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习题一解答

发布时间:2013-12-17 15:35:37  

1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件

(1) 抛一枚硬币两次,观察出现的面,事件A: A?{两次出现的面相同};

A?{一分钟内呼叫次数不超过3次};

A?{寿命在2000到2500小时之间}。 (2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数,事件(3) 从一批灯泡中随机抽取一只,测试其寿命,事件

解 (1) ??{(?,?),(?,?),(?,?),(?,?)}, A?{(?,?),(?,?)}.

(2) 记X为一分钟内接到的呼叫次数,则

??{X?k|k?0,1,2,??}, A?{X?k|k?0,1,2,3}.

(3) 记X为抽到的灯泡的寿命(单位:小时),则

??{X?(0,??)}, A?{X?(2000,2500)}.

2. 袋中有10个球,分别编有号码1至10,从中任取1球,设A

得球的号码是奇数},C

(1)A?B;(2)

解 (1) ?{取得球的号码是偶数},B?{取?{取得球的号码小于5},问下列运算表示什么事件: ;(3)ABAC;(4)AC;(5);(6)B?C;(7)A?C. A?B??是必然事件;

AC?{取得球的号码是2,4}; (2) 是不可能事件; (3)

(4)

(5)

(6)

(7) AC?{取得球的号码是1,3,5,6,7,8,9,10}; ?{取得球的号码为奇数,且不小于5}?{取得球的号码为5,7,9}; B?C???{取得球的号码是不小于5的偶数}?{取得球的号码为6,8,10}; A?C?A?{取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6,8,10}

3. 在区间[0,2]上任取一数,记?1??13?A??x?x?1?,B??x?x??,求下列事件的表2??2??4

;(4)AB??达式:(1)A?B;(2)B;(3)A解 (1) A?. ?1A?B??x?x??43??; 2?

1?????x?x?2??3??; 2? (2) ???11B??x0?x?或1?x?2??B??x?x?2???4

?B,所以A??; (3) 因为A

(4)????13113A??A??x0?x?或?x?2???x0?x??x?1或?x?2? 42422????

A,B,C的运算关系式表示下列事件: 4. 用事件

(1)

(2) A出现,B,C都不出现(记为E1); A,B都出现,C不出现(记为E2);

(3) 所有三个事件都出现(记为E3);

(4) 三个事件中至少有一个出现(记为E4);

(5) 三个事件都不出现(记为E5);

(6) 不多于一个事件出现(记为E6);

(7) 不多于两个事件出现(记为E7);

(8) 三个事件中至少有两个出现(记为E8)。

解 (1)E1

(3)E3

(5)E5

(7)E7?A; (2)E2?AB; ?ABC; (4)E4?A?B?C; ?; (6)E6??A?B?C; ?ABC???;(8)E8?AB?AC?BC.

5. 一批产品中有合格品和废品,从中有放回地抽取三次,每次取一件,设Ai表示事件“第i次抽到废品”,i?1,2,3,试用Ai表示下列事件:

(1) 第一次、第二次中至少有一次抽到废品;

(2) 只有第一次抽到废品;

(3) 三次都抽到废品;

(4) 至少有一次抽到合格品;

(2) 只有两次抽到废品。

解 (1)A1?A2; (2)A1A2A3; (3)A1A2A3; (4)A1?A2?A3; (5)A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3.

C?{三?1,2,3,B?{三次射击恰好命中二次},i 6. 接连进行三次射击,设Ai={第i次射击命中},

次射击至少命中二次};试用Ai表示B和C。

习题二解答

1.从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品,求其中恰有1件次品的概率。

解 这是不放回抽取,样本点总数nB?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3 C?A1A2?A1A3?A2A3 ?50????3??,记求概率的事件为A,则有利于A的样本点数

??

?45??5?k???2????1??. 于是 ????

?45??5????????k?2??1???45?44?5?3!?99 P(A)??n50?49?48?2!392?50????3???

2.一口袋中有5个红球及2个白球,从这袋中任取一球,看过它的颜色后放回袋中,然后,再从这袋中任取一球,设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。求

(1) 第一次、第二次都取到红球的概率;

(2) 第一次取到红球,第二次取到白球的概率;

(3) 二次取得的球为红、白各一的概率;

(4) 第二次取到红球的概率。

解 本题是有放回抽取模式,样本点总数n?72. 记(1)(2)(3)(4)题求概率的事件分别为A,B,C,D.

A的样本点数kA?52(ⅰ)有利于,故 25?5? P(A)????49?7?2

5?210? 4972

20(ⅲ) 有利于C的样本点数kC?2?5?2,故 P(C)? 49

7?5355??. (ⅳ) 有利于D的样本点数kD?7?5,故 P(D)?24977(ⅱ) 有利于B的样本点数kB?5?2,故 P(B)?

3.一个口袋中装有6只球,分别编上号码1至6,随机地从这个口袋中取2只球,试求:(1) 最小号码是3的概率;(2) 最大号码是3的概率。

解 本题是无放回模式,样本点总数n?6?5.

(ⅰ) 最小号码为3,只能从编号为3,4,5,6这四个球中取2只,且有一次抽到3,因而有利样本

点数为2?3,所求概率为 2?31?. 6?55

(ⅱ) 最大号码为3,只能从1,2,3号球中取,且有一次取到3,于是有利样本点数为2?2,所求概率为 2?22?. 6?515

4.一个盒子中装有6只晶体管,其中有2只是不合格品,现在作不放回抽样,接连取2次,每次取1只,试求下列事件的概率:

(1) 2只都合格;

(2) 1只合格,1只不合格;

(3) 至少有1只合格。

解 分别记题(1)、(2)、(3)涉及的事件为A,B,C,则

?4???2??4?3?22?P(A)???? ?6?6?5?25??2????

?4??2???1????1??4?2?28?????P(B)?? 66?515?????2???

注意到C?A?B,且A与B互斥,因而由概率的可加性知

2814P(C)?P(A)?P(B)??? 51515

5.掷两颗骰子,求下列事件的概率:

(1) 点数之和为7;(2) 点数之和不超过5;(3) 点数之和为偶数。

解 分别记题(1)、(2)、(3)的事件为

(ⅰ)A,B,C,样本点总数n?62 A含样本点(2,5),(5,2),(1,6),(6,1),(3,4),(4,3)

?P(A)?61? 626

105? 2186

含样本点(1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3), (ⅱ)B含样本点(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2) ?(ⅲP(B)?)C

(3,5),(5,3);(4,4),(4,6),(6,4);(5,5);(6,6), 一共18个样本点。

?P(C)?181? 362

6.把甲、乙、丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去,假设每间宿舍最多可住8人,试求这三名学生住不同宿舍的概率。

解 记求概率的事件为A,样本点总数为5,而有利3A的样本点数为5?4?3,所以

P(A)?5?4?312?2553.

7.总经理的五位秘书中有两位精通英语,今偶遇其中的三位,求下列事件的概率:

A:“其中恰有一位精通英语”;

(2) 事件B:“其中恰有二位精通英语”;

(3) 事件C:“其中有人精通英语”。 (1) 事件

?5?解 样本点总数为?? ?3???

(1) ?2??3???1????2??2?3?3!63?????P(A)???; 55?4?3105?????3???

?2??3???2????1???????3?3!?3; P(B)?5?4?310?5????3???

?A?B,且A与B互斥,因而

339P(C)?P(A)?P(B)???. 51010

y轴及直线x?y?1所围成的三角形内,而落在这三(2) (3) 因C 8.设一质点一定落在xOy平面内由x轴、

角形内各点处的可能性相等,计算这质点落在直线x

解 记求概率的事件为A,则SA ?1/3的左边的概率。 为图中阴影部分,而|?|?1/2,

11?2?155|SA|??????? 22?3?2918

最后由几何概型的概率计算公式可得 2图2.3 P(A)?|SA|5/185??. |?|1/299.(见前面问答题2. 3)

10.已知A?B,P(A)?0.4,P(B)?0.6,求 (1)P(),P();(2)P(A?B);(3)P(AB);(4)P(),P();(5)P(B). 解 (1)P()

(2)P(A?B)?1?P(A)?1?0.4?0.6,P()?1?P(B)?1?0.6?0.4; ?P(A)?P(B)?P(AB)?P(A)?P(B)?P(A)?P(B)?0.6;

(3)P(AB)

(4)P(A)

(5)P(B)?P(A)?0.4; ?P(A?B)?P(?)?0, P()?P(A?B)?1?P(A?B)?1?0.6?0.4; ?P(B?A)?0.6?0.4?0.2.

?0.5,P(B)?0.7,P(A?B)?0.8,试求P(A?B)11.设A,B是两个事件,已知P(A)

及P(B?A).

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)

. 于是,,因而解 注意到 P(AB)?P(A)?P(B) ?P(A?B)?0.5?0.7?0.8?0.4P(A?B)?P(A?AB)?P(A)?P(AB)

?0.5?0.4?0.1;P(B?A)?P(B?AB)?P(B)?P(AB)?0.7?0.4?0.3.

习题三解答

1.已知随机事件A的概率P(A)?0.5,随机事件B的概率P(B)?0.6,条件概率P(B|A)?0.8,试求P(AB)及P().

解 P(AB)?P(A)P(B|A)?0.5?0.8?0.4

P()?P(A?B)?1?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?P(AB)

?1?0.5?0.6?0.4?0.3

2.一批零件共100个,次品率为10%,从中不放回取三次(每次取一个),求第三次才取得正品的概率。

解 p?10?9?90819??100?99?9899?981078.

3.某人有一笔资金,他投入基金的概率为0.58,购买股票的概率为0.28,两项投资都做的概率为0.19

(1) 已知他已投入基金,再购买股票的概率是多少?

(2) 已知他已购买股票,再投入基金的概率是多少?

解 记A?{基金},B?{股票},则P(A)?0.58,P(B)?0.28,P(AB)?0.19

(1) P(B|A)?P(AB)0.19??0.327. P(A)0.58

P(AB)0.19??0.678. P(B)0.28(2) P(A|B)?

