haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 学科竞赛学科竞赛

1991—2011年全国初中数学联赛试题【共21份有答案】

发布时间:2013-12-17 15:35:40  

1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题

第一试

一、选择题

本题共有8个小题,每小题都给出了(A)、(B)(C)、(D)四个答案结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.

1. 设等式a(x?a)?a(y?a)?x?a?a?y在实数范围内成立,其中a,x,y是3x2?xy?y2

两两不同的实数,则2的值是 x?xy?y2

15(A)3 ; (B); (C)2; (D). 33

答( )

2. 如图,AB‖EF‖CD,已知AB=20,CD=80,BC=100,那么EF的值是

(A) 10; (B)12;

(C) 16; (D)18.

答( )

3. (A)方程x2?x?1?0的解是 1??1?5; (B); 22

1??1?5?1?或; (D)?. 222(C)

答( )

4. ?1n已知:x?(1991?1991n)(n是自然数).那么(x??x2)n,的值是 211

(A)1991?1; (B)?1991?1;

(C)(?1)n1991; (D)(?1)n1991?1.

答( )

5. 若1?2?3???99?100?12nM,其中M为自然数,n为使得等式成立的最大的自然数,则M

(A)能被2整除,但不能被3整除;

(B)能被3整除,但不能被2整除;

(C)能被4整除,但不能被3整除;

(D)不能被3整除,也不能被2整除.

1

答( )

6. 若a,c,d是整数,b是正整数,且满足a?b?c,b?c?d,c?d?a,那么 a?b?c?d的最大值是

(A)?1;(B)?5;(C)0;(D)1.

答( )

7. 如图,正方形OPQR内接于ΔABC.已知ΔAOR、ΔBOP和ΔCRQ的面积分别是S1?1,

S1?1S2?3和S3?1,那么,正方形OPQR的边长是 (A)2;(B)3;(C)2 ;(D)3.

答( )

8. S2?3 S3=1 在锐角ΔABC中,AC?1,AB?c,?A?60?,ΔABC的外接圆半径R≤1,则 11(A)< c < 2 ; (B)0< c ≤; 22

答( )

(C)c > 2; (D)c = 2.

答( )

二、填空题

1.E是平行四边形ABCD中BC边的中点,AE交对角线BD于G,如果ΔBEG的面积是1,则平行四边形ABCD的面积是 .

2.已知关于x的一元二次方程ax2?bx?c?0没有实数解.甲由于看错了二次项系数,误求得两根为2和4;乙由于看错了某一项系数的符号,误求得两根为-1和4,那么,2b?3c? . a

(x?1)m(x?1)p

?1?3.设m,n,p,q为非负数,且对一切x >0,恒成立,则 xnxq

(m2?2n?p)2q? .

4.四边形ABCD中,∠ ABC?135?,∠BCD?120?,AB?6,BC?5?,

CD = 6,则AD = .

120?135?

2

第二试

x + y, x - y, x y, x y

四个数中的三个又相同的数值,求出所有具有这样性质的数对(x , y).

二、ΔABC中,AB<AC<BC,D点在BC上,E点在BA的延长线上,且

BD=BE=AC,ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点(如图).

求证:BF=AF+CF

三、将正方形ABCD分割为 n2个相等的小方格(n是自然数),把相对的顶点A,C染成红色,把B,D染成蓝色,其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色.证明:恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数.

3

1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题

第一试

一.选择题

本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.

1.满足a?b?ab?1的非负整数(a,b)的个数是

(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.

2.若x0是一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的根,则判别式??b2?4ac与平方式M?(2ax0?b)2的关系是

(A)?>M (B)?=M (C)?>M; (D)不确定.

3.若x2?13x?1?0,则x4?x?4的个位数字是

(A)1; (B)3; (C)5; (D)7.

答( )

4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为

(A)7; (B)6; (C)5; (D)4.

答( )

5.如图,正比例函数y?x和y?ax(a?0)的图像与反比例函的图像分别相交于A点和C点.若Rt?AOB和?COD的面积分别为

与S2的关系是

(A)S1?S2 (B)S1?S2

(C)S1?S2 (D)不确定 答( ) 数y?k(k?0)xS1和S2,则S1

6.在一个由8?8个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S1,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S2,则S1的整数部分是 S2

(A)0; (B)1; (C)2; (D)3.

