合并起来。

11) 分数乘法的计算法则:

分数乘整数,用分数的分子和整数相乘的积作分子,分母不变;分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母。

12) 分数除法的计算法则:

甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘乙数的倒数。

(六)运算顺序

1) 小数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。

2) 分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。

3) 没有括号的混合运算:

同级运算从左往右依次运算;两级运算先算乘、除法,后算加减法。

4) 有括号的混合运算:

先算小括号里面的,再算中括号里面的,最后算括号外面的。

5) 第一级运算:

加法和减法叫做第一级运算。

6) 第二级运算:

乘法和除法叫做第二级运算

五应用

1. 整数和小数的应用

1) 简单应用题

(1)简单应用题:只含有一种基本数量关系,或用一步运算解答的应用题,通常叫做简单应用题。

(2)解题步骤:

审题理解题意:了解应用题的内容,知道应用题的条件和问题。读题时,不丢字不添字边读边思考,弄明白题中每句话的意思。也可以复述条件和问题,帮助理解题意。

选择算法和列式计算:这是解答应用题的中心工作。从题目中告诉什么,要求什么着手,逐步根据所给的条件和问题,联系四则运算的含义,分析数量关系,确定算法,进行解答并标明正确的单位名称。

检验:就是根据应用题的条件和问题进行检查看所列算式和计算过程是否正确,是否符合题意。如果发现错误,马上改正。

答案:根据计算的结果,先口答,逐步过渡到笔答。

2) 复合应用题

(1)有两个或两个以上的基本数量关系组成的,用两步或两步以上运算解答的应用题,通常叫做复合应用题。

(2)含有三个已知条件的两步计算的应用题。

求比两个数的和多(少)几个数的应用题。

比较两数差与倍数关系的应用题。

(3)含有两个已知条件的两步计算的应用题。

已知两数相差多少(或倍数关系)与其中一个数,求两个数的和(或差)。 已知两数之和与其中一个数,求两个数相差多少(或倍数关系)。

(4)解答连乘连除应用题。

(5)解答三步计算的应用题。

(6)解答小数计算的应用题:小数计算的加法、减法、乘法和除法的应用题,他们的数量关系、结构、和解题方式都与正式应用题基本相同,只是在已知数或未知数中间含有小数。

( 3 ) 解答加法应用题:

求总数的应用题:已知甲数是多少,乙数是多少,求甲乙两数的和是多少。

求比一个数多几的数应用题:已知甲数是多少和乙数比甲数多多少,求乙数是多少。 (4 ) 解答减法应用题:

求剩余的应用题:从已知数中去掉一部分,求剩下的部分。

求两个数相差的多少的应用题:已知甲乙两数各是多少,求甲数比乙数多多少,或乙数比甲数少多少。

求比一个数少几的数的应用题:已知甲数是多少,,乙数比甲数少多少,求乙数是多少。

(5 ) 解答乘法应用题:

求相同加数和的应用题:已知相同的加数和相同加数的个数,求总数。

求一个数的几倍是多少的应用题:已知一个数是多少,另一个数是它的几倍,求另一个数是多少。

( 6) 解答除法应用题:

把一个数平均分成几份,求每一份是多少的应用题:已知一个数和把这个数平均分

成几份的,求每一份是多少。

求一个数里包含几个另一个数的应用题:已知一个数和每份是多少,求可以分成几份。

求一个数是另一个数的的几倍的应用题:已知甲数乙数各是多少,求较大数是较小数的几倍。

已知一个数的几倍是多少,求这个数的应用题。

(7)常见的数量关系:

总价= 单价×数量

路程= 速度×时间

工作总量=工作时间×工效

总产量=单产量×数量

3) 典型应用题

具有独特的结构特征的和特定的解题规律的复合应用题,通常叫做典型应用题。

(1)平均数问题:

平均数是等分除法的发展。

解题关键:在于确定总数量和与之相对应的总份数。

算术平均数:已知几个不相等的同类量和与之相对应的份数,求平均每份是多少。 数量关系式:数量之和÷数量的个数=算术平均数。

加权平均数:已知两个以上若干份的平均数,求总平均数是多少。

数量关系式(部分平均数×权数)的总和÷(权数的和)=加权平均数。

差额平均数:是把各个大于或小于标准数的部分之和被总份数均分,求的是标准数与各数相差之和的平均数。

数量关系式:(大数-小数)÷2=小数应得数最大数与各数之差的和÷总份数=最大数应给数最大数与个数之差的和÷总份数=最小数应得数。

例:一辆汽车以每小时 100 千米的速度从甲地开往乙地,又以每小时 60 千米的速度从乙地开往甲地。求这辆车的平均速度。

分析:求汽车的平均速度同样可以利用公式。此题可以把甲地到乙地的路程设为“ 1 ”,

则汽车行驶的总路程为“ 2 ”,从甲地到乙地的速度为 100 ,所用的时间为,汽车从乙地到甲地速度为 60 千米,所用的时间是,汽车共行的时间为 + = , 汽车的平均速度为 2 ÷ =75 (千米)

(2)归一问题:

已知相互关联的两个量,其中一种量改变,另一种量也随之而改变,其变化的规律是相同的,这种问题称之为归一问题。

根据求“单一量”的步骤的多少,归一问题可以分为一次归一问题,两次归一问题。 根据求出单一量之后,解题采用乘法还是除法,归一问题可以分为正归一问题,反归一问题。

一次归一问题,用一步运算就能求出“单一量”的归一问题。又称“单归一。” 两次归一问题,用两步运算就能求出“单一量”的归一问题。又称“双归一。” 正归一问题:用等分除法求出“单一量”之后,再用乘法计算结果的归一问题。 反归一问题:用等分除法求出“单一量”之后,再用除法计算结果的归一问题。

解题关键:从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量(单一量),然后以它为标准,根据题目的要求算出结果。

数量关系式:

单一量×份数=总数量(正归一)

总数量÷单一量=份数(反归一)

例一个织布工人,在七月份织布 4774 米,照这样计算,织布 6930 米,需要多少天?

分析:必须先求出平均每天织布多少米,就是单一量。 693 0 ÷( 477 4 ÷ 31 ) =45 (天)

(3)归总问题:

是已知单位数量和计量单位数量的个数,以及不同的单位数量(或单位数量的个数),通过求总数量求得单位数量的个数(或单位数量)。

特点:两种相关联的量,其中一种量变化,另一种量也跟着变化,不过变化的规律相反,和反比例算法彼此相通。

数量关系式:单位数量×单位个数÷另一个单位数量 = 另一个单位数量单位数量×单

位个数÷另一个单位数量= 另一个单位数量。

例修一条水渠,原计划每天修 800 米, 6 天修完。实际 4 天修完,每天修了多少米? 分析:因为要求出每天修的长度,就必须先求出水渠的长度。所以也把这类应用题叫做“归总问题”。不同之处是“归一”先求出单一量,再求总量,归总问题是先求出总量,再求单一量。 80 0 × 6 ÷ 4=1200 (米)

(4)和差问题:

已知大小两个数的和,以及他们的差,求这两个数各是多少的应用题叫做和差问题。 解题关键:是把大小两个数的和转化成两个大数的和(或两个小数的和),然后再求另一个数。

解题规律:

(和+差)÷2 = 大数大数-差=小数

(和-差)÷2=小数和-小数= 大数

例某加工厂甲班和乙班共有工人 94 人,因工作需要临时从乙班调 46 人到甲班工作,这时乙班比甲班人数少 12 人,求原来甲班和乙班各有多少人?

分析:从乙班调 46 人到甲班,对于总数没有变化,现在把乙数转化成 2 个乙班,即 9 4 - 12 ,由此得到现在的乙班是( 9 4 - 12 )÷ 2=41 (人),乙班在调出 46 人之前应该为 41+46=87 (人),甲班为 9 4 - 87=7 (人)

(5)和倍问题:

已知两个数的和及它们之间的倍数关系,求两个数各是多少的应用题,叫做和倍问题。 解题关键:找准标准数(即1倍数)一般说来,题中说是“谁”的几倍,把谁就确定为标准数。求出倍数和之后,再求出标准的数量是多少。根据另一个数(也可能是几个数)与标准数的倍数关系,再去求另一个数(或几个数)的数量。

解题规律:和÷倍数和=标准数标准数×倍数=另一个数

例:汽车运输场有大小货车 115 辆,大货车比小货车的 5 倍多 7 辆,运输场有大货车和小汽车各有多少辆?

分析:大货车比小货车的 5 倍还多 7 辆,这 7 辆也在总数 115 辆内,为了使总数与( 5+1 )倍对应,总车辆数应( 115-7 )辆。

列式为( 115-7 )÷( 5+1 ) =18 (辆), 18 × 5+7=97 (辆)

(6)差倍问题:

已知两个数的差,及两个数的倍数关系,求两个数各是多少的应用题。

解题规律:两个数的差÷(倍数-1 )= 标准数标准数×倍数=另一个数。

例甲乙两根绳子,甲绳长 63 米,乙绳长 29 米,两根绳剪去同样的长度,结果甲所剩的长度是乙绳长的 3 倍,甲乙两绳所剩长度各多少米?各减去多少米?

分析:两根绳子剪去相同的一段,长度差没变,甲绳所剩的长度是乙绳的 3 倍,实比乙绳多( 3-1 )倍,以乙绳的长度为标准数。列式( 63-29 )÷( 3-1 ) =17 (米)?乙绳剩下的长度, 17 × 3=51 (米)?甲绳剩下的长度, 29-17=12 (米)?剪去的长度。

(7)行程问题:

关于走路、行车等问题,一般都是计算路程、时间、速度,叫做行程问题。解答这类问题首先要搞清楚速度、时间、路程、方向、杜速度和、速度差等概念,了解他们之间的关系,再根据这类问题的规律解答。

解题关键及规律:

同时同地相背而行:路程=速度和×时间。

同时相向而行:相遇时间=速度和×时间

同时同向而行(速度慢的在前,快的在后):追及时间=路程速度差。

同时同地同向而行(速度慢的在后,快的在前):路程=速度差×时间。

典型题精解:

1、甲在乙的后面 28 千米,两人同时同向而行,甲每小时行 16 千米,乙每小时行 9 千米,甲几小时追上乙?