4.给定P(A)?0.5,P(B)?0.3,P(AB)?0.15,验证下面四个等式:

P(A|B)?P(A),P(A|)?P(A), P(B|A)?P(B),P(B|)?P(B).

解 P(A|B)?P(AB)0.151???P(A) P(B)0.32

P(A|)?P(A)P(A)?P(AB)0.5?0.150.35????0.5?P(A) P()1?P(B)0.70.7

P(AB)0.15??0.3?P(B) P(A)0.5 P(B|A)?

P(B|)?P(B)P(B)?P(AB)0.3?0.150.15????P(B) P()1?P(A)0.50.5

5.有朋自远方来,他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4,若坐火车,迟到的概率是0.25,若坐船,迟到的概率是0.3,若坐汽车,迟到的概率是0.1,若坐飞机则不会迟到。求他最后可能迟到的概率。

4B?{迟到},A1?{坐火车},A2?{坐船},A3?{坐汽车},A4?{乘飞机},则

B??BAi

i?1,且按题意

P(B|A1)?0.25,P(B|A2)?0.3,P(B|A3)?0.1,P(B|A4)?0.

由全概率公式有:

P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?0.3?0.25?0.2?0.3?0.1?0.1?0.145

i?14

6.已知甲袋中有6只红球,4只白球;乙袋中有8只红球,6只白球。求下列事件的概率:

(1) 随机取一只袋,再从该袋中随机取一球,该球是红球;

(2) 合并两只袋,从中随机取一球,该球是红球。

解 (1) 记B?{该球是红球},A1?{取自甲袋},A2?{取自乙袋},已知P(B|A1)?6/10,P(B|A2)?8/14,所以

P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?

(2) 161841???? 21021470P(B)?147? 2412

7.某工厂有甲、乙、丙三个车间,生产同一产品,每个车间的产量分别占全厂的25%,35%,40%,各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%,求该厂产品的次品率。

0.25?0.05??0.35?0.04?0.4?0.02 ?0.0125?0.0140?0.008?0.0345?3.45%

8.发报台分别以概率0.6,0.4发出"?"和"?",由于通信受到干扰,当发出"?"时,分别以概率

0.8和0.2收到"?"和"?",同样,当发出信号"?"时,分别以0.9和0.1的概率收到"?"和"?"。求(1) 收到信号"?"的概率;(2) 当收到"?"时,发出"?"的概率。

解 记 B?{收到信号"?"},A?{发出信号"?"} (1) P(B)?P(A)P(B|A)?P()P(B|)

?0.6?0.8?0.4?0.1?0.48?0.04?0.52

(2) P(A|B)?P(A)P(B|A)0.6?0.812??. P(B)0.5213

9.设某工厂有A,B,C三个车间,生产同一螺钉,各个车间的产量分别占总产量的25%,35%,40%,各个车间成品中次品的百分比分别为5%,4%,2%,如从该厂产品中抽取一件,得到的是次品,求它依次是车间A,B,C生产的概率。

A,B,C车间生产的产品,事件D?{次品},因此 解 为方便计,记事件A,B,C为

P(D)?P(A)P(D|A)?P(B)P(D|B)?P(C)P(D|C)

?0.25?0.05?0.35?0.04?0.4?0.02 ?0.0125?0.014?0.008?0.0345

P(A|D)?P(A)P(D|A)0.25?0.05??0.362 P(D)0.0345

P(B)P(D|B)0.35?0.04??0.406 P(D)0.0345

P(C)P(D|C)0.4?0.02??0.232 P(D)0.0345P(B|D)?P(C|D)?

10.设A与B独立,且P(A)?p,P(B)?q,求下列事件的概率:P(A?B),P(A?),P(?).

解 P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?p?q?pq

P(A?)?P(A)?P()?P(A)P()?p?1?q?p(1?q)?1?q?pq P(?)?P(AB)?1?P(A)P(B)?1?pq

?1/9,P(A)?P(B),求P(A),P(B). 11.已知A,B独立,且P()

解 因P(A)?P(B),由独立性有

P(A)P()?P()P(B)

从而 P(A)?P(A)P(B)?P(B)?P(A)P(B) 导致 P(A)?P(B)

再由

所以 P()?1/9,有 1/9?P()P()?(1?P(A))(1?P(B))?(1?P(A))2 1?P(A)?1/3。最后得到 P(B)?P(A)?2/3.

12.甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次,命中率分别为1/3,1/2,2/3,求目标被命中的概率。

解 记

因而 B?{命中目标},A1?{甲命中},A2?{乙命中},A3?{丙命中},则 B??Aii?13,

?3?21118?P(B)?1?P?A?1?P(A)P(A)P(A)?1????1?? 123??i?32399.?i?1?

13.设六个相同的元件,如下图所示那样安置在线路中,设每个元件不通达的概率为

置通达的概率。假定各个元件通达与否是相互独立的。

解 记 p,求这个装A?{通达}, 图3.1 Ai?{元件i通达},i?1,2,3,4,5,6 则 A?A1A2?A3A4?A5A6, 所以 P(A)?P(A1A2)?P(A3A4)?P(A5A6)

?P(A1A2A3A4)?P(A3A4A5A6)?P(A1A2A5A6)?P(A1A2A3A4A5A6)

?3(1?p)2?3(1?p)4?(1?p)6

14.假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周五个工作日里每天是否发生故障相互独立,试求一周五个工作日里发生3次故障的概率。

解 ?5?32?p??(0.2)(0.8)?0.051. 2?3???

15.灯泡耐用时间在1000小时以上的概率为0.2,求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率。

解 ?3??3?32p???3??(0.2)???2???0.8?(0.2)?0.008?0.096?0.104. ????

A出现的概率相等,若已知A至少出现一次的概率等于19/27,求16.设在三次独立试验中,事件

事件A在每次试验中出现的概率P

(A).

解 记Ai?{A在第i次试验中出现},i?1,2,3. p?P(A)

依假设 ?3?193 ??P?A?1?P(AAA)?1?(1?p)?i123??27?i?1?

8, 此即 p?1/3. 27所以, (1?p)3?

17.加工一零件共需经过3道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为2%、3%、5%. 假设各道工序是互不影响的,求加工出来的零件的次品率。

解 注意到,加工零件为次品,当且仅当1-3道工序中至少有一道出现次品。记

为次品},iAi?{第i道工序?1,2,3. 则次品率

?3?p?P???Ai???1?P(A1)P(A2)P(A3)?1?0.98?0.97?0.95?1?0.90307?0.097 ?i?1?

18.三个人独立破译一密码,他们能独立译出的概率分别为0.25,0.35,0.4. 求此密码被译出的概率。 解 记 A?{译出密码}, Ai?{第i人译出},i?1,2,3. 则

?3?P(A)?P???Ai???1?P(A1)P(A2)P(A3) ?i?1?

?1?0.75?0.65?0.6?1?0.2925?0.7075

19.将一枚均匀硬币连续独立抛掷10次,恰有5次出现正面的概率是多少?有4次至6次出现正面的概率是多少?

解 (1) ?10??1?63 ; ????5??2?256????

61010

(2) ?10??1????k???2?

k?4????.

20.某宾馆大楼有4部电梯,通过调查,知道在某时刻T,各电梯正在运行的概率均为0.75,求:

(1) 在此时刻至少有1台电梯在运行的概率;

(2) 在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率;

(3) 在此时刻所有电梯都在运行的概率。

解 (1) 1?(1?0.75)4?1?(0.25)4?

2255 2562

(2) ?4?27?3??1?22??(0.75)(0.25)?6??? ?????2?128?4??4???

(3)

81?3? (0.75)4????256?4?4

习题四解答

1. 下列给出的数列,哪些是随机变量的分布律,并说明理由。

(1)pi?i,i?0,1,2,3,4,5; 15

2

(2)pi?5?i?,i?0,1,2,3; ?6

1,i?2,3,4,5; 4

i?1,i?1,2,3,4,5。 (4)pi?25(3)pi?

解 要说明题中给出的数列,是否是随机变量的分布律,只要验证

条件为pi是否满足下列二个条件:其一pi?0,i?1,2,?,其二条件为?pi?1。

i

依据上面的说明可得(1)中的数列为随机变量的分布律;(2)中的数列不是随机变量的分布律,因为p3?5?94???0;(3)中的数列为随机变量的分布律;(4)中的数列不是随机变量的分布律,66

这是因为?pi?

i?1520?1。 25

P?X?i??c,?i?0,1,2,3,4?成为某个随机变量i2X的分布律,并求:2. 试确定常数c,使

5??1P?X?2?;P??X??。 2??2

c解 要使i2(2) 成为某个随机变量的分布律,必须有?2i?04ci?1,由此解得c?16; 31P?X?2??P?X?0??P?X?1??P?X?2?

?16?11?28 ?1????31?24?31

(3)P?5?16?11?12?1?X???P?X?1??P?X?2??????。 2?31?24?31?2

3. 一口袋中有6个球,在这6个球上分别标有-3,-3,1,1,1,2这样的数字。从这袋中任取一球,设各个球被取到的可能性相同,求取得的球上标明的数字X的分布律与分布函数。

解 X可能取的值为-3,1,2,且P

布律为

X -3 1 2 ?X111??3??,P?X?1??,P?X?2??,即326X的分

概率

X的分布函数

0 1 312 16 x??3

F?x??P?X?x?=

1 ?3?x?1 31?x?2 56

1 x?2

4. 一袋中有5个乒乓球,编号分别为1,2,3,4,5,从中随机地取3个,以X表示取出的3个球中最大号码,写出X的分布律和分布函数。

解 依题意X可能取到的值为3,4,5,事件?X?3?表示随机取出的3个球的最大号码为3,则另两个球的只能为1号,2号,即P?X?3??11?;事件?X?4?表示随机取出的3个球的最大号码?5?10??3????

?3?1???2?????3;同理可得为4,因此另外2个球可在1、2、3号球中任选,此时P?X?4??10?5????3???

?4?1???2?????6。 P?X?5??10?5????3???