答( )

7.如图,在等腰梯形ABCD中, AB//CD, AB=2CD,

4

?A?60?,又E是底边AB上一点,且FE=FB=AC, FA=AB.

则AE:EB等于

(A)1:2 (B)1:3

(C)2:5 (D)3:10

答( )

8.设x1,x2,x3,???,x9均为正整数,且

x1?x2?????x9,x1?x2?????x9?220,则当x1?x2?x3?x4?x5的值最大时,x9?x1的最小值是

(A)8; (B)9; (C)10; (D)11.

答( )

二.填空题

1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm,腰上的中线等15cm,则这个等腰三角形的面积等于________________.

?x2?x4??x4

2.若x?0,则的最大值是__________. x

3.在?ABC中,?C?90?,?A和?B的平分线相交于P点,又PE?AB于E点,若BC?2,AC?3,则AE?EB?4.若a,b都是正实数,且111ba???0,则()3?()3?. aba?bab

第二试

一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程x2?6x?a?0的两根,当这样的三角形只有一个时,求a的取值范围.

二、如图,在?ABC中,AB?AC,D是底边BC上一点,E是线段AD上一点,且?BED?2?CED??A.

求证:BD?2CD.

三、某个信封上的两个邮政编码M和N均由0,1,2,3,5,6这六个不同数字组成,现有四个编码如下:

A:320651 B:105263

C:612305 D:316250

已知编码A、B、C、D各恰有两个数字的位置与M和N相同.D恰有三个数字的位置与M和N相同.试求:M和N.

5

1993年全国初中数学联合竞赛决赛试题

第一试

一.选择题

本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.

1.多项式x12?x6?1除以x2?1的余式是

(A)1; (B)-1; (C)x?1; (D)x?1;

2.对于命题

Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.

Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是

(A)Ⅰ,Ⅱ都对 (B)Ⅰ对,Ⅱ错 (C)Ⅰ错,Ⅱ对. (D)Ⅰ,Ⅱ都错.

3.设x是实数,y?x?1?x?.下列四个结论:

Ⅰ.y没有最小值;

Ⅱ.只有一个x使y取到最小值;

Ⅲ.有有限多个x(不止一个)使y取到最大值;

Ⅳ.有无穷多个x使y取到最小值.

其中正确的是

(A)Ⅰ (B)Ⅱ (C)Ⅲ (D)Ⅳ

4.实数x1,x2,x3,x4,x5满足方程组

?x1?x2?x3?a1;?x?x?x?a;2342???x3?x4?x5?a3;

?x?x?x?a;514?4

??x5?x1?x2?a5.

其中a1,a2,a3,a4,a5是实常数,且a1?a2?a3?a4?a5,则x1,x2,x3,x4,x5的大小顺序是

(A)x1?x2?x3?x4?x5; (B)x4?x2?x1?x3?x5;

(C)x3?x1?x4?x2?x5; (D)x5?x3?x1?x4?x2.

5.不等式x?1?(x?1)2?3x?7的整数解的个解

(A)等于4 (B)小于4 (C)大于5 (D)等于5 6

6.在?ABC中,?A是钝角,O是垂心,AO?BC,

则cos(?OBC??OCB)的值是 (A)?22 (B) 22

(C)31 (D)?. 22

答( )

7.锐角三角ABC的三边是a, b, c,它的外心到三边的距离分别

p,那么m:n:p等于 111(A)::; (B)a:b:c abc

(C)cosA:cosB:cosC (D)sinA:sinB:sinC.

答( ) 8.3(421?1??)可以化简成 999为m, n,

(A)3(2?1); (B)(2?1) (C)2?1 (D)2?1

答( )

二.填空题

3x2?6x?51.当x变化时,分式2的最小值是___________.

2x?x?1

2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.

3.若方程(x2?1)(x2?4)?k有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k=____________.