分析:甲每小时比乙多行( 16-9 )千米,也就是甲每小时可以追近乙( 16-9 )千米,这是速度差。

已知甲在乙的后面 28 千米(追击路程), 28 千米里包含着几个( 16-9 )千米,也就是追击所需要的时间。列式 2 8 ÷( 16-9 ) =4 (小时) 1.羊跑5步的时间马跑3步,马跑4步的距离羊跑7步,现在羊已跑出30米,马开始追它。问:羊再跑多远,马可以追上它?

解:

根据“马跑4步的距离羊跑7步”,可以设马每步长为7x米,则羊每步长为4x米。 根据“羊跑5步的时间马跑3步”,可知同一时间马跑3*7x米=21x米,则羊跑5*4x=20米。

可以得出马与羊的速度比是21x:20x=21:20

根据“现在羊已跑出30米”,可以知道羊与马相差的路程是30米,他们相差的份数是21-20=1,现在求马的21份是多少路程,就是 30÷(21-20)×21=630米

2.甲乙辆车同时从a b两地相对开出,几小时后再距中点40千米处相遇?已知,甲车行完全程要8小时,乙车行完全程要10小时,求a b 两地相距多少千米?

答案720千米。

由“甲车行完全程要8小时,乙车行完全程要10小时”可知,相遇时甲行了10份,乙行了8份(总路程为18份),两车相差2份。又因为两车在中点40千米处相遇,说明两车的路程差是(40+40)千米。所以算式是(40+40)÷(10-8)×(10+8)=720千米。

3.在一个600米的环形跑道上,兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步,两人每隔12分钟相遇一次,若两个人速度不变,还是在原来出发点同时出发,哥哥改为按逆时针方向跑,则两人每隔4分钟相遇一次,两人跑一圈各要多少分钟?

答案为两人跑一圈各要6分钟和12分钟。

解:

600÷12=50,表示哥哥、弟弟的速度差

600÷4=150,表示哥哥、弟弟的速度和

(50+150)÷2=100,表示较快的速度,方法是求和差问题中的较大数

(150-50)/2=50,表示较慢的速度,方法是求和差问题中的较小数

600÷100=6分钟,表示跑的快者用的时间

600/50=12分钟,表示跑得慢者用的时间

4.慢车车长125米,车速每秒行17米,快车车长140米,车速每秒行22米,慢车在前面行驶,快车从后面追上来,那么,快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车需要多少时间? 答案为53秒

算式是(140+125)÷(22-17)=53秒

可以这样理解:“快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车”就是快车车尾上的点追及慢车车头的点,因此追及的路程应该为两个车长的和。

5.在300米长的环形跑道上,甲乙两个人同时同向并排起跑,甲平均速度是每秒5米,乙平均速度是每秒4.4米,两人起跑后的第一次相遇在起跑线前几米?

答案为100米

300÷(5-4.4)=500秒,表示追及时间

5×500=2500米,表示甲追到乙时所行的路程

2500÷300=8圈??100米,表示甲追及总路程为8圈还多100米,就是在原来起跑线的前方100米处相遇。

6.一个人在铁道边,听见远处传来的火车汽笛声后,在经过57秒火车经过她前面,已知火车鸣笛时离他1360米,(轨道是直的),声音每秒传340米,求火车的速度(得出保留整数) 答案为22米/秒

算式:1360÷(1360÷340+57)≈22米/秒

关键理解:人在听到声音后57秒才车到,说明人听到声音时车已经从发声音的地方行出1360÷340=4秒的路程。也就是1360米一共用了4+57=61秒。

7.猎犬发现在离它10米远的前方有一只奔跑着的野兔,马上紧追上去,猎犬的步子大,它跑5步的路程,兔子要跑9步,但是兔子的动作快,猎犬跑2步的时间,兔子却能跑3步,问猎犬至少跑多少米才能追上兔子。

正确的答案是猎犬至少跑60米才能追上。

解:

由“猎犬跑5步的路程,兔子要跑9步”可知当猎犬每步a米,则兔子每步5/9米。由“猎犬跑2步的时间,兔子却能跑3步”可知同一时间,猎犬跑2a米,兔子可跑5/9a*3=5/3a米。从而可知猎犬与兔子的速度比是2a:5/3a=6:5,也就是说当猎犬跑60米时候,兔子跑50米,本来相差的10米刚好追完

8. AB两地,甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是4:5,如果甲乙二人分别同时从AB两地相对行使,40分钟后两人相遇,相遇后各自继续前行,这样,乙到达A地比甲到达B地要晚多少分钟?

答案:18分钟

解:设全程为1,甲的速度为x乙的速度为y

列式40x+40y=1

x:y=5:4

得x=1/72 y=1/90

走完全程甲需72分钟,乙需90分钟

故得解

9.甲乙两车同时从AB两地相对开出。第一次相遇后两车继续行驶,各自到达对方出发点后立即返回。第二次相遇时离B地的距离是AB全程的1/5。已知甲车在第一次相遇时行了120千米。AB两地相距多少千米?

答案是300千米。

解:通过画线段图可知,两个人第一次相遇时一共行了1个AB的路程,从开始到第二次相遇,一共又行了3个AB的路程,可以推算出甲、乙各自共所行的路程分别是第一次相遇前

各自所走的路程的3倍。即甲共走的路程是120*3=360千米,从线段图可以看出,甲一共走了全程的(1+1/5)。

因此360÷(1+1/5)=300千米

从A地到B地,甲、乙两人骑自行车分别需要4小时、6小时,现在甲乙分别AB两地同时出发相向而行,相遇时距AB两地中点2千米。如果二人分别至B地,A地后都立即折回。第二次相遇点第一次相遇点之间有千米

10.一船以同样速度往返于两地之间,它顺流需要6小时;逆流8小时。如果水流速度是每小时2千米,求两地间的距离?

解:(1/6-1/8)÷2=1/48表示水速的分率

2÷1/48=96千米表示总路程

11.快车和慢车同时从甲乙两地相对开出,快车每小时行33千米,相遇是已行了全程的七分之四,已知慢车行完全程需要8小时,求甲乙两地的路程。

解:

相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是4:3

时间比为3:4

所以快车行全程的时间为8/4*3=6小时

6*33=198千米

12.小华从甲地到乙地,3分之1骑车,3分之2乘车;从乙地返回甲地,5分之3骑车,5分之2乘车,结果慢了半小时.已知,骑车每小时12千米,乘车每小时30千米,问:甲乙两地相距多少千米?

解:

把路程看成1,得到时间系数

去时时间系数:1/3÷12+2/3÷30

返回时间系数:3/5÷12+2/5÷30

两者之差:(3/5÷12+2/5÷30)-(1/3÷12+2/3÷30)=1/75相当于1/2小时 去时时间:1/2×(1/3÷12)÷1/75和1/2×(2/3÷30)1/75

路程:12×〔1/2×(1/3÷12)÷1/75〕+30×〔1/2×(2/3÷30)1/75〕=37.5(千米)

(8)流水问题:

一般是研究船在“流水”中航行的问题。它是行程问题中比较特殊的一种类型,它也是一种和差问题。它的特点主要是考虑水速在逆行和顺行中的不同作用。

船速:船在静水中航行的速度。

水速:水流动的速度。

顺水速度:船顺流航行的速度。

逆水速度:船逆流航行的速度。

顺速=船速+水速

逆速=船速-水速

解题关键:因为顺流速度是船速与水速的和,逆流速度是船速与水速的差,所以流水问题当作和差问题解答。解题时要以水流为线索。

解题规律:船行速度=(顺水速度+ 逆流速度)÷2

流水速度=(顺流速度逆流速度)÷2

路程=顺流速度×顺流航行所需时间

路程=逆流速度×逆流航行所需时间

例一只轮船从甲地开往乙地顺水而行,每小时行 28 千米,到乙地后,又逆水航行,回到甲地。逆水比顺水多行 2 小时,已知水速每小时 4 千米。求甲乙两地相距多少千米?

分析:此题必须先知道顺水的速度和顺水所需要的时间,或者逆水速度和逆水的时间。

已知顺水速度和水流速度,因此不难算出逆水的速度,但顺水所用的时间,逆水所用的时间不知道,只知道顺水比逆水少用 2 小时,抓住这一点,就可以就能算出顺水从甲地到乙地的所用的时间,这样就能算出甲乙两地的路程。列式为 284 × 2=20 (千米) 2 0 × 2 =40 (千米) 40 ÷( 4 × 2 ) =5 (小时) 28 × 5=140 (千米)。

(9)还原问题:

已知某未知数,经过一定的四则运算后所得的结果,求这个未知数的应用题,我们叫做还原问题。

解题关键:要弄清每一步变化与未知数的关系。

解题规律:从最后结果出发,采用与原题中相反的运算(逆运算)方法,逐步推导出原数。

根据原题的运算顺序列出数量关系,然后采用逆运算的方法计算推导出原数。

解答还原问题时注意观察运算的顺序。若需要先算加减法,后算乘除法时别忘记写括号。

例某小学三年级四个班共有学生 168 人,如果四班调 3 人到三班,三班调 6 人到二班,二班调 6 人到一班,一班调 2 人到四班,则四个班的人数相等,四个班原有学生多少人?