X的分布律为

X的分布函数为

0 x?3 3?x?4 4 4?x?5 10 F?x??

1 x?5

5. 在相同条件下独立地进行5次射击,每次射击时击中目标的概率为0.6,求击中目标的次数X的分布律。

解 依题意X服从参数n?5,p?0.6的二项分布,因此,其分布律

?5?k5?kP?X?k????k??0.60.4,k?0,1,?,5,

??

具体计算后可得

6. 从一批含有10件正品及3件次品的产品中一件一件的抽取。设每次抽取时,各件产品被抽到的可能性相等。在下列三种情形下,分别求出直到取得正品为止所需次数X的分布律。

(1) 每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品;

(2) 每次取出的产品都不放回这批产品中;

(3) 每次取出一件产品后总是放回一件正品。

解 (1)设事件Ai,i?1,2,?表示第i次抽到的产品为正品,依题意,A1,?,An,?相互独立,且P?Ai??10,i?1,2,?而 13

P?X?k??P1?k?1Ak?P1?Pk?1

即X服从参数???????3?P?Ak?????13?k?110,k?1,2,? 13p?10的几何分布。 13

(2)由于每次取出的产品不再放回,因此,X可能取到的值为1,2,3,4,

103?105,P?X?

2???,1313?1226 3?2?1053?2?1?101P?X?3???,P?X?4???.13?12?1114313?12?11?10286P?X?1??

X的分布律为

(3)X可能取到的值为1,2,3,4,

103?1133,P?X?2???,1313?13169 3?2?12723?2?16P?X?3???,P?X?4???.13?13?13219713?13?132197P?X?1??

所求X的分布律为

由于三种抽样方式不同,导致X的分布律也不一样,请仔细体会它们的不同处。

7. 设随机变量X~B?6,p?,已知P?X?1??P?X?5?,求p与P?X?2?的值。

解 由于X?6?k6?k?~B?6,p?,因此P?X?6?????p1?p,k?0,1,?,6。 ?k???

5由此可算得 P?X?1??6p?1?p?,P?X?5??6p5?1?p?,

即 6p?1?p??6p5?1?p?, 解得p?5

26?261; 2?6??1??1?此时,P?X?2????2???2??2???????6?5?1?15。 ?????2!?2?64

8. 掷一枚均匀的硬币4次,设随机变量X表示出现国徽的次数,求X的分布函数。

解 一枚均匀硬币在每次抛掷中出现国徽的概率为11,因此X服从n?4,p?的二项分布,即 22

?4??1??1?P?X?k????k???2??2???????

由此可得X的分布函数 k4?k,k?0,1,2,3,4

0 x?0

, 0?x?1 5 F?x?? , 1?x?2 , 2?x?3 , 3?x?4

1 x?4

9. 某商店出售某种物品,根据以往的经验,每月销售量X服从参数??4的泊松分布,问在月初进货时,要进多少才能以99%的概率充分满足顾客的需要?

解 设至少要进n件物品,由题意n应满足

P?X?n?1??0.99,P?X?n??0.99,

P?X?n?1???

nn?14k即 k?0k!e?4?0.99 4k?4P?X?n???e?0.99 k!k?0

查泊松分布表可求得 n?9。

10. 有一汽车站有大量汽车通过,每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.0001,在某天该段时间内有1000辆汽车通过,求事故次数不少于2的概率。

解 设X为1000辆汽车中出事故的次数,依题意,X服从n?1000,p?0.0001的二项分布,即X~B?1000,0.0001?,由于n较大,p较小,因此也可以近似地认为X服从??np?100?00.000?10.1的泊松分布,即X~P?0.1?,所求概率为

P?X?2??1?P?X?0??P?X?1?

0.10?0.10.11?0.1 ?1?e?e0!1!

?1?0.904837?0.090484?0.004679.

11. 某试验的成功概率为0.75,失败概率为0.25,若以X表示试验者获得首次成功所进行的试验次数,写出X的分布律。

解 设事件Ai表示第i次试验成功,则P?Ai??0.75,且A1,?,An,?相互独立。随机变量X取k意味着前k?1次试验未成功,但第k次试验成功,因此有

P?X?k??P1?k?1Ak?P1?Pk?1P?Ak??0.25k?10.75

所求的分布律为

??????12. 设随机变量X的密度函数为

f?x?? 2x, 0?x?A

其他,

试求:(1)常数

解 (1)(2)X的分布函数。 A;f?x?成为某个随机变量的密度函数必须满足二个条件,其一为f?x??0;其二为

A?????f?x?dx?1,因此有?02xdx?1,解得A??1,其中A??1舍去,即取A?1。

(2)分布函数

F?x??P?X?x?????f?x?dx x

x?0

0x = ???0dx??02xdx 0?x?1

01xx?10dx?2xdx???0?10dx

x?0

2 = x 0?x?1

x?1

13. 设随机变量X的密度函数为

(3)X的分布函数。

解 (1)系数A必须满足???0dxxf?x??Ae?x求:(1)系数A;(2)P?0?X?1?;,???x???,Ae?????xdx?1,由于e

???x?x为偶函数,所以 ???Ae???xdx?2?0Aedx?2?0Ae?xdx?1 ??

解得1A?; 2

(2)P

(3)F111?x11?0?X?1???0edx??0e?xdx??1?e?1?; 222?x????x?f?x?dx

?xx?0???edx

= 10x?x?xx?0???edx??02edxx

= xx?0???edx

0x1x?xx?0???edx??02edxx

1x?0e2 = 111?e?xx?02??

1x?0e2 = ?x1?ex?014. 证明:函数

x2

2cf?x?? ce

?x?0 (c为正的常数) x?0

??为某个随机变量X的密度函数。

证 由于f?x??0,且???f?x?dx????????xcx2?e2cdx???x2

????2ced?0??

?x???2c??2x2??e2c?1,

因此f?x?满足密度函数的二个条件,由此可得f?x?为某个随机变量的密度函数。

15. 求出与密度函数

0.5exx?0

f?x??0.25 0?x?2

0x?2

对应的分布函数F?x?的表达式。

解 当x?0时,F?x????x?f?x?dx???x?0.5exdx?0.5ex

x0x当0?x?2时,F?x?????f?x?dx????0.5edx??00.25dx?0.5?0.25x x

当x?2时,F?x?????0.5edx?0x?00.25dx??20dx?0.5?0.5?1 2x

综合有

x?0;5ex,

F?x?? .5?0.25x, 0?x?2;

x?2.16. 设随机变量X在?1,6?上服从均匀分布,求方程t2?Xt?1?0有实根的概率。

解 X的密度函数为

, 1?x?6; 5

, 其他. f?x??

方程t2?Xt?1?0有实根的充分必要条件为X2?4?0,即X2?4,因此所求得概率为

461PX2?4?P?X??2或X?2??P?X??2??P?X?2??0??2dx?。 55??

17. 设某药品的有效期X以天计,其概率密度为

f?x?? 20000

x?1003, x?0;

其他.

求:(1) X的分布函数;(2) 至少有200天有效期的概率。

0,

解 (1) x?0;F?x?????f?x?dx= x

?x

020000 ,x?0.1003

x?0;0,

= 1?x2, x?0.

?1?? 。 ?9??10000(2)P?X?200??1?P?X?200??1?F?200??1??1??200?1002?

18. 设随机变量X的分布函数为

F?x??0,1??1?x?e?x, x?0

x?0

求X的密度函数,并计算P

解 由分布函数F?X?1?和P?X?2?。 ?x?与密度函数f?x?的关系,可得在f?x?的一切连续点处有f?x??F??x?,因此

x?0xe,f?x?? 其他0,

所求概率P?X?1??F?1??1??1?1?e?1?1?2e?1;

P?X?2??1?P?X?2??1?F?2??1?1??1?2?e?2?3e?2。 ??

19. 设随机变量X的分布函数为

(2)PF?x??A?Barctanx,???x???,求(1) 常数A,B;?X?1?;(3) 随机变量X的密度函数。

F?x?成为随机变量X的分布函数,必须满足limF?x??0,limF?x??1,即

x???x???解:(1)要使

x???

x???lim?A?Barctanx??0lim?A?Barctanx??1

计算后得 ?2B?0

??

2B?

1

?

解得

?12 1

?

1111A?,B?时,F?x???arctanx也满足分布函数其余的几条性质。 2?2?另外,可验证当

(2) P?X?1??P??1?X?1??F?1??F??1?

?11?11??arctan1???arctan??1?? 2??2??

1?1??????????? ?4??4?2?

(3)X的密度函数

f?x??F??x??1,???x???。 2?1?x 20. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间(单位:min)服从?1其密度函数为f?x?? ?的指数分布,5

xx?01?5e, 510min,他就离开。

其他0

(1)设某顾客某天去银行,求他未等到服务就离开的概率;

(2)设某顾客一个月要去银行五次,求他五次中至多有一次未等到服务的概率。

解 (1)设随机变量X表示某顾客在银行的窗口等待服务的时间,依题意X服从?

客等待时间超过10min就离开,因此,顾客未等到服务就离开的概率为 1?的指数分布,且顾5

P?X?10???10??1?5edx?e?2; 5x

(2)设Y表示某顾客五次去银行未等到服务的次数,则Y服从n?5,

率为 p?e?2的二项分布,所求概

P?Y?1??P?Y?0??P?Y?1?

?5??2???0??e?????1?e?0?25?5??2?2???e1?e?1?????4

?1?4e?21?e?2

21. 设X服从????4??0,1?,借助于标准正态分布的分布函数表计算:(1)P?X?2.2?;(2)P?X?176?;(3)P?X??0.78?;(4)P?X?1.55?;(5)P?X?2.5?。

解 查正态分布表可得

(1)P?X?2.2????2.2??0.9861;

(2)P

(3)P?X?1.76??1?P?X?1.76??1???1.76??1?0.9608?0.0392; ?X??0.78?????0.78??1???0.78??1?0.7823?0.2177;

(4)PX?1.55??P??1.55?X?1.55????1.55?????1.55?