4.锐角三角形ABC中,?A?30?.以BC边为直径作圆,与AB, AC

于D, E,连接DE, 把三角形ABC分成三角形ADE与四边形BDEC,

的面积分别为S1, S2,则S1:S2=___________. 分别交设它们

第二试

一.设H是等腰三角形ABC垂心,在底边BC保持不变的情况下让顶点A至底边BC的距离变小,这时乘积S?ABC?S?HBC的值变小,变大,还是不变?证明你

论.

二.?ABC中, BC=5, AC=12, AB=13, 在边AB ,AC上分别取点

使线段DE将?ABC分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE

7 的结D, E, 的

小长度.

?,x2?,且三.已知方程x2?bx?c?0及x2?cx?b?0分别各有两个整数根x1,x2及x1

x1x2?0,x1?x2??0.

(1)求证:x1?0,x2?0,x1??0,x2??0;

(2)求证:b?1≤c≤b?1;

(3)求b,c所有可能的值.

8

1994年全国初中数学联赛试题

第一试

(4月3日上午8:30—9:30)

考生注意:本试共两道大题,满分80分.

一、选择题(本题满分48分,每小题6分)

本题共有8个小题都给出了A,B、C,D,四个结论,其中只有一个是正确的,请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内,每小题选对得6分;不选、选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在圆括号内),一律得0分.

〔答〕( )

2.设a,b,c是不全相等的任意实数,若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,z

A.都不小于0 B.都不大于0

C.至少有一个小0于 D.至少有一个大于0 〔答〕( )

3.如图1所示,半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上,且与其余三边BC,CD,DA相切,若BC=2,DA=3,则AB的长

A.等于4 B.等于5

C.等于6 D.不能确定

〔答〕( )

〔答〕A.1 B.-1 C.22001 D.-22001

( )

5.若平行直线EF,MN与相交直线AB,CD

相交成如图2所示的图形,则共得同旁内角

A.4对 B.8对

C.12对 D.16对

〔答〕( )

〔答〕( )

7.设锐角三角形ABC的三条高AD,BE,CF相交于H。若BC=a,AC=b,AB=c,则AH·AD+BH·BE+CH·CF的值是

9

〔答〕( )

A.1001 B.1001,3989

C.1001,1996 D.1001,1996,3989 〔答〕( )

二、填空题(本题满分32分,每小题8分)

各小题只要求在所给横线上直接填写结果.

3.在△ABC中,设AD是高,BE是角平分线,若BC=6,CA=7,AB=8,则DE=______.

4.把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上,使它们两两外切,若要有用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住,则这个大圆形纸片的最小半径等于______.

第二试

(4月3日上午10:00—11:30)

考生注意:本试共三道大题,满分60分.

一、(本题满分20分)

如图所示,在△ABC中,AB=AC.任意延长CA到P,再延长AB到Q,使AP=BQ.求证:△ABC的外心O与A,P,Q四点共圆。

思路一:△OCP≌△OAQ→→∠CPO=∠AQO→→OAPQ四点共圆(视角定理.) 思路二: △PAO≌△QBO→→∠OPA=∠AQO→→OAPQ四点共圆(视角定理.)

10

连接OB、OA。

∠OBA=∠OAB=∠OAC

∴∠PAO=∠QBO

PA=QB AO=BO

∴△PAO≌△QBO

∠OPA=∠AQO

所以O与A,P,Q,四点同园

二、(本题满分20分)

周长为6,面积为整数的直角三角形是否存在?若不存在,请给出证明;若存在,请证明共有几个?

三、(本题满分20分)

某次数学竞赛共有15个题.下表是对于做对n(n=0,1,2,……,15)个题的人数的一个统计.

n 0 1 2 3 …… 12 13 14 15

做对n个题的人数 7 8 10 21 …… 15 6 3 1

如果又知其中做对4个题和4个题以上的学生每人平均做对6个题,做对10个题和10个题以下的学生每人平均做对4个题.问这个表至少统计了多少人?

1994年全国初中数学联赛参考答案

第一试答案

一、选择题;

小题号 1 2 3 4 5 6 7 8

答案 A D B B D C B C

二、填空题:

第二试提示及答案.

