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1985年全国初中数学联合竞赛试题及解答

发布时间:2013-12-18 09:33:35  

1985年全国初中数学联合竞赛试题

一、选择题

1.设ABCD为圆内接四边形,现在给出四个关系式 ⑴sinA?sinC

⑵sinA?sinC?0

⑶cosB?cosD?0

⑷cosB?cosD

其中总能成立的关系式的个数是( ) A.一个

B.两个

2

C.三个

1?(?1)n

2

D.四个

2.若n是大于1的整数,则p?n?(n?1) A.一定是偶数

的值( )

B.一定是奇数

D.可以是奇数也可以是偶数

C.是偶数但不是2

3.在平行四边形ABCD中,P为BC的中点,过P作BD的平行线交CD于Q,连PA,

PD,QA,QB,则图中与△ABP面积相等的三角形,除△ABP外还有( ) A.三个

C.五个

B.四个 D.六个

B

A

D

4.函数y?1?|x?x2|的图像大致形状是( ) A.图1中的实线部分 C.图3中的实线部分

B.图2中的实线部分 D.图4中的实线部分

图 1

图 2

图 3图 4

1

?x??u??x??u????15?5.?x?表示取数x的整数部分,例如???3等,若y?4?,且当 ??????444??????

x?1,8,11,14时,y?1;

x?2,5,12,15时,y?2;

x?3,6,9,16时,y?3;

x?4,7,10,13时,y?0.

则表达式中u等于( )

A.x?2 4 B.x?1 4 C.x 4 D.x?1 4

6.如图5,在等腰△ABC中,CD是底边AB上的高,E是腰BC的

中点,AE交CD于F,现在给出三条路线:

(a)A→F→C→E→B→D→A

EC

(b)A→C→E→B→D→F→A

(c)A→D→B→E→F→C→A

设它们的长度分别为L(a),L(b),L(c),那么下列三种关系式:

L(a)?L(b,( ) )L(a)?L(c),L(b)?L(c)中,一定能够成立的个数是:

A.0个

C.2个

二、填空题

1

.设a?b

?2b?c?2,则a2?b2?c2?ab?bc?ca的值为_______.

2.设方程x2?402x?k?0的一根加3,即为另一根的80倍.那么k=_______. B.1个 AD图 5B D.3个

3.有甲、乙、丙三种货物,若购甲3件,乙7件,丙1件,共需3.15元.购甲4件,

乙10件,共需4.20元.现在购甲、乙、丙各1件共需_______元.

4.不等式42x2?ax?a2的解为______.

5.已知x(x?0,?1)和1两个数,如果只许用加法、减法,1作被除数的除法三种运算

(可以使用括号),经过六步算出x2,那么计算的表达式是________.

6.在正实数集上定义一个运算*,其规则为:当a≥b时,a*b?ba;当a?b时,

a*b?b2.根据这个规则,方程3*x?27的解是_________.

2

三、如图6,O为凸五边形ABCDE内一点,且∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6,∠7=∠8.

求证:∠9与∠10相等或互补.

A

6

2

图 6O2B

四、如图,⊙O1,⊙O2外切于A,半径分别为r1和r2;PB,PC分别为两圆的切线,B,C

为切点;PB:PC=r1:r2;又PA交⊙O2于E点.求证:△PAB∽△PEC.

五、有一长、宽、高分别为正整数m,n,r(m≤n≤r)的长方体,表面涂上红色后切成棱

长为1的正方体,已知不带红色的正方体个数与两面带红色的正方体个数之和,减去一面带红的正方体个数得1985.求m,n,r的值.

3

1985年全国初中数学联合竞赛试题

答案

一、选择题

1.B

【解析】 因ABCD为圆内接四边形,故?C?180???A,且?A,?C都不能为0?及180?,

所以⑴式恒成立;⑵式恒不成立.

同样由?D?180???B,⑶式恒成立;⑷式只有?B??D?90?时成立,所以,所给的四个式子,只有⑴,⑶总能成立. 故选B.

2.B

1?(?1)n

【解析】 当n为偶数时,?0,p?n?1是奇数; 2

1?(?1)n

当n为奇数时,?1,且n2?1为偶数, 2

故p?n?(n2?1)为奇数, 因而p?n?(n2?1)

故选B

3.C

【解析】 由题设条件,Q是CD的中点,这样图中与△ABP面积相等的三角形有三类:

⑴与△ABP等底等高的三角形有二个:△BPD,△PCD; ⑵一边为BP边的二倍,而高为BP上的高一半的三角形有二个: △BCQ,△ADQ;⑶与△BCQ等底同高的三角形有一个:△QDB. 故共有五个.

故选C.

4.C

2??1?x?x,0≤x≤1【解析】 因x?x?0的根为0及1,故y?1?|x?x|?1?|x?x|??. 2??1?x?x,x?0,x?11?(?1)n2值一定是奇数. 222

由二次函数的图象可知,函数y?1?|x?x2|的图象大致形状是图3中的实线部分. 故选C.

4

5.D

【解析】 若u??3?3??x?2,则当x?2时,u?1,[u]?1,因而y?4??????3, 4?4?4??

与题设x?2时,y?2相违,故A错,用同样的方法可排除B,C. 故选D.