???1.55???1???1.55???2??1.55??1?2?0.9394?1?0.8788

(5)P ?X?2.5??1?PX?2.5??1??2??2.5??1?

?2?2??2.5??2?1?0.9938??0.0124。

22. 设X服从???1,16?,借助于标准正态分布的分布函数表计算:(1)P?X?2.44?;(2)P?X??1.5?;(3)P?X??2.8?;(4)PX?4?;(5)P??5?X?2?;(6)P?X?1?1?。

解 当X?b????a???~??,?2时,P?a?X?b?????????,借助于该性质,再查标准正????????

态分布函数表可求得

(1)P2.44?1??X?2.44?????????0.86??0.8051; ?4?

(2)P?1.5?1??X??1.5??1??????1????0.125? ?4?

?1??1???0.125?????0.125??0.5498;

(3)P?2.8?1??X??2.8??????????0.45??1???0.45??1?0.6736?0.3264; ?4?

(4)P?X?4?1???4?1??4????????????1.25?????0.75? 44????

???1.25??1???0.75??0.8944?1?0.7734?0.6678;

(5)P2?1???5?1???5?X?2?????????????0.75?????1? ?4??4?

???0.75????1??1?0.7734?0.8413?1?0.9321;

(6)P?2?1??0?1???X??1??1?P?X?1?1??1?P?0?X?2??1?????????? ???4??4??

?1???0.75????0.25??1?0.7724?0.5987?0.8253。

23. 某厂生产的滚珠直径服从正态分布?

合格率。

解 所求得概率为 ?2.05,0.01?,合格品的规格规定为2?0.2,求该厂滚珠的

?2.2?2.05??1.8?2.05?P?2?0.2?X?2?0.2?????????0.1?0.1???

???1.5?????2.5????1.5??1???2.5?

?0.9332?1?0.9938?0.927

24. 某人上班所需的时间X~??30,100?(单位:min)已知上班时间为8:30,他每天7:50出门,求:(1)某天迟到的概率;(2)一周(以5天计)最多迟到一次的概率。

解 (1)由题意知某人路上所花时间超过40分钟,他就迟到了,因此所求概率为

?40?30?P?X?40??1?????1???1??1?0.8413?0.1587; 10??

(2)记Y为5天中某人迟到的次数,则Y服从n?5,

次的概率为 p?0.1587的二项分布,5天中最多迟到一

?5??5?054?????????P?Y?1???0.1587?0.8413?0.1587?0.8413?0.8192。 ?1??1?????

1. 二维随机变量

1?

?X,Y?只能取下列数组中的值:?0,0?,??1,1?,???1,?,?2,0?,且取这些组值的概

?

3?

率依次为

1115

,,,,求这二维随机变量的分布律。 631212

解 由题意可得

?X,Y?的联合分布律为

2. 一口袋中有四个球,它们依次标有数字。从这袋中任取一球后,不放回袋中,再从袋中任

取一球。设每次取球时,袋中每个球被取到的可能性相同。以X、Y分别记第一、二次取到的球上标有的数字,求

?X,Y?的分布律及P?X?Y?。

解 X可能的取值为1,2,3,Y可能的取值为1,2,3,相应的,其概率为

1?211?11

?,P?X?1,Y?3???,4?364?312

2?112?112?11

P?X?2,Y?1???,P?X?2,Y?2???,P?X?2,Y?3???,

4?364?364?3611?21

P?X?3,Y?1??,P?X?3,Y?2???,P?X?3,Y?3??0.

124?36P?X?1,Y?1??0,P?X?1,Y?2??

或写成

1

P?X?Y??P?X?1,Y?1??P?X?2,Y?2??P?X?3,Y?3??。

6

3. 箱子中装有10件产品,其中2件为次品,每次从箱子中任取一件产品,共取2次,定义随机变量X、Y如下:

X= 0, 若第一次取出正品; Y= 0, 1, 若第一次取出次品; 1, 分别就下面两种情况求出二维随机变量

?X,Y?的联合分布律:(1)放回抽样;(2)不放回抽样。

解 (1)在放回抽样时,X可能取的值为0,1,Y可能取的值也为0,1,且

8?8168?24

?,P?X?0,Y?1???,

10?102510?1025

2?842?21

P?X?1,Y?0???,P?X?1,Y?1???,

10?102510?1025P?X?0,Y?0??

或写成

(2)在无放回情形下,X、Y可能取的值也为0或1,但取相应值的概率与有放回情形下不一样,具体为

8?7288?28

?,P?X?0,Y?1???,10?94510?945

2?882?11

P?X?1,Y?0???,P?X?1,Y?1???,

10?94510?945P?X?0,Y?0??

或写成

4. 对于第1题中的二维随机变量

?X,Y?的分布,写出关于X及关于Y的边缘分布律。

解 把第1题中的联合分布律按行相加得X

的边缘分布律为

按列相加得Y的边缘分布律为

5. 对于第3题中的二维随机变量及关于

Y的边缘分布律。

解 在有放回情况下X的边缘分布律为

Y的边缘分布律为

?X,Y?的分布律,分别在有放回和无放回两种情况下,写出关于X

在无放回情况下X的边缘分布律为

Y的边缘分布律为

6. 求在D上服从均匀分布的随机变量

?X,Y?的密度函数及分布函数,其中D为x轴、y轴及直线

y?2x?1围成的三角形区域。

解 区域D见图5.2。 易算得D的面积为S

111

?1??,所以?X,Y?的密度函数 2244,?x,y??D f?x,y?? 0,其他

?

?X,Y?的分布函数

F?x,y????????

f?x,y?dxdy

y

x

x??

1

或y?0时,F?x,y??0; 2

,

?

1

?x?0,0?y?2x?12

y

x2

图5.2

F?x,y???0dy?y?14dx?4xy?2y?y2;

当?

1x2x?1

?x?0,y?2x?1时,F?x,y???1dx?04dy?4x2?4x?1;

?22

y?1时,F?x,y???0dy?y?14dx?2y?y2;

y

02

当x?0,0?

当x?0,y?1时,F综合有

?x,y???01dx?02x?14dy?1

?2

1

x??或y?0

21

4xy?y2?2y, ??x?0且0?y?2x?1

21

F?x,y?? 4x2?4x?1, ??x?0且y?2x?1

2

0,

2y?y2, x?0且0?y?1

1, x?0且y?1

7. 对于第6题中的二维随机变量

解 X的边缘密度函数为 ?X,Y?的分布,写出关于X及关于Y的边缘密度函数。

fX?x?????f?x,y?dy ??

=

?24dy,0,Y的边缘密度函数为

114?2x1?,?x?0??x?0 = 220,其他其他?fY?y?????f?x,y?dx ??

= ?0y14dx,

0?y?1其他 =

0,0?y?12?1?, 0,其他

8. 在第3题的两种情况下,X与Y是否独立,为什么?

解 在有放回情况下,由于P?X?0,Y?0??164416,而P?X?0?P?Y?0????,即255525P?X?0,Y?0??P?X?0?P?Y?0?;容易验证P?X?0,Y?1??P?X?0?P?Y?1?, P?X?1,Y?0??P?X?1?P?Y?0?,P?X?1,Y?1??P?X?1?P?Y?1?,由独立性定义知X与Y相互独立。

在无放回情况下,由于P?X?0,Y?0??284416,而P?X?0?P?Y?0????,易见455525P?X?0,Y?0??P?X?0?P?Y?0?,所以X与Y不相互独立。

9. 在第6题中,X与Y是否独立,为什么?

解 ?11??1??1?4?11??1??1?f??,??4,而fX????2,fY???,易见f??,??fX???fY??,所?43??4??3?3?43??4??3?以X与Y不相互独立。

10. 设X、Y相互独立且分别具有下列的分布律:

写出表示 ?X,Y?的分布律的表格。

PX?xi,Y?yj?P?X?xi?PY?yj,i?1,2,3,4,j?1,2,3, 解 由于X与Y相互独立,因此 ????

例如P

?X??2,Y??0.5??P?X??2?P?Y??0.5??1?1?1

4

2

8

其余的联合概率可同样算得,具体结果为

11. 设X与Y是相互独立的随机变量,X服从求

?0,0.2?上的均匀分布,Y服从参数为5的指数分布,

?X,Y?的联合密度函数及P?X?Y?。

解. 由均匀分布的定义知

fX?x??

由指数分布的定义知

0?x?0.2

,其他

y?0e?5y,

fY?y??

其他,

因为X与Y独立,易得

?X,Y?的联合密度函数

25e?5y,0?x?0.2,y?0

f?x,y??fX?x?fY?y??

其他0,

概率P

?X?Y????f?x,y?dxdy,

G

其中区域G?

??x,y?|x?y?见图5.3,经计算有

0.2

x

0.2

图5.3

P?X?Y???0dx?025e?5ydy??051?e?5xdx?e?1。

12. 设二维随机变量

??

?X,Y?的联合密度函数为

x?0,y?0??3x?4y?,

f?x,y??

其他0,

求:(1)系数k;(2)P

?0?X?1,0?Y?2?;(3)证明X与Y相互独立。

????????

解 (1)k必须满足??

f?x,y?dxdy?1,即?0dy?0ke??3x?4y?dx?1,经计算得k?12;

??

??

2

1

??3x?4y?

(2)P?0?X?1,0?Y?2???0dy?012e

dx?1?e?31?e?8;

????

(3)关于X的边缘密度函数

fX?x?????f?x,y?dy? ??????3x?4y?x?0dy,?012e

,其他

x?03e?3x= 其他0,

同理可求得Y的边缘密度函数为

x?0e?4y,fY?y?? 其他 易见f?x,y??fX?x?fY?y?,???x???,???y???,因此X与Y相互独立。

13. 已知二维随机变量?X,Y?的联合密度函数为

f?x,y?? 1?x?y,

0?x?1,0?y?x其他

(1)求常数k;(2)分别求关于X及关于Y的边缘密度函数;(3)X与Y是否独立?

解 (1)k满足?????