一、连结OA,OC,OP,OQ.证明△OCP≌△OAQ,于是

∠CPO=∠AQO,所以O,A,P,Q四点共圆.

三、这个表至少统计了200人.

11

1995年全国初中数学联赛试题

第一试

一、选择题

1.已知a=355,b=444,c=533,则有[ ]

A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b

A.1 B.2 C.3 D.4

3.如果方程(x-1)(x2-2x-m)=0的三根可以作为一个三角形的三边之长,那么实数m的取值范围是

4.如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆,那么此圆的周长为[ ]

A.62π B.63π C.64π D.65π

5.设AB是⊙O的一条弦,CD是⊙O的直径,且与弦AB相交,记M=|S△CAB-S△DAB|,N=2S△OAB,则 [ ]

A.M>N B.M=N C.M<N D.M、N的大小关系不确定

6.设实数a、b满足不等式||a|-(a+b)|<|a-|a+b||,则[ ]

A.a>0且b>0 B.a<0且b>0

C.a>0且b<0 D.a<0且b<0

二、填空题

1.在12,22,32…,952这95个数中,十位数字为奇数的数共有____个。

4.以线段AB为直径作一个半圆,圆心为O,C是半圆周上的点,且OC2=AC·BC,则∠CAB=______.

12

第二试

一、已知∠ACE=∠CDE=90°,点B在CE上,CA=CB=CD,经A、C、D

三点的圆交AB于F(如图)求证F为△CDE的内心。

二、在坐标平面上,纵坐标与横坐标都是整数

理由。

三、试证:每个大于6的自然数n,都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和。

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

\

48

2001年全国初中数学联合竞赛试题及答案

49

50

2002年全国初中数学联合竞赛试题及答案

51

52

2003年全国初中数学联合竞赛试题及答案

53

54

55

56

2005年全国初中数学联合竞赛试题及答案

57

58

2005年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案

59

60

61

62

63

64

65

2006年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案

66

67

68

答案:

69

70

71

72

73

74

75

76

2007年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案

77

78

79

80

答案:

81

82

83

2008年全国初中数学联合竞赛一试试题及答

案 84

85

答案:

86

2008年全国初中数学联合竞赛二试试题及答案

87

88

答案

: 89

90

2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

第一试

一、选择题(本题满分42分,每小题7分)

1.

设a?1,则3a3?12a2?6a?12? ( A

A.24. B. 25.

C. 10.

D. 12.

2.在△ABC中,最大角∠A是最小角∠C的两倍,且AB=7,AC=8,则BC= ( C )

A. B. 10.

C.

3.用[x]表示不大于x的最大整数,则方程x?2[x]?3?0的解的个数为 ( C ) 2

D. A.1. B. 2. C. 3. D. 4.

4.设正方形ABCD的中心为点O,在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取

出两个,它们的面积相等的概率为 ( B A.3314. B. . C. . D. . 14727

D

5.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,以BC为直径在矩形内作半圆,自点A作半

圆的切线AE,则sin?CBE= ( D )

21A.. B. . C. .

D. 31033

6.设n是大于1909的正整数,使得Cn?1909为完全平方数的n的个数是 ( B ) 2009?n

A.3. B. 4. C. 5. D. 6.

二、填空题(本题满分28分,每小题7分)

1.已知t是实数,若a,b是关于x的一元二次方程x?2x?t?1?0的两个非负实根,则2

(a2?1)(b2?1)的最小值是_____?3_______.

2. 设D是△ABC的边AB上的一点,作DE//BC交AC于点E,作DF//AC交BC于点F,已知

△ADE、△DBF的面积分别为m和n,则四边形DECF的面积为

______.

91

3.如果实数a,b满足条件a?b?1,|1?2a?b|?2a?1?b?a,则a?b?__?1____. 2222

4.已知a,b

是正整数,且满足是整数,则这样的有序数对(a,b)共有___7__对. 第二试

一.(本题满分20分)已知二次函数y?x?bx?c(c?0)的图象与x轴的交点分别为A、B,与y轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.

(1)证明:⊙P与y轴的另一个交点为定点.