分析:当四个班人数相等时,应为 168 ÷ 4 ,以四班为例,它调给三班 3 人,又从一班调入 2 人,所以四班原有的人数减去 3 再加上 2 等于平均数。四班原有人数列式为 168 ÷ 4-2+3=43 (人)

一班原有人数列式为 168 ÷ 4-6+2=38 (人);二班原有人数列式为 168 ÷ 4-6+6=42 (人)三班原有人数列式为 168 ÷ 4-3+6=45 (人)。

(10)植树问题:

这类应用题是以“植树”为内容。凡是研究总路程、株距、段数、棵树四种数量关系的应用题,叫做植树问题。

解题关键:解答植树问题首先要判断地形,分清是否封闭图形,从而确定是沿线段植树还是沿周长植树,然后按基本公式进行计算。

解题规律:沿线段植树

棵树=段数+1 棵树=总路程÷株距+1

株距=总路程÷(棵树-1)总路程=株距×(棵树-1)

沿周长植树

棵树=总路程÷株距

株距=总路程÷棵树

总路程=株距×棵树

例沿公路一旁埋电线杆 301 根,每相邻的两根的间距是 50 米。后来全部改装,只埋了201 根。求改装后每相邻两根的间距。

分析:本题是沿线段埋电线杆,要把电线杆的根数减掉一。列式为 50 ×( 301-1 )÷( 201-1 ) =75 (米)

1.学校门前有一条直直的小路长32公尺,在小路的一旁每隔4公尺种一棵杨树,头尾一共种多少棵树?

2.教室门前有一个长方形花坛,长4公尺,宽15公尺。在它的四周每隔05公尺种一棵指甲花,四个角各种了一棵,一共种多少棵花?

3.一个正方形花坛四周摆满了鲜花,四个角上也各摆了一盆花。从每一边看去,它都有15盆,花坛周围一共摆了多少盆花?

4.在一条600公尺长的水渠两旁每隔5公尺种一棵水杉,共要种多少棵?

5.一条街道的一旁从一头到另一头共安装了30盏路灯,每相邻两盏路灯之间相距20公尺,这条小街道长多少公尺?

6.学校后边的小河旁种着22棵杨树,每两棵杨树之间相隔6公尺。同学们在这些杨树间每隔1公尺种一棵月季花,一共种了多少棵?

7.把五张15公尺长的彩色纸条贴成一个长长的纸条,每个接头的地方贴15公分,则贴成的纸条全长多少公尺?

8.立达小学五年级64名同学去郊游。他们排成两条纵队,前后两名同学相距1公尺。整个队伍长度为多少公尺?

9.小玲家的“三五”牌时钟在报时时,每隔5秒敲响一下。八点整时,时钟报时一共用了多少秒?

10.在一块池塘周围的大坝上每隔8公尺种柳树一棵,共种了1075棵柳树。现在要在每两棵柳树之间每隔2公尺种一株柏树。种的柏树一共有多少棵?

(11 )盈亏问题:

是在等分除法的基础上发展起来的。他的特点是把一定数量的物品,平均分配给一定数量的人,在两次分配中,一次有余,一次不足(或两次都有余),或两次都不足),已知所余和不足的数量,求物品适量和参加分配人数的问题,叫做盈亏问题。

解题关键:盈亏问题的解法要点是先求两次分配中分配者没份所得物品数量的差,再求两次分配中各次共分物品的差(也称总差额),用前一个差去除后一个差,就得到分配者的数,进而再求得物品数。

解题规律:总差额÷每人差额=人数

总差额的求法可以分为以下四种情况:

第一次多余,第二次不足,总差额=多余+ 不足

第一次正好,第二次多余或不足,总差额=多余或不足

第一次多余,第二次也多余,总差额=大多余-小多余

第一次不足,第二次也不足,总差额= 大不足-小不足

例参加美术小组的同学,每个人分的相同的支数的色笔,如果小组 10 人,则多 25 支,如果小组有 12 人,色笔多余 5 支。求每人分得几支?共有多少支色铅笔?

分析:每个同学分到的色笔相等。这个活动小组有 12 人,比 10 人多 2 人,而色笔多出了( 25-5 ) =20 支, 2 个人多出 20 支,一个人分得 10 支。列式为( 25-5 )÷( 12-10 ) =10 (支) 10 × 12+5=125 (支)。

(12)年龄问题:

将差为一定值的两个数作为题中的一个条件,这种应用题被称为“年龄问题”。

解题关键:年龄问题与和差、和倍、差倍问题类似,主要特点是随着时间的变化,年岁不断增长,但大小两个不同年龄的差是不会改变的,因此,年龄问题是一种“差不变”的问题,解题时,要善于利用差不变的特点。

例父亲 48 岁,儿子 21 岁。问几年前父亲的年龄是儿子的 4 倍?

分析:父子的年龄差为 48-21=27 (岁)。由于几年前父亲年龄是儿子的 4 倍,可知父子年龄的倍数差是( 4-1 )倍。这样可以算出几年前父子的年龄,从而可以求出几年前父亲的年龄是儿子的 4 倍。列式为: 21( 48-21 )÷( 4-1 ) =12 (年)

(13)鸡兔问题:

基本概念:鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题,就是把假设错的那部分置换出来;

已知“鸡兔”的总头数和总腿数。求“鸡”和“兔”各多少只的一类应用题。通常称为“鸡兔问题”又称鸡兔同笼问题

解题关键:解答鸡兔问题一般采用假设法,假设全是一种动物(如全是“鸡”或全是“兔”,然后根据出现的腿数差,可推算出某一种的头数。

基本思路:

① 假设即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样):

② 假设后,发生了和题目条件不同的差,找出这个差是多少;

③ 每个事物造成的差是固定的,从而找出出现这个差的原因;

④ 再根据这两个差作适当的调整,消去出现的差。

基本公式:

⑤ 把所有鸡假设成兔子:鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数)

⑥ 把所有兔子假设成鸡:兔数=(总脚数一鸡脚数×总头数)÷(兔脚数一鸡脚数)

关键问题:找出总量的差与单位量的差。

解题规律:(总腿数-鸡腿数×总头数)÷一只鸡兔腿数的差=兔子只数

兔子只数=(总腿数-2×总头数)÷2

如果假设全是兔子,可以有下面的式子:

鸡的只数=(4×总头数-总腿数)÷2

兔的头数=总头数-鸡的只数

例鸡兔同笼共 50 个头, 170 条腿。问鸡兔各有多少只?

兔子只数( 170-2 × 50 )÷ 2 =35 (只)

鸡的只数 50-35=15 (只)

鸡兔同笼问题

2. 分数和百分数的应用

1) 分数加减法应用题:

分数加减法的应用题与整数加减法的应用题的结构、数量关系和解题方法基本相同,所不同的只是在已知数或未知数中含有分数。

2) 分数乘法应用题:

是指已知一个数,求它的几分之几是多少的应用题。

特征:已知单位“1”的量和分率,求与分率所对应的实际数量。

解题关键:准确判断单位“1”的量。找准要求问题所对应的分率,然后根据一个数乘分数的意义正确列式。

3) 分数除法应用题:

求一个数是另一个数的几分之几(或百分之几)是多少。

特征:已知一个数和另一个数,求一个数是另一个数的几分之几或百分之几。“一个数”是比较量,“另一个数”是标准量。求分率或百分率,也就是求他们的倍数关系。

解题关键:从问题入手,搞清把谁看作标准的数也就是把谁看作了“单位一”,谁和单位一的量作比较,谁就作被除数。

甲是乙的几分之几(百分之几):甲是比较量,乙是标准量,用甲除以乙。

甲比乙多(或少)几分之几(百分之几):甲减乙比乙多(或少几分之几)或(百分之几)。关系式(甲数减乙数)/乙数或(甲数减乙数)/甲数。

已知一个数的几分之几(或百分之几 ) ,求这个数。

特征:已知一个实际数量和它相对应的分率,求单位“1”的量。

解题关键:准确判断单位“1”的量把单位“1”的量看成x根据分数乘法的意义列方程,或者根据分数除法的意义列算式,但必须找准和分率相对应的已知实际数量。

4) 出勤率

发芽率=发芽种子数/试验种子数×100%

小麦的出粉率= 面粉的重量/小麦的重量×100%

产品的合格率=合格的产品数/产品总数×100%

职工的出勤率=实际出勤人数/应出勤人数×100%

5) 工程问题:

是分数应用题的特例,它与整数的工作问题有着密切的联系。它是探讨工作总量、工作效率和工作时间三个数量之间相互关系的一种应用题。解题关键:把工作总量看作单位“1”,工作效率就是工作时间的倒数,然后根据题目的具体情况,灵活运用公式。

数量关系式:

工作总量=工作效率×工作时间

工作效率=工作总量÷工作时间

工作时间=工作总量÷工作效率

工作总量÷工作效率和=合作时间

真题:

1 (三帆中学考题)

原计划18个人植树,按计划工作了2小时后,有3个人被抽走了,于是剩下的人每小时比原计划多种1棵树,还是按期完成了任务.原计划每人每小时植______棵树.

【解】: 3人被抽走后,剩下15人都多植树1棵,这样每小时都总共多植树15棵树,因为还是按期完成任务,所以这15棵树肯定是3人原来要种的,所以原来每人要植树15÷3=5棵。

2 (首师附中考题)

一项工程,甲做10天乙20天完成,甲15天乙12也能完成。现乙先做4天,问甲还

要多少天完成?

【解】:甲10天+乙20天=1;甲15天+乙12天=1,所以工作量:甲10天+乙20天=甲15天+乙12天,等式两端消去相等的工作量得:乙8天=甲5天,即乙工作8天的工作量让甲去做只要5天就能完成,那么整个工程全让甲做要15+12× =22.5天。现在乙了4天就相当于甲做了4× =2.5天,所以甲还要做20天。

3 (人大附中考题)

一部书稿,甲单独打字要14小时完成,乙单独打字要20小时完成。如果先由甲打1小时,然后由乙接替甲打1小时,再由甲接替乙打1小时,??两人如此交替工作。那么,打完这部书稿时,甲、乙二人共用了多少小时?