?????f?x,y?dxdy?1,即?0dx?0k?1?x?ydy?1解得k?24; 1x

(2)X的边缘密度函数

fX?x?????f?x,y?dy? ???024?1?x?ydy, 0?x?1 x

,其他

0?x?112x2?x?,= 其他0,

Y的边缘密度函数为

fY?y?? 24?1?x?ydx, 0?y?1 其他

20?y?1121?y?, = 其他0,

(3)1111131927?11?f?,??24???,而fX?x??12???,fY?y??12???,易见2424342241616??

?11??1??1?f?,??fX??fY??,因此X与Y不相互独立。 ?24??2??4?

14. 设随机变量X与Y的联合分布律为

X\Y 0 1

1

2

且P2 25a b 1 253 252 25(1) 求常数a,b的值;(2)当a,b取(1)中的值时,X与Y是否独立?为什?Y?1|X?0??3,5

么?

解 (1)a,b必须满足??23

j?1i?1pij?1,即231217,?b?a????1,可推出a?b?2525252525

另外由条件概率定义及已知的条件得

P?X?0,Y?1?b3?? 2PX?05?b25

31714由此解得b?,结合a?b?可得到a?, 252525

14a?25即

3b?25P?Y?1|X?0??

(2)当a?143517时,可求得P?X?0??,易见 ,b?,P?Y?0??25252525

2P?X?0,Y?0???P?X?0?P?Y?0? 25

因此,X与Y不独立。

15. 对于第2题中的二维随机变量

解 易知?X,Y?的分布,求当Y?2时X的条件分布律。 p?2?P?Y?2??1,因此Y?2时X的条件分布律为 16. 对于第6题中的二维随机变量?1??X,Y?的分布,求当X?x,???x?0?时Y的条件密度函数。 ?2?

解 X的边缘密度函数为(由第7题所求得)

14?2x?1?,??x?0fX?x?? 20,其他

由条件密度函数的定义知当?1?X?x,???x?0?时Y的条件密度函数为 ?2?

4

,0?y?2x?1f?x,y?fY|X?y|x???

42x?1

fXx其他

0,

=

0?y?2x?1,

2?1

其他

0,

习题六解答

1. 设X的分布律为

求出:以下随机变量的分布律。(1)X?2;(2)?X?1;(3)X。

解 由X的分布律可列出下表

由此表可定出

(1)X

?2的分布律为

(2)?X?1的分布律为

(3)X的分布律为

2

1172

其中PX?4?P?X?2??P?X??2????。

8624

??

2. 设随机变量X服从参数??1的泊松分布,记随机变量Y?

0,若X?1;1,若X?1,

Y的分布

律。

解 由于X服从参数??1的泊松分布,因此

1k?1e?1

P?X?k??e?,k?0,1,2,?, k!k!

e?1e?1

??2e?1; 而 P?Y?0??P?X?1??P?X?0??P?X?1??0!1!

P?Y?1??P?X?1??1?P?X?1??1?2e?1。

即Y的分布律为

3. 设X的密度函数为

(3)X。

解 求连续型随机变量的函数的密度函数可通过先求其分布函数,然后再求密度函数。如果为单调可导函数,则也可利用性质求得。

(1)解法一:设Y2f?x?? 2x,0, 0?x?1;其他, 求以下随机变量的密度函数:(1)(2)2X;?X?1;y?g?x??2X,则Y的分布函数

y??FY?y??P?Y?y??P?2X?y??P?X?? 2??

0yy?0?02

yy2y= ?0xdx 0??1 = 0?y?2 42

y?11y?2xdx21?00

y0?y?2fY?y??FY??y?? 2 其他解法二:y?2x,x?y1?h?y?,而h??y??,则 22

fY?y??fX?h?y??h??y?

y1y?,0??1 = 22 2

其他?

0?y?2, = 其他(2)设Y??X?1,则x?1?y?h?y?,h??y???1,Y的密度函数

fY?y??fX?h?y??h??y??

= 2?1?y????1?0 0?1?y?1其他 2?y?00?1?y?1其他

(3)设Y?X2,由于X只取?0,1?中的值,所以y?x2也为单调函数,其反函数h?y??y,h??y??11,因此Y的密度函数为 2y

2y?

0,11,0?y?12y 其他fY?y??fX?h?y??h??y??

= 1,0, 0?y?1

其他

4. 对圆片直径进行测量,测量值X服从

解 圆面积Y?5,6?上的均匀分布,求圆面积Y的概率密度。 1??X2,由于X均匀取?5,6?中的值,所以X的密度函数 4

fX?x?? 1,0 5?x?6;其他.

且1y??x2为单调增加函数?x??5,6??,其反函数 4

h?y??4y

??2y

,h??y??2111, ?2yy?

Y的密度函数为

1

fY?y??fX?h?y??h??y??y

0,, 5?2y?6; 其他,

25??y?9?; 4

其他.1 = y0,

5. 设随机变量X服从正态分布??0,1?,试求随机变量的函数Y?X2的密度函数fY?y?。

1

2?e?x

2 解 X~??0,1?,所以fX?x??,???x???,此时y?x2不为单调函数不能直

接利用性质求出fY?y?。须先求Y的分布函数FY?y?。

FY?y??P?Y?y??PX?y? 2

??

P?y?X?y

y

??

y?0;y?0,

P?y?X?

?

y??

?

y

?fX?x?dx??

12?

?e

?x2

dx.

1

fY?y??FY??y?? 2?,12?y

e

?2

y

12y

?

1?

e

?2

y

12y

,

y?0;其他,

=

e,

?y

y?0;其他.

6. 设随机变量X服从参数为1的指数分布,求随机变量的函数Y

?eX的密度函数fY?y?。

fX?x??

x,

x?0;其他.

y?ex的反函数h?y??lny,h??y??

1

,因此所求的Y的密度函数为 y

1,lny?0;

y

其他,

fY?y??fX?h?y?h??y?? e?lny =

1,y?1;2 y

其他.

0,

7. 设X服从?

?0,1?,证明?X?a服从??a,?2?,其中a,?为两个常数且??0。

1?e

?x2

2

证明 由于

X~??0,1?,所以fX?x??

,???x???,记Y??X?a,则当y?a

,h??y??

?y?a?2

2???0时,y??x?a为单增函数,其反函数h?y??

fY?y??fX?h?y??h??y??

即证明了?X

1

?

e

?

,因此Y的密度函数为

12?

e

1?y?a????2???

2

?

1

?

?

12??

?

,???y???,

?a~?a,?2

??。

1,若X?;0

8. 设随机变量X在区间??1,2?上服从均匀分布,随机变量Y? 0,若X?0?1,

若X?试求随机变量函数Y的分布律。

X~R??1,2?,则f?x?? 0

?1?x?2;,

其他.

,

P?Y??1??P?X?0???

11dx?; ?133

P?Y?0??P?X?0??0;

P?Y?1??P?X?0???

因此所求分布律为

20

12dx?。 33

9. 设二维随机变量

?X,Y?的分布律

求以下随机变量的分布律:(1);(2);(3)解 ;(4)

XY

从而得到 (1)

(2)

(3)从联合分布律可求得X的边缘分布律为

由此得2X的分布律为

(4)

10. 设随机变量X、Y相互独立,(1) 记随机变量Z

?1??1?X~B?1,?,Y~B?1,?,

?4??4?

?X?Y,求Z的分布律;

(2) 记随机变量U?2X,求U的分布律。 从而证实:即使X、Y服从同样的分布,X?Y与2X

解(1)由于

的分布并不一定相同,直观地解释这一结论。

?1??1??1?

X~B?1,?,Y~B?1,?,且X与Y独立,由分布可加性知X?Y~B?2,?,

?4??4??4?

k

2?k

?2??1??3?

即P?Z?

k??P?X?Y?k????k???4??4?

??????

,k?0,1,2,经计算有

(2)由于

因此

易见X

?Y与2X的分布并不相同。直观的解释是的X?Y与2X的取值并不相同,这是因为X

与Y并不一定同时取同一值,因而导致它们的分布也不同。 11. 设二维随机变量

?X,Y?的联合分布律为

(1) 求U(2) 求V

?max?X,Y?的分布律;

?min?X,Y?的分布律。

解 (1)随机变量U可能取到的值为1,2,3中的一个,且

1

P?U?1??P?max?X,Y??1??P?X?1,Y?1??;

9

P?U?2??P?max?X,Y??2??P?X?1,Y?2??P?X?2,Y?1??P?X?2,Y

?2?

211?0???;

993

P?U?3??P?max?X,Y??3?

?P?X?1,Y?3??P?X?2,Y?3??P?X?3,Y?1??P?X?3,Y?2??P?X?3,Y?3??0?0?

综合有

2215???;9999

(2)随机变量V可能取到的值为1,2,3中的一个,且

P?V?1??P?min?X,Y??1?

?P?X?1,Y?1??P?X?1,Y?2??P?X?1,Y?3??P?X?2,Y?1??P?X?3,Y?1?1225??0?0???;9999

同理可求得P

?

V

11

?2??,P?V?3??,综合有

3 12. 设二维随机变量所围成的区域,求

?X,Y?服从在D上的均匀分布,其中D为直线x?0,y?0,x?2,y?2

X?Y

的分布函数及密度函数。

?X,Y?的联合密度函数为

?1?,

f(x,y)??4

??

设Z

0?x?2,0?y?2;0,

其他.

?X?Y,则Z的分布函数

FZ?z??P?Z?z?

?P?X?Y?z??

其中区域Dz

当z

Dzz

??f?x,y?dxdy

???x,y?:x?y?z?,

??2时,积分区域见图6.2,此时

FZ?z????0dxdy?0

Dz

当?2?

z?0时,积分区域见Dz图6.3,此时

FZ?z????

Dz

1

f?x,y?dxdy???dxdy

4Dz?

1

?区域Dz?的面积411122???2?z???2?z?428?

其中部分。

当0

Dz?是区域Dz限在0?x?2,0?y?2中的那

?z?2时,积分区域Dz见图6.4,此时

1

FZ?z????f?x,y?dxdy???dxdy

4DzDz?