(2)如果AB恰好为⊙P的直径且S△ABC=2,求b和c的值.

解 (1)易求得点C的坐标为(0,c),设A(x1,0),B(x2,0),则x1?x2??b,x1x2?c.

设⊙P与y轴的另一个交点为D,由于AB、CD是⊙P的两条相交弦,它们的交点为点O,所以2

cOA?OBx1x2???1. OA×OB=OC×OD,则OD?OCcc

因为c?0,所以点C在y轴的负半轴上,从而点D在y轴的正半轴上,所以点D为定点,它的坐标为(0,1).

(2)因为AB⊥CD,如果AB恰好为⊙P的直径,则C、D关于点O对称,所以点C的坐标为(0,?1), 即c??1.

又AB?x1?x2???,所以

S△ABC?1AB?OC?1?2,

2解得b??.

二. (本题满分25分) 已知△ABC中,∠ACB=90°,AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线 AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证:EF∥AB.

92

A

NMB

解 因为BN是∠ABC的平分线,所以?ABN??CBN.

又因为CH⊥AB,所以?CQN??BQH?90???ABN?90???CBN??CNB, 因此CQ?NC.

又F是QN的中点,所以CF⊥QN,所以?CFB?90???CHB,因此C、F、H、B四点共圆. 又?FBH=?FBC,所以FC=FH,故点F在CH的中垂线上.

同理可证,点E在CH的中垂线上.

因此EF⊥CH.

又AB⊥CH,所以EF∥AB.

三.(本题满分25分)已知a,b,c为正数,满足如下两个条件:

a?b?c?32 ①

b?c?ac?a?ba?b?c1???

② bccaab4

.

解法1 将①②两式相乘,得(b?c?ac?a?ba?b?c??)(a?b?c)?8, bccaab

(b?c)2?a2(c?a)2?b2(a?b)2?c2

???8, 即bccaab

(b?c)2?a2(c?a)2?b2(a?b)2?c2

?4??4??0, 即bccaab

93

(b?c)2?a2(c?a)2?b2(a?b)2?c2

即???0, bccaab

(b?c?a)(b?c?a)(c?a?b)(c?a?b)(a?b?c)(a?b?c)???0, bccaab

(b?c?a)即[a(b?c?a)?b(c?a?b)?c(a?b?c)]?0, abc

(b?c?a)(b?c?a)2即[2ab?a2?b2?c2]?0,即[c?(a?b)2]?0, abcabc

(b?c?a)即(c?a?b)(c?a?b)?0, abc

所以b?c?a?0或c?a?b?0或c?a?b?0,即b?a?c或c?a?b或c?b?a.

即90°.

32?2a32?2b32?2c1???, bccaab4

1222变形,得1024?2(a?b?c)?abc ③ 4解法2 结合①式,由②式可得

又由①式得(a?b?c)?1024,即a?b?c?1024?2(ab?bc?ca), 代入③式,得1024?2[1024?2(ab?bc?ca)]?

即abc?16(ab?bc?ca)?4096. 22221abc, 4

(a?16)(b?16)(c?16)?abc?16(ab?bc?ca)?256(a?b?c)?163

??4096?256?32?163?0,

所以a?16或b?16或c?16.

结合①式可得b?a?c或c?a?b或c?b?a.

90°.

94

2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

第一试

一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)

1. 若a,b,c均为整数且满足(a?b)?(a?c)?1,则|a?b|?|b?c|?|c?a|? ( B )

A.1. B.2. C.3. D.4.

2.若实数a,b,c

满足等式3|b|?

6,9|b|?6c,则c可能取的最大值为 ( C )

A.0. B.1. C.2. D.3.

3.若a,b是两个正数,且 1010a?1b?1??1?0, 则 ( C ) ba

1144A.0?a?b?. B.?a?b?1. C.1?a?b?. D.?a?b?2. 3333

2424.若方程x?3x?1?0的两根也是方程x?ax?bx?c?0的根,则a?b?2c的值为 ( A )

A.-13. B.-9. C.6. D. 0.