【解】:甲的工作效率= ,乙的工作效率= ,合作工效= ,甲乙交替工作相当于甲乙一起合作1小时,这样1÷ = =8?,所以合作了8小时,这样还剩下就是甲做的,所以甲还要做÷ =3 ,所以两人总共作了8+8+ 小时。

4 (西城四中考题)

如果用甲、乙、丙三那根水管同时在一个空水池里灌水,1小时可以灌满;如果用甲、乙两管,1小时20分钟可以灌满;如果用乙、丙两根水管,1小时15分钟可以灌满,那么,用乙管单独灌水的话,灌满这一池的水需要 ______小时。

【解】:方法一:(编者推荐用法)甲、乙、丙60分钟可以灌满,甲、乙两管80分钟可以灌满,乙、丙两根水管75分钟可以灌满;这样我们先找出60、80、75的最小公倍数,即1200,所以我们假设水池总共有1200份,这样甲、乙、丙每分钟灌1200÷60=20份,甲、乙每分钟灌1200÷80=15份,乙、丙每分钟灌1200÷75=16份,所以乙每分钟灌15+16-20=11份,这样乙单独灌水要1200÷11= 分钟。

方法二:设工作效率求解,省略。

5 (北大附中考题)

【解】:假设每个工人每小时做一份,这样总工程量=15×4×18=1080份,增加3人每

天增加

1小时,那么需要的时间=1080÷(15+3)÷(4+1)=12天,所以提前6天完成。

6) 纳税

纳税就是把根据国家各种税法的有关规定,按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。

缴纳的税款叫应纳税款。

应纳税额与各种收入的(销售额、营业额、应纳税所得额??)的比率叫做税率。 * 利息

存入银行的钱叫做本金。

取款时银行多支付的钱叫做利息。

利息与本金的比值叫做利率。

利息=本金×利率×时间

第二章度量衡

一、长度

1. 什么是长度

长度是一维空间的度量。

2. 长度常用单位

* 公里(km) * 米(m) * 分米(dm) * 厘米(cm) * 毫米(mm) * 微米(um)

3. 单位之间的换算

* 1毫米=1000微米 * 1厘米=10 毫米 * 1分米=10 厘米 * 1米=1000 毫米 * 1千米=1000 米

二面积

1. 什么是面积

面积,就是物体所占平面的大小。对立体物体的表面的多少的测量一般称表面积。

2. 常用的面积单位

* 平方毫米 * 平方厘米 * 平方分米 * 平方米 * 平方千米

3. 面积单位的换算

* 1平方厘米=100 平方毫米 * 1平方分米=100平方厘米 * 1平方米=100 平方分米 * 1公倾=10000 平方米 * 1平方公里=100 公顷

三体积和容积

1. 什么是体积、容积

体积,就是物体所占空间的大小。

容积,箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积,通常叫做它们的容积。

2. 常用单位

1 体积单位

* 立方米 * 立方分米 * 立方厘米

2 容积单位 * 升 * 毫升

3. 单位换算

1 体积单位

* 1立方米=1000立方分米

* 1立方分米=1000立方厘米 2 容积单位

* 1升=1000毫升

* 1升=1立方米

* 1毫升=1立方厘米 四质量

1. 什么是质量

质量,就是表示表示物体有多重。

2. 常用单位

* 吨 t * 千克 kg * 克 g

3. 常用换算

* 一吨=1000千克

* 1千克=1000克

五时间

1. 什么是时间

是指有起点和终点的一段时间

2. 常用单位

世纪、年、月、日、时、分、秒

3. 单位换算

* 1世纪=100年

* 1年=365天平年

* 一年=366天闰年

* 一、三、五、七、八、十、十二是大月大月有31 天

* 四、六、九、十一是小月小月小月有30天

* 平年2月有28天闰年2月有29天

* 1天= 24小时

* 1小时=60分

* 一分=60秒

第三章代数初步知识

一、 用字母表示数

1. 用字母表示数的意义和作用

* 用字母表示数,可以把数量关系简明的表达出来,同时也可以表示运算的结果。

2. 用字母表示常见的数量关系、运算定律和性质、几何形体的计算公式

1) 常见的数量关系

路程用s表示,速度v用表示,时间用t表示,三者之间的关系:

s=vt

v=s/t

t=s/v

总价用a表示,单价用b表示,数量用c表示,三者之间的关系:

a=bc

b=a/c

c=a/b

2) 运算定律和性质

加法交换律:a+b=b+a

加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)

乘法交换律:ab=ba

乘法结合律:(ab)c=a(bc)

乘法分配律:(a+b)c=ac+bc

减法的性质:a-(b+c) =a-b-c

3) 用字母表示几何形体的公式

长方形的长用a表示,宽用b表示,周长用c表示,面积用s表示。

c=2(a+b)

s=ab

正方形的边长a用表示,周长用c表示,面积用s表示。

c=4a

s=a2

平行四边形的底a用表示,高用h表示,面积用s表示。

s=ah

三角形的底用a表示,高用h表示,面积用s表示。

s=ah/2

梯形的上底用a表示,下底b用表示,高用h表示,中位线用m表示,面积用s表示。 s=(a+b)h/2

s=mh

圆的半径用r表示,直径用d表示,周长用c表示,面积用s表示。

c=∏d=2∏r

s=∏ r2

扇形的半径用r表示,n表示圆心角的度数,面积用s表示。

s=∏ nr2/360

长方体的长用a表示,宽用b表示,高用h表示,表面积用s表示,体积用v表示。 v=sh

s=2(ab+ah+bh)

v=abh

正方体的棱长用a表示,底面周长c用表示,底面积用s表示,体积用v表示. s=6a2

v=a3

圆柱的高用h表示,底面周长用c表示,底面积用s表示,体积用v表示.

s侧=ch

s表=s侧+2s底

v=sh

圆锥的高用h表示,底面积用s表示,体积用v表示.

v=sh/3

3. 用字母表示数的写法

数字和字母、字母和字母相乘时,乘号可以记作“.”,或者省略不写,数字要写在字母的前面。

当“1”与任何字母相乘时,“1”省略不写。

在一个问题中,同一个字母表示同一个量,不同的量用不同的字母表示。

用含有字母的式子表示问题的答案时,除数一般写成分母,如果式子中有加号或者减号,要先用括号把含字母的式子括起来,再在括号后面写上单位的名称。

4. 将数值代入式子求值

* 把具体的数代入式子求值时,要注意书写格式:先写出字母等于几,然后写出原式,再把数代入式子求值。字母表示的是数,后面不写单位名称。

* 同一个式子,式子中所含字母取不同的数值,那么所求出的式子的值也不相同。

二、 简易方程

(一)方程和方程的解

1方程:含有未知数的等式叫做方程。

注意方程是等式,又含有未知数,两者缺一不可。

方程和算术式不同。算术式是一个式子,它由运算符号和已知数组成,它表示未知数。方程是一个等式,在方程里的未知数可以参加运算,并且只有当未知数为特定的数值时,方程才成立。

2 方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。

三、 解方程

解方程,求方程的解的过程叫做解方程。

四、 列方程解应用题

1 列方程解应用题的意义

* 用方程式去解答应用题求得应用题的未知量的方法。

2 列方程解答应用题的步骤

* 弄清题意,确定未知数并用x表示;

* 找出题中的数量之间的相等关系;

* 列方程,解方程;

* 检查或验算,写出答案。

3列方程解应用题的方法

* 综合法:先把应用题中已知数(量)和所设未知数(量)列成有关的代数式,再找出它们之间的等量关系,进而列出方程。这是从部分到整体的一种思维过程,其思考方向是从已知到未知。

* 分析法:先找出等量关系,再根据具体建立等量关系的需要,把应用题中已知数(量)和所设的未知数(量)列成有关的代数式进而列出方程。这是从整体到部分的一

种思维过程,其思考方向是从未知到已知。

4列方程解应用题的范围

小学范围内常用方程解的应用题:

a一般应用题;

b和倍、差倍问题;

c几何形体的周长、面积、体积计算;

d 分数、百分数应用题;

e 比和比例应用题。

五、 比和比例

1. 比的意义和性质

(1)比的意义

两个数相除又叫做两个数的比。

“:”是比号,读作“比”。比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商,叫做比值。

同除法比较,比的前项相当于被除数,后项相当于除数,比值相当于商。 比值通常用分数表示,也可以用小数表示,有时也可能是整数。

比的后项不能是零。

根据分数与除法的关系,可知比的前项相当于分子,后项相当于分母,比值相当于分数值。

(2)比的性质

比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数(0除外),比值不变,这叫做比的基本性质。

(3)求比值和化简比

求比值的方法:用比的前项除以后项,它的结果是一个数值可以是整数,也可以是小数或分数。

根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比,即前、后项是互质的数。

(4)比例尺

图上距离:实际距离=比例尺

要求会求比例尺;已知图上距离和比例尺求实际距离;已知实际距离和比例尺求图上距离。

线段比例尺:在图上附有一条注有数目的线段,用来表示和地面上相对应的实际距离。

(5)按比例分配

在农业生产和日常生活中,常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。

方法:首先求出各部分占总量的几分之几,然后求出总数的几分之几是多少。

2. 比例的意义和性质

(1)比例的意义

表示两个比相等的式子叫做比例。

组成比例的四个数,叫做比例的项。

两端的两项叫做外项,中间的两项叫做内项。

(2)比例的性质

在比例里,两个外项的积等于两个两个内向的积。这叫做比例的基本性质。

(3)解比例

根据比例的基本性质,如果已知比例中的任何三项,就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项,叫做解比例。

3. 正比例和反比例

(1)成正比例的量

两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,他们的关系叫做正比例关系。

用字母表示y/x=k(一定)

(2)成反比例的量

两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,他们的关系叫做反比例关系。

用字母表示x×y=k(一定)

第四章几何的初步知识

一、 线和角

1. 线

1) 直线

直线没有端点;长度无限;过一点可以画无数条,过两点只能画一条直线。

2) * 射线

射线只有一个端点;长度无限。

3) * 线段

线段有两个端点,它是直线的一部分;长度有限;两点的连线中,线段为最短。

4) * 平行线

在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。

两条平行线之间的垂线长度都相等。

5) * 垂线

两条直线相交成直角时,这两条直线叫做互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,相交的点叫做垂足。

从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这点到直线的距离。

2. 角

(1)从一点引出两条射线,所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点,这两条射线叫做角的边。

(2)角的分类

锐角:小于90°的角叫做锐角。

直角:等于90°的角叫做直角。

钝角:大于90°而小于180°的角叫做钝角。

平角:角的两边成一条直线,这时所组成的角叫做平角。平角180°。 周角:角的一边旋转一周,与另一边重合。周角是360°。

二、 二平面图形

1. 长方形

(1)特征

对边相等,4个角都是直角的四边形。有两条对称轴。

(2)计算公式

c=2(a+b)

s=ab

2. 正方形

(1)特征:

