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希望杯初二试题整理

发布时间:2013-12-18 10:34:25  

希望杯第一届(1990年)初中二年级第一试试题

一、选择题:(每题1分,共10分)

1.一个角等于它的余角的5倍,那么这个角是( )

A.45° B.75° C.55° D.65°

2.2的平方的平方根是( )

A.2. B.-2 C.±2 D.4

3.当x=1时,a0x-a1x+a0x-a1x-a1x+a1x-a0x+a1x-a0x+a1x的值是( )

A.0 B.a0 C.a1 D.a0-a1

4. ΔABC,若AB=?

,则下列式子成立的是( )

A.∠A>∠C>∠B B.∠C>∠B>∠A C.∠B>∠A>∠C D.∠C>∠A>∠B

5.平面上有4条直线,它们的交点最多有( )

A.4个 B.5个 C.6个 D.7个

6.52?7的立方根是( ) A.2?1 B.1?2 C.?(2?1) D.2?1

7.把二次根式a??1化为最简二次根式是( ) a

A.a B.?1098765432a C.??a D.?a

8.如图1在△ABC中,AB=BC=CA,且AD=BE=CF,但D,E,F不是AB,BC,CA的中点.又AE,BF,CD分别交于M,N,P,如果把找出的三个全等三角形叫做一组全等三角形,那么从图中能找出全等三角形( )

A.2组 B.3组 C.4组 D.5组

x2?2xy?2y?1y2?1y?19.已知 等于一个固定的值,则这个值是( )??x2?12y2?xy?y?x?1x?1

A.0 B.1 C.2 D.4

把f1990化简后,等于 ( )

A.x1 B.1-x C. D.x x?1x

22二、填空题(每题1分,共10分) . 1.?66?________

3??91?2.?

0.0196????. ???__________?625??125?????

1

?=________.

4.如图2,∠A=60°,∠1=∠2,则∠ABC的度数是______.

5.如图3,O是直线AB上一点,∠AOD=117°,∠BOC=123°,则∠COD的度数是____度.

6.△ABC中,∠C=90°,∠A的平分线与∠B的平分线交于O点,则∠AOB的度数是______度.

7.计算下面的图形的面积(长度单位都是厘米)(见图4).答:______.

8.方程x+px+q=0,当p>0,q<0时,它的正根的个数是______个.

9.x,y,z适合方程组 2

?8x?2y?z6x?zx?y???532??x?y?zx?1y?1?? ?353??3x?4y?5z?1??

则1989x-y+25z=______.

10.已知3x+4x-7=0,则6x+11x-7x-3x-7=______.

2432

希望杯第一届(1990)第二试试题

一、选择题:(每题1分,共5分)

1.等腰三角形周长是24cm,一腰中线将周长分成5∶3的两部分,那么这个三角形的底边长是( )

A.7.5 B.12 C.4 D.12或4

2.已知P=?1989?1990?1991?1?(?1989)2,那么P的值是( )

A.1987 B.1988 C.1989 D.1990

3.a>b>c,x>y>z,M=ax+by+cz,N=az+by+cx,P=ay+bz+cx,Q=az+bx+cy,则有( )

A.M>P>N且M>Q>N. B.N>P>M且N>Q>M

C.P>M>Q且P>N>Q. D.Q>M>P且Q>N>P

4.凸四边形ABCD中,∠DAB=∠BCD=900, ∠CDA∶∠ABC=2∶1,AD∶CB=1

则∠BDA=( )

A.30° B.45° C.60° D.不能确定

5.把一个边长为1的正方形分割成面积相等的四部分,使得在其中的一部分内存在三个点,以这三个点为顶点可以组成一个边长大于1的正三角形,满足上述性质的分割( )

A.是不存在的 B.恰有一种 C.有有限多种,但不只是一种 D.有无穷多种

二、填空题:(每题1分,共5分)

1.△ABC中,∠CAB∠B=90°,∠C的平分线与AB交于L,∠C的外角平分线与BA的延长线交于N.已 2

知CL=3,则CN=______.

111????2

(ab?2)?0,那么的值是ab(a?1)(b?1)(a?1990)(b?1990)2

_____.

3.已知a,b,c满足a+b+c=0,abc=8,则c的取值范围是______.

4.ΔABC中, ∠B=300

,三个两两互相外切的圆全在△ABC中,这三个圆面积之和的最大值的整数部分是______.

5.设a,b,c是非零整数,那么abcabacbcabc??????的值等于_________. abcabacabc

三、解答题:(每题5分,共15分)

1.从自然数1,2,3?,354中任取178个数,试证:其中必有两个数,它们的差是177.

2.平面上有两个边长相等的正方形ABCD和A'B'C'D',且正方形A'B'C'D'的顶点A'在正方形ABCD的中心.当正方形A'B'C'D'绕A'转动时,两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值.这个结论对吗?证明你的判断.

3.用1,9,9,0四个数码组成的所有可能的四位数中,每一个这样的四位数与自然数n之和被7除余数都不为1,将所有满足上述条件的自然数n由小到大排成一列n1<n2<n3<n4??,试求:n12n2之值.

3

第二届(1991年)初中二年级

第一试试题

一、选择题:(每题1分,共15分)

1.如图1,已知AB=8,AP=5,OB=6,则OP的长是( )

A.2 B.3 C.4 D.5

2.方程x2-5x+6=0的两个根是( ) A.1,6 B.2,3 C.2,3 D.1,6 (1)3.已知△ABC是等腰三角形,则( )

A.AB=AC B.AB=BC C.AB=AC或AB=BC D.AB=AC或AB=BC或AC=BC

3,则a,b,c的大小关系是( ) b?c?3?44?

A.a>b>c B.a=b=c C.a=c>b D.a=b>c

5.若a≠b,则

( )

6.已知x,y都是正整数,那么三边是x,y和10的三角形有( )

A.3个 B.4个 C.5个 D.无数多个

7.两条直线相交所成的各角中,( )

A.必有一个钝角 B.必有一个锐角 C.必有一个不是钝角 D.必有两个锐角

8.已知两个角的和组成的角与这两个角的差组成的角互补,则这两个角( )

A.一个是锐角另一个是钝角 B.都是钝角 C.都是直角 D.必有一个角是直角

9.方程x2+|x|+1=0有( )个实数根.

A.4 B.2 C.1 D.0

10.一个两位数,用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去-2,仍得原数,这个两位数是( )

A.26 B.28 C.36 D.38

11.若11个连续奇数的和是1991,把这些数按大小顺序排列起来,第六个数是( )

A.179 B.181 C.183 D.185

12.

??

1,等于( )

A.2x+5 B.2x-5 C.1 D.1

13.方程2x5+x4-20x3-10x2+2x+1=0有一个实数根是( )

14.当a<-1时,方程(a3+1)x2+(a2+1)x-(a+1)=0的根的情况是( )

A.两负根 B.一正根、一负根且负根的绝对值大

C.一正根、一负根且负根的绝对值小 D.没有实数根

15.甲乙二人,从M地同时出发去N地.甲用一半时间以每小时a公里的速度行走,另一半时间以每小时b公里的速度行走;乙以每小时a公里的速度行走一半路程,另一半路程以每小时b公里的速度行走.若a≠b时,则( )到达N地.

A. 二人同时 B.甲先

C.乙先 D.若a>b时,甲先到达,若a<b时,乙先

二、填空题:(每题1分,共15分)

1.一个角的补角减去这个角的余角,所得的角等于______度.

4

=______________. 3.

x?0的解是x=________. 2.有理化分母

4.分解因式:x3+2x2y+2xy2+y3=______.

5.若方程x2+(k2-9)x+k+2=0的两个实数根互为相反数,则k的值是______.

a?b6.如果2x2-3x-1与a(x-1)2+b(x-1)+c是同一个多项式的不同形式,那么=_ _. c

7.方程x2-y2=1991有______个整数解.

8.当m______时,方程(m-1)x2+2mx+m-3=0有两个实数根.

9.如图2,在直角△ABC中,AD平分∠A,且BD∶DC=2∶1,则∠B等于______度.

AF

A

BCCD

(2) (3) (4)

10.如图3,在圆上有7个点,A,B,C,D,E,F,和G,连结每两个点的线段共可作出__条.

11.D,E分别是等边△ABC两边AB,AC上的点,且AD=CE,BE与CD交于F,则∠BFC等于__度.

12.如图4,△ABC中,AB=AC=9,∠BAC=120°,AD是△ABC的中线,AE是△ABD的角平分线,DF∥AB交AE延

长线于F,则DF的长为______.

13.在△ABC中,AB=5,AC=9,则BC边上的中线AD的长的取值范围是______.

14.等腰三角形的一腰上的高为10cm,这条高与底边的夹角为45°,则这个三角形的面积是______.

15.已知方程x2+px+q=0有两个不相等的整数根,p,q是自然数,且是质数,这个方程的根是______.

希望杯第二届(1991年)初中二年级第二试试题

一、选择题:(每题1分,共10分)

1.如图29,已知B是线段AC上的一点,M是线段AB的中点,N为线段AC的中点,P为NA的中点,Q为MA的中点,则MN∶PQ等于( )

A.1 B.2 C.3 D.4

2.两个正数m,n的比是t(t>1).若

m+n=s,则m,n中较小的数可以表示为( )

A.ts Bs-ts C.tss D. 1?s1?t

5

3.y>0时

( )

4.(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式,则a,b,c的关系可以写成( )

A.a<b<c B.(a-b)2+(b-c)2=0 C.c<a<b D.a=b≠c

5.如图30,AC=CD=DA=BC=DE.则∠BAE是∠BAC的 ( )

A.4倍 B.3倍 C.2倍 D.1倍

6.D是等腰锐角三角形ABC的底边BC上一点,则AD,BD,CD满足关系式( )

A.AD2=BD2+CD2. B.AD2>BD2+CD2. C.2AD2=BD2+CD2. D.2AD2>BD2+CD2

7.方程x?1?219(x?)的实根个数为( ) 1010

A.4 B.3 C.2 D.1

x3y3

?8.能使分式的值为

的x2、y2的值是( ) yx

A.xy,yC. xy,y9.在整数0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中,设质数的个数为x,偶数的个数为y,完全平方数的个数为z,合数的个数为u.则x+y+z+u的值为 ( )

A.17 B.15. C.13 D.11

22

2

2

2

2

2

2

2

10.两个质数a,b,恰好是x的整系数方程x-21x+t=0的两个根,则ba?等于( ) ab

A.2213 B.240236558 C. D. 493821二、填空题(每题1分,共10分)

1.1989319911991-1991319891988=______.

2.分解因式:a2+2b2+3c2+3ab+4ac+5bc=______.

3.(a2+ba+bc+ac):[(b2+bc+ca+ab):(c2+ca+ab+bc)]的平方根是______.

4.边数为a,b,c的三个正多边形,若在每个正多边形中取一个内角,其和为1800,那么

111??=_________. abc

?x?ay?55.方程组?有正整数解,则正整数a=_______. y?x?1?

6.从一升酒精中倒出11升,再加上等量的水,液体中还有酒精__________升;搅匀后,再倒出升混合33 6

液,并加入等量的水, 搅匀后,再倒出

升酒精. 1升混合液, 并加入等量的水,这时,所得混合液中还有______3

7.如图31,在四边形ABCD中.AB=6厘米,BC=8厘米,CD=24厘米,DA=26厘米.且∠ABC=90°,则四边形ABCD的面积是______.

8.如图32,∠1+∠2+∠3∠4+∠5+∠6=______.

9.x??2x?______.

10.已知两数积ab≠1.且

2a+1234567890a+3=0,3b+1234567890b+2=0,则22a=______. b

三、解答题:(每题5分,共10分,要求:写出完整的推理、计算过程,语言力求简明,字迹与绘图力求清晰、工整)

1. 已知两个正数的立方和是最小的质数.求证:这两个数之和不大于2.

2.一块四边形的地(如图33)(EO∥FK,OH∥KG)内有一段曲折的水渠,现在要把这段水渠EOHGKF改成直的.

(即两边都是直线)但进水口EF的宽度不能改变,新渠占地面积与原水渠面积相等,且要尽可能利用原水渠,

以节省工时.那么新渠的两条边应当怎么作?写出作法,并加以证明.

7

希望杯第三届(1992年)初中二年级第一试试题

一、选择题:(每题1分,共10分)

1.已知a>b>0,则有( ) A.a+b>1 B.ab>1 C.a D.a-b>1 b

2.已知三角形的三个内角度数之比为1∶2∶3,若这个三角形的最短边长为,那么它的最长边等于

( )

11b?,那么a2-ab+b2的值为( ) 22

7911?1

A. B. C. D.2222

3.

若a?

( )

1

1

5.△ABC中,∠A=θ-α,∠B=θ,∠C=θ+α,0°<α<θ<90°.若∠BAC与∠BCA的平分线相交于P点,则∠APC= ( )

A.90° B.105° C.120° D.150°

6.一个自然数的算术平方根为a(a>1),则与这个自然数相邻的两个自然数的算术平方根为( )

D. a-1,a+1 227.已知实数a满足丨1992-a丨

=0,那么a-1992的值为( )

A.1991 B.1992 C.1993 D.1994

38.正整数a被7除,得到余数4,则a+5被7除,得到的余数是( )

A.0 B.2 C.4 D.6

2

的值为( )

21 D.1 210.方程x+667x+1992=0的较大的那个实根的负倒数等于( ) A.1111 B.? C. D. 66436671992二、填空题:(每题1分,共10分)

1. 一个角的补角是它的余角的3倍,则这个角的度数等于______.

2.

二次根式3. 若(x-1)6___________. =a0x6+a1x5+a2x4-a3x3-a4x2-a5x-a6,则a6=______.

4. 若a、b、c为△ABC的三边的长,

5.如图39,△ABC中,∠BCA=90°,∠BAC=60°,BC=4.在CA延长线上取点D,使AD=AB,则D,B两点之间的距离等于______.

m,则m=___________.

27.若a>b>c>0,一元二次方程(a-b)x+(b-c)x+(c-a)=0的两个实根中,较大的一个实根等于______.

8.如图40,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=______.

9

.一个两位质数,将它的十位数与个位数字对调后仍是一个两位质数,我们称它为“无瑕质数”,2

8

则所有“无瑕质数”之和等于______.

2322210.若3x+4y-10=0,则15x+3xy+20xy+4y+3x-50x-6y=______.

希望杯第三届(1992年)初中二年级第二试试题

一、选择题(:每题1分,共10分)

1.73282-73252=( )

A.47249 B.45829 C.43959 D.44969

2.长方形如图43.已知AB=2,BC=1,则长方形的内

接三角形的面积总比数( )小或相等. A.421; B.1; C.; D.. 733

3.当x=6,y=8时,x6+y6+2x4y2+2x2y4的值是( )

A.1200000-254000 B.1020000-250400

C.1200000-250400 D.1020000-254000

4.等腰三角形的周长为a(cm).一腰的中线将周长分成5∶3,则三角形的底边长为( ) A.a3a84; B.a; C. 或a; D.a. 65655

5.

2+6xz+2y+y2+3z2+1=0的x、y、z的值适合( )

?x?2y?3z?0?x?y?z?0?x?3y?2z??6?x?3y?2z??6???? A.?2x?y?z?0;B.?x?y?z?0;C.?2x?y?z?0;D.??x?y?z?0

?x?y?z?0?2x?y?3z?2?2x?y?3z?2?2x?y?3z?2????