5.在△ABC中,已知?CAB?60?,D,E分别是边AB,AC上的点,且?AED?60?,ED?DB?CE,?CDB?2?CDE,则?DCB? ( B )

A.15°. B.20°. C.25°. D.30°.

6.对于自然数n,将其各位数字之和记为an,如a2009?2?0?0?9?11,a2010?2?0?1?0?3,a1?a2?a3???a2009?a2010? ( D )

A.28062. B.28065. C.28067. D.28068.

二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)

?x3?y3?19,221.已知实数x,y满足方程组?则x?y??x?y?1,

2.二次函数y?x?bx?c的图象与x轴正方向交于A,B两点,与y轴正方向交于点C.已知2

AB?AC,?CAO?30?,则c?1. 9

3.在等腰直角△ABC中,AB=BC=5,P是△ABC内一点,且PA

,PC=5,则PB=

4.将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行,要求两种颜色的球都要出现,且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放,最多可以摆放____15___个球. 第二试 (A)

一.(本题满分20分)设整数a,b,c(a?b?c)为三角形的三边长,满足 95

a2?b2?c2?ab?ac?bc?13,求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.

解 由已知等式可得

(a?b)2?(b?c)2?(a?c)2?26 ①

令a?b?m,b?c?n,则a?c?m?n,其中m,n均为自然数.

于是,等式①变为m?n?(m?n)?26,即 222

m2?n2?mn?13 ②

?m?3,?m?1,由于m,n均为自然数,判断易知,使得等式②成立的m,n只有两组:?和? n?3.n?1??

(1)当m?3,n?1时,b?c?1,a?b?3?c?4.又a,b,c为三角形的三边长,所以b?c?a,即(c?1)?c?c?4,解得c?3.又因为三角形的周长不超过30,即a?b?c(?c4?)?(c?1),解得?c?c?2525.因此3?c?,所以c可以取值4,5,6,7,8,33

对应可得到5个符合条件的三角形.

(2)当m?1,n?3时,b?c?3,a?b?1?c?4.又a,b,c为三角形的三边长,所以b?c?a,即(c?3)?c?c?4,解得c?1.又因为三角形的周长不超过30,即a?b?c(?c4?)?(c?3),?c解得?c?2323.因此1?c?,所以c可以取值2,3,4,5,6,7,33

对应可得到6个符合条件的三角形.

综合可知:符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5+6=11.

二.(本题满分25分)已知等腰三角形△ABC中,AB=AC,∠C的平分线与AB边交于点P,M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点,作MD//AC,交⊙I于

点D.证明:PD是⊙I的切线. A

证明 过点P作⊙I的切线PQ(切点为Q)并延长,交

BC于点N. 因为CP为∠ACB的平分线,所以∠ACP=∠BCP. 又因为PA、PQ均为⊙I的切线,所以∠APC=∠NPC. 又CP公共,所以△ACP≌△NCP,所以∠PAC=∠PNC.

由NM=QN,BA=BC,所以△QNM∽△BAC,故∠NMQN

=∠ACB,所以MQ//AC.

又因为MD//AC,所以MD和MQ为同一条直线.

又点Q、D均在⊙I上,所以点Q和点D重合,故PD是⊙I的切线.

三.(本题满分25分)已知二次函数y?x?bx?c的图象经过两点P(1,a),Q(2,10a).

(1)如果a,b,c都是整数,且c?b?8a,求a,b,c的值.

96 2C

(2)设二次函数y?x?bx?c的图象与x轴的交点为A、B,与y轴的交点为C.如果关于x的方程x?bx?c?0的两个根都是整数,求△ABC的面积.

解 点P(1,a)、Q(2,10a)在二次函数y?x?bx?c的图象上,故1?b?c?a, 4?2a?c?10a,解得b?9a?3,c?8a?2.

(1)由c?b?8a知?222?8a?2?9a?3,解得1?a?3.

?9a?3?8a,

又a为整数,所以a?2,b?9a?3?15,c?8a?2?14.

(2) 设m,n是方程的两个整数根,且m?n.