四条边都相等,四个角都是直角的四边形。有4条对称轴。

(2)计算公式

c=4a

s=a2

3. 三角形

(1)特征

由三条线段围成的图形。内角和是180度。三角形具有稳定性。三角形有三条高。

(2)计算公式

s=ah/2

(3)分类

按角分

锐角三角形:三个角都是锐角。

直角三角形:有一个角是直角。等腰三角形的两个锐角各为45度,它有一条对称轴。

钝角三角形:有一个角是钝角。

按边分

不等边三角形:三条边长度不相等。

等腰三角形:有两条边长度相等;两个底角相等;有一条对称轴。

等边三角形:三条边长度都相等;三个内角都是60度;有三条对称轴。

4. 平行四边形

(1)特征

两组对边分别平行的四边形。

相对的边平行且相等。对角相等,相邻的两个角的度数之和为180度。平行四边形容易变形。

(2)计算公式

s=ah

5. 梯形

(1)特征

只有一组对边平行的四边形。

中位线等于上下底和的一半。

等腰梯形有一条对称轴。

(2)公式

s=(a+b)h/2=mh

6. 圆

(1)圆的认识

平面上的一种曲线图形。

圆中心的一点叫做圆心。一般用字母o表示。

半径:连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。一般用r表示。 在同一个圆里,有无数条半径,每条半径的长度都相等。

通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用d表示。 同一个圆里有无数条直径,所有的直径都相等。

同一个圆里,直径等于两个半径的长度,即d=2r。

圆的大小由半径决定。圆有无数条对称轴。

(2)圆的画法

把圆规的两脚分开,定好两脚间的距离(即半径);

把有针尖的一只脚固定在一点(即圆心)上;

把装有铅笔尖的一只脚旋转一周,就画出一个圆。

(3)圆的周长

围成圆的曲线的长叫做圆的周长。

把圆的周长和直径的比值叫做圆周率。用字母∏表示。

(4)圆的面积

圆所占平面的大小叫做圆的面积。

(5)计算公式

d=2r

r=d/2

c=∏d

c=2∏r

s=∏r2

7. 扇形

(1)扇形的认识

一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 圆上AB两点之间的部分叫做弧,读作“弧AB”。

顶点在圆心的角叫做圆心角。

在同一个圆中,扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关。

扇形有一条对称轴。

(2) 计算公式

s=n∏r2/360

8. 环形

(1) 特征

由两个半径不相等的同心圆相减而成,有无数条对称轴。

(2) 计算公式

s=∏(R2-r2)

9. 轴对称图形

(1) 特征

如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。

正方形有4条对称轴,长方形有2条对称轴。

等腰三角形有2条对称轴,等边三角形有3条对称轴。

等腰梯形有一条对称轴,圆有无数条对称轴。

菱形有4条对称轴,扇形有一条对称轴。

三、 立体图形

1. 长方体

1 特征

六个面都是长方形(有时有两个相对的面是正方形)。

相对的面面积相等,12条棱相对的4条棱长度相等。

有8个顶点。

相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长、宽、高。

两个面相交的边叫做棱。

三条棱相交的点叫做顶点。

把长方体放在桌面上,最多只能看到三个面。

长方体或者正方体6个面的总面积,叫做它的表面积。

2 计算公式

s=2(ab+ah+bh)

V=sh

V=abh

2. 正方体

1 特征

六个面都是正方形

六个面的面积相等

12条棱,棱长都相等

有8个顶点

正方体可以看作特殊的长方体

2 计算公式

S表=6a2

v=a3

3. 圆柱

1圆柱的认识

圆柱的上下两个面叫做底面。

圆柱有一个曲面叫做侧面。

圆柱两个底面之间的距离叫做高。

进一法:实际中,使用的材料都要比计算的结果多一些,因此,要保留数的时候,省略的位上的是4或者比4小,都要向前一位进1。这种取近似值的方法叫做进一法。

2计算公式

s侧=ch

s表=s侧+s底×2

v=sh/3

4. 圆锥

1 圆锥的认识

圆锥的底面是个圆,圆锥的侧面是个曲面。

从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。

测量圆锥的高:先把圆锥的底面放平,用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面,竖直地量出平板和底面之间的距离。

把圆锥的侧面展开得到一个扇形。 2计算公式

v= sh/3

5. 球

1 认识

球的表面是一个曲面,这个曲面叫做球面。

球和圆类似,也有一个球心,用O表示。

从球心到球面上任意一点的线段叫做球的半径,用r表示,每条半径都相等。 通过球心并且两端都在球面上的线段,叫做球的直径,用d表示,每条直径都相等,直径的长度等于半径的2倍,即d=2r。

2 计算公式

d=2r

第五章简单的统计

四、 统计表

1. 意义

* 把统计数据填写在一定格式的表格内,用来反映情况、说明问题,这样的表格就叫做统计表。

2. 组成部分

* 一般分为表格外和表格内两部分。表格外部分包括标的名称,单位说明和制表日期;表格内部包括表头、横标目、纵标目和数据四个方面。

3. 种类

* 单式统计表:只含有一个项目的统计表。

* 复式统计表:含有两个或两个以上统计项目的统计表。

* 百分数统计表:不仅表明各统计项目的具体数量,而且表明比较量相当于标准量的百分比的统计表。

4. 制作步骤

1搜集数据

2整理数据:

要根据制表的目的和统计的内容,对数据进行分类。

3设计草表:

要根据统计的目的和内容设计分栏格内容、分栏格画法,规定横栏、竖栏各需几格,每格长度。

4 正式制表:

把核对过的数据填入表中,并根据制表要求,用简单、明确的语言写上统计表的

名称和制表日期。

五、 统计图

1. 意义

* 用点线面积等来表示相关的量之间的数量关系的图形叫做统计图。

2. 分类

1 条形统计图

用一个单位长度表示一定的数量,根据数量的多少画成长短不同的直条,然后把这些直线按照一定的顺序排列起来。

优点:很容易看出各种数量的多少。

注意:画条形统计图时,直条的宽窄必须相同。

取一个单位长度表示数量的多少要根据具体情况而确定;

复式条形统计图中表示不同项目的直条,要用不同的线条或颜色区别开,并在制图日期下面注明图例。

制作条形统计图的一般步骤:

(1)根据图纸的大小,画出两条互相垂直的射线。

(2)在水平射线上,适当分配条形的位置,确定直线的宽度和间隔。

(3)在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况,确定单位长度表示多少。

(4)按照数据的大小画出长短不同的直条,并注明数量。

2 折线统计图

用一个单位长度表示一定的数量,根据数量的多少描出各点,然后把各点用线段顺次连接起来。

优点:不但可以表示数量的多少,而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况。 注意:折线统计图的横轴表示不同的年份、月份等时间时,不同时间之间的距离要根据年份或月份的间隔来确定。

制作折线统计图的一般步骤:

(1)根据图纸的大小,画出两条互相垂直的射线。

(2)在水平射线上,适当分配折线的位置,确定直线的宽度和间隔。

(3)在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况,确定单位长度表示多少。

(4)按照数据的大小描出各点,再用线段顺次连接起来,并注明数量。

3扇形统计图

用整个圆的面积表示总数,用扇形面积表示各部分所占总数的百分数。

优点:很清楚地表示出各部分同总数之间的关系。

制扇形统计图的一般步骤:

(1)先算出各部分数量占总量的百分之几。

(2)再算出表示各部分数量的扇形的圆心角度数。

(3)取适当的半径画一个圆,并按照上面算出的圆心角的度数,在圆里画出各个扇形。 (4)在每个扇形中标明所表示的各部分数量名称和所占的百分数,并用不同颜色或条纹把各个扇形区别开。

小升初奥数常考题型资料汇编 1、(归一问题)工程队计划用60人5天修好一条长4800米的公路,实际上增加了20人,每人每天比计划多修了4米,实际修完这条路少用了几天?

2、(相遇问题)甲、乙两辆汽车同时从东西两地相向开出,甲车每小时行56千米,乙车每小时行48千米。两车距中点40千米处相遇。东西两地相距多少千米?

3、(追及问题)大客车和小轿车同地、同方向开出,大客车每小时行60千米,小轿车每小时行84千米,大客车出发2小时后小轿车才出发,几小时后小轿车追上大客车?

4、(过桥问题)列车通过一座长2700米的大桥,从车头上桥到车尾离桥共用了3分钟。已知列车的速度是每分钟1000米,列车车身长多少米?

5、(错车问题)一列客车车长280米,一列货车车长200米,在平行的轨道上相向而行,从两个车头相遇到车尾相离经过20秒。如果两车同向而行,货车在前,客车在后,从客车头遇到货车尾再到客车尾离开货车头经过120秒。客车的速度和货车的速度分别是多少?

6、(行船问题)客轮和货轮从甲、乙两港同时相向开出,6小时后客轮与货轮相遇,但离两港中点还有6千米。已知客轮在静水中的速度是每小时30千米,货轮在静水中的速度是每小时24千米。求水流速度是多少?

7、(和倍问题)小李有邮票30枚,小刘有邮票15枚,小刘把邮票给小李多少枚后,小李的邮票枚数是小刘的8倍?

8、(差倍问题)同学们为希望工程捐款,六年级捐款数是二年级的3倍,如果从六年级捐款钱数中取出160元放入二年级,那么六年级的捐款钱数比二年级多40元,两个年级分别捐款多少元?

9、(和差问题)一只两层书架共放书72本,若从上层中拿出9本给下层,上层还比下层多4本,上下层各放书多少本?

10、(周期问题)2006年7月1日是星期六,求10月1日是星期几?

11、(鸡兔同笼问题)小丽买回0、8元一本和0、4元一本的练习本共50本,付出人民币32元。0、8元一本的练习本有多少本?

12、(年龄问题)5年前父亲的年龄是儿子的7倍。15年后父亲的年龄是儿子的二倍,父亲和儿子今年各是多少岁?