6.四边形如图

44,AB=,BC=1, ∠A=∠B=∠C=300,则D点到AB的距离是( ) 2

111A.1; B.; C.; D.. 248

9

7.在式子|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|中,用不同的x值代入,得到对应的值,在这些对应值中,

最小的值是( )

A.1 B.2. C.3 D.4

8.一个等腰三角形如图45.顶角为A,作∠A的三等三分线AD,AE(即∠1=∠2=∠3),若BD=x,DE=y,EC=z,则有( )

A.x>y>z B.x=z>y. C.x=z<y D.x=y=z

9.已知方程(a+1)x2+(|a+2|-|a-10|)x+a=5有两个不同的实根,则a可以是( )

A.5 B.9. C.10 D.11

?和?10.正方形如图46,AB=1,BDAC都是以1为半径的圆弧,

则无阴影的两部分的面积的差是( ) A.

二、填空题(每题1分,共10分)

1.

??2?1; B.1??4; C.?3?1; D.1??6. 的所有根的和的值是______________.

那么

ab=________.

2.已知

3.如图47,在△ABC中,∠ACB=60°,∠BAC=75°,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD与BE交于H,则∠CHD=______.

4.已知

33525,那么x?x?x+1的值是. 424

5.如图48,已知边长为a的正方形ABCD,E为AD的中点,P为CE的中点,那么△BPD的面积的值是______.

x3?y3

6. 已知x+y=4,xy=-4, 那么3=________. 3x?y

7.在正△ABC中(如图49),D为AC上一点,E为AB上一点,

BD,CE相交于P,若四边形ADPE与△BPC的面积相等,那么∠BPE=__ ____.

8.已知方程x2-19x-150=0的一个正根为a,

那么

+┉

9.某校男生若干名住校,若每间宿舍住4名,则还剩20名未住下;若每间宿舍住8名,则一部分宿舍未住满,且无空房,该校共有住校男生____ __名.

10.n是自然数,19n+14与10n+3都是某个不等于1的自然数d的倍数,则d=____ __.

10

三、解答题(写出推理、运算的过程及最后结果,每题5分,共10分)

1. 若a,b,c,d>0,证明:在方程

1211x??

0,x2???

0,x2?

?0222

12x???0中,至少有两个方程有不相等的实数根. 2

2.(1)能否把1,2,?,1992这1992个数分成八组,使得第二组各数之和比第一组各数之和多10,第三组各数之和比第二组各数之和多10,?,最后第八组各数之和比第七组各数之和也多10?请加以说明.

(2)把上题中的“分成八组”改为“分成四组”,结论如何?请加以说明.如果能够,请给出一种分组法.

11

希望杯第四届(1993年)初中二年级第一试试题

一、选择题:(每题1分,共15分)

1.如果a<b<0,那么在下列结论中正确的是( ) A.a+b<-1; B.ab<1; C.aa<1; D.>1. bb

2.已知四个命题:①1是1的平方根.②负数没有立方根. ③无限小数不一定是无理数.

一定没有意义.其中正确的命题的个数是( )

A.1 B.2 C.3 D.4

3.已知8个数

?

?

中无理数的个数是( )

A.3 B.4 C.5 D.6 ?,??

, 其2

4.若

则A的算术平方根是( )

A.a2+3 B.(a2+3)2 C.(a2+9)2 D.a2+9

5.下列各组数可以成为三角形的三边长度的是 ( )

A.1,2,3. B.a+1,a+2,a+3,其中a>0

C.a,b,c,其中a+b>c. D.1,m,n,其中1m<n

6.方程x2+|x|-6=0的最大根与最小根的差是( )

A.6 B.5 C.4 D.3

7.等腰三角形的某个内角的外角是130°,那么这个三角形的三个内角的大小是( )

A.50°,50°,80° B.50°,50°,80°或130°,25°,25°

C.50°,65°,65° D.50°,50°,80°或50°,65°,65°

8.如果

那么xy的值是( )

A.

9.如图67,在△ABC中,AB=AC,D点在AB上,DE⊥AC于E,EF⊥BC于F.

∠BDE=140°,那么∠DEF是( )

A.55° B.60° C.65° D.70°

10.已知-1<x<1,

( ) 2

B.3+3x C.5+x D.5-x A.3-3x

11.如图68,在△ABC中,AB=AC,G是三角形的重心,

那么图中全等的三角形的对数是( )

A.5

A.1 B.6 C.7 B.0 C.1 D.8 D.2 12.若一元二次方程2x(kx-4)-x2+6=0有实数根,则k的最大整数值是( )

13.对于三边的长是三个连续自然数的任意三角形,在下列四个命题中①周长能被2整除.②周长是奇数.③周长能被3整除.④周长大于10.正确的命题的个数是

( )

12

A.1 B.2. C.3

22D.4. 14.若方程9x-6(a+1)x+a-3=0的两根之积等于1,则a的值是( )

A.?

?

; D.15.有下列四个命题:

①两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形不一定是全等三角形.

②两边和第三边上的高对应相等的两个锐角三角形不一定是全等三角形.

③两边和第三边上的高对应相等的两个三角形是全等三角形.

④两边和其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定是全等三角形.其中正确的是( )

A.①,② B.②,③. C.③,④ D.④,①.

二、填空题(每题1分,共15分)

1. 某自然数的平方是一个四位数,千位数字是4,个位数字是5,这个数是______.

2.实数x满足

________.

3.设10个数:195.5,196.5,197.5,198.5,199.5,200,200.5,201,201.5,202.5的平均数为A,则10A=______.

224.如果实数x、y满足2x-6xy+9y-4x+4=0,

=_________.

5.设△ABC的三边a,b,c的长度均为自然数,且a≤b≤c,a+b+c=13,则以a,b,c为三边的三角形共有______个.

+┉┉

=__________.

7.当0<x<2时

8.已知方程x+(2m+1)x+(m+m+1)=0没有实数根,那么m为___ ___.

9.已知a,b,c,d满足a<-1<b<0<c<1<d,且|a+1|=|b+1|,|1-c|=|1-d|,

那么a+b+c+d=___ ___.

10.如图69,在△ABC中,AE是∠BAC的外角的平分线,D是AE上任意一点,则AB+AC____DB+DC.(用“>”、“<”、“=”号连接).

11.如果

-1,那么x+y+z-xy-yz-zx=______ ______.

12.若u、v满足

222223,则u2-uv+v2= . 2

13.如图70,B,C,D在一条直线上,且AB=BC=CA,CD=DE=EC,若CM=r,则CN= .

14.设方程x-y=1993的整数解为α,β,则|αβ|=___ ___. 22

1?73115.若,x+=3, 则=______ ____. 1x4x?4?3xx3?

13

希望杯第四届(1993年)初中二年级第二试试题

一、 选择题:(每题1分,共10分)

1.若a<0,

( )

A.1 B.1 C.2a1 D.12a

2.若一个数的平方是

,则这个数的立方是( )

A.

或;

C.

或?3.在四边形ABCD中

ΔABD=1, SΔBCD

=

∠ABC+∠CDA等于( )

A.150° B.180° C.200° D.210°.

4.一个三角形的三边长分别为2,4,a,如果a的数值恰是方程4|x-2|-4|x-2|+1=0的根,那么三角形的周长为( ) A.72,则 211; B.8; C.9; D.10. 22

5.如果实数x,y满足等式2x+x2+x2y2+2=-2xy,那么x+y的值是( )

A.1 B.0 C.1 D.2.

6.设

,n为正整数,如果2x2+197xy+2y2=1993

B.8 C.9 D.10 成立,那么n的值为( ) A.7

7.如图81,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC、BD平分∠ABC.若△ABD的周长比△BCD的周长多1厘米,则BD的长是( )

A.0.5厘米 B.1厘米 C.1.5厘米

2D.2厘米 8.方程x-2x-5|x-1|+7=0的所有根的和是( )

A.2 B.0 C.-2 D.4

9.如图82,将△ABC的三边AB,BC,CA分别延长至B',C',A',且使BB'=AB,CC'=2BC,AA'=3AC.若S△ABC=1,那么S△A'B'C'是 ( )

A.15 B.16 C.17 D.18

10.如果方程|3x|-ax-1=0的根是负数,那么a的取值范围是( )

A.a>3 B.a≥3 C.a<3 D.a≤3

二、填空题(每题1分,共10分)

1.若两个数的平方和为637,最大公约数与最小公倍数的和为49,则这两个数是______.

2x12?x22.设x1,x2是方程x+px+1993=0的两个负整数根,则=_______. x1x22

3.

11?1的解是

____________. x?1

14

4.如图83,四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O点,

如果S△ABD=5,S△ABC=6,S△BCD=10,那么S△OBC______.

5.设二次方程ax+bx+c=0的两根为x1,x2,记S1=x1+1993x2,

S2=x1+1993x2,┉┉,Sn=x1+1993x2,则aS1993+bS1992+cS1991=__________.

6.设[x]表示不大于x的最大整数,(例如[3]=3,[3.14=3]),那么

7.已知以x为未知数的二次方程abx2-(a2+b2)x+ab=0,其中a,b是不超过10的质数,且a>b,那么两根之和超过3的方程是___ ___.

8.如图84,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,∠BCA的平分线交AD于F,交AB于E,FG∥BC交AB于G.

AE=4,AB=14,则BG=___ ___.

9.已知k为整数,且关于x的方程(k2-1)x2-3(3k-1)x+18=0有两个不相等的正整数根,则k=____ __.

10.某校奖励学生,初一获奖学生中,有一人获奖品3件,其余每人获奖品7件;初二获奖学生中,有一人获奖品4件,其余每人获奖品9件.如果两个年级获奖人数不等,但奖品数目相等,且每个年级奖品数大于50而不超过100,那么两个年级获奖学生共有 人.

三、解答题:(写出推理、运算的过程及最后结果.每题5分,共10分)

1. 如图85,三所学校分别记作A,B,C.体育场记作O,它是△ABC的三条角平分线的交点.O,A,B,C每两地之间有直线道路相连.一支长跑队伍从体育场O点出发,跑遍各校再回到O点.指出哪条路线跑的距离最短(已知AC>BC>AB),并说明理由.

22nn2

2.如果

求a2

. 15

希望杯第五届(1994年)初中二年级第一试试题

一、 选择题:(每小题3分,共30分)

1.使等式成立的x的值是( )

A.是正数 B.是负数. C.是0 D.不能确定

2.对于三角形的三个外角、下面结论中正确的是( )

A. 可能有两个直角. B.最少有一个锐角. C.不可能有三个钝角. D.最多有一个锐角

3.

=0,那么

-5.

4.已知线段a,b,c的长度满足a<b<c,那么以a,b,c组成的三角形的条件是( )

2A.ca<b B.2b<a+c C.cb>a D.b<ac

5.有如下命题:

①负数没有立方根.

②一个实数的立方根不是正数就是负数.

③一个正数或负数的立方根和这个数同号,0的立方根是0.

④如果一个数的立方根是这个数本身,那么这个数必是1或0.

其中错误的是( )

A.①②③ B.①②④. C.②③④ D.①③④

6.若实数x、y满足x+y-4x-2y+5=0,

A.1; B.222b的值是( )

a的值是( )

3

3?

3?2

7.直角三角形的三条边的长度是正整数,其中一条直角边的长度是13,那么它的周长为( )

A.182 B.180. C.32 D.30

8.已知方程x2-x-1994=19942,那么它的两根是( )

A.1994,1995 B.1994,1995 C.1994, 1995 D.1994,1995

9.如图16,BE是∠ABD的平分线,CF是∠ACD的平分线,BE与CF交于G,若∠BDC=140°,∠BGC=110°,则∠A的大小是( )

A.70° B.75° C.80° D.85°

10.n是整数,下列四式中一定表示奇数的是( )

222333A.(n+1) B.(n+1)-(n-1). C.(n+1) .D.(n+1)-n

二、 A组填空题(每小题3分,共30分)

1.设

则A、B中数值较小的是_________.

2.已知实数a满足

那么丨a-1丨+丨a+1丨=_________

3.一个角的余角比它的补角的1还多60,则这个角的度数是_________. 7

1恰是数a,则这个自然数是_________. 54.

作化简,结果是__________. 5.某自然数的5倍等于数a的立方,该自然数的

6.在△ABC中,∠ABC=90°,又BD⊥AC于D,则在△ABC中互为余角的角共有______对.

7.如图17,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=AE,BC=BD,则∠ACD+∠BCE=______.

8.当

时,多项式x3+5x2-2x-5的值是_______________.

16

9.如图18,在△ABC中,∠B=66°,∠C=54°,AD是角A的平分线,DE平分∠ADC交AC于E,则 ∠BDE=____ ___.

10.

a,而

三、

1.设

1的小数部分是b,那么b=______ __. aB组填空题(每小题4分) +┉

┉+1993-1994,则

N=____ ___. (M?1)2

2.在四边形ABCD中(图19),AB∥CD,∠D=2∠B,AD和CD的长度分别为a和b,

那么AB的长为__ ____.

?x2?y2?1

13.设

x=,y=,则???xy=____ _____. 222??4.如图20,在△ABC中,AD平分∠A,BD⊥AD,DE∥AC交AB于E,

若AB=5,则DE的长是 .

5.计算

6.设方程x2+1993x-1994=0和(1994x)2-199331995x-1=0的较小根次是α,β,则α2β=______. 2

21?x?,

5x化简为32

8.设M,x,y均为正整数,

则x+y+M的值是_______. 7.若?

9.x为任意实数,则|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|的最小值是______.

10.如图21,△ABC为等腰直角三角形,D为AB中点,AB=2,扇形ADG和BDH分别

是以A,B为圆心,AD,BD为半径的圆的1,则阴影部分面积为__________. 4

希望杯第五届(1994年)初中二年级第二试试题

一、选择题:(每题4分,共40分)

1.如果a<0,

=( )

2.已知,y=ax7+bx+cx+dx+e,其中a,b,c,d,e为常数,当x=2时,y=23;当x=-2时,y=-35, 53

那么e的值是( )

A.6 B.-6 C.12 D.-12

3.如果-1<a<0, 那么a,a3

1中,一定是

( ) a

17

A.a最小,a3最大

,a最大; C.

4.方程x2-7|x|+12=0的根的情况是( ) 11 最小,a最大; D. 最小,a3最大. aa

A.有且仅有两个不同的实根.B.最多有两个不同的实根

C.有且仅有四个不同的实根.D.不可能有四个实根

5.若三角形的三边长度均为整数,其中两边长的差是7,且三角形的周长是奇数,则第三边长可能是

( )

A.9 B.8 C.7 D.6.

6.在四边形ABCD中,∠A=60°,∠ABC=∠ADC=90°,BC=2,CD=11,自D作DH⊥AB于H,则DH的长是( )

A.7.5 B.7 C.6.5 D.5.5

7.已知关于x的二次方程2x+ax-2a+1=0的两个实数根的平方和是7

A.11或3 B.11 C.3 D.5

8.在ΔABC的三边AB,BC,CA上分别取AD,BE,CF,使AD=

则ΔDEF的面积是ΔABC的面积的( ) A. 21,则a的值为( ) 7111AB,BE=BC,CF=AC, 4441357; B.; C.; D.. 48816

B.6 C.7 D.8

29.一个凸多边形恰好有三个内角是钝角,这样的多边形的边数的最大值是( ) A.5 210.设n为大于1的自然数,则下列四个式子的代数值一定不是完全平方数的是( ) A.3n3n+3 B.5n5n5 C.9n9n+9 D.11n

22211n11 二、填空题:(每题4分,共40分) 1.已知关于x的二次方程x+px+2=0的两根为x1和x2,且x1-x2

,那么p的值为___ __.