??

1

?区域Dz?的面积4

2

1?1???4???2?z??4?2?12

?1??2?z?

8

其中分。

当z

Dz?是区域Dz限在0?x?2,0?y?2中的那部

?2时,积分区域Dz见图6.5,此时

FZ?z????f?x,y?dxdy?1。

Dz

综合有

0,1

?2?z?2,8

FZ?z??

121??2?z?,81,

Z

的密度函数

z??2;?2?z?0;

0?z?2;z?2,

fZ?z??FZ??z??

?2?z?0;2?z?,?2?z?, 0?z?2; 0其他.

13. 设

?X,Y?的密度函数为f?x,y?,用函数f表达随机变量X?Y的密度函数。

?X?Y,则Z

的分布函数

解 设Z

FZ?z??P?Z?z??P?X?Y?z??

对积分变量

x?y?z

??

f?x,y?dxdy??dx?

??

??z?x

??

f?x,y?dxdy。

y作变换u?x?y,得到

?

于是

z?x

??

f?x,y?dy??f?x,u?x?du

????z

z

FZ?z???FZ?z???

??

????

z

????

??

?f?x,u?x?dx?du

????

??

f?x,u?x?dudx,交换积分变量x,u的次序得

从而,Z的密度函数为

fZ?z???f?x,z?x?dx,

fZ?z???f?z?y,y?dy。

????

把X与Y的地位对换,同样可得到Z的密度函数的另一种形式

习题七解答

1. 设X的分布律为,

求(1)EX,(2)E(?X

2

(3)E(X),(4)DX?1),

解 由随机变量X的分布律,得

所以

另外,也可根据数学期望的性质可得:

1111111

E?X??(?1)??0????1??2??

362612431111112

E??X?1??2??1????0??(?1)??

3626124311111135

E?X2??1??0????1??4??

364612424

351297

D(X)?E(X2)?(E(X))2??()?

24372

12

E??X?1???E?X??1???1?

33

2.设随机变量X服从参数为?解

???0?的泊松分布,且已知E??X?2??X?3???2,求?的值。

?D?X???E?X????5E?X??6?2

2

E??X?2??X?3???EX2?5X?6?EX2?5E?X??6?2

2

????

????5??4?0

??2

3. 设X表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次命中目标的概率为0.4,试求X

2

的数学期望

EX2

??。

X~B?10,0.4?

所以

E?X??10?0.4?4,D?X??10?0.4?0.6?2.4

EX2?D?X???E?X???2.4?42?18.4

2

??

4. 国际市场每年对我国某种出口商品的需求量X是一个随机变量,它在[2000,4000](单位:吨)上服从均匀分布。若每售出一吨,可得外汇3万美元,若销售不出而积压,则每吨需保养费1万美元。问应

组织多少货源,才能使平均收益最大?

解 设随机变量Y表示平均收益(单位:万元),进货量为a吨

Y=

400011E?Y????4x?a?dx??3adx2000a20002000 1??2a2?14000a?80000002000ax?a3X??a?X? x?a3a??

要使得平均收益E?Y?最大,所以

??2a

得 2?14000a?8000000???0

?X?和方差D?X?。 a?3500(吨) 5. 一台设备由三大部件构成,在设备运转过程中各部件需要调整的概率相应为0.1,0.2,0.3,假设各部件的状态相互独立,以X表示同时需要调整的部件数,试求X的数学期望E

解 X的可能取值为0,1,2,3,有

P?X?0??0.9?0.8?0.7?0.504

P?X?1??0.1?0.8?0.7?0.9?0.2?0.7?0.9?0.8?0.3?0.398

P?X?2??0.1?0.2?0.7?0.9?0.2?0.3?0.1?0.8?0.3?0.092

P?X?3??0.1?0.2?0.3?0.006

所以X的分布律为

E?X??0?0.504?1?0.398?2?0.092?3?0.006?0.6

EX2?02?0.504?12?0.398?22?0.092?32?0.006?0.82

D?X??0.82??0.6??0.462??

6. 设X的密度函数为

解 (1)E

(2)Ef?x??1?xe2,求(1)E2?X?;(2)E?X?。 ?X?????x?1e?xdx?0 ??22?X???2??

????11?xx?edx?2?x2e?xdx?2 022

注:求解(1)时利用被积函数是奇函数的性质,求解(2)时化简为

参数为1的指数分布随机变量的二阶原点矩。

7. 某商店经销商品的利润率X的密度函数为???0x2e?xdx可以看成为是服从?2(1?x),0?x?1f(x)??,求EX,DX其他?0。

1 3

1122

(2)E?X???x?2(1?x)dx?

06

112122

故D(X)?E(X)?(E(X))??()?

6318

解 (1)E

?X???0x?2(1?x)dx?

1

8. 设随机变量X的密度函数为

f?x??

?x x?0

求E

x?0

?X?、E?2X?、E?X?e?2X?、D?X?。

E?X???

??

xe?xdx?1

E?2X??2E?X??2

????14

E?X?e?2X??E?X??E?e?2X??1??e?2xe?xdx?1??e?3xdx?1??

0033

E?X2???

??

x2e?xdx?2

2

D?X??E?X2???E?X???1

9. 设随机变量

?X,Y?的联合分布律为

求E

?X?、E?Y?、E?X?2Y?、E?3XY?、D?X?、D?Y?、cov?X,Y?、?X,Y。

解 关于X与Y的边缘分布律分别为:

E?X??0?0.5?1?0.5?0.5

EX2?02?0.5?12?0.5?0.5

D?X??0.5??0.5??0.25

E?Y??0?0.7?1?0.3?0.32??

??EY2?02?0.7?12?0.3?0.3

D?Y??0.3??0.3??0.21

E?X?2Y??E?X??2E?Y??0.5?2?0.3??0.12

E?3XY??3E?XY??3?0?0?0.3?0?1?0.2?1?0?0.4?1?1?0.1??3?0.1?0.3cov?X,Y??E?XY??E?X??E?Y??0.1?0.5?0.3??0.05

cov?X,Y?

DXDY?0.05

0.250.212121?X,Y????

10. 设随机变量X,Y相互独立,它们的密度函数分别为

fX?x??

求D2e?2x0 x?0x?0

fY?y?? 4?4y0 y?0 y?0?X?Y?。

11?, 224

11Y~E?4?,所以D?Y??2?, 164解 X~E?2?,所以D?X??

X,Y相互独立,所以

D?X?Y??D?X??D?Y??

11. 设

(1)E5。 16?X,Y?服从在A上的均匀分布,其中A为x轴、y轴及直线x?y?1?0所围成的区域,求?X?;(2)E??3X?2Y?;(3)E?XY?的值。

解 先画出A区域的图

f?x,y?? 2 ?x,y??A

0 其他

fX?x???f?x,y?dy? ?????x?12dy?2?1

?x? ?1?x?0

0 其他

fY?y???f?x,y?dx? ??

0??2dx?2?1?y? ?1?y?0 ?1?y 0 其他 1

?13

01E?Y???y?2?1?y?dy???13E?X???x?2?1?x?dx??

?1??1?1E??3X?2Y???3E?X??2E?Y???3?????2??????3??3?3

00012E?XY????xy2dydx???x?1?x?dx??1?1?x?112

12. 设随机变量 ?X,Y?的联合密度函数为

f?x,y?? y2 0?y?x?1

其他

求E?X?,E?Y?,E?XY?,E?X2?Y2?,D?X?,D?Y?。

y?x?1的图 解 先画出区域0?

y

1

0 1 x

fX?x???f?x,y?dy? ?????x012y2dy?4x3 0?x?1

0 其他

fY?y???f?x,y?dx? ?????12yy12dy?12y2?1?y? 0?y?1

0 其他

E?X???x?4x3dx?0145

3

5

1

2

11

00 E?Y???y?12y2?1?y?dy?01 E?XY???100?Xxy?12y2dydx?E?X2?Y2??E?X2??E?Y2???x2?4x3dx??y2?12y2?1?y?dy?

D?X??E?X21615 ???E?X??

224?4?2?????6?5?7522

D?Y??E?Y2???E?Y??6?3?1?????15?5?75

13. 设随机变量X,Y相互独立,且E

解 ?X??E?Y??1,D?X??2,D?Y??3,求D?XY?。

2D?XY??EX2Y2??E?XY??

22???E?X?E?Y???E?X??E?Y??

??2?1??3?1??1?1?1122?D?X???E?X??D?Y???E?Y????E?X???E?Y??22????2

14. 设D?X??25,D?Y??36,?X,Y(2)D?X?Y?。 ?0.4,求(1)D?X?Y?;

解:(1)D?X?Y??D?X??D?Y??2?X,YDXDY

(2)D?25?36?2?0.4?25??85 DXDY ?X?Y??D?X??D?Y??2?X,Y

?25?36?2?0.4?25??37

15. 设随机变量X,Y相互独立,X~N(1,1),Y~N(?2,1),求E(2X?Y),D(2X?Y)。 解 E(X)?1,D(X)?1;E(Y)??2,D(Y)?1

E(2X?Y)?2E(X)?E(Y)?2?1?(?2)?0D(2X?Y)?22D(X)?D(Y)?4?1?1?5

16. 验证:当(X,Y)为二维连续型随机变量时,按公式EX??????

?????xf(x,y)dydx及按公式

的分布密度。 EX??xf(x)dx算得的EX????值相等。这里,f(x,y)、f(x)依次表示(X,Y),X

?? 证明 EX????

???????x(f,x)ydy?d?x???x(f,x)y?dx(x)dx ?ydxf????????

17. 设X的方差为2.5,利用契比晓夫不等式估计PX

解 P{X?EX?7.5}的值。 ?EX?7.5}?1D(X)2.5?? 7.5222.57.52

18. 设随机变量X和Y的数学期望分别为-2和2,方差分别为1和4,而相关系数为-0.5,根据切比雪夫不等式估计P

解 EX?Y?6?的值。 ?X?Y??E?X??E?Y???2?2?0

?1?4?2???0.5??4?3 D?X?Y??D?X??D?Y??2?X,YDXDY所以

P?X?Y?6??P?X?Y?0?6?