13、(盈亏问题)王老师发笔记本给学生们,每人6本则剩下41本,每人8本则差29本。求有多少个学生?有多少个笔记本?

14、(还原问题)便民水果店卖芒果,第一次卖掉总数的一半多2个,第二次卖掉剩下的一半多1个,第三次卖掉第二次卖后剩下的一半少1个,这时只剩下11个芒果。求水果店里原来一共有多少个芒果?

15、置换问题)学校买回6张桌子和6把椅子共用去192元。已知3张桌子的价钱和5把椅子的价钱相等,每张桌子和每把椅子各是多少元?

16、(最佳安排)烤面包的架子上一次最多只能烤两个面包,烤一个面包每面需要2分钟,那么烤三个面包最少需要多少分钟?

17、(油和桶问题)一桶油连桶共重18千克,用去油的一半后,连桶还重9、75千克,原有油多少千克?桶重多少千克?

⒙(和倍)青青农场一共养鸡、鸭、鹅共12100只,鸭的只数是鸡的2倍,鹅的只数是鸭的4倍,问鸡、鸭、鹅各有多少只?

19、(鸡兔同笼)实验小学举行数学竞赛,每做对一题得9分,做错一题倒扣3分,共有12道题,小旺得了84分,小旺做错了几道题?

20、(相遇问题)甲、乙两人同时从相距2000米的两地相向而行,甲每分钟行55米,乙每分钟行45米,如果一只狗与甲同时同向而行,每分钟行120米,遇到乙后,立即回头向甲跑去,遇到甲再向乙跑去。这样不断来回,直到甲和乙相遇为止,狗共行了多少米?

2012年小升初数学重点应用题型详解 摘要:小升初数学成绩是各重点中学关注的焦点,数学的应用题测试是小升初数学综合能力的重要内容,以下内容是重点应用题型的详细解析,供大家参考??

1、一个整数除以2余1,用所得的商除以5余4,再用所得的商除以6余1.用这个整数除以60,余数是多少?

解:这是一个关于余数的题目。根据题目可以知道。

这个数▲=2■+1;■=5△+4;△=6●+1。

所以■=5×(6●+1)+4=30●+9

所以▲=2×(30●+9)+1=60●+19

所以原数除以60的余数是19。

因为2*5*6=60

所以用这个整数除以60,余数是(1*5+4)*2+1=19

2、数学练习共举行了20次,共出试题374道,每次出的题数是16,21,24问出16,21,24题的分别有多少次?

如果每次都出16题,那么就出了16×20=320道相差374-320=54道,

每出1次21道的就多21-16=5道,每出1次24道的就多24-16=8道,所以54是5的倍数与8的倍数的和。

由于54是偶数,8的倍数是偶数,所以5的倍数也是偶数,所以5的倍数的个位数字是0。

所以8的倍数的个位数字是4,在小于54的所有整数中,只有24÷8=3才符合,

所以,出24道题的有3次。出21道题的有(54-24)÷5=6次。出16道题的是20-6-3=11道。

因为16和24都是8的倍数,所以出21题的次数应该是6次或6+8次。

如果出21题的次数是6次,则出16题的次数和出24题的次数分别为11次和3次。 如果出21题的次数是14次,则剩余的374-21*14=80即使出16题也只有5次所以是不可能的。

所以正确答案是出16,21,24题的分别有11、6、3次。

3、少先队员在校园里栽的苹果树苗是梨树苗的2倍.如果每人栽3棵梨树苗,则余2棵;如果每人栽7棵苹果树苗,则少6棵.问共有多少名少先队员?苹果和梨树苗共有多少棵? 解:如果每人载3×2=6棵苹果树苗,则余2×2=4棵

所以少先队员人数是(4+6)÷(7-6)=10人

所以梨树有3×10+2=32棵共有32×(2+1)=96棵

解:苹果树苗是梨树苗的2倍.

每人栽3棵梨树苗,余2棵;

如果每人栽6棵苹果树苗,应余4棵;

每人栽7棵苹果树苗,则少6棵.

所以应该共有4+6=10名少先队员,苹果和梨树苗分别有64和32棵。

4、某人开汽车从A城到B城要行200千米,开始时他以56千米/小时的速度行驶,但途中因汽车故障停车修理用去半小时,为了按时到达,他必须把速度增加14千米/小时,跑完以后的路程,他修车的地方距离A 城多少千米?

解:由于休息半小时,就少行了56×1/2=28千米。这28千米,刚好是后面28÷14=2小时多行的路程

所以后来的路程是(56+14)×2=140千米。所以修车地点离A城有200-140=60千米。

5、甲、乙两人分别从A、B两地同时出发,相向而行,乙的速度是甲的2/3,两人相遇后继续前进,甲到达B地,乙到达A地立即返回,已知两人第二次相遇的地点距离第一次相遇的地点是3000米,求A、B两地的距离.

解:第一次相遇时,两人合行了一个全程,其中乙行了全程的2÷(2+3)=2/5

第二次相遇时,两人合行了3个全程,其中乙行了全程的2/5×3=6/5

两次相遇点之间的距离占全程的2-6/5-2/5=2/5

所以全程是3000÷2/5=7500米。

解乙的速度是甲的2/3 即甲速:乙速=3:2 所以第一次相遇时甲走了全程的3/5,乙走了全程的2/5

第二次相遇的地点距第一次相遇甲共走了2倍全程的3/5=6/5,乙走了2倍全程的2/5=4/5 6/5-4/5=2/5,即相差全程的2/5 A、B两地的距离=3000/(2/5)=7500米

综合:3000/[2*3/(2+3)-2*2/(3+2)]=50(千米)

6、一条船往返于甲、乙两港之间,已知船在静水中的速度为9千米/小时,平时逆行与顺行所用时间的比为2:1.一天因下雨,水流速度为原来的2倍,这条船往返共用10小时,问甲、乙两港相距多少千米?

C 顺水速度是逆水速度的2倍,那么逆水速度就是水流速度的2倍,静水速度就是水流速度的3倍,所以水流速度是9÷3=3千米/小时

下雨时,水流速度是3×2=6千米/小时,

逆行速度是9-6=3千米/小时

顺行速度是9+6=15千米/小时

所以往返时,逆行时间和顺行时间比是5:1

所以顺行时间是10÷(5+1)=5/3小时

所以甲乙两港相距5/3×15=25千米

解:无论水速多少,逆水与顺水速度和均为9*2=18

故:

水速 FlowSpeed=18/3/2=3;

船速 ShipSpeed=FlowSpeed+18/3=9;

when rains , Flowspeed=6;

顺水s1=9+6=15;

逆水s2=9-6=3;

顺水单程时间10*(3/(15+3))=5/3;

so, 相距5/3 *15=25km

7、某学校入学考试,确定了录取分数线,报考的学生中,只有1/3被录取,录取者平均分比录取分数线高6分,没有被录取的同学其平均分比录取分数线低15分,所有考生的平均分是80分,问录取分数线是多少分?

解:假设每组三人,其中3×1/3=1人被录取。每组总得分80×3=240分。录取者比没有被录取者多6+15=21分。所以,没有被录取的分数是(240-21)÷3=73分所以,录取分数线是73+15=88分

解:因为没录取的学生数是录取的学生数的:

(1-1/3)/1/3=2倍,二者的平均分之间相差:15+6=21分的距离,所以,在均衡分数时,没录取的学生平均分每提高一分,录取的学生的平均分就要降低2分,这样二者的分差就减少了3分,21/3=7,即要进行7次这样的均衡才能达到平均分80分,在这个均衡过程中,录取的学生的平均分降低了:2*7=14 分,

所以,录取分数线是:80+14-6=88分,

8、一群学生搬砖,如果有12人每人各搬7块,其余的每人搬5块,那么最后余下148块;如果有30人每人各搬8块,其余的每人搬7块,那么最后余下20块.问学生共有多少人?砖有多少块?

解:如果每人搬7块,就会余下30×(8-7)+20=50块

所以搬5块的人有(148-50)÷(7-5)=49人

所以学生共有12+49=61人,砖有61×7+50=477块。

解:12人每人各搬7块,当他们搬8块的时候,多搬了12块

18人每人各搬5块,当他们搬动8块的时候,多搬了18*3=54块

所以30人多搬了54+12=66块其余人搬动了148-20-66=62块

而这些其它人每人多搬动了2块,所以其他人的人数为62/2=31

所以,一共有学生61人

砖块的数量:12*7+49*5+148=477

解:把30人分成12人和18人两部分,12人每人各搬7块,若他们搬8块,则多搬了12*1=12块, 18人每人各搬5块,若他们搬8块,则多搬了18*3=54块,

所以30人多搬了54+12=66块其余人搬动了148-20-66=62块,而这些其它人每人多搬动了7-5=2块,所以其他人的人数为62÷2=31 所以,一共有学生61人砖块的数量:12*7+49*5+148=477块

量与计量

量的计量要用到计量单位,小学阶段学过的计量单位有长度单位、重量单位、面积(地积)单位、体积(容积)单位,还有时间单位、货币单位和地积单位。这些计量单位之间的进率有十进制的、百进制的、千进制的,还有非十进制的,如六十进制的等。由于计量单位种类多,进率又不一样,在进行高级单位与低级单位的化聚、小数(分数)与复名数的化聚过程中,常常出现错误,如3.05千克不是写成3千克500克就是写成3千克5克。这些错误的出现还会影响到几何中的求积,影响有关应用题的解答。因此,如何防止和纠正这些错误正是本章要研究的问题。

例 1(1)4米8厘米=(4.08)米。

1千米=1000米=10000分米

1分米=0.00001千米

千米米分米厘米毫米

(2)150公顷=( )平方千米。

(3)3.4平方分米=( )平方分米( )平方厘米。

[解](1)4米8厘米=4.08米。

(2)150公顷=1.5平方千米。

(3)3.4平方分米=3平方分米40平方厘米。

[常见错误]

(1)4米8厘米=4.8米。

(2)150公顷=15平方千米。

(3)3.4平方分米=3平方分米4平方厘米。

[分析]