2.如果(1-3x)52345=a0+a1x+a2x+a3x+a4x+a5x,那么|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|的值为 .

3.如图30,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=10厘米,AC与BD相交于G,且∠AGD=60°,设E是CG的中点,F是AB的中点,则EF的长为________.

4.如图31中,以A,B,C,D,E,F,G,H这些点为端点的线段共有______条.

5.若a,b,c是实数,且

2+b2+c2=4,则(a-2b+c)1994=______.

6.编写一本数学书的页数总共用6869个数字,(例如一本10页的书,

它的页数是一位数的9个,两位数的1个,总共用去数字9+2=11个),

那么这本数学书的页数是________.

7.一个口袋内装有红、蓝、白三种不同颜色的小球,其中蓝球数

至少是白球数的一半,但至多是红球数的

至少是55个,则红球至少有________.

8.如图32,正方形ABCD内有一个内接△AEF,若∠EAF=45°,

AB=8厘米,EF=7厘米,则△EFC的面积是______. 1,白球与蓝球的总和 3

18

9. 若a,b,c是实数,且

,ab+bc21c+=0,那么的值是_____. 4a2

10.已知:a≠0,14(a2+b2+c2)=(a+2b+3c) 2,那么,a∶b∶c=______.

三、解答题(每题10分,共20分)

1. 如图33,五边形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD,∠BAE=∠BCD=120°,∠ABC+∠AED=180°,连接AD.

求证:AD平分∠CDE.

1小时,甲与乙 7

510于M点相遇;又过了小时,丙于N点追及乙,已知B点恰为N,C的中点,M与N之间的距离为公里;又知 1472. 如图34,甲、乙、丙三人同时分别从A、B、C出发,甲向C,乙、丙向A前进,过了2

甲比丙提前1小时到达目的地,问A与B,B与C之间各多少公里?

19

第六届(1995年)初中二年级第一试试题

一、选择题:

1.下列五个数

:3.1416,

A.0个

2.-1???1,其中是有理数的有( ) B.1个 C.2个 D.3个 1的平方的立方根是( ) 8

111 A.4; B.; C.-; D.. 844

3.适合不等式2x-1>-3x+14≥4x-21的x的值的范围是( )

A.x>3. B.x≤5. C.3<x≤5 D.3≤x<5

aa2a3

?2?3的值是( ) 4.已知a是非零实数,则aaa

A.3或-1 B.3或1 C.-3或1 D.-3或-1

5.若a,b,c为三角形的三条边长,则(a+b+c)+│a-b-c│-│b-c-a│+│c-b-a│=( )

A.2(a-b-c)

A.50° B.2(b-a-c). C.2(c-a-b) D.2(a+b-c) 6.如图19,已知△ABC中,∠B的平分线与∠C的外角平分线相交于D,∠D=40°,则∠A=( ) B.60° C.70° D.80°

7.已知实数a、b满足条件a2+b2+a2b2=4ab-1,则( )

?a?1?a?1?a??1?a??1?a?1?a?1 A.?; B.?或?; C.? 或?; D.?. b?1b?1b??1b?1b??1b??1??????

8.某项工程,甲单独做需a天,在甲做了c天(c<a=后,剩下工作由乙单独完成还需b天,若开始就由甲、乙两人共同合做,则完成任务需( )天 A.caba?b?cbc; B.; C.; D.. a?ba?b?c2a?b?c

2222.9.如图20,在△ABC中,AB=AC=m,P为BC上任意一点,则PA2+PB2PC的值为( ) A.m. B.m+1. C.2m. D.(m+1)

10.如图21,△ABC的面积为18cm,点D、E、F分别位于AB、BC、CA上.且AD=4cm,DB=5cm.如果△ABE的面积和四边形DBEF的面积相等,则△ABE的面积是( )

A.8cm2. B.9cm2. C.10cm2. D.12cm2

二、A组填空题:

1.化简

22211????2计算:?10??0.001???0.01??10?=__________. 1001000????3.化简1+x+x(1+x)+x(1+x)2+?+x(1+x)1995,得到__ ___.

4.若n满足(n-1994)2+(1995-n)2=1,则(1995-n)2(n-1994)__ ___.

5.如图22,已知△ABC中,∠ACB>90°,∠B=25°,CD⊥BC于点C,

BD=2AC,点E在BC的延长线上,则∠ACE的大小是______.

20

6.在一个凸n边形(n>3)的n个外角中,其中最多有_____个钝角.

7.如图23,沿AE折叠长方形ABCD,使D点落在BC边的点F处,若AB=12cm,BC=13cm,则FC的长度是______.

8.已知a,b,c,d是四个不相等的正数,其中a最大,d最小,且满足条件

关系为_____________.

9.若方程ac?,则a+d与b+c的大小bdx?bx?a?2?有唯一解,则a与b应满足的条件是ab

10.有5根木条,其中2根完全相同,长8cm,另外三根分别长4cm,10cm,12cm,

用其中三根组成一个三角形,则选择的办法有_ _____种.

三、B组填空题

1. 一个自然数n减去59之后是一个完全平方数,加上30之后仍是一个完全平方数,则n=__ ___.

2.已知x是实数,并且x3+2x+2x+1=0,则x+x+x2199419972000的值是__ ___.

3.如图24,△ABC中,∠C=90°,DE是AB的中垂线,AB=2AC,

且BC=18cm,则BE的长度是___ __.

4.如图25,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于D,

DE⊥AB于E,且AB=10cm,则△DEB的周长是__ ___.

5.已知

那么x4-8x3+16x2-x+1的值是___ ____.

11?a?a4?a2?2??36.化简:?2=___________. ??642a?a?1a?1(a?1)?(a?a?1)??7.已知:14323??,则(y-x)的值是___ ____. x?2yy?x2x?13

8.已知a,b,c,d是四个两两不等的正整数,它们的乘积abcd=1995,则a+b+c+d的最大值是_____.

9.如图26,ABCD中,AE⊥BC,AF⊥DC,AB∶AD=2∶3,∠BAD=2∠ABC,则FC∶FD=__ ___.

10.如图27,两圆半径均为1,且图中两块阴影部分的面积相等,那OC1的长度是_ ____.

希望杯第六届(1995年)初中二年级第二试试题

一、选择题,以下每题的四个结论中,仅有一个是正确的.

1.设x0是方程1?x??x?0的一个不为1的根,则( ) 2

A.x0>2x0>x2

0 B.x2

0>x0>2x0 C.x2

0>2x0>x0 D.2x0>x2

0>x0

2.设a是一个满足下列条件的最大的正整数,使得用a除64的余数是4;用a除155的余数是5; 用a除187的余数是7.则a属于集合

( )

21

A.{3,4,6}; B.{7,8,9}; C.{10,15,20}; D.{25,30,35}

3.某位同学在代数变形中,得到下列四个式子:

?1?x;(2)当x=?2时,分式

(3)分解因式:x-3x+2x=x2x-3x+x3n+1nn-1nnnx?2x?x?62的值均为0; 2n?=x?x?3?x?2??; x?

(4)99972=(99972-32)+9=(9997+3)(9997-3)+9=99940009.

其中正确的个数是( )

A.1个. B.2个. C.3个 D.4个.

4.A,B,C,D,E,F六个足球队进行单循环赛,当比赛进行到某一天时,统计出A,B,C,D,E 五队已分别比赛了5,4,3,2,1场球,由此可知,还没有与B队比赛的球队是( )

A.C队 B.D队 C.E队 D.F队

5.如图31,已知等边△ABC的周长为6,BD是AC边的中线,E为BC延长线上一点,CD=CE,

那么△BDE的周长是( )

.

6.如图32,在△ABC中,AD是∠A的外角平分线,P是AD上异于A的任意一点,

设PB=m,PC=n,AB=c,AC=b,则m+n与b+c的大小关系是( )

A.m+n>b+c. B.m+n=b+c . C.m+n<b+c. D.m+n>b+c或m+n<b+c

7.两个全等的直角三角形(不等腰)纸片,可以拼成n个不同形状的四边形,则n的值为( )

A.3 B.4 C.5 D.6

8.四边形的四条边长分别是a,b,c,d,其中a,c为对边,且满足a2+b2+c2+d2=2ab+2cd,则这个四边形一定是( )

A.两组角分别相等的四边形. B.平行四边形.

C.对角线互相垂直的四边形. D.对角线长相等的四边形.

9.已知a,b,c为三个连续奇数(a<b<c=,且它们均为质数,那么符合条件的三数组(a,b,c)有( )

A.0 组. B.1组. C.2组. D.多于2组.

10.在边长为的正方形内有任意5个点(包括落在四条边上),将其中任意两点与正方形中心连结成三角形, 则其中至少有一个三角形的面积S满足( ) A.S?111; B.S?; C.S?; D.S?1. 222

二、填空题

1. 计算:1995319941994+1996319951995-1994319951995-1995319961996=___ ___.

2. 直角三角形的周长是

,斜边的中线长为1,则它的面积为____________.

ab2?4a3?b3?4a2b3.若x+2是多项式x+x+ax+b的一个因式,且2a+3ab+b?0,则分式 的值为2a2?3ab?b23222

22

______ _.

4.设[x]表示不大于x的最大整数,如???=3,

则??????=____.

5.如图33,在菱形ABCD中,∠B=∠EAF=60°,∠BAE=20°,则∠CEF的大小是___ __.

6.若△ABC的三条边a,b,c满足关系式:a4+b2c2-a2c2-b4=0,则△ABC的形状是___ __.

7.若不等式3xa≤0的所有正整数解的和是15,则a的取值范围是__ ___.

8.如图34,△ABC中,AB>AC,AH⊥BC,M为AH上异于A的一点,比较AB-AC与MB-MC的大小,则AB-AC_____MB-MC(填“>”,“=”或“<”=.

9.方程x2-y2=1995的正整数解共有_____组.

10.设x,y是不大于10的自然数,x除以3的余数记为f(x),y除以4的余数记为g(y).当f(x)+2g(y)=0时,x+2y的最值是_____.

三、解答题

1.(1)已知a1,a2,a3为三个整数,且a1≤a2≤a3,三个数中的每一数均为其它两数的乘积,求所有满足条件的三数组(a1,a2,a3).

(2)如果a1,a2,a3,a4,a5,a6为6个整数,且a1≤a2≤a3≤a4≤a5≤a6,六个数中任一个数均为其它五个数中某四个数的乘积,那么满足上述条件的数组(a1,a2,a3,a4,a5,a6)共有多少组?请说明理由.

2.一个旅游区有7个不在一条直线上的编号为A,B,C,D,E,F,G的风景点(如图35).现要开设一些公共汽车线路,满足以下条件:

(a)由每个风景点可不换车到达其它任一风景点.

(b)每条汽车线路只连结3个风景点.

(c)任何两条汽车线路之间都只有一个共同的风景点.

(1)该旅游区应开设几条公共汽车线路?

(2)若风景点,,在一条线路上,则该公共汽车线路写成A—B—C.

试写出该旅游区完整的公共汽车线路图.

23

希望杯第七届(1996年)初中二年级第一试试题

一、 选择题:

?a的值相等的是( ) a?b

?aaa?a A.; B.; C.; D.. ?a?ba?bb?ab?a1.下列各式中与分式

2.一个角的补角的一半比这个角的余角的2倍小3°,那么这个角等于( )

A.58° B.59°. C.60° D.61°

3.如图23,AB∥CD,AC∥DB,AD与BC交于O,AE⊥BC于E,DF⊥BC于F,那么图中全等的三角形有( )

A.5对. B.6对. C.7对. D.8对.

4.设a=199619951995199619951996,b=,c=, 199519961995

19961995d=,则下列不等关系中成立的是( ) 1996

A.a>b>c>d. B.c>a>d>b . C.a>d>c>b. D.a>c >d>b

5.如图24,已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC和∠ACB的平分线相交于D点,∠ADC=130°,那么∠CAB的大小是( )

A.80° B.50°. C.40° D.20°

6.已知一个三角形中两条边的长分别为a,b,且a>b,那么这个三角形的周长l的取值范围是( )

A. 3a>l>3b. B.2(a+b)>l>2a. C.2a+b>l>2b+a . D.3a-b>l>a+2b

7.若111::=2:3:4,则a:b:c等于( ) abc

A.4:3:2. B.6:4:3. C.3:4:2 . D.3:4:6

8.如图25,四边形ABCD是一个梯形,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=9厘米,

BC=8厘米,CD=7厘米,M是AD的中点,从M作AD的垂线交BC于N,

则BN的长等于( )

A.1厘米 B.1.5厘米 C.2厘米 D.2.5厘米

9.在一家三口人中,每两个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别得到47,61,60, 那么这三个人中最大年龄与最小年龄的差是( )

A.28 B.27 C.26 D.25

xa10.已知x,y,a,b都是正数,且a<b,?如果x+y=c,则x与y中较大的一个是( ) yb

A.abacbcab; B.; C.; D. . a?ba?ba?bb?c

二、A组填空题

1.因式公解:9a2-4b2+4bc-c2=__ ____.

2.化简分式:bca??=___ ____. (a?b)(b?c)(b?c)(c?a)(c?a)(a?b)

3223.已知多项式3x+ax+3x+1能被x+1整除,且商式是3x+1,那么a的值是___ ___.

24

4.关于x的方程(2-3a)x=1的根为负数,则a的取值范围是______.

5.如图26,凸四边形ABCD的四边AB、BC、CD、和DA的长分别是3,4,12,和13,∠ABC=90°,则四边形ABCD的面积S=___ ___.

5. 如图27,AOB是一条直线,∠AOC=60°,OD,OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线,则图中互为补角关

系的角共有___ ___对.

7.如果a+b=6,a+b=72,那么a+b的值是______. 3322

a3

8.如果a-3a+1=0,那么6的值是___________. a?12

9.如图28,△ABC中,AD平分∠BAC,AB+BD=AC,则∠B:∠C的值是______.

10.如图29,已知DO平分∠ADC,BO平分∠ABC,且∠A=27°,∠O=33°,则∠C的大小是______. 二、

1.若B组填空题: 4xab??,则a2+b2的值是_________. 2x?4x?2x?2

2.已知a≥b>0且3a+2b-6=ac+4b-8=0,则c的取值范围是______.

3.一个凸多边形有且仅有4个内角是钝角,这样的多边形的边数最多是______.

4.如图30,在△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC于D,M为BC的中点,AB=10厘米,则MD的长为______.

5.已知三个质数m,n,p的乘积等于这三个质数的和的5倍,则m2+n2+p2=______.

希望杯第七届(1996年)初中二年级第二试试题

一、 选择题:

1.化简:?x?y??

?4xy??4xy?x?y????的结果是( ) x?y??x?y?

222222A.y-x . B.x-y. C.x-4y. D.4x-y

2.已知:-1<b<a<0,那么a+b,a-b,a+1,a-1的大小关系是( )

A.a+b<a-b<a-1<a+1; B.a+1>a+b>a-b>a-1

C.a-1<a+b<a-b<a+1; D.a+b>a-b>a+1>a-1

3.已知x2+ax-12能分解成两个整系数的一次因式的乘积,则符合条件的整数a的个数是( )

A.3个 B.4个 C.6个 D.8个

4.如图35,△ABC中,AB=AC,∠B=36°.D、E是BC上两点,使∠ADE=∠AED=2∠BAD,则图中的等腰22 25

三角形一共有( )

A.3个 B.4个. C.5个 D.6个

5.如图36.△ABC中,AB=AC,CD⊥AB交AB于D,∠ABC的平分线BE交CD与E,则∠BEC的大小是( )

A.1350-1111?A; B.1350+?A; C.900+?A; D.1800-?