6.B

【解析】 由题条件可知,F是△ABC的重心,因而CF?2DF,AF?2FE.

因为CA?CB,又因为

L(c)?AB?BE?EF?FC?CA,

L(b)?AC?CB?BD?DF?FA,

L(a)?AF?FC?CB?BA,

①L(c)?L(a)?BE?EF?CA?AF?BC

=EF?CA?FA?CE

?CE?EF

1?(AC?AF). 2

∵?CFA为钝角,

∴L(c)?L(a)恒大于0.

②L(c)?L(b)?(AB?BD)?(EF?FA)?(FC?DF)?CE?AD?DF?CE?EF. 当△ABC为等边三角形,AD?CE,DF?EF,因而L(c)=L(b),这说明L(b)?L(c)不恒成立.

③L(a)?L(b)?FC?DA?AC?DF?DF?DA?AC,

当?ACB?120?,且AC?BC?

1时,AD?故L(a)?L(b)?1??1??1?0, 611,CD?,DF?,

26

即L(a)?L(b),故不等式L(a)?L(b)不恒成立,

即三个不等式中,只有一个恒成立.

故选B.

二、填空题

1.15

【解析】 令S?a2?b2?c2?ab?bc?ca,则

5

2S?2a2?2b2?2c2?2ab?2bc?2ca

?(a?b)2?(b?c)2?(c?

a)2

??

2?2??22?42

?30. ∴S?1

2?30?15.

即a2?b2?c2?ab?bc?ca?15.

2.1985

【解析】 设方程两根为x1,x2,

由题意,有x1?3?80x2,即x1?80x2?3.

又x1?x2?402,

∴80x2?3?x2?402.

从而x2?5,x1?80x2?3?397,

于是k?xd1x2?397?5?1985.

3.1.05元

【解析】 设购甲货1件需x元,乙货1件需y元,丙货1件需z元,根据题意,有

??3x?7y?z?31.15,①

?4x?10y?z?4.20.②

由①×3-②×2得x?y?z?1.05

因此购甲、乙、丙各一件共需1.05元.

4.当a?0时,无解;

当a?0时,解为?a

6?x?a

7;

当a?0时,解为a

7?x??a

6

5.1?[1?x?1?(x?1)]?x或1?[1?(x?1)?(1?x)]?x

6.3

,【解析】 若3≥x,则3*x?x3.

6

∵27?x3, ∴x?3,

若3?x,则3*x?x2. ∵27?x2,

∴x

因此方程3*x?27的解是3

三、

【解析】 由正弦定理及已知条件得

OAOBOBOCOCOD

, ?????

sin?10sin?1sin?2sin?3sin?4sin?5ODOEOEOA

. ???

sin?6sin?7sin?8sin?9

从而sin?10?sin?9,故?9与?10相等或互补.

(事实上,这些三角形的外接圆都为等圆) 四、

【解析】 如图,连O1O2,O1B,PO1,PO2,O2C,O2E,O1,A,O2三点共线,

∵PB:PC?r1:r2, ∴Rt△PBO1∽Rt△PCO2, ∴?3??4,

PO1:PO2?r1:r2?O1A:O2A.

于是PA为?O1PO2的平分线,即?1??2. 由?O1AP??O2EP,得△O1AP∽△O2EP, ∴PA:PE?r1:r2, 即PA:PE?PB:PC.

又由?3??4,?1??2,知?BPA??CPE, ∴△PAB∽△PEC.

五、

【解析】 首先设m?2,依题意,不带红色的正方体个数为k0?(m?2)(n?2)(r?2);

一面带红色的正方体个数为k1?2(m?2)(n?2)?2(m?2)(r?2)?2(n?2)(r?2); 两面带红色的正方体的个数为k2?4(m?2)?4(n?2)?4(r?2);

7

于是有k0?k1?k2?1985,

即(m?2)(n?2)(r?2)?4[(m?2)?(n?2)?(r?2)]

?2[(m?2)(n?2)?(m?2)(r?2)?(n?2)(r?2)?2]?1985. 亦即[(m?2)?2][(n?2)?2][(r?2)?2]?1985?8?1977, (m?4)(n?4)(r?4)?1977.

∵1977?1?3?659?1?1?1977?(?1)?(?1)?1977, ∴m?4?1,n?4?3,r?4?659,

或m?4?1,n?4?1,r?4?1977,

或m?4??1,n?4??1,r?4?1977.

∴m?5,n?7,r?663,

或m?5,n?5,r?1981,

或m?3,n?3,r?1981.

其次设m?1,这时n?1,无解.

∴n≥2.依题意,不带红色的正方体的个数为k0?0, 一面带红色的正方体的个数为k1?0.

两面带红色的正方体个数为k2?(n?2)(r?2),

于是有k0?k2?k1?k2?1985.

即(n?2)(r?2)?1985?5?397,

或n?2?1,r?2?1985,

∴m?1,n?7,r?399,

或m?1,n?3,r?1987.

再设m?2,k0?0,k1与k2都是偶数,

显然k0?k2?k1?1985.

综上所述,符合题意的m,n,r有五组: m1?5,n1?7,r1?663;

m2?5,n2?5,r2?1981;

m3?3,n3?3,r3?1981;

m4?1,n4?7,r4?399;

m5?1,n5?3,r5?1987.

8

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