上面各题中的计量单位的进率都是100,这些题之所以做错,一是没有记住进率,误把它们的进率都看作10;二是没有掌握化聚的方法。如(1)题中的8厘米改写成以米为单位的小数应该是0.08米,因为米与厘米之间的进率是100,即8÷100=0.08(米);同理(2)题应是150÷100=1.5,则是1.5平方千米;(3)题中0.4平方分米改写成以平方厘米为单位应该是40平方厘米,因为平方分米与平方厘米之间的进率是100,即 100×0.4=40(平方厘米)。

因此,为了防止上述错误的产生,一是要记住进率;二是要掌握化聚的法则:低级单位的数聚成高级单位的数则除以进率,高级单位的数化成低级单位的数则与进率相乘。

例 2(1)3千米50米=(3.05)千米。

(2)3升25毫升=( )升。

(3)1.05立方米=( )立方米( )立方分米。

(4)2090米=(2)千米(90)米。

(5)5.6千米=(5)千米(600)米。

(6)1千克600克=( )千克。

(7)41千米 =(41)千米(0)米。 5

(8)4千克50克=( )千克=( )克。

[解](1)3千米50米=3.05千米。

(2)3升25毫升=3.025升。

(3)1.05立方米=1立方米50立方分米。

(4)2090米=2千米90米。

(5)5.6千米=5千米600米。

(6)1千克600克=1.6千克。

(7)41千米 = 4千米米。2005

(8)4千克50克=4.05千克=4050克。

[常见错误]

(1)3千米50米=3.5千米(或=3.005千米)。

(2)3升25毫升=3.25升。

(3)1.05立方米=1立方米5立方分米。

(4)2090米=20千米90米。

(5)5.6千米=5千米6米。

(6)1千克600克=1.006千克。

(7)41千米= 4千米2米(或4千米米)。55

(8)4千克50克=4.5千克=450克。

[分析]

上面各题的计量单位中高一级单位与低一级单位间的进率是1000。产生上述错误的原因与上例相同:一是没记住进率,二是没掌握化聚方法。如(1)题,因为千米与米之间的进率是1000,求3千米50米=( )千米,主要看50米是多少千米,即用50÷1000,小数点左移三位得0.050千米,即 0.05千米。这里要在“5”的前面添上一个0,“5”的后面去掉一个0,因此最容易出错。又如(5)题5.6千米=( )米,则应与进率1000相乘,即0.6的小数点右移三位得600(米),所以应是5千米600米。

便;

(8)题的题意是要将4千克50克改写成以千克为单位的数,再改写成以克为单位的数。错解中都是把进率搞错了。

例 3

[分析]

时与分之间的进率是60,因此,它们的化聚方法就与上面两例有些不同了。把分聚为时是除以进率、把时化成分是与进率相乘,从法则上来讲与前面两例是一致的。但因为进率是非十进的,就不能用移动小数点的方法了。

(分);(3)题可写成1时36分;(4)题 24分要聚成时就用24÷60=0.4(时),这是要与前面两例区分清楚的。

(3)题的错误是由于审题不清而造成的,题目是要求将单名数改写成复名数。

例 4(1)800平方分米=( )平方米。(2)3.2公顷=( )平方米。

[分析]

计量单位的换算所出现的错误,常见的有两种,一是将单位换算的进率记错,再就是乘以进率或除以进率常常容易混淆。(1)题错误地把进率记作10,因此用800÷10得80平方米。

因为1公顷=10000平方米,所以(2)题可用10000×3.2=32000(平

1立方厘米=1毫升,1立方分米=1升,

1立方分米=1000立方厘米,1升=1000毫升。必须熟悉这些关系,才能

将(4)题的2300立方厘米化为2300毫升,再聚成2.3升;将

(5)题的15立方分米化成15000立方厘米,再化为15000毫升。 如果不熟悉这些进率和有关单位的换算关系,就会出现上面所列出的各种错误。

例 5(1)在下面的( )里填上>、<或者=。

150立方厘米( )0.15升。

0.35千米( )35米。

2.5 公顷( )0.05平方千米。(2)3平方米与3立方米两个量( )。

①3立方米大;②3平方米大;

③可能3平方米大;也可能3立方米大;

④不能比较大小。

[解](1)150立方厘米=0.15升。

0.35千米>35米。

2.5公顷<0.05平方千米

(2)3平方米与3立方米两个量不能比较大小。

[常见错误]

(1)150立方厘米>0.15升。

0.35千米<35米。

2.5公顷>0.05平方千米。

(2)①3立方米大。

[分析]

(1)题之所以解答错是由于只从数的大小去比较,没有比较数量的大小,应化成同一单位的量再去比较。150立方厘米与0.15升比较:

150立方厘米=150毫升=0.15升。

0.35千米与35米比较:

0.35千米>0.035千米;

或 350米>35米。

2.5公顷与0.05平方千米比较:

2.5公顷<5公顷。

也可都化成平方千米再比较。

(2)题主要是考查对于量的概念的理解,平方米是测量面积大小的一个单位,立方米是测量体积大小的一个单位,两种不同类的计量数量不能比较大小。

例 61平方千米和1千平方米相等吗?

[解]

不相等。

[常见错误]

相等。

[分析]

这是比较容易混淆的概念。1平方千米就是1平方公里,根据有关规定,应该逐步用“千米”的单位名称替代“公里”的单位名称,因此,在小学教科书里是使用“千米”这个单位名称。1平方千米就是边长为

1千米的正方形的面积,它实际上是1000000平方米,而 1千平方米就是1000平方米,所以它们是不相等的。

0.8厘米=(8)毫米=(0.008)米=(0.08)分米

0.000001千米*500毫米=(0.001)米*(5)分米

二、数论:

1、基础知识

三、综合行程

1 基本概念:

行程问题是研究物体运动的,它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系. 2 基本公式:

速度= 时间= 路程=速度×时间

平均速度=总路程=(速度1×时间1)+(速度1×时间1)

路程=速度×时间;路程÷时间=速度;路程÷速度=时间

关键问题:确定运动过程中的位置和方向。

相遇问题:速度和×相遇时间=相遇路程(请写出其他公式)

追及问题:追及时间=路程差÷速度差(写出其他公式)

流水问题:顺水行程=(船速+水速)×顺水时间

逆水行程=(船速-水速)×逆水时间

顺水速度=船速+水速

逆水速度=船速-水速

静水速度=(顺水速度+逆水速度)÷2

水速=(顺水速度-逆水速度)÷2

流水问题:关键是确定物体所运动的速度,参照以上公式。

过桥问题:关键是确定物体所运动的路程,参照以上公式。

主要方法:画线段图法

基本题型:已知路程(相遇路程、追及路程)、时间(相遇时间、追及时间)、速度(速度和、速度差)中任意两个量,求第三个量。

四、数列求和

等差数列:在一列数中,任意相邻两个数的差是一定的,这样的一列数,就叫做等差数列。

基本概念:首项:等差数列的第一个数,一般用a1表示;

项数:等差数列的所有数的个数,一般用n表示;

公差:数列中任意相邻两个数的差,一般用d表示;

通项:表示数列中每一个数的公式,一般用an表示;

数列的和:这一数列全部数字的和,一般用Sn表示.

基本思路:等差数列中涉及五个量:a1 ,an, d, n, sn,,通项公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可求出第四个;求和公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可以求这第四个。

基本公式:通项公式:an = a1+(n-1)d;

通项=首项+(项数一1) ×公差;

数列和公式:sn,= (a1+ an)×n÷2;

数列和=(首项+末项)×项数÷2;

项数公式:n= (an+ a1)÷d+1;

项数=(末项-首项)÷公差+1;

公差公式:d =(an-a1))÷(n-1);

公差=(末项-首项)÷(项数-1);

关键问题:确定已知量和未知量,确定使用的公式;

3 将行程问题转化为工程问题和和差问题

例1:小明在AB两站间的公路上行驶,每隔一定时间时间开出一辆车,他每隔4分钟迎面遇到一辆车,每12分钟有一辆车背后追上小明,求汽车隔多久发车?

分析:此题没有具体数量,看似无从下手不管相遇还是追击路程都是等于相邻两辆车的车间距。我们把车间距看为1.汽车与小明速度和=1/4 汽车与小明速度差是1/12.由和差关系知道汽车速度是(1/4+1/12)÷2=1/6 发车时间就是车间距离÷汽车速度=1÷1/6=6分钟

反思:此题本质和下题是一样的。小明在A,汽车在B。他们同时出发相向而行,4分钟相遇。沿着BA方向同向而行12分钟汽车追上小明。求从B到A汽车要多久?

此题也可以改编为平均速度问题小军上山速度4千米每小时,下山12千米每小时。求整个过程的平均速度?

练习:1小李沿着公路上学,每隔9分钟有一辆汽车超过他,每隔7分钟遇到一辆车,汽车每隔多久发车?

2从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。甲和乙两人在一条街上沿着同一方向步行,甲每分钟步行82米,每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车;乙每分钟步行60米,每隔10分15秒遇上迎面开来的一辆电车。则电车总站每隔____分钟开出一辆电车。

例2甲乙两站是电车始发站,每隔一定时间发车,小张和小王分别从甲乙出发相向而行。每

辆电车隔4分钟遇到一辆迎面开来的电车。小张每隔5分钟迎面遇到一辆电车,小王每6分钟迎面遇到电车。电车走完全程要56分钟。小张和小王多久后相遇?

分析:其实不管电车和人,还是电车与电车相遇路程都是相邻电车之间的路程。

我们把电车速度看为1,相遇路程就是(1+1)×4=8所以8 1=8分钟发一次车小张速度是8/5-1=3/5,小王速度8/6-1=1/3.总路程是1×56=56所以相遇时间为56 (3/5+1/3)=60分钟

练习:公共汽车从甲站开往乙站,每5分钟发车一趟,全程要15分钟。有一人从乙骑自行车去甲站,出发时恰有一辆车到乙站,在路上又遇到10辆迎面开来的汽车才到甲站,到站时恰有一辆汽车从甲站开出,他从乙站到甲站共用多少分钟?