A. 4422

6.三角形的三边长分别为2n+2n,2n+1,2n+2n+1(n是自然数),这样的三角形是( )

A.锐角三角形.B.直角三角形.C.钝角三角形.D.锐角三角形或直角三角形

7.暑假里父亲、儿子、女儿准备外出旅行,咨询时了解到,甲旅行社规定:若大人买一张全票,则两个孩子的费用可按全票价的七折优惠;乙旅行社规定:三人旅行可按团体票计价,即按原价的80%收费,若两家旅行社的原价相同,则当实际收费时( )

A. 甲比乙低 B.乙比甲低 C.甲、乙相同 D.是甲低还是乙低,视原价而定

8.已知x为整数,且22222x?18??2为整数,则符合条件的x的所有值的和为( ) x?33?xx?9

A.12 B.15 C.18 D.20

9.在△ABC中,∠B=2∠C,则AC与2AB之间的大小关系是( )

A.AC>2AB B.AC=2AB. C.AC≤2AB D.AC<2AB

10.有一架不准确的天平(左臂长为a厘米,右臂长为b厘米,a≠b)某人用它来计量某件重物.先将重物放在左盘,砝码放在右盘,需用m1千克使天平平衡;然后再将重物放在右盘,砝码放在左盘,需用m2千克使天平平衡,于是用Q=

那么[ ]

A.Q>P B.Q=P. C.Q≤P D.Q<P.

二、填空题

11.因式分解:a3m1?m2千克估算重物的实际重量,若重物的实际重量为p千克,2c-4abc+4abc=______.

2222212.如图37,△ABC中,AD⊥BC,AE平分∠BAC,∠B=70°,∠C=34°.则∠DAE的大小是______. 37??a2?a?6??8????1?13.当a=时,代数式?1??????2a?5?2?a?2??a?a?6?

?

xx?114.若=1,则的值是__________. x?12x

15. 若11a?2ab?b?=4,则的值是__________. ab2a?7ab?2b

16.已知关于x的方程a(x-3)+b(3x+1)=5(x+1)有无穷多个解,那么a=______,b=______.

17.如图38,ABCD是平形四边形,E在AC上,AE=2EC,F在AB上,BF=2AF,如果△BEF的面积是2平方厘米,则ABCD的面积是______.

26

18.如图39,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,D在AB上,E在AC上,且使AE=EC=DE,那么AD:BC等于______.

19.某学校现有学生2300人,与去年相比,男生人数增加了25%,女生人数减少了25%,全校人数增加了15%,则现在全校有男生______.

20.如图40,P是等边三角形ABC中的一个点

则三角形ABC的边长为_ ___.

三、解答题

21.已知多项式x+ax+bx+c中,a,b,c为常数,当x=1时,多项式的值是1;当x=2时,多项式的值是2;若当x是8和-5时,多项式的值分别为M与N,求M-N的值.

22.如图41,在直角∠AOB内有一点P,OP=a,∠POA=30°,过P点做一直线MN与OA、OB分别相交于M、N,使△MON的面积最小.

(1)此时线段MN的位置是 [ ] A.MN⊥OP B.OM=ON. C.OM=2ON

(2)此时△MON的面积是______.

(3)若∠AOB为一锐角,P是锐角内一定点(如图42).过P点的直线与OA、OB交于M、N,使△OMN的面积最小,应怎样画出MN的位置(简述画法并保留画图痕迹),并证明你的结论.

D.PM=PN 2222

27

希望杯第八届(1997年)初中二年级第一试试题

一、选择题:

1.下列四个从左到右的变形中,是因式分解的是 [ ]

A.(x+1)(x-1)=x2-1. B.(a-b)(m-n)=(b-a)(n-m)

C.ab-a-b+1=(a-1)(b-1).

[ ] 2.关于x的方程(5-2a)x=-2的根是负数,那么a所能取的最大整数是

A.3 B.2. C.1 D.0

3.直角三角形的两个锐角的外角平分线所夹的锐角的大小是 [ ]

A.30° B.45°. C.60°. D.15°或75°

4.P是线段AB上的一点,AB=1,以AP和BP为边分别作两个正方形,当这两个正方形的面积 1时,AP的长是[ ] 2

13121425 A.或; B.或; C.或; D.或. 44335577的差的绝对值为

a2?4

5.若a使分式1?3a没有意义,那么a的值应是[ ] 1?2a

A.0; B.?或0; C.?2或0; D.?或0.

6.已知四个代数式:①m+n;②m-n;③2m+n;④2m-n.当用2m2n乘以上述四个式中的两个时, 便得到多项式4m41315n-2mn-2mn,那么这两个式子的编号是 3223[ ]

A.①与② B.①与③. C.②与③ D.③与④

7.△ABC中,AB=5,AC=3,则BC边上的中线AD的长l的取值范围是 [ ]

A.1<l<4 B.3<l<5. C.2<l<3 D.0<l<5

8.A、B、C为平面上的三点,AB=2,BC=3,AC=5,则[ ]

A.可以画一个圆,使A、B、C都在圆周上

B.可以画一个圆,使A、B在圆周上,C在圆内

C.可以画一个圆,使A、C在圆周上,B在圆外

D.可以画一个圆,使A、C在圆周上,B在圆内

9.已知:m、n是整数,3m+2=5n+3,且3m+2>30,5n+3<40,则mn的值是[ ]

A.70 B.72. C.77 D.84

10.甲、乙两种茶叶,以x∶y(重量比)相混合制成一种混合茶,甲种茶叶的价格每公斤50元, 乙种茶叶的价格每公斤40元,现在甲种茶叶的价格上调了10%,乙种茶叶的价格下调了10%, 但混合茶的价格不变,则x∶y等于

二、A组填空题:

11.已知x?0,化简[ ] A.1∶1 B.5∶4. C.4∶5 D.5∶6 111??所得的结果是x2x3x

28

12.五个连续奇数的平均数是1997,那么其中最大数的平方减去最小数的平方等于_ __.

13.现有8根木棍,它们的长分别是1,2,3,4,5,6,7,8,若从8根木棍中抽取3根拼三角形,要求三角形的最长边为8,另两边之差大于2(以上单位:厘米).那么可以拼成的不同的三角形的种数为______.

14.如图1,△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于D,且CD=15,AC=30,则AB的长为______.

x2?2y2?3z2xyz15.已知??,那么的值是________. xy?2yz?3zx234

16.已知:a=-2000,b=1997,c=-1995,那么a2+b2+c2+ab+bc-ac的值是______.

17.如图2,△ABC中,∠1=∠2,∠EDC=∠BAC,AE=AF,∠B=60°,则图中的线段AF、BF、AE、EC、AD、BD、DC、DF中与DE的长相等的线段有______条.

18.如图3,∠A=60°,线段BP、BE把∠ABC三等分,线段CP、CE把∠ACB三等分,则∠BPE的大小是______.

19. 已知a?0,b?0,112(a?b)a??2?0,那么的值是______. aba?b2b

20.某仓库贮存水果a吨,为保证每天供应市场20吨,则需每天从外地调入b吨水果,现实际调入量

每天多了2吨,而市场每天供应量不变,那么比原来多供应的天数是______(用a、b表示).

三、B组填空题

21.若|a|-|b|=1,且3|a|=4|b|,则在数轴上表示a、b两数对应的点的距离是______或______.

22.△ABC的周长为19,且满足a=b-1,c=b+2,则a、b、c的长分别为a=______,b=______,c=______.

y2

23.x,y为实数,且x??4?xy?2y,则22

24.如图4,△ABC中,AD平分∠BAC,EG⊥AD,分别交AB、AD、AC、BC的延长线于E、H、F、G,已知下列四个式子: (1)?1?111(?2??3);(2)?1?2(?3??2);(3)?4?(?3??2);(4)?4??1. 222

其中有两个式子是正确的,它们是______和______.

25.已知abc?0,且

_________.

a?b?ca?b?c?a?b?c(a?b)(b?c)(c?a)??,则的值是_______或cbaabc

29

希望杯第八届(1997年)初中二年级第二试试题

一、 选择题(以下每题的四个结论中,仅有一个是正确的.)

1.已知实数a,b满足条件:a2+4b2-a+4b+=0,那么-ab的平方根是[ ]

A.?2; B.2; C.?2.把多项式x2211; D.. 22-y-2x-4y-3因式分解之后,正确的结果是[ ]

A.(x+y+3)(x-y-1). B.(x+y-1)(x-y+3)

C.(x+y-3)(x-y+1). D.(x+y+1)(x-y-3)

3.下列图形中,不是轴对称图形的是 [ ]

A.直角三角形ABC. B.角DOE. C.等边三角形FGH. D.线段MN

4. ΔABC的三边长为a,b,c,满足条件211??,则b边所对的角B的大小是[ ] bac

D.锐角、直角、钝角都有可能 A.锐角. B.直角. C.钝角.

5.设a>0>b>c,a+b+c=1,M=

A.M>N>P

2a?ca?bb?c,N=,P=,则M,N,P之间的大小关系是[ ] bca D.M>P>N 32; B.N>P>M. C.P>M>N 6.已知:m+m-1=0,那么代数式m+2m-1997的值是[ ]

A.1997 B.-1997. C.1996 D.-

1996

7.如图1,△ABC中,∠A=96°,延长BC到D,∠ABC与∠ACD的平分线相交于A1点,∠A1BC与∠A1CD的 平分线相交于A2点,依次类推,∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于A5,则∠A5的大小是[ ]

A.3°. B.5°. C.8° D.19.2°

8.如图2,已知四边形ABCD中,AD∥BC,若∠DAB的角平分线AE交CD于E,连接BE,且BE恰好平分∠ABC, 则AB的长与AD+BC的长的大小关系是 [ ]

A.AB>AD+BC B.AB=AD+BC. C.AB<AD+BC D.无法确定

9.已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的乘积等于菱形的一条边长的平方,则菱形的一个钝角的大小是 [ ]

A.165°. B.150°. C.135°. D.120°

10.有男女两个运动队,男队有队员m人,女队有队员n人(m>10,n>10),先从男队中调10人到女队

帮助训练,训练后又从女队中调10人(这10人中可以有原来男队中的队员)去男队参加总结.这时,

男队中有a个女队员,女队中有b个男队员,那么a、b的大小关系是[ ]

A.a>b. B.a<b. C.a=b. D.当m≥n时,a≥b;当m<n时,a<b.

二、填空题

30

11.已知a是实数,且使a

的值是______. 3+3a+3a+2=0,那么(a+1)1996+(a+1)1997+(a+1)19982

12.

式子(的值是______.

13.如图3,△ABC中,AB=AC,AE⊥BC于E,在BC上

取CD=CA,连接AD,若AD=DB,则∠DAE的大小是______.

14.如图4,△ABC中,∠BAC=90°,∠B=2∠C,D点在BC上,AD平分∠BAC,若AB=1,则BD的长为______.

1x?1?2215.若的值是,则x=______.

9x23?3x?1

16.若a,b,c为实数,且

17.若

ab1bc1ca1abc?,?,?,那么的值为______. a?b3b?c4c?a5ab?bc?ca5,则a-2a-1996a的值为______. 43

18.如图5,△ABC中,∠B=60°,AB=8,BC=5,E点在BC上,若CE=2,则AE的长等于______.

19.如图6,直角△ABC中,∠B=90°,∠BAC=78°,过C作CF∥AB,连接AF与BC相交于G,若GF=2AC,

则∠BAG的大小是______.

20.如图7,△ABC中,AB=4,AC=7,M是BC的中点,AD平分∠BAC,过M作MF∥AD,交AC于F,则FC的长等于______.

三、解答题

21.已知:a、b、c为实数,且多项式x

(1)求4a+c的值.

(2)求2a-2b-c的值.

(3)若a、b、c为整数,且c≥a>1,试确定a、b、c的大小.

3+ax+bx+c能够被x+3x-4整除. 22

31

22.如图8,已知D、E、F分别是锐角△ABC的三边BC、CA、AB上的点,且AD、BE、CF相交于点P, AP=BP=CP=6,设PD=x,PE=y,PF=z,若xy+yz+zx=28,求xyz的大小.

第九届(1998年)初中二年级第一试试题

一、选择题(第小题6分,共60分)

1.将多项式x2-4y2-9z2-12yz分解成因式的积,结果是 [ ]

A.(x+2y-3z)(x-2y-3z). B.(x-2y-3z)(x-2y+3z)

C.(x+2y+3z)(x+2y-3z). D.(x+2y+3z)(x-2y-3z)

2.设实数m、n满足m2n2+m2+n2+10mn+16=0,则有 [ ]

A.??m?2?m??2?m?

?n?2或??n??2; B.?2

?n?2或??m?2

?n??2;

C.??m?2?m??2?m

?n??2或??n?2; D.???2或?

?n??2?m??2

?

n?2

3.如图1,△ABC中,∠BAC=120°,AD⊥BC于D,且AB+BD=DC,则∠C的大小是[ ]

A.20° B.25°. C.30° D.大于30°

4.如图2,△ABC中,∠C=90°,D、E为AB上的两点,若AE=AC,∠DCE=45°,

则图中与BC等长的线段是[ ]

A.CD. B.BD. C.CE. D.AE-BE

32

1

5.要使分式1?x有意义,则x的取值范围是[ ]

x

A.x≠0. B.x≠1且x≠0. C.x≠0或x≠±1. D.x≠0且x≠±1

6.已知a-b=3,那么a3-b3-9ab的值是

A.3. B.9. C.27 . D.81 [ ]

7.如图3,∠MAN=16°,A1点在AM上,在AN上取一点A2,使A2A1=AA1,再在AM上取一点A3,使A3A2=A2A1,

如此一直作下去,到不能再作为止.那么作出的最后一点是 [ ]

A.A5.

A.a. B.A6. C.A7 . D.A8 8.已知a、b、c、d为正实数,且a2=2,b3=3,c4=4,d5=5,则a、b、c、d中最大的数是 [ ] B.b. C.c. D.d

2229.已知三个整数a、b、c的和为奇数,那么,a+b-c+2ab [ ]

A.一定是非零偶数. B.等于零. C.一定是奇数.D.可能是奇数,也可能是偶数

10.已知a1、a2、b1、b2均为正数,且a1≥a2,a1≤b1,a1a2≤b1b2,则a1+a2与b1+b2的大小关系是

[ ]

A.a1+a2≤b1+b2. B.a1+a2≥b1+b2. C.a1+a2=b1+b2. D.无法确定的

二、A组填空题(每小题6分,共60分)

p3?q3s?t?11.已知p与q互为相反数(p≠0),s与t互为倒数,那么3=______. p?q3s2t?st2

m4?16m2?4m2?2m?412.化简:4?3?2?(m?2)= ______. 2m?4m?16m?8m?4m?4

313.△ABC中,M为BC上一点,AM是∠BAC的平分线,若AB=2,AC=1,BM=,则CM的长是______. 2

14.如图4,已知DO⊥AB,OA=OD,OB=OC,则∠OCE+∠B的大小是______.