由根与系数的关系可得m?n??b?3?9a,消去a,得9mn?8(m?n)??6mn??c?2?8a,

两边同时乘以9,得81mn?72(m?n)??54,分解因式,得(9m?8)(9n?8)?10. ,

所以??9m?8?1,?9m?8?2,?9m?8??10,?9m?8??5,或?或?或? 9n?8?10,9n?8??1,9n?8?5,9n?8??2,????

1021???m?,m??,m?,???m?1,????9993解得?或?或?或? ?n?2,?n?13,?n?7,?n?2,???993???

又m,n是整数,所以后面三组解舍去,故m?1,n?2.

因此,b??(m?n)??3,c??mn??2,二次函数的解析式为y?x?3x?2.

易求得点A、B的坐标为(1,0)和(2,0),点C的坐标为(0,2),所以△ABC的面积为21?(2?1)?2?1. 2

第二试 (B)

一.(本题满分20分)设整数a,b,c为三角形的三边长,满足a?b?c?ab?ac?bc?13,求符合条件且周长不超过30的三角形的个数(全等的三角形只计算1次).

解 不妨设a?b?c,由已知等式可得 222

(a?b)2?(b?c)2?(a?c)2?26 ①

令a?b?m,b?c?n,则a?c?m?n,其中m,n均为自然数.

于是,等式①变为m?n?(m?n)?26,即 222

m2?n2?mn?13 ②

97

由于m,n均为自然数,判断易知,使得等式②成立的m,n只有两组:??m?3,?m?1,和? ?n?3.?n?1

(1)当m?3,n?1时,b?c?1,a?b?3?c?4.又a,b,c为三角形的三边长,所以b?c?a,即(c?1)?c?c?4,解得c?3.又因为三角形的周长不超过30,即a?b?c(?c4?)?(c?1),解得?c?c?2525.因此3?c?,所以c可以取值4,5,6,7,8,33

对应可得到5个符合条件的三角形.

(2)当m?1,n?3时,b?c?3,a?b?1?c?4.又a,b,c为三角形的三边长,所以b?c?a,即(c?3)?c?c?4,解得c?1.又因为三角形的周长不超过30,即a?b?c(?c4?)?(c?3),?c解得?c?2323.因此1?c?,所以c可以取值2,3,4,5,6,7,33

对应可得到6个符合条件的三角形.

综合可知:符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5+6=11.

二.(本题满分25分)题目和解答与(A)卷第二题相同.

三.(本题满分25分)题目和解答与(A)卷第三题相同.

第二试 (C)

一.(本题满分20分)题目和解答与(B)卷第一题相同.

二.(本题满分25分)题目和解答与(A)卷第二题相同.

三.(本题满分25分)设p是大于2的质数,k为正整数.若函数y?x?px?(k?1)p?4的图象与x轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数,求k的值.

解 由题意知,方程x?px?(k?1)p?4?0的两根x1,x2中至少有一个为整数.

由根与系数的关系可得x1?x2??p,22x1x2?(k?1)p?4,从而有

(x1?2)(x2?2)?x1x2?2(x1?x2)?4?(k?1)p ①

(1)若k?1,则方程为x?px?2(p?2)?0,它有两个整数根?2和2?p.

(2)若k?1,则k?1?0.

因为x1?x2??p为整数,如果x1,x2中至少有一个为整数,则x1,x2都是整数.

又因为p为质数,由①式知p|x1?2或p|x2?2.

不妨设p|x1?2,则可设x1?2?mp(其中m为非零整数),则由①式可得x2?2?2k?1, m

98

k?1k?1,即x1?x2?4?mp?. mm

k?1又x1?x2??p,所以?p?4?mp?,即 m

k?1(m?1)p??4 ② m

k?1k?1如果m为正整数,则(m?1)p?(1?1)?3?6,?0,从而(m?1)p??6,与②式矛mm故(x1?2)?(x2?2)?mp?盾.

如果m为负整数,则(m?1)p?0,

2k?1k?1?0,从而(m?1)p??0,与②式矛盾. mm因此,k?1时,方程x?px?(k?1)p?4?0不可能有整数根.

综上所述,k?1.

99

100

101

102

103

104

105

网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com