例3;A、B两地之间有条公路,小王步行从A地去B地,小张骑摩托车从

B地出发不停地往返于A,B两地之间。若他们同时出发,前后速度保持

不变,60分钟后两人第一次相遇,70分钟后小张第一次超过小王。当小王到达B地时,小张和小王迎面相遇过几次?

分析;我们把路程看为1 实际上小张与小王的速度和=1/60,小张与小王的速度差=1/70 由和差问题关系小张速度为(1/60+1/70)÷2=13/840

小王速度为(1/60-1/70)÷2=1/840 时间相等所以路程比等于速度比。小王到终点的时候小王走了13个全程。他们共走14个全程第n次迎面相遇就共走(2n-1)个全程。所以迎面相遇7次

练习:A、B两地之间有条公路,小王步行,小张骑摩托车从A地去B地,两人同时出发

不停地往返于A,B两地之间。若他们同时出发,前后速度保持

不变,90分钟后两人第一次相遇,110分钟后小张第一次超过小王。当小王到达B地时,小张和小王迎面相遇过几次?

例4快车和慢车从A到B分别要8小时和10小时。快车和慢车分别从A,B出发相向而行,相遇的时候快车比慢车多走40千米。求两地的路程?

分析:我们可以把全程看为1,只要看40千米是全程的几分之几问题就解决了。相遇时间

是1÷(1/8+1/10)=40/9小时

1/8乘以40/9=5/9 40÷(5/9-4/9)=360千米

练习:快车和慢车从A到B分别要3小时和4小时。快车和慢车分别从A,B出发相向而行,相遇的时候距离两地中点12千米。求两地的路程?

例5一列火车10点追上一辆自行车,15秒后超过。10点30遇到一个步行人,10秒离开,什么时候自行车和行人相遇?

分析:我们从两个方面认识车长。我们把车长看为1. 从追击认识15秒追了1所

火车速度-自行车速度= 1/15 (1)另一方面从相遇认识。10秒共走了1,

火车速度+人的速度=1/10 (2)(2)—(1)有

人的速度+自行车速度=1/10-1/15=1/30 30分=1800秒

现在算出自行车与行人速度和,关键要知道相遇路程10点时候火车和自行车在同一位置此时火车与人的相遇路程就是自行车与人的相遇路程,我们有1/10×1800=180 我们这里再次使用算两次,通过相遇路程不变入手。所以180÷1/30=5400秒=90分,所以11点30相遇。

练习:一列火车9点20追上一骑车人,9点40迎面遇到一步行人,火车和骑车人错车时间与火车与步行人错车时间比是5:4,求骑车人和步行人何时相遇?

例6一片均匀生长的草地,23头牛9天可以吃完草,如果27头牛6天可以吃完草,21头牛多少天可以吃完草?

分析:我们先来看不变量。1原有草2草的日长量。这相当于追及问题。原有草是追及路程。还有就是速度慢的速度不变。我们把它看为工程问题。原有草看为1.23头牛吃草速度与日长量的速度差是1/9,27头牛吃草速度与日长量的差是1/6,我们马上可以得到1头牛1天吃草 ,日长量就是

21头牛吃速度差就是21/72-15/72=1/12,所以12天可以吃完。

例7一片牧草,如果让马和牛去吃,45天可将草吃尽,如果让马和羊去吃,60天将草吃尽,如果让牛和羊去吃,90天可将草吃尽。已知牛和羊每天的吃草量和等于马每天的吃草量。现在让马牛羊一起去吃草,几天可以将这片牧草吃尽?

分析:我们可以把原有草看为1,马+牛-日长=1/45,马+羊-日长=1/60

牛+羊-日长=1/90.注意到牛+羊=马

于是我们马上知道了马-日长=1/90, 于是牛=1/45-1/90=1/90

羊=1/60-1/90=1/180, 所以日长=1/90+1/180-1/90=1/180

马=1/90+1/180=1/60,三个一起吃每天追1/90+1/180+1/60-1/180=1/36,马牛羊一起吃36天可以吃完。

例8一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶.在某一时刻,客车在前,小轿车在后,货车在客车与小轿车的正中间.过了10分钟,小轿车追上了货车;又过了5分钟,小轿车追上了客车;再过t分钟,货车追上了客车,则t=.

我们把那个相同的距离看为1,小轿车速度-货车速度=1/10.

小轿车速度-客车速度=2/15,所以货车速度-客车速度=2/15-1/10=1/30货车追客车要30分钟,还要过30-10-5=15分钟才可以追上。

例9一船顺水从A码头到B码头要4小时,返回的时候要5小时。已知水速是2千米/小时,求两码头的距离?

分析:此题的不变量是AB码头的距离看为单位1.顺水的效率是1/4,逆水的效率是1/5,水速的效率是(1/4-1/5) 2=1/40,全程就是2 1/40=80千米

例10甲乙丙三人同时从A出发往返于AB,甲的时速10千米,比乙快2.5千米,丙的时速4千米,甲和乙在距离B15千米处第一次相遇,求甲丙在距离A多远处第一次相遇?

分析:这是多人行程与回头相遇问题的综合。不变量是任意2人的相遇路程。我们把AB路程看为单位1,相遇路程就是2.甲的速度是10千米,乙是7.5千米,丙是4千米。甲比乙多走了15的2倍30千米。所以相遇时间是30 2.5=12小时,相遇路程是(10+7.5)×12=210千米,我们再来看甲丙。他们相遇的时候时间一样,路程比是10:4=5:2

所以丙走了相遇路程的2/7为210×2/7=60千米

例11甲乙丙三人同时从A出发,甲乙顺时间丙逆时针绕湖而行。甲丙30分钟后相遇,又过了5分钟乙丙相遇。甲的速度为5.4千米每小时,乙为4.2千米每小时。求绕湖一周的路程?

分析甲的速度是90米/分,乙是70米/分。这个题不变量是相遇路程我们看为单位1,甲丙效率和是1/30,乙丙效率和1/35。30分钟乙丙完成了整项工程的30/35=6/7,实际上相同时间内甲与乙完成工作量差是1/7 甲与乙的工作效率差是1/7 30=1/210.速度差是20米

所以全程是20 1/210=4200米

例12一艘船从甲码头到乙码头顺水航行再从乙码头返回。共用5小时。船在静水速度是25千米每小时,水速是5千米每小时。求两码头的距离?

分析:顺水速度是30千米,逆水速度是20千米。我们看走1千米的时间顺水要1/30小时

逆水要1/20小时。1千米顺水和逆水时间和是1/20+1/30=1/12小时,全程就是5除以1/12=60千米

例13甲乙丙的速度分别为80米,60米,70米每分钟。甲乙从A,丙从B同时出发相向而行。甲丙相遇4分钟后,乙丙相遇。求AB的路程?

分析:甲丙速度和是150米,乙丙速度和是130米甲丙走1米要1/150分钟,乙丙走1米要1/130分钟 4 (1/130-1/150)=3900米

练习:小明若以60米每分钟速度去学校就会迟到1分钟,若以80米每分钟速度去学校就会早到5分钟,求家校距离?

一支队伍以4千米每小时速度前进,队尾的小明跑步去排头然后原速返回共用27分种。

小明的速度是12千米每小时。求队伍的长度?

例14一船从甲顺水到乙要5小时,返回时候要7小时。一个木筏从甲漂到乙要多久?

分析:此题不变量是甲乙路程看为单位1,顺水速度为1/5,逆水为1/7,水速为

(1/5-1/7) 2=1/35,所以木筏漂到乙要35小时

例15甲乙两人分别从AB两地同时出发,往返跑步。甲每秒跑9米,乙每秒跑11米。乙第四次与甲相遇地点距离乙第五次追上甲的地点56米,求两地的距离?

分析:此题不变量是两地路程看为单位1。和每次对应加1周期2全程。第四次相遇共走7个全程。

此题还有个不变量就是时间段,第一次共走一个全程甲走了9/20,第四次共9/20×7=3.15

此时距离A 0.85,第一次追上是2份对应1,甲走了9/2,第五次追上共追9个全程,甲走了81/2=40.5,此时距离A是0.5 ,所以56米对应0.85-0.5=0.35个全程为160米

例16甲乙两车分别从AB出发相向而行,4小时后相遇。乙的时速是24千米。甲乙相遇3小时后甲到达了B,求两地的距离?

分析:此题的不变量是路程。我们看为单位1.甲的工作效率是1/7,甲乙两车的工效和为1/4

所以乙的效率是1/4-1/7=3/28 再用乙的速度除以对应工效就可以算出单位1

24 3/28=112千米

本讲主要讲的是可以转化为工程问题的行程问题。解决行程问题最重要的是以静制动。何为静呢就是不变量。在行程问题中路程往往是不变的。对于有时间的问题我们可以把路程看为单位1,把速度看成工作效率。对于没有时间只有速度的问题我们可以看走单位路程所要的时间。再用对应时间除以走单位路程的速度和或差求出路程。通过本讲的讲解希望读者能加深对行程和工程问题的综合理解。

实际我们再深入理解下就是因数×因数=积单位1相当于积,速度相当于因数,时间相当于另外一个因数。此外浓度,一般的盈亏,鸡兔同笼,行程,浓度,利润,分数应用题都可以化归到因数×因数=积来解决。此讲的核心就是把不变的路程看为单位1,把速度看为工作效率。牛吃草问题的原有草不变相当于追及路程不变。如果直接把路程看为1不好处理的题,我们可以把1米或1千米看为单位1,看走单位路程的时间。在用时间除以走单位路程的时间得到路程。

再来思考很多相遇与追及结合的问题,我们通过把路程看为1可以得到工效和与工效差,进而得到两者的工效来解决问题。比较典型的是电车发车,相遇次数,流水行船问题。对行程问题更深的理解是相遇点和追及点只和速度比有关,当我们上升到用比和单位1的角度认识行程问题的时候,您一定会大有收获。最终要学好行程问题首先我们要加深对1的理解。不当是行程问题,其它类型的题的不变量都可以看为1.通过比的角度认识问题,你解决数学难题的能力一定大有提升。如果细心的读者能发现行程,工程等那些属于因数×因数=积的问题都是可以相互转化的。

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