15.已知a≠0,b≠0,且114a?3ab?4b?=4,那么=______.

ab?3a?2ab?3b

abpm2pm16.若m=2,则化简应得到______. ?a?bam?ba

17.如图5,自矩形ABCD的顶点C作CE⊥BD,E为垂足,延长EC至F,使CF=BD,连接AF,则∠BAF的大小是____ _.

18.已知平行四边形ABCD的周长为52,自顶点D作DE⊥AB,DF⊥BC,E、F为垂足,若DE=5,DF=8,

则BE+BF的长为____ __.

33

19.已知0<a<b<1,且a+b=1,那么a,b,a2+b2,1这四个数从小到大排列为____ _. 2

20.已知n为正整数,且47+4n+41998是一个完全平方数,则n的一个值是____ _.

三、B组填空题(每小题6分,共30分)

21.当x=____ 且y=____ 时,代数式-x2-2y2-2x+8y-5有最大值,这个最大值是____ _.

22.已知A、B、C三点共线,且线段AB=16,点D是BC的中点,AD=12.5,则BC的长为____ _或_ ____.

23.若对于任意实数x,等式(2x-1)2-a(x-b)2=px都成立(a、b、p为常数).

那么p的值是____ _或____ _.

24.设A、B两地的距离为s,甲、乙两人同时从A地步行到B地,甲的速度为v,乙用

半的路程,再用4v的速度行走了一33v的速度走完了另一半的路程,那么____ _先到达B地(填甲或乙).甲与乙所4

用的时间的比是____ _.

25.已知一个矩形的长、宽分别为正整数a、b,其面积的数值等于它的周长数值的2倍,

则a+b=____ _或____ _.

希望杯第九届(1998年)初中二年级第二试试题

一、选择题:(每题6分,共60分)

1.若a+b+c=0,则a3+ac-abc+bc+b的值为[ ] 223

A.-1 B.0 C.1 D.2

2.适合关系式|3x-4|+|3x+2|=6的整数x的值的个数是 [ ]

A.0. B.1. C.2. D.大于2的自然数.

3.已知x<0<z,xy>0,|y|>|z|>|x|,那么

|x+z|+|y+z|-|x-y|的值 [ ]

A.是正数. B.是负数. C.是零. D.不能确定符号.

[ ]

5.△ABC的一个内角的大小是40°,且∠A=∠B,那么∠C的外角的大小是 [ ]

A.140°. B.80°或100°. C.100°或140°. D.80°或140°

6.如图15,ABCD中,∠ABC=75°,AF⊥BC于F,AF交BD于E,若DE=2AB,

则∠AED的大小是 [ ]

A.60°; B.65°; C.70°; D.75°.

34

7.若对于?3以外的一切实数x,等式mn8x??2均成立,则mn的值为[ ] x?3x?3x?9

A.8 B.-8. C.16 D.-

16

[ ]

A.15 B.18. C.24 D.27

?x?y?z?09.在方程组?3中,x,y,z是互不相等的整数,则此方程组的解的组数为[ ] 33x?y?z??36?

A.6 B.3 C.多于6 D.少于3

[ ] 10.如图16,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AF平分∠CAB交CD于E,交CB于F, 且EG∥AB交CB于G,则CF与GB的大小关系是

二、填空题(每题6分,共60分)

11.把代数式(x+y-2xy)(x+y-2)+(xy-1)2分解成因式的乘积,应当是________.

12.设实数x满足方程|x2-1|-x|x+1|=0,则x的值为________.

13.设

A.CF>GB B.CF=GB. C.CF<GB D.无法确定的 ,那么代数式(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)的值为_________.

_________. 15.如图17,Rt△ACB中,∠ABC=90°,

点D、E在AB上,AC=AD,BE=BC

,则∠DCE的大小是________.

16.如图18,△ABC中,∠ABC=45°,

AD是∠BAC的平分线,EF垂直平分AD,

交BC的延长线于F,则∠CAF的大小是________.

17.如图19,Rt△ABC中,∠BAC=90°,

AB=AC,BD平分∠ABC交AC于D,作CE⊥BD交

BD的延长线于E,过A作AH⊥BC交BD于M,交BC

于H,则BM与CE的大小关系是________.

18.如图20,四边形ABCD中有两点E、F,使A、B、C、D、E、F中任意三点都不在同一条直线上,连接它们的顶点,得若干线段,把四边形分成若干个互不重叠的三角形,则所有这些三角形的内角和为____ _;同样,若四边形ABCD中有n个点,其中任意三点都不在同一条直线上,以A、B、C、D和这n个点为顶点作成若干个互不重叠的三角形,则所有这些三角形的内角和为____ _.

19.如图21,直线段AB的长为l,C为AB上的一个动点,

分别以AC和BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形

△ACD和△BCD′,那么DD′的长的最小值为____ _.

20.在一条街AB上,甲由A向B步行,乙骑车由B向A行驶,

乙的速度是甲的速度的3倍,此时公共汽车由始发站A开

35

出向B行进,且每隔x分发一辆车,过了一段时间,甲发现每隔10分有一辆公共汽车追上他,而乙感到每隔5分就碰到一辆公共汽车,那么在始发站公共汽车发车的间隔时间x=____ _.

三、解答题(每小题15分,共30分)解答本题时,请写出推算过程.

21.已知n,k均为自然数,且满足不等式7n6??.若对于某一给定的自然数n,只有唯一的自然13n?k11

数k使不等式成立,求所有符合要求的自然数n中的最大数和最小数.

22.甲、乙、丙三人分糖块,分法如下:先在三张纸片上各写三个正整数p、q、r,使p<q<r,分糖时,每人抽一张纸片,然后把纸片上的数减去p,就是他这一轮分得的糖块数,经过若干轮这种分法后,甲总共得到20块糖,乙得到10块糖,丙得到9块糖,又知最后一次乙拿到的纸片上写的数是r,而丙在各轮中拿到的纸片上写的数字的和是18,问:p、q、r分别是哪三个正整数?为什么?

36

第十届希望杯全国数学邀请赛初二第1试

一、选择题(每小题6分,共60分)

1、下列各式中,正确的是( )。

(A);(B);(C);(D)。

2、

与的关系是( )。

(A)相等;(B)互为相反数;(c)互为倒数;(D)互为负倒数。

3、代数式的值( )。

(A)是零;(B)在0与1之间;(C)在-1与0之间;(D)等于1或-1。

4、某工厂到车站的路程为返回时的速度为千米,现有一辆汽车从工厂到车站拉货,去时的速度为千米/小时,千米/小时,那么这辆车往返一次的平均速度为( )。

(A)千米/小时;(B)千米/小时;

(C)

5、两个数千米/小时;(D),且,把千米/小时。 到的所有数记做,例如1到4的所有数记做,如果,那么的一切值包含在( )内。

(A);(B);(C);(D)。

6、为实数,设,则的大小关系是( )。

(A);(B);(C);(D)。

7、如果三角形的一个外角大于这个三角形的某两个内角的和的2倍,那么这个三角形一定是( )。

(A)锐角三角形;(B)钝角三角形;(C)直角三角形;(D)直角或钝角三角形。

8、在四边形ABCD中,若两条对角线AC=BD且AC⊥BD,则这个四边形( )。

(A)一定是正方形;(B)一定是菱形;(C)一定是平行四边形;(D)可能不是平行四边形。

9、如图,△ABC中,AB=AC,D、E、F分别在BC、AC、AB上,若BD=CE,CD=BF,则∠EDF=( )。 37

(A);(B);(C);(D)

10、如果三角形的重心在它的一条高线上,则这个三角形一定是( )。

(A)等腰三角形;(B)直角三角形;(C)等边三角形;(D)等腰直角三角形。

二、A组填空题(每小题6分,共60分)

11、分解因式:

12、计算:=____ _。 =____ _。 。

13、已知14、计算:

,那么=____ _。

+ +

15、若有一个因式是=____ _。 ,则=____ _。

16、给出四个自然数,其中每三个数之和分别是180,197,208,222,那么中最大的数的值是____ _。

17、如果一个三角形的两条角平分线又是它的两条高线,那么这个三角形的形状是____ _。

18、如图,直线,△ABC是直角三角形,∠A=90°,∠ABF=25°,则∠ACE=____ _。

19、在纸上画一个正六边形,在六边形外画一条直线,从六个顶点分别向直线引垂线可以得到个不同的垂足,那么的值在3,4,5,6这四个数中不可能取得的是____ _。

20、圆的内接矩形的周长与圆周长之比的最大值是____ _。

38

三、B组填空题(每小题6分,共30分)

21、一个矩形的长为15cm,宽为8cm,以矩形的四边中点为顶点的四边形的周长=____ _, 面积=____ _。

22、实数满足,且,那么=____ _或____ _。

23、若实数满足,则=____ _,=____ _。

24、方程组的解是____ _或____ _。

25、某班男女同学分别参加植树劳动,要求男女同学各种8行树,男同学种的树比女同学种的树多,

如果每行都比预定的多种一棵树,那么男女同学种树的数目都超过100棵;

如果每行都比预定的少种一棵树,那么男女同学植树的数目都达不到100棵。

这样原来预定男同学种树____ _棵;女同学种树____ _棵。

1999年第十届“希望杯”全国数学邀请赛

初二第二试试题

一、选择题

1.下列五个多项式:

①a2b2-a2-b2-1;②x3-9ax2+27a2x-27a3;③x(b+c-d)-y(d-b-c)-2c+2d-2b;

④3m(m-n)+6n(n-m);⑤(x-2)2+4x.

其中在有理数范围内可以进行因式分解的有 ( )

(A)①,②,③ (B)②,③,④ (C)③,④,⑤ (D)①,②,④

2.关于x,y的方程x2y=180的正整数解有 ( )

(A)1组 (B)2组 (C)3组 (D)4组

3.已知实数x满足条件x>2 x+1,那么(x?2)2?(x?3)3的值等于( )

(A)2x-1 (B)-2x+1 (C)-5 (D)1

4.已知a,b,c为正数,且a≠b,若x=1?1?1,y=

a1ab?1

c?1

ca,

则x与y的大小关系是( )

(A)x>y (B)x<y (C)x-y (D)随a,b,c的取值而变化

115.如图,凸五边形ABCDE中,∠A=∠B=120°,EA=AB:BC= DC= DE, 22

则∠D等于( )

(A)30° (B)45° (C)60° (D)67.5°

6.如图,四边形ABCD中,AB=BD=DA=AC,则四边形ABCD中,

39

最大的内角的度数是 ( )

(A)90° (B)120° (C)135° (D)150°

7.如图,四边形ABCD中,AD>BC,E,F分别是AB, CD的中点,

AD,BC的延长线分别与EF的延长线交于H, G,则( )

(A)∠AHE>∠BGE (B)∠AHE=∠BGE

(C)∠AHE<∠BGE (D)∠AHE与∠BGE的大小关系不确定

8.等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半,则其顶角等于( )

(A)30° (B)30°或150° (C)120°或150° (D)30°或120°或150°

9.如图,正方形A BCD中,AB=8,Q是CD的中点,设∠DAQ=α,在CD上取一点 P, 使∠BAP=2α,则C P的长度等于( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D).

10.三个整数a,b,c的和是6的倍数,那么它们的立方和被6除,

得到的余数是 ( )

(A)O (B)2 (C)3 (D)不确定的

二、填空题(每小题6分,共6 O分)

11. 分解因式:(x2-1)(x+3)(x+5)+12= .

1998x2?1999y2?2000z212. 已知x-y-z=O,y-z =O,且xyz≠O,那么= . 2221998x?1999y?2000z

13.如果x?

14.若x+y+2213?24,那么?x2?2x?xx= . 5=2x十y,那么xy?yx= . 4

15.如图,直角三角形A B C中,∠ACB=90°,∠B=3 6°,D是A B的中

点,ED⊥AB交B C于E,连接CD,则∠CDE:∠ECD= .

16.如图,C在线段AB上,在AB的同侧作等边三角形△ACM和△BCN,

连接AN,BM,若∠MBN=38°,则∠ANB= .

17.某个质数,当它分别加上6,8,12,14之后还是质数,

那么这个质数是 .

18.有8个整数,它们都不是5的倍数,那么它们的4次方的和被5除,

得到的余数是 .

7219.数2 -1能被5 00与6 00之间的若干整数整除,请找出三个这样的整数,它们

是 .

2 O.有若干个相同的球,已知总数大于5 O,在桌子上恰能摆成一个正方形方阵,从这些球中去掉2 1个球后,可以摆成一个等腰梯形阵,在这个等腰梯形阵中,每一行的球数都比下一行的球数少1,而每腰上的球数比正方形每边的球数少3,梯形较大的底上的球数是每腰上球数的2倍,那么球的总数是 .

三、解答题(要求:写出简要步骤)

21.求自然数对(a,b),同时满足条件: (1)0<a-2 b<1;

40

(2)15 O<(a+2 b)<200.

22.如图,等腰梯形ABCD中,CD∥AB,对角线ACBD相交于O,∠ACD=6O°,点S, P,Q分别是OD,OA,B C的中点,

(1)求证△PQS是等边三角形;

(2)若A B=5,CD=3,求△PQS的面积;

(3)若△PQS的面积与△AOD的面积的比是7:8,求梯形上、下两底的比CD:AB.

3

第十一届“希望杯”数学竞赛(初二)第1试

一、选择题(每小题6分,共60分)

1.1

?2000?2000的关系是( )

A 互为倒数 B 互为相反数 C 互为负倒数 D 相等

2.已知x≠0,则x?x

x2的值是( )

A 0 B -2 C 0或-2 D 0或2

3.适合|2a+7|+|2a-1|=8的整数a的值的个数有( )

A 5个 B 4个 C 3个 D 2个

4.如图1,四边形ABCD中,AB//CD,∠D=2∠B,

41

若AD=a,AB=b,则CD的长等于( )

A b-a B b?a1 C (b?a) D 2(b-a) 22

5.有四条线段,a=14,b=13,c=9,d=7,用a、c分别作一个梯形的下、上两底, 用b、d分别作这个梯形的两腰(作出的全等的梯形算一种),那么这样的梯形( )

A 只能作一种 B 可以作两种 C 可以作无数种 D 一种也作不出

6.当1≤x≤2时,代数式x?2x?1?x?2x?1可以化简为( ) A 0 B 2 C 2x?1 D ?2x?1

7.已知:7?a,?b,则4.9用a、b表示为( ) A a?ba?b

10 B 10 C ba D ab

10

8.互不相等的三个正数a、b、c恰为一个三角形的三条边长,则以下列三个数 为长度的线段一定能作成三角形的是( ) A 1

a,1

b,1

c B a2,b2,c2 C a,,c D a?b,b?c,c?a

9.在一个凸八边形中,每三个顶点形成三个角(如又A、B、C三个顶点形成∠ABC、∠BAC、∠ACB),一共可以作出168个角,那么这些角中最小的一个一定( )

A 于或等于20° B 小于或等于22.5°

C 小于或等于25° D 小于或等于27.5°

10.设a、b、c均为正数,若cab

a?b?b?c?c?a,a、b、c三个数的大小关系是(

A c<a<b B b<c<a C a<b<c D c<b<a

二.A组填空题(每题6分,共60分)

11.分解因式a3b?ab?30b的结果是 。

42 )

12.若实数a、b、c在数轴上对应点的位置如图2所示,则c2?b?a?b?c等

于 。

13.已知分式x?11的值是?,那么x的值应是。 x?141?x

14.如图3,∠1=27.5°,∠2=95°, ∠3=38.5°,则∠4的大小是 。

15.设A1A2A3?An是一个有n个顶点的凸多边形,对每一个顶点Ai(i=1, 2, 3, ?, n),

将构成该角的两边分别向外延长至Ai1,Ai2, 连接Ai1Ai2得到两个角?Ai1,?Ai2, 那么所有这些新得到的角的度数的和是 。

16.如图4,矩形ABCD中,AB=4,BC=7,过顶点A作∠BAD的平分线交BC于E, 过E作EF⊥ED交AB于F,则EF的长等于 。

17.如图5,Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠C=60°,BC=2,D是AC的中点,

过D作DE⊥AC与CB的延长线交于E,以AB、BE为邻边作长方形ABEF,连接DF, 则DF的长等于 。

18.某次数学竞赛第一试有试题25道,阅卷规定:每答对一题得4分,每答错(包括未答)

一题扣除一分,若得分不底于60分的同学可以参加二试,那么参加二试的同学在一试中

至少需答对的题数是 。

43

19.若510510的所有质因数按照从小到大的顺序排列为a1,a2,a3,?,ak(k是最大的 质因数的序号),则?a1?a2??a2?a3??a3?a4???ak?1?ak?的值是 。

20.两个七进制整数454与5的商的七进制表示为 。

三、B组填空题(每题6分,共30分)

21.已知:a?141?,则a3?3的值等于 a3a

22.一项工程,甲单独完成需要a天,乙单独完成需要b天,a、b都是自然数,现在乙先 工作3天后,甲、乙再共同工作1天恰好完工,则a+b的值等于 或 。

23.一个凸多边形的某一个内角的外角与其余内角的和恰为500°,那么这个多边形的边数是 或 。

24.小张以两种形式储蓄了500元,第一种储蓄的年利率为3.7%,第二种储蓄的 年利率为2.25%,一年后得到利息为15.6元,那么小张以这两种形式储蓄的钱数 分别是 或 。

?a25.若a为整数,且分式?4a?4a3?2?a?1?a2?a?1?的值是正整数,则a的值等a?2a3?6a2?12a?8

于 或 。 2?????