?P?X?Y?E?X?Y??6?

?D?X?Y?1?1262

21. 在人寿保险公司里有3000个同龄的人参加人寿保险。在1年内每人的死亡率为0.1%,参加保险的人在1年的第一天交付保险费10元,死亡时家属可以从保险公司领取2000元。试用中心极限定理求保险公司亏本的概率。

解 设死亡人数为?,保险公司亏本当且仅当2000X?10?3000,即X,X~B?3000,0.001

X?15。于是,由棣莫弗—拉普拉斯定理,公司亏本的概率为

?X?np15?np???P?X?15??P??np1?pnp1?p???

15?3??x?3 ?p????3?0.9991.73?

?1???6.93??0

习题九解答

1. 设X1,X2,?,X6是来自服从参数为?的泊松分布P???的样本,试写出样本的联合分布律。 解 f?x1,x2,?,x6??e???x1

x1!?e???x2

x2!???e???x6

x6!

?e?6??

6?xii?1n

i?x!

i?1x1,x2,?,x6?0,1,2,?

2. 设X1,X2,?,X6是来自

(1)写出样本的联合密度函数; ?0,??上的均匀分布的样本,??0未知

(2)指出下列样本函数中哪些是统计量,哪些不是?为什么?

T1?

(1)X1?X2???X6,T2?X6??,T3?X6?E?X1?,T4?max?X1,X2,?,X6? 6(3)设样本的一组观察是:0.5,1,0.7,0.6,1,1,写出样本均值、样本方差和标准差。 f?x1,x2,?,x6?? ??6 0?x1,x2,?,x6??

其他

(2)T1和T4是,T2和T3不是。因为T1和T4中不含总体中的唯一未知参数?,而T2和T3中含有未知参数?。

(3)样本均值?1n161X??i?Xi??0.5?1?0.7?0.6?1?1??0.8 ni?16i?16

221n16

样本方差S???Xi?????Xi?? ni?16i?12

?

样本标准差S1??0.3?2??0.2?2???0.1?2???0.2?2??0.2?2??0.2?2?0.0433 6?S2?0.0433?0.2082。

22?? 3. 查表求?0.99(12),?0.01(12),t0.99(12),t0.01(12)。

解 ?0.99(12)?26.217,?0.01(12)?3.571,t0.99(12)?2.6810,t0.01(12)??2.6810。

4. 设T22~t?10?,求常数c,使P?T?c??0.95。

解 由t分布关于纵轴对称,所以P?T?c??0.95即为P?T??c??0.05。 由附表5.6可查得?c?1.81,所以c??1.81。

5. 设X1,X2,?,Xn是来自正态总体?0,?

(1)?2?的样本,试证: 1

?22?n?; X~??i2i?1n

1?n?2X(2)??~??1?。 ?i2n??i?1?

证明: 2

1n2?Xi?22(1)独立同分布于??0,1?,由?分布的定义,???~??n?,即2?Xi~??n?。 ?i?1?i?1???Xi2n2

(2)易见,?Xii?1n~?0,n?2???n?X??Xi??ii?1?~?2?1?,即~??0,1?,由?2分布的定义,?i?1,即?n?2?n?2????n21?n?2?1?。 X~????i2n??i?1?

6. 设X1,X2,?,X5是独立且服从相同分布的随机变量,且每一个

(1)试给出常数c,使得c2Xi?i?1,2,?,5?都服从??0,1?。 ?X2

122服从?分布,并指出它的自由度; ?X2?

(2)试给出常数d,使得dX1?X2

2X3?2X4?2X5服从t分布,并指出它的自由度。

(1)易见,X1

度为2。

(2)由于X1

又222即为二个独立的服从??0,1?的随机变量平方和,服从??2?分布,即c?1;自由?X2?X2~??0,2?,则X1?X222~??0,1?。 222相互独立,则 ?X4?X5222X3?X4?X5~?2?3?,X1?X2与X3

即 ?X1?X2?2X322X5?2X4?~t?3? 6

2X1?X2

2X3?2X4?2X5~t?3?

即d?6,自由度为3。 2

7. 设

(1)?X1,X2,?,Xn?是取自总体X的一个样本,在下列三种情况下,分别求E??,D??,E?S2?:X~B?1,p?;(2)X~E???;(3)X~R?0,2??,其中??0。 解

(1)X~B?1,p?

E?X??p,E?X2??p,D?X??p?1?p?

?1n?1n

E???E??Xi???E?Xi??p?ni?1?ni?1 p?1?p??1n?1n D???D??Xi??2?D?Xi??n?ni?1?ni?1

2?1?n21?n?1n?2?E?S??E???Xi??n??E??Xi?????E?Xi2??nE?2???ni?1?n?i?1?n?i?1?

2?21?n

???D?Xi???E?Xi???nD???E???n?i?1?2??????

??p?1?p?1?2???np?n??p??n?n?????

?1???1??p?1?p??n?

(2) X~E???

E?X??

E???1?1,D?X??1?2,

?

1D???2n?

1?n222ES???D?Xi???E?Xi???nD????E???n?i?1 ??????1????????1?1?n??2

(3)X~R?0,2??,其中??0

E?X???

D?X???2

3

E????

D???

ES?2??23n1?n22???D?Xi???E?Xi???nD????E???n?i?1????2??1????1-????n?3

8. 某市有100000个年满18岁的居民,他们中10%年收入超过1万,20%受过高等教育。今从中抽取1600人的随机样本,求:

(1)样本中不少于11%的人年收入超过1万的概率;

(2)样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率。

(1)引入新变量:

Xi? 1i个样本居民年收入超过1万

0,第1万

其中i?1,2,?,n,n?1600

易见:p?P?Xi?1??0.1

又因n?1600??N?100000,故可以近似看成有放回抽样,X1,X2?,Xn相互独立。

??E?Xi??0.1,??DXi?0.1?0.9?0.3

??2??,样本中年收入超过1万的比例即为,由于n?1600较大,可以使用渐近分布求解,即~???,??n??

所求概率即为

?n????40?0.11?0.1???P??11%??1?P??0.11??1?P?????0.3??

?4??1?????1?0.9082?0.0918?3?

(2)同(1)解法

引入新变量:

Xi? 1i个样本居民受过高等教育

0,第

其中i?1,2,?,n,n?1600

p?P?Xi?1??0.2

??0.2,??0.2?0.8?0.4

?40?0.19?0.2?n????40?0.21?0.2???P?19%??21%??P????? 0.4?0.4?????1?????1??2??1??1?2?0.8413?1?0.6826

答:(1)样本中不少于11%的人年收入超过1万的概率为0.0918;

(2)样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率为0.6826。

习题十解答

1. 设X1,X2,?,Xn是取自总体X的一个样本,在下列情形下,试求总体参数的矩估计与最大似然估计:

(1)

(2)X~B?n,p?,其中p未知,0?p?1; X~E???,其中?未知,??0。

解 (1)E??。 ?X??p,故p的矩估计量有p

另,X的分布律为P

故似然函数为 ?X?x??px?1?p?1?x,x?0,1,

L?p??pi?1?Xin?1?p?n??Xii?1n

对数似然函数为:

n?n???lnL?p????Xi?lnp??n??Xi?ln?1?p?

i?1?i?1???

?Xn??XidlnL?p?i?1ii?1令 ???0 dpp1?p

??解得p的最大似然估计量p

可以看出

(2)Enn1n?Xi?。 ni?1p的矩估计量与最大似然估计量是相同的。 ???X??1,令1?,故?的矩估计量???1。 另,X的密度函数为

fX?x??

故似然函数为 x?0?e?x

x?00

n

L???? e

0???Xii?1 Xi?0,i?1,2,?,n其他

对数似然函数为

lnL????nln????Xi

dlnL???nn???Xi?0d??i?1

??n?1。 解得?的最大似然估计量?n?Xii?1i?1n

可以看出?的矩估计量与最大似然估计量是相同的。

2. 设X1,X2,?,Xn是取自总体X的一个样本,其中X服从参数为?的泊松分布,其中?未知,??0,求?的矩估计与最大似然估计,如得到一组样本观测值

求?的矩估计值与最大似然估计值。

解 E??。 ?X???,故?的矩估计量?

由样本观测值可算得

?

另,X的分布律为 0?17?1?20?2?10?3?2?4?1?1 50

??P?X?x??e

故似然函数为 ?xx!,x?0,1,2,?

L????e?n?

对数似然函数为 ??Xii?1nX1!?Xn!,Xi?0,1,2,?,i?1,2,?,n

n?n?lnL?????n????Xi?ln???ln?Xi!?

i?1?i?1?

dlnL?????n?d?

n?Xii?1n ??0

?解得?的最大似然估计量??Xi

?i?1

n

?1。 ?, ?故?的最大似然估计值?

3. 设X1,X2,?,Xn是取自总体X的一个样本,其中X服从区间知,求?的矩估计。

解 E?0,??的均匀分布,其中??0未?X???,令?

22??2。 ?,故?的矩估计量?

4. 设X1,X2,?,Xn是取自总体X的一个样本,X的密度函数为

0?x??f?x?? 2 其他其中??0未知,求?的矩估计。

2x22???3。 解 E?X???0x?2??,令??,故?的矩估计量为?3?32

5. 设X1,X2,?,Xn是取自总体X的一个样本,X的密度函数为 0?x?1??1?x?f?x?? 0其他

其中??0未知,求?的矩估计和最大似然估计。

解 E

然函数 1?2??1??11,令?X???0x????1?x?dx??,故?的矩估计量为?????2??2?1,另,似

??1?n?Xi?L???? i?1

对数似然函数为

nn 0?Xi?1其他 lnL????nln???1????lnXi

ndlnL???n???lnXi?0d???1i?1i?1

???1?解得?的最大似然估计量为?n

?Xii?1n??1?1。 6. 设X1,X2,?,Xn是取自总体X的一个样本,总体X服从参数为p的几何分布,即

x?1P?X?x??p?1?p?