第十一届“希望杯”数学竞赛初二第二试

一、选择题:

19991998998999, -, -, -这四个数从小到大的排列顺序是 999200019991000

1999199899999899899919981999 (AA)-<-<-<- (B)-<-<-<- 999999200019991000100019992000

1998199999999899999819991998 (C)-<-<-<- (D)-<-<-<- 999999199920001000100020001999

2.一个三角形的三条边长分别是a, b, c(a, b, c都是质数),且a+b+c=16,则这个三角形的形状是

(A)直角三角形(B)等腰三角形(C)等边三角形(D)直角三角形或等腰三角形

11xy3.已知25=2000, 80=2000,则?等于 xy

31 (A)2 (B)1 (C) (D) 22

b?cc?aa?b??4.设a+b+c=0, abc>0,则的值是 |a||b||c|1.-

44

(A)-3 (B)1 (C)3或-1 (D)-3或1

5.设实数a、b、c满足a<b<c (ac<0),且|c|<|b|<|a|,则|x-a|+|x-b|+|x+c|的最小值是

|a?b?c|

(A) (B)|b| (C)c-a (D)―c―a

3

6.若一个等腰三角形的三条边长均为整数,且周长为10,则底边的长为 (A)一切偶数 (B)2或4或6或8 (C)2或4或6 (D)2或4 7.三元方程x+y+z=1999的非负整数解的个数有

(A)20001999个 (B)19992000个 (C)2001000个 (D)2001999个 8.如图1,梯形ABCD中,AB//CD,且CD=3AB,EF//CD,EF将梯形 ABCD分成面积相等的两部分,则AE :ED等于( )。

AE

BFC

?1?13D (C) (D) 222

9.如图2,一个边长分别为3cm、4cm、5cm的直角三角形的一个 A顶点与正方形的顶点B重合,另两个顶点分别在正方形的两条边AD、 DC上,那么这个正方形的面积是( )。

1621522

(A)cm (B)cm2

1516

F

17216222

(C)cm (D)cm

1617D

pqpx?qy?rzr

10.已知p+q+r=9,且2, 则等于 ?2?2

x?y?zx?yzy?zxz?xy

(A)2 (B)

(A)9 (B)10 (C)8 (D)7 二、填空题:

11.化简:

?1í

B

E

?2í

C

23?66?42

3?2

12.已知多项式2x2+3xy-2y2-x+8y-6可以分解为(x+2y+m)(2x-y+n)的形式,

m3?1

那么2的值是 。

n?1

13.△ABC中,AB>AC,AD、AE分别是BC边上的中线和∠A的平分线,则AD和AE的 大小关系是AD AE。(填“>”、“<”或“=”)

14.如图3,锐角△ABC中,AD和CE分别是BC和AB边上的高, 若AD与CE所夹的锐角是58°,则∠BAC+∠BCA的大小是 。

15.设a-b=1+2, b-c=1-,则a+b+c-ab-bc-ca的值等于 。

2

2

2

2

4

4

4

22

22

22

BEDC

A

图3

11

16.已知x为实数,且x2+2=3,则x3+3的值是 。

xx

n2?3n?10

17.已知n为正整数,若2是一个既约分数,那么这个分数的值等于 。

n?6n?16A

18.如图4,在△ABC中,AC=2,BC=4,∠ACB=60°,将△ABC

E

B

45

D

图4

C

折叠,使点B和点C重合,折痕为DE,则△AEC的面积是 。

19.已知非负实数a、b、c满足条件:3a+2b+c=4, 2a+b+3c=5,

设S=5a+4b+7c的最大值为m,最小值为n,则n-m等于 。

20.设a、b、c、d为正整数,且a7=b6, c3=d2, c-a=17,则d-b等于

三.解答题:

21.已知实数a、b满足条件|a-b|=b11<1,化简代数式(-)(a?b?1)2, aab

将结果表示成只含有字母a的形式。

22.如图5,正方形ABCD中,AB=,点E、F分别在BC、CD上,

且∠BAE=30°,∠DAF=15°,求△AEF的面积。

23.将编号为1,2,3,4,5的五个小球放入编号为1,2,3,4,5

的五个盒子中,每个盒子只放入一个,

① 一共有多少种不同的放法?

② 若编号为1的球恰好放在了1号盒子中,共有多少种不同的放法?

③ 若至少有一个球放入了同号的盒子中(即对号放入),共有多少种不同的放法?

ADFBE图5C

46

第十二届“希望杯”数学邀请赛初二第一试试题

一、 选择题(以下每题的四个结论中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字

母填在每题后面的圆括号内

1、

设x?y?x,y的大小关系是( )

(A)x?y (B)x?y (C)x?y (D)无法确定的

2、

(A)0 (B

)1 (C)1 (D)不存在的

3、 设b?

c,且满足1)(a?b)b?c)?a?c,则

432a?b的值( ) b?c(A)大于零 (B)等于零 (C)小于零 (D)正负号不确定 4、 设y?x?4x?8x?8x?5,其中x为任意实数,则y的取值范围是( )

(A)一切实数 (B)一切正实数

(C)一切大于或等于5的实数 (D)一切大于或等于2的实数

5、 已知点D在线段EF上,下列四个等式:①DE?2DF,②DE?

④DF?1EF,③EF?2DF, 31DE,其中能表示:点D是线段EF的一个三等分点的表达式是( ) 2

222(A)①②③ (B)②③④ (C)①②④ (D)①③④ 6、 已知△ABC中,∠B=60°,∠C>∠A,(?C)?(?A)?(?B),则△ABC的形状是( )

(A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)直角或钝角三角形

7、 凸n边形中有且仅有两个内角为钝角,则n的最大值是( )

(A)4 (B)5 (C)6 (D)7

8、 如图1,ABCD是边长为1的正方形,EFGH是内接于ABCD的正方形,AE?a,AF?b, 2,则|b?a|等于( ) 3

(A

) (B

) (C

(D

23若SEFGH?

AD

H

F

BC

图1G

9、 某工厂生产的灯泡中有141是次品,实际检查时,只发现其中的被剔除,另有的正品也被误以为5520

次品而剔除,其余的灯泡全部上市出售,那么该工厂出售的灯泡中次品所占的百分率是( )

(A)4% (B)5% (C)6.25% (D)7.25%

10.在正常情况下,一个司机每天驾车行驶t小时,且平均速度为v千米/小时,若他一天内多行驶1小时, 47

平均速度比平时快5千米/小时,则比平时多行驶70千米,若他一天内少行驶1小时,平均速度比平时慢 5千米/小时,他将比平时少行驶( )

(A)60千米 (B)70千米 (C)75千米 (D)80千米

二、 A组填空题

11.计算:2001?20002000?2000?20012001?

2m?x4mx?13的解是x?,那么m的值是 ?324

xxxx13.Root of the equation ????2 is 3153563

24214.已知x?2x?5是x?ax?b的一个因式,那么a?b的值是 12.已知关于x的不等式

15.若三角形的三个外角的比是2:3:4,则它的三个内角的比是

16.若?A的补角的余角大于30°,1?B的余角的补角小于150°,那么∠A与∠B的大小关系是 2

17.如图2,△ABC中,∠A=30°,CD是∠BCA的平分线,ED是∠CDA的平分线,EF是∠DEA的平分线, DF=FE,那么∠B的大小是

18.如图3,在菱形ABCD中,∠DAB=120°,点E平分DC,点P在BD上,且PE+PC=1,

那么边长AB的最大值是

B

D

F

C图2EAABDE图3C

?x?2y?z?622219.已知x,y,z为实数,满足?,那么x?y?z的最小值是 ?x?y?2z?3

420.已知n是正整数,且n?16n?100是质数,那么n? 三、 B组填空题

11时,A?x?时,A? 22

22、Suppose both a and b are integer. As (a?2b)(8?a)?1,then a?b?

23、如图4,延长凸五边形A1A2,A2A3,A3A4,A4A5,A5A1的各边相交得到五个角;?B1,?B2,?B3,?B4,?B5,

它们的和等于 ;若延长凸n边形(n?5)的各边相交,则得到的n个角的和等于 。 21、设A?|2x?1|?|1?2x|,则当x??

B5

B1

A2

B2A1A5B4A4

24、我国在使用公元纪年的同时,也一直沿用我国古代创立的干支纪年法,如甲午战争中的甲午,辛亥

革命 图4B3

48

中的辛亥就是年份的名称。干支中的干是天干的简称,是指:甲乙丙丁戊己庚辛壬癸;支是地支的简称,是指:

子丑寅卯辰巳未申酉戌亥。在纪年时,同时分别从甲子开始,不改变各自的顺序,循环往复下去。已知公元

2001年是辛巳年,那么公元1999年是年,上一个辛巳年是公元

25.若abcda?b?c?d的值是 或 。 ???,则bcdaa?b?c?d

第十二届“希望杯”数学邀请赛第二试试题

(初二)

一. 选择题

1. 化简代数式3?2?3?2的结果是( )

A. 3 B. 1?2 C. 2?2 D. 2

2. 已知多项式ax?bx?cx?d除以x?1时,所得的余数是1,除以x?2时所得的余数是3,

那么多项式ax?bx?cx?d除以(x?1)(x?2)时,所得的余式是( )

A. 2x?1 B. 2x?1 C. x?1 D. x?1 3232

a?b|?a,那么( ) a?b

A. ab?0 B. ab?0 C. ab?0 D. a?b?0

a?ca?bb?ca?c 4. 若|a|?|c|,b?,|b|?2|a|,S1?||,S2?||,S3?||,则 2cab

S1、S2、S3的大小关系是( )

A. S1?S2?S3 B. S1?S2?S3

C. S1?S3?S2 D. S1?S3?S2 3. 已知a?1且|

5. 若一个三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一条边,则此三角形肯定是( )

A. 直角三角形 B. 等边三角形

C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形

6. 若?ABC的三边长是a、b、c,且满足a?b?c?bc,b?c?a?ac, 4442244422

49

c4?a4?b4?a2b2,则?ABC是( )

A. 钝角三角形 B. 直角三角形

C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形

7. 平面内有n条直线(n?2),这n条直线两两相交,最多可以得到a个交点,最少可以得到b个交点,

则a?b的值是( )

n2?nn2?n?2 A. n(n?1) B. n?n?1 C. D. 22

8. In fig. 1, let ?ABC be an equilateral triangle, D and E be points on edges AB and AC respectively, F be intersection of segments BE and CD, and ?BFC?120?, 2

then the magnitude relation between Ad and CE is ( )

A. AD?CE B. AD?CE C. AD?CE D. indefinite

(英汉词典:equilateral等边的;intersection交点;magnitude大小,量;indefinite不确定的)

9. 已知两个不同的质数p,q满足下列关系:

p2?2001p?m?0,q2?2001q?m?0,m是适当的整数,那么p2?q2的数值是( )

A. 4004006 B. 3996005 C. 3996003 D. 4004004

10. 小张上周工作a小时,每小时的工资为b元,本周他的工作时间比上周减少10%,而每小时的

工资数额增加10%,则他本周的工资总额与上周的工资总额相比( )

A. 增加1% B. 减少1% C. 增加1.5% D. 减少1.5%

二. 填空题(每小题6分,共60分)

11. 化简:2??3

2?62?4的结果是_________。

22 12. 已知p、q为实数,且q?3,满足pq?12p?12?3p?4pq?4q,那么

13. 无理数(1?2)的整数部分是________。 4p?2的值等于_______。 q?3

14. 设a、b、c均为不小于3的实数,则a?2?b?1?|1??1|的最小值是_____。

???15. 如图2,直线AB//CD,?EFA?30,?FGH?90,?HMN?30,

?CNP?50?,则?GHM的大小是_____。

50

2 16. 代数式x?4? 17. 18. If p and q m2?pm?q?0 (英汉词典:prime

19. 如图3,Rt?ABC中,?C?90,?A?30,点D、E分别在AB、AC上,且DE?AB,

若DE将?ABC分成面积相等的两部分,那么线段CE与AE的长度的比是________。

?

?

20. 如图4,将矩形ABCD的四个角向内折起,恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的

四边形EFGH,若EH?3,EF?4,那么线段AD与AB的比等于_________。

三. 解答题(21、22题各13分,23题 21. 且没有平局,结果有3情况,并说明理由。

51

22. 从甲站到乙站共有800千米,开始400千米是平路,接着300千米是上坡路,余下的是下坡路,

已知火车在上坡路、平路、下坡路上的速度的比是3:4:5,

(1)若火车在平路上的速度是80千米/小时,那么它从甲站到乙站所用的时间比从乙站到甲站

所用的时间多多少小时?

(2)若要求火车来回所用的时间相同,那么火车从甲站到乙站在平路上的速度与乙站到甲站在

平路上的速度的比是多少?

23. 如图5,等边?ABC的边长a?25?123,点P是?ABC内的一点,且

PA2?PB2?PC2,若PC?5,求PA、PB的长。

第十三届“希望杯”数学邀请赛初二第一试试题 一、选择题(每小题5分,共50分)

1.使分式?x?|x|的值为零的x的一个值是( ) x2?x

A. O B.1 C.-1 D.-2

2.下列各式分解因式后,可表示为一次因式乘积的是( )

3232 A.x-9x+27x-27 B. x-x+27x-27

4332 C x-x+27x-27 D.x—3x+9x-27

3.2001年7月13日,北京市获得了第29届奥运会的主办权,这一天是星期五,那么第29届 奥运会在北京市举办的那一年的7月13日是( )

A.星期四 B.星期五 C.星期六 D.星期日

4.设P是等边△ABC内任意一点,从点P作三边的垂线PD、PE、PF,点D、E、F是垂足,

PD?PE?PF则等于( ) AB?BC?CA

52

A.32313 B. C. D. 2262

5.若三角形的三个内角A、B、C的关系满足A>3B,C<2B,那么这个三角形是( )

A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.不等边的锐角三角形

x?34?x2?3x6.已知m?,n?,p?,且m>n>p,那么x的取值范围是( ) 453

A.x?1 B.?147147?x?1 C.??x?1 D.??x?? 517517

7.If a<b<0,then the following inequality must be hold( )

(英汉小字典:following:下面的;inequality:不等式)

11111111A.? B.? C.? D.(b?)2?(a?)2 abababa?ba

ab2b8.已知b<0,0<|a|<|b|<|c|,且?ac,则a、b、c的大小顺序是( ) cc

A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a

9.在凸四边形ABCD中,AB∥CD,且AB+BC=CD+DA,则( )

A. AD>BC B.AD<BC C.AD=BC D.AD与BC的大小关系不能确定

10.如图,在直角△ABC中,∠C=90°,AC=3.以AB为一边向三角形外作正方形ABEF,

正方形的中心为O,且OC=42 ,那么BC的长等于( )

9 A.32 B.5 C.25 D. 2

二、A组填空题(每小题5分,共50分)

2211.若对于一切实数x,等式x-px+q=(x+1)(x-2)均成立,则p—4q的值是 .

12.2001年北京市的气候条件较好义无病虫害,这一年北京市海淀区的冬储大白菜的种植面积约为2000亩,

与上一年相比,面积持平而亩产量达5000公斤,比上一年的亩产量增加了25%,但平均价格低于上一年,

2001年在地头批发的平均价格为每公斤0.20元,假设所有的大白菜都在地头批发,且两年收入相同. 则上一年在地头批发大白菜的平均价格约为每公斤 元.

13.若3a

14.若x22n+m和4an-2m都是2a的同类项,则2(n53m5)2÷(n5m)2(nm3)的值是 . 12-x-1=O,则-x3+2x+2002的值等于 .

15.若a、b均为正数,且a2?b2,4a2?b2,a2?4b2是一个三角形的三条边的长,

那么这个三角形的面积等于 .

16.In Fig,In the Rt△ABC,∠ACB=90°,∠A=30°,CD is the bisector to∠ACB,

MD is the perpendicular to BA and MD through the midpoint of segment AB,then∠CDM .

(英汉小字典:bisector:平分线;perpendicuIar:垂线;midpoint:中点)

l7.边长为整数且面积为2002的长方形共有 种.(对应边长相等的长方形算作同一种)

18.一个凸n边形的最小内角为95°,其他内角依次增加lO°,则n的值等于 .

AEAD119.如图,D、E分别在△ABC的边AC、AB上,BD与CE相交于F,若?2?, EBDC2

△ABC的面积S△ABC=21,那么四边形AEFD的面积等于 .

20.在数轴上,A和B是两个定点,坐标分别是-3和2,点P到点A、B的距离的和等于6, 那么点P的坐标是 .

三、B组填空题(每小题10分,共50分)

221.方程x-xy-5y+5y-1=0的整数解是 或 .

53

22.两个凸多边形.它们的边长之和为12,对角线的条数之和为l9,

那么这两个多边形的边数分别是 和 .

23.方程x?y?5?y?18?0的解是 或 .

24.在一个三位数的百位和十位之间插入:O.1,2,?,9中的一个数码得到的四位数恰是原三位数

的9倍,那么这样的三位数中最小的是 ,最大的是 .

225.已知n是自然数,且n—17n+73是完全平方数,那么n的值是 或 .

2002年度初二第二试“希望杯”全国数学邀请赛

一、选择题:.

1.若a≠

都是有理数,

( ).

(A)都是有理数. (B)一个是有理数,另一个是无理数.

(C)都是无理数. (D)是有理数还是无理数不能确定.

2222222.已知a>b>c,M=ab+bc+ca,N=ab+bc+ca,则M与N的大小关系是( ).

(A)M<N (B)M>N (C)M=N (D)不确定的

3.上午九点钟的时候,时针与分针成直角,那么下一次时针与分针成直角的时间是( ).

58分 (D)9时32分 1111

1114.有理数a、b、c满足下列条件:a+b+c=0且abc<0,那么??的值是( ). abc (A)9时30分 (B)10时5分; (C)10时5

(A)是正数 (B)是零

(C)是负数 (D)不能确定是正数、负数或0

5.

已知a?b?c?其中m>0,那么a,b,c的大小关系是( ). (A)a>b>c (B)c>a>b; (C)a>c>b (D)b>c>a

6.已知△ABC中,∠A=60°,BC=a,AC=b,AB=c,AP是BC边上的中线,则AP 的长是( ).

7.(Figure 1) In the parallelogram ABCD,AD=2AB,a point M is mid- point of segment AD,CE⊥AB, if∠CEM=40°,then the value of∠DME it( ).

(A)150° (B)140° (C)135° (D)130°

8.如图,在四边形ABCD中,E、F分别是两组对边延长线的交点,EG、FG 分别平分∠BEC、∠DFC, 若∠ADC=60°,∠ABC=80°,则∠EGF的大小是( ).

(A)140° (B)130° (C)120° (D)110°

54

E

AE?MDDCBF BC

9.设ai=1989+i,当i取1,2,3,?,100时,得到100个分式ii55(如i=5,则=), ?aiai1989?51994

在这100个分式中,最简分式的个数是( ).

(A)50 (B)58 (C)63 (D)65

10.一个长方体的棱长都是正整数,体积是2002, 若对应棱长相等的长方体算作同一种长方体,

那么这样的长方体( )

(A)有6种 (B)有12种

(C)有14种 (D)多于16种

二、填空题:(每小题6分,共60分)

11.某储蓄所每年工资支出10万元,其他固定支出每年17万元. 对于吸收的存款每年应付2.25%的利息, 吸收来的存款全部存到上级银行,可得年利率4.05%的内部核算收入,那么该储蓄所为使内部核算没有亏损,

每年至少应吸收存款____________________________万元.

,最后得_________. ?1???1??13.设x,y都是有理数,且满足方程???x????y?4???0 ,那么x-y的值是________. ?23??32?12.

14. 15与33的大小关系是15________33 . (填“>”,“<”或“=”)

15.If N is natural number,and N??N?1, then the value of N is______.( natural number自然数)

16.如果6161316131?a1?b2,那么(2+a)(2+b)+b=__________. ?1?a1?b

17.如图所示的八个点处各写一个数字,已知每个点处所写的数字等于和这个点有线段相连的三个点处

1a?b?c?d?(e?f?g?h)的数字的平均数,则代数式:=___ __. a?b?c?d?(e?f?g?

h)3

18.2001年某种进口轿车每辆标价40万元人民币,买此种车时还需另外交纳汽车标价的80%的关税,

我国加入WTO后,进口车的关税将逐渐下降.预计到2006年7月1日,关税降到25%,又因为科技的发展 使成本降低,到2006年7月1日,该种车的标价降到2001年的65%,那么2006年7月1日后买一辆该种轿车 将比2001 年少付人民币______万元.

55

19.在△ABC中,∠A=40°,H是△ABC的垂心,且H不与B、C重合,则∠BHC的大小等于_______.

20.如图,正九边形ABCDEFGHI中,AE=1,那么AB+AC的长是

_______.

三、解答题:(21题16分,22、23题各12分)要求:写出推算过程.

21.如图,在锐角△ABC中,AD、CE分别是BC、AB边上的高,AD、CE相交于F, BF的中点为P,AC的中点为Q,连接PQ、DE.

(1)求证:直线PQ是线段DE的垂直平分线;

(2)如果△ABC是钝角三角形,∠BAC>90°,那么上述结论是否成立? 请按钝角三角形改写原题,画出相应的图形,并给予必要的说明.

A

EDCPB

22.已知在等式ax?b?s中,a,b,c,d都是有理数,x是无理数,解答: cx?d

(1)当a,b,c,d满足什么条件时,s是有理数;

(2)当a,b,c,d满足什么条件时,s是无理数.

56

23.在线段AB上,先在A点标注0,在B点标注2002,这称为第一次操作; 然后在AB的中点C处标注0?2002=1001,称为第二次操作;又分别在得到的线段AC、BC的中点D、E处标注对应线段两端所标注的2

0?10011001?2002数字和的一半,即与,称为第三次操作;照此下去, 那么经过11次操作之后,在线22

段AB上所有标注的数字的和是多少?

第十四届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试

一、选择题(每小题5分,共50分)

1.已知x是实数,则x-?+-x+

(A)1-1 ?x-1?的值是( ) 1-1 ?(B)1+1 ?(C)(D)无法确定的

2.若x+y=-1,则x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4的值等于( )

(A)0 (B)-1 (C)1 (D)3

3.设[a]表示不超过a的最大整数,如[4.3]=4,[-4.3]=-5,则下列各式中正确的

是( )

(A)[a]=|a| (B)[a]=|a|-1 (C)[a]=-a (D)[a]>a-1

4.a,b,c为三角形的三边长,化简|a+b+c|-|a-b-c|-|a-b+c|-|a+b

-c|,结果是( )

(A)0 (B)2a+2b+2c (C)4a (D)2b-2c

5.下列条件中,能判定两个直角三角形全等的是( )

(A)两个锐角对应相等 (B)两条边对应相等

(C)一条边与一个锐角对应相等 (D)斜边与一个锐角对应相等

6.如图1,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠1=30°,∠DCB=60°,则图中的等腰三 57

角形有( )

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

7.如图2,△ABC≌△AEF,AB=AE,∠B=∠E,则下列结论中不一定成立的是( )

(A)AC=AF (B)∠FAB=∠EAB (C)EF=BC (D)∠EAB=∠FAC

EDEA D

CBBCCBFFF Figure4 图

1 图2 图3

8.如图3,△ABC中,∠C=90°,∠BAD=1∠BAE,∠ABD=1∠ABF,则∠D的大小是33

( )

(A)105° (B)90° (C)75° (D)60°

9.(Figure 4)In the trapezium(梯形)ABCD,AD∥BC,point E is midpoint(中点)of the AD, point F is midpoint of the BC,EF=1(BC-AD),the result of the ∠B+∠C is ( ) 2

(A)90° (B)100° (C)110° (D)120°

10.2002年9月28日,“希望杯”组委会第二次赴俄考查团启程,途经哈巴罗夫斯克和莫斯

科,

两地航程约9000千米,往返飞行所用的时间并不相同,这是因为在北半球的高纬度地区, 有一股终年方向恒定的西风,人们称它为“高空西风带”.已知往返飞行的时间相差1.5小时,

飞机在无风天气的平均时速为每小时1000千米,那么西风速度最接近( ) ...

(A)60千米/小时 (B)70千米/小时 (C)80千米/小时 (D)90千米/小时

二、A组填空题(每小题5分,共50分)

11.设0<x<1<y<2,则x2+y2-2xy+4x-4y+4+-2x+x2-y2-4y+4=__________.

12.已知a5-a4b-a3+a-b-1=0,且2a-3b=1,则a3+b3的值等于____________.

13.四种水果糖的价格分别是每斤6、7、9、12元.现将每斤6元和7元的糖各10斤,每

9元和12元的糖各6斤混合为什锦糖,以四种糖的平均价格出售,这32斤糖可多收入_______元.

14.某市举行中学生运动会,有7千多人参加入场式,如果他们10人站一排,将多出1人,

如果分别以9人、8人、7人、6人、5人、4人、3人站成一排,都将多出1人, 那么参加入场式的人数是____________.

15.If polynomial(多项式)5x3-34x2+94x-81 can be espressed as(表示成)

a(x-2)3+b(x-2)2+c(x-2)+d,then numerical value(数值)if ad+bc is ____________.

16.In the Rt△ABC,∠ACB=90°,AB+BC+CA=2+,midline for

hypotenuse(斜边)is 1,then AC2BC=__________.

17.如图5,两点A、B在直线MN外的同侧,A到MN的距离AC=8,B到MN的距离 58

BD=5,CD=4,P在直线MN上运动,则|PA-PB|的最大值等于__________.

18.如图6,等腰梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=60°,AC平分∠DAB,且AC=2

则梯形ABCD的周长等于__________. , A B NCPDM 图5 图6 图

7

19.如图7,两个全等的正六边形ABCDEF、PQRSTU,其中点P位于正六边形ABCDEF的

中点,如果它们的面积均为1,则阴影部分的面积是__________.

20.正整数A除以3余2,除以4余1,那么A除以12的余数是__________.

三、B组填空题(每小题10分,共50分)

21.四个数w、x、y、z满足x-2001=y+2002=z-2003=w+2004,

那么其中最小的数是______,最大的数是_______.

22.从1开始的n个连续整数的和等于一个各个数码都相同的两位数,

则n的值等于__________或__________.

23.如图8,三个含30°角的直角三角形从小到大依次排列,彼此有一条边相等,

AB=A'C'=B''C'',在这三个三角形中,BC∶B'C'∶B''C''=3∶_______∶_______.

24.若x,y为正整数,且x2+y2+4y-96=0,则xy=________或________.

25.已知

1260是正整数,则正整数a=____________. a2+a-6B//BCAB/C/A图8 //

2003年第十四届“希望杯”全国数学邀请赛(初二笫2试)

一、选择题:(50分)

1.y-2x+1是4xy-4x-y-k的一个因式,则k的值是( )

(A)0; (B)-1;(C)1; (D)4 22

59

2.不等式0≤ax+5≤4的整数解是1、2、3、4,则a的取值范围是( )

555(A)a≤-; (B)a<-1;(C)-≤a<-1;(D)a≥- 444

3.整数x、y满足不等式x+y+1≤2x+2y,则x+y的值有( )

(A)1个; (B)2个; (C)3个; (D)4个

4.如图1,在矩形ABCD中,AE,AF三等分∠BAD,若BE=2,CF=1,则最接近矩形面积的是( )

(A)13; (B)14; (C)15; (D)16 AD22D

A

CFGFBE

图1CB图2E图3

1105.如图2,RtΔABC中,∠C=90,∠DAF=∠DAB,∠EBG=∠EBA,则射线AF与BG( ) 33

(A)平行;(B)延长后相交;(C)反向延长后相交;(D)可能平行也可能相交

36.If the radius(半径) of circle Ⅲ in the figure3(图3) is of the radius of circle Ⅱ, 4

4and the radius of circle Ⅱ is of the radius of circle Ⅰ,then the area of the 5

shaded region iswhat part of the area of circle Ⅰ?( ) (A)79316; (B);(C);(D) 252025507.凸n边形(n≥4)中,不算两个最大的内角,其余内角的和为110,则n等于( )

(A)12; (B)11; (C)10或9; (D)10

8.将长为12的线段截成长为整数的三段,使它们成为一个三角形的三边,则构成的三角形( )

(A)不可能是等腰三角形;(B)不可能是等腰三角形;

(C)不可能是等边三角形;(D)不可能是钝角三角形;

9.数轴上的点A、B、P分别对应数:-1、-4、x,并且P与A的距离大于P与B的距离,则( ) 5(A)x>-3; (B)x>-2; (C)x<-2; (D)x<- 2

10.如图4,啤酒瓶高为h瓶内酒面高为a,若将瓶

盖盖好后倒置,酒面高为a(a+b=h),则酒瓶

的容积与瓶内酒的体积的比为( )

a'bba(A) 1+'; (B)1+; (C)1+; (D)1+ baba,,

二、填空题: (50分)

60

911.方程丨x+3丨+丨3-x丨=丨x丨+5的解是____ _. 2

12.有人问毕达哥拉斯,他的学校中有多少学生,他回答说:“现在,有一半学生学数学,四分之一的学生学音乐,

七分之一的学生在休息,还剩三个女同学┉┉.”那么毕达哥拉斯的学校中有____ _学生.