解 似然函数

对数似然函数 ,?x?1,2,3,??,其中p未知,0?p?1,求p的最大似然估计。 nL?p??p?1?p?i?1?Xi?n n

?n?lnL?p??nlnp???Xi?n?ln?1?p??i?1?

dlnL?p?n??dpp

解得?Xi?ni?1n 1?p?0??p的最大似然估计量为p1。 7. 已知某路口车辆经过的时间间隔服从指数分布E???,其中??0未知,现在观测到六个时间间隔

1,故平均时间间隔的矩估计和最大似数据(单位:s):1.8,3.2,4,8,4.5,2.5,试求该路口车辆经过的平均时间间隔的矩估计值与最大似然估计值。 解 根据习题1的结果,?的矩估计和最大似然估计量都为

然估计都为1,即为。 ?

由样本观测值可算得?1?1.8?3.2?4?8?4.5?2.5??4。 6

x1??8. 设总体X的密度函数为f?x;???e,????x????,其中??0未知,设2?

X1,X2,?,Xn是取自这个总体的一个样本,试求?的最大似然估计。

?n

解 似然函数 L????1

2?ne?i?1Xi?,

对数似然函数为

lnL?????nln?2???

n1??Xii?1n

dlnL???n???i?1

2?0d???

1n???Xi。 得?的最大似然估计量为?ni?1?Xi

9. 在第3题中?的矩估计是否是?的无偏估计?

?解 E?1???E?2??2E???2E???X?nni?12n??2n???EX????? i?inni?1i?12?

故?的矩估计量2是?的无偏估计。

10. 试证第8题中?的最大似然估计是?的无偏估计。

?1n?1n???E??EX证明:??i???EXi? ?ni?1?ni?1

1n??1??1n??1??????x?dx??2?0x??dx?? ni?12?ni?12?

??故?的最大似然估计?1n?Xi是?的无偏估计。 ni?1xx

11. 设X1,X2,X3为总体X~??,?2的样本,证明 ??

111X1?X2?X3632 212?2?X1?X2?X3?555?1??

都是总体均值?的无偏估计,并进一步判断哪一个估计有效。

证明 E11?1??1??E?X1?X2?X3? ???632?

111E?X1??E?X2??E?X3?632 ?111??????E?X??E?X????632??

12?2??2??E?X1?X2?X3?E??55?5?

212?E?X1??E?X2??E?X3? 555

?212??????E?X??E?X????555?

?1,??2都是总体均值?的无偏估计。 所以?

又 X?X?X?1??D?1?2?3? D??32??6

111D?X1??D?X2??D?X3?3694 11177???????D?X??D?X???2

1818?3694??

12?2??2??D?X1?X2?X3?D??55?5?

414?D?X1??D?X2??D?X3? 252525

99?D?X???2

2525

可见D

12. 设

2?2更有效。 ?2??D???1?,所以二个估计量中???X1,X2,?,Xn是取自总体X~?0,?2的一个样本,其中?2?0未知,令??1n2???Xi,试证??2是?2的相合估计。 ?ni?1

?1n2?1n222?证明 易见E??E??Xi???EXi?? ?ni?1?ni?1????

又 1

?2?Xi2~?2?n?,

i?1n

?1n2?由第九章公式(9),D?2?Xi??2n, ??i?1?

故 ?D???242?4?1n2???D?2?Xi??2?。 n??i?1?n

由切比雪夫不等式,当n??,对任给??0,

???P2222?????2D?????2?242n??0 ?是?的相合估计。 即?

习题十一解答

1. 某车间生产滚珠,从长期实践中知道,滚珠直径X服从正态分布???,0.2?,从某天生产的产品2

中随机抽取6个,量得直径如下(单位:mm):14.7,15.0,14.9,14.8,15.2,15.1,求?的0.9双侧置信区间和0.99双侧置信区间。

解 由于?2?????0.22已知,所以选用?的1??置信区间??u1??,?u1???。

22nn??

当1???0.9,查表得u1???u0.95?1.64,当1???0.99,查表得u1???u0.995?2.576。

?14.95,n?6,

代入数据得

?

的双侧0.9置信区间观测值为

?0.20.2?14.95?1.64?,14.95?1.64???,即为

6??

?14.82,15.08?。

?的双侧0.99置信区间观测值为?14.95?2.576?

??

0.2,14.95?2.576?

2

0.2?

即为? 14.74,15.16?。?,6?

2. 假定某商店中一种商品的月销售量服从正态分布?

??,??,?未知。为了合理的确定对该商品的

进货量,需对?和?作估计,为此随机抽取七个月,其销售量分别为:64,57,49,81,76,70,59,试求?的双侧0.95置信区间和方差?的双侧0.9置信区间。

解 由于?和?都未知,故?的1??双侧置信区间为

2

?S*S*?

?n?1?,?t1???n?1??, ??t1??22

nn??

?2的1??双侧置信区间为

??22

nSnS??, ,22???n?1??n?1?

2?1?2?

代入数据得

22

?65.14,s2?108.41,s*?11.25,t0.975?6??2.45,n?7,?0.95?6??0.05?6??1.635,

?

的0.95双侧置信区间观测值为

?11.2511.25?

65.14?2.45?,65.14?2.45???,即为

7??

?54.74,75.54?。

?7?108.417?108.41?

,?2的0.9双侧置信区间观测值为??,即为?60.3,464.14?。 12.5921.635??

3. 随机地取某种子弹9发作试验,测得子弹速度的s

2

*

?11,设子弹速度服从正态分布??,?2,

??

求这种子弹速度的标准差?和方差?的双侧0.95置信区间。

?*2*2?????n?1Sn?1S?,代入数据得解 由于?未知,故?的双侧置信区间为?,2

2???n?1??n?1?

2?1?2?

2

22

n?9,S*2?121,?0.975?8??17.535,?0.025?8??2.18,

?8?1218?121?

,?2的0.95双侧置信区间观测值为??,即为?55.204,444.037?。故?的0.95双侧17.5352.18??

置信区间观测值为.204,444.037,即为?7.43,21.07?。 ?

4. 已知某炼铁厂的铁水含碳量(1%)正常情况下服从正态分布???,??,且标准差??0.108。现2

测量五炉铁水,其含碳量分别是:4.28,4.4,4.42,4.35,4.37(1%),试求未知参数?的单侧置信水平为0.95的置信下限和置信上限。

解 由于??0.108已知,故?的1??单侧置信下限为?u1????

n,?的1??单侧置信上限为?u1????

n,代入数据得?4.364(%),u0.95?1.645,n?5,故?的0.95单侧置信下限观测值0.108

5为4.364?1.645?0.108

?4.285,?的0.95单侧置信上限观测值为4.364?1.645??4.443。

5. 某单位职工每天的医疗费服从正态分布???,??,现抽查了25天,得?170元,s2*?30元,求职工每天医疗费均值?的双侧0.95置信区间。

?S*S*?解 由于?未知,故?的1??双侧置信区间为??t1??,?t1???,代入数据得

nn??2

?170,s*?30,n?25,t0.975?24??2.0639,故?的0.95双侧置信区间观测值为?3030?170?2.0639,170?2.0639??,即为?157.4,182.6?。 2424??

6. 某食品加工厂有甲乙两条加工猪肉罐头的生产线。设罐头质量服从正态分布并假设甲生产线与乙生产线互不影响。从甲生产线并假设抽取10只管头测得其平均质量从乙生产线抽取20只罐头测得其平均质量

头生产线生产罐头质量的均值差?1

解 由于?1?501g,已知其总体标准差?1?5g;?498g,已知其总体标准差?2?4g,求甲乙两条猪肉罐??2的双侧0.99置信区间。 ?5g,?2?4g已知,故?1??2的1??的双侧置信区间为

22???12?2?12?2???u1??? ?,??u1???

22mnmn????

代入数据得22?501,?498,m?10,n?20,?1?25,?2?16,u0.995?2.576,故?1??2的0.99双侧置信区间观测值为?25162516?501?498?2.576?,501?498?2.576??,即为?10201020??????1.68,7.68?。

7. 为了比较甲、乙两种显像管的使用寿命X和Y,随机的抽取甲、乙两种显像管各10只,得数据x1,?,x10和y1,?,y10(单位:104h),且由此算得?2.33,?0.75,

2??xi???27.5,??yi???19.2,假定两种显像管的使用寿命均服从正态分布,且由生产过程2

i?1i?11010

知道它们的方差相等。试求两个总体均值之差?1

解 由于?12??2的双侧0.95置信区间。 2??2??2未知,故?1??2的1??双侧置信区间为

?1111???????tm?n?2S?,??tm?n?2S?? ???ww1?21?2mnmn????

2其中Swn122??m?????X??Y?, ??ii?m?n?2?i?1?i?1?

代入数据得?2.33,?0.75,m?10?n,sw?1.611,t0.975?18??2.1009,故?1??2的0.95双侧置信区间观测值为

?1111??,2.33?0.75?2.1009?1.??, ?2.33?0.75?2.1009?1.10101010????

即为?0.066,3.094?。

8. 在3091个男生,3581个女生组成的总体中,随机不放回地抽取100人,观察其中男生的成数,要求计算样本中男生成数的SE。

解 由于样本大小n?100相对于总体容量N?6672来说很小,因此可使用有放回抽样的公式。 样本成数?100?3091??50?5。??46?54?50,标准差SE的估计为SE ?46,估计?66729. 抽取1000人的随机样本估计一个大的人口总体中拥有私人汽车的人的百分数,样本中有543人拥有私人汽车,(1)求样本中拥有私人汽车的人的百分数的SE;(2)求总体中拥有私人汽车的人的百分数的95%的置信区间。

解 ?543??.3?45.7?49.8, ?100?54.3(%),?1000

??u?1.575,u1???SE0.975?1.575?3.087,

2?故SE?498所以总体中拥有私人汽车的人的百分数的95%的置信区间观测值为?51.213,57.387?。

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