13.方程x+11=4的一个根是4,则另一个根是____ __. 2x?2

??14.已知:对于正整数n,

k满足

2,则 3?

15.已知xy?yz?zxxz=____ _. ?y??0,那么2x?3y2?4z232

16.小明到商场购买某个牌子的铅笔x支,用了y元(y为整数).后来他又去商场时,发现这种牌子的铅笔 降阶20%,于是他比上一次多买了10支铅笔,用了4元钱,那么小明两次共买了铅笔____ _支.

17.If a,b and c are sieds(边) of the ΔABC,and a-bc=a(b-c),then the figure(形状) of

the triangle(三角形) is____ _.(用汉语填写)

18.如图5,是一个圆形花坛,中间的鲜花构成一个菱形图案

(单位:米),若每平方米种植鲜花20株,那么这个菱形图

案中共有鲜花____ _株.

19.如图6,ΔABC中,AC=BC=5,∠ACB=80,O为ΔABC中一点,

∠OAB=10,∠OBA=30,则线段AO的长是____ _.

20.已知x、y、z均为正整数,且7x+2y-5z是11的倍数,那么

AB

图600023x+4y+12z除以11,得到的余数是____ _.

三、解答题:(要求写出推算过程,21题20分,22,23题各15分)

21.有一批影碟机(VCD)原售价:800元/台.甲商场用如下办法促销:

,每台打八五折;每次购买17~24台,每台打八折;每次购买24台以上,每台打七五折.

(1)请仿照甲商场的促销列表,列出到乙商场购买VCD的购买台数与每台价格的对照表.

(2)现在有A、B、C三个单位,A单位要买10台VCD,B单位要买16台VCD,C单位要买20台VCD,

问他们到哪家商场购买花费较少?

61

22.如图7,在锐角ΔABC中,D、E、F分别是AB、BC、CA边上的三等分点,P、Q、R分别是ΔADF、ΔBDE、 ΔCEF的三余中线的交点.

(1)求ΔDEF与ΔABC的面积比;(2)求ΔPDF与ΔADF 的面积比;(3)求多边形PDQERF与ΔABC 的面积比.

23.两条直线上各有n个点,用这n对点按如下规则连结线段:

①同直线上的点不连结;

②连结的任意两条线段可以有共同的端点,但不得有其它的端点;

(1)画图说明当n=1、2、3时,连结的线段最多各有多少条?

(2)由(1)猜想n(n为正整数)对点之间连结的线段最多有多少条,证明你的结论.

(3)当n=2003时,所连结的线段最多有多少条?

B图7DRPF

62

2004年第十五届希望杯初二第1试试题

一、选择题:(每小题4分,共40分)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案

针在黑纸的中心刺出一个小孔。小伟将有黑纸的一端正对着竖直放置的“”形状的光源,则他在半透明纸上观察到的像的形状是( )

(A)

(B) (C) (D)

2、代数式

(A) (B)的化简结果是( ) (C) (D)

,那么 ( ) 3、已知是实数,且

(A)31 (B)21 (C)13 (D)13或21或31

4、已知(>)是两个任意质数,那么下列四个分数( )

①; ②; ③; ④

中总是最简分数的有( )

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

are real numbers, and 5、Given

ofis ( ) , then the value

(A)4 (B)6 (C)3 (D)4or6

6、某出版社计划出版一套百科全书,固定成本为8万元,每印制一套 需增加成本20元。

如果每套定价100元,卖出后有3成给承销商,出版社要盈利10%,那么该书至少应发行(精确到千位)

( )

(A)2千套 (B)3千套

(C)4千套 (D)5千套

7、△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C,满足

3∠A>5∠B,3∠C≤∠B,则这个三角形是( )

(A) 锐角三角形 (B)直角三角形

(C)钝角三角形 (D

)等边三角形

8、如图2,正方形ABCD的面积为256,点E在AD上,点F在AB的延长线上,EC⊥FC,

△CEF的面积是200,则BF的长是( )

(A)15 (B)12 (C)11 (D)10

9、如图3,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,点E、F分别是对角线AC、BD的中点,则( )

(B)(A)

(C)

10、 (D) 表示不大于的最大整数,如[3.15]=3,[-2.7]=-3,[4]=4,则( )

( )

(A)1001 (B)2003 (C)2004 (D)1002

二、A组填空题(每小题4分,共40分。含两个空的小题,每个空2分。)

63

11、计算:

12、已知

13、已知 。 。 是三个实数,且的平均数是127,的和的三分之一是78,

的和的四分之一是52,那么的平均数是 。

14、Given in the △ABC,a,b,c are three sides of the triangle, a=3, b=10 and perimeter of the triangle is multiple of 5, then the length of c is 。

(英汉小词典:side:边;perimeter:周长;multiple:倍数)

15

16、如图4,等腰梯形ABCD的面积是49平方厘米,AD∥BC,且AC⊥BD,AF⊥BC,

则BD= 平方厘米,AF= 平方厘米。

17、方程

18、已知 或 。 是三个互不相同的非零实数,设 19、已知均为实数,且

20、小明做数学题时,发现

按上述规律,第五个等式是 ;第n个等式是 。

三、B组填空题(每小题8分,共40分。每题两个空,每个空4分。)

21、一个三位自然数,当它分别被2、3、4、5、7除时,余数都是1, 那么具有这个性质的最小三位数是 ;最大三位数是 。

22、一个直角三角形的三条边长均为整数,已知它的一条直角边的长为15

那么另一条直角边的长有 种可能,其中最大值是 。

23、已知都是质数,且>40,那么满足以上条件的最小质数

24、用1、2、3、4、5这五个数字可以组成60个没有重复数字的三位数,

那么这60个三位数的和是 ;这个和除以111,得到的商是 。

25、如图5,正方形BCDE和ABFG的边长分别为,连接CE 和CG,

则图中阴影部分的面积是 ;CE和CG的大小关系是 。

的大小关系是 。 ; ; 。

64

第十五届“希望杯”全国数学邀请赛

初二 第2试

2004年4月18日 上午8:30至10:30 得分

一、选择题:

1. 方程x?1+x?3= 4的整数解有( )

(A)2个 (B)3个 (C)5个 (D)无穷多个

2. 若等式m8xn- =2对任意的 x(x≠±3)恒成立,则mn=( ) x?3x?3x?9

(A)8 (B)-8 (C)16 (D)-16

3. 若x>z,y>z,则下列各式中一定成立的是( )

(A)x+y>4z (B)x+y>3z (C)x+y>2z (D)x+y>z

4. 规定[a]表示不超过a的最大整数,当x=-1时,代数式2mx3-3nx+6值为16, 则[2m-n]=( ) 3

(A)-4 (B)-3 (C)3 (D)4

5. 如图1,在 □ ABCD中,AC与BD相交于O,AE⊥BD于E,CF

⊥BD于F,那么图中的全等三角形共有( )

(A)5对 (B)6对 (C)7对 (D)8对

6. 如图2,在直角扇形ABC内,分别以AB和AC为直径作半圆,两条半圆弧

相交于点D,整个图形被分成S1、S2、S3、S4 四部分,则S2和S4的大小关系是( )

(A)S2<S4 (B)S2=S4 (C)S2>S4 (D)无法确定

7. Given m is a real number ,and?m=m+1,simplify an algebraic expression ,thenm?2m?1 =( )

(A)m-1 (B)-m+1 (C) m-1 (D) -m+1

(英汉小词典simplify:化简;algebraic expression:代数式)

8. 二(1)班共有35名学生,其中211的男生和的女生骑自行车上学, 23

那么该班骑自行车上学的学生的人数最少是( )

(A)9 (B)10 (C)11 (D)12

9. 李编缉昨天按时间顺序先后收到A、B、C、D、E共5封电子邮件,

如果他每次都是首先回复最新收到的一封电子邮件,那么在下列顺序

①BAECD ②CEDBA ③ACBED ④DCABE

中,李编缉可能回复的邮件顺序是( )

(A)①和② (B)②和③ (C)③和④ (D)①和④

10. 有A、B、C三把刻度尺,它们的刻度都是从0到30 个单位(单位长度各不相同),设三把尺子的 0刻度和30 刻度处到尺子边缘的长度可以忽略不计,现用其中的一把尺子量度另两把尺子的长度。 已知用C尺量度,得A尺比B尺长6个单位;用A尺量度,得B尺比C尺长10 个单位;则用B尺量度,

A尺比C 尺( )

(A)长15个单位 (B)短15个单位 (C)长5个单位 (D)短5个单位

二、填空题:(每小题5 分,共50 分。含两个空的小题,前空3分,后空2分。)

11 .若方程x?1002

432=1002的根分别是x1和x2,则x1+x2= . 2234312. 分解因式:a+2ab+3ab+2ab+b= .

13. 对于任意的自然数n,有f(n)=1

n?2n?1?n?1?n?2n?1222,

则f(1)+f(3)+f(5)+?+f(999)= .

65

14.x1,x2,x3,x4,x5,x6,都是正数,且

x1x2x4x5x6

x3x2x3x4x5x6xxxxx=1,13456=2, x1x2xxxxxxxxxxxxxxx=3,12356=4, 12346=6, 12345=9,则x1x2x3x4x5x6 x4x6x5

= .

15 .(Figure 3) In a trapezoid ABCD,AE= DE,CE⊥AD,CE is abisector to∠BCD,then the ratio of the area of a quadrilateral ABCE to that of a triangle CDE is . (英汉小词典trapezoid:梯形;bisector:平分线;ratio:比值;quadrilateral:四边形)

16.已知a,b,c,d为正整数,且b4d?7b?17(d?1)= ,=, acac

cd则的值是 ;的值是 . ab

17. 一个直角三角形的三条边的长均为整数,已知它的一条直角边的长是18,

那么另一条直角边的长有 种可能,它的最大值是 .

18.“神舟”飞船由返回舱、轨道舱和推进舱三个舱组成,已知三个舱中每两个舱的长度和分别为

4859mm、5000mm、5741mm,那么这三个舱中长度最大的是 mm,长度最小的是 mm。

19. 若(x?1+x?2)(y?2+y?) (z?3+z?1)=36,

则x+2y+3z的最大值是 ,最小值

是 。

20 .图4是某电台“市民热线”栏目一周内接到的热线电话的统计图,其中有关

房产城建的热线电话有30个,那么有关环境保护的电话有 个;

如果每年按52周年计算,每周接到的热线电话的数量相同,

那么“市民热线”一年内接到热线电话有 个。

三、解答题:(每题10分,共30分) 要求:写出推算过程。

21. 民航规定:旅客可以免费携带a千克物品,若超过a千克,则要收取一定的费用,当携带物品的质量为b千克(b>a)时,所交费用为Q=10b-200(单位:元)

(1)小明携带了35千克物品,质量大于a千克,他应交多少费用?

(2)小王交了100元费用,他携带了多少千克物品?

(3)若收费标准以超重部分的质量m(千克)计算,在保证所交费用Q不变的情况下,试用m表示Q。

66

22.如图5,一经张矩形纸片ABCD的边长公别为9cm和3cm,把顶点A和C叠合在一起,得到折痕EF.

(1)证明四边形AECF是菱形.

(2)计算折痕EF的长.

(3)求△CEH的面积.

23.如图6,用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1 的正方形格子,点O、A、B均在正方形格子的顶点(格点)处,其中点O与点A 位于同一水平线上,相距a格,点O与点B位于同一竖直线上,相距b格。

(1)若a=5,b=4,则△OAB中(不包括三条边)共有多少个格点?

(2)若a,b互质,则在线段AB上(不包括A、B两点)是否有格点?证明你的结论。

(3)若a、b互质,且a>b>8,△OAB中(不包括三条边)共有67个格点,求a、b的值。

67

第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试

一、选择题:(每小题4分,共40分)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案

1、等于( ) ?2?4?6?8???28?30

1111A. B.- C. D.- 44222、已知x=3是不等式mx+2<1-4m的一个解,如果m是整数,那么m的最大值是( )

A.-1 B.0 C.1 D.-2

3、一个两位数的个位数字和十位数字交换位置后,所得的数比原来的数大9,这样的两位数中,质数有

( )

A.1个 B.3个 C.5个 D.6个

4、有三组数x1,x2,x3;y1,y2,y3;z1,z2,z3,它们的平均数分别是a,b,c,

那么x1+y1-z1,x2+y2-z2,x3+y3-z3的平均数是( )

a?b?ca?b?c B. C.a+b-c D.3(a+b-c) 33

11115、已知A?3?3,则A与1的大小关系是( ) ?3???422?12?22?1A.

A.A>1 B.A = 1 C.A < 1 D.无法确定的

6、Given in the △ABC ,a,b,c are three sides of the triangle,and

A.acute angle B.right angle

C.obtues angle D.acute angle or obtues angle (英汉词典 acute angle:锐角;obtuse angle:钝角)

7、如图1,点D是△ABC的边BC上一点,如果AB=AD=2,AC=4,且BD∶DC=2∶3,则△ABC是( )

A.锐角三角形; B.直角三角形

C.钝角三角形; D.锐角三角形或直角三角形

8、已知a?b?c?0,则321is( ) ??,then ∠A abcAabc的大小关系是( ) ,,b?cc?aa?b

abcacbBCA. B. ????b?

cc?aa?bb?ca?bc?a图1

baccbaC. D. ????c?ab?ca?ba?bc?ab?c

19、某人月初用x元人民币投资股票,由于行情较好,他的资金每月都增加,即使他每月末都取出 3

1000元用于日常开销,他的资金仍然在三个月后增长了一倍,那么x的值是( )

A.9000 B.10000 C.11000 D.11100

10、判断下列命题的真假:

甲:在边长为1的正三角形中(包括边界)的任意四个点,必有两点的距离不大于

01.2乙:在边长为1,一个内角为60的菱形中(包括边界)的任意六个点,必有两点的距

离不大于1. 那么正确的结论是( ) 2

图2A.甲真乙真 B.甲真乙假 C.甲假乙真 D.甲假乙假

68

二、A组填空题:(每小题4分,共40分。含两个空的小题,每个空2分。)

?7?11、计算:???3?199832000?152000?2000 = . 20007?35

2212、分解因式:ab(a?b)?(a?b)?1= .

13、已知质数p与q满足3p+7q=41,则(p+1)(q-1) = .

14、如图2,将直径AB=1的半圆形纸片平放在桌面上,然后让它绕直径的一个端点旋转到某个位置, 这时它扫过的面积为5?,则AB旋转的角度为 . 8

15、如图3,从一个边长为a的正方形纸片ABCD中剪去一个宽为b的长方形CDEF,

再从剩下的纸片中沿平行短边的方向剪去一个边长为c的正方形BFHG, DEHCFb若长方形CDEF与AGHE的面积比是3∶2,那么= ; a正方形BFHG与正方形ABCD的面积比是

AGB 图316、已知a是整数,x,y是方程x2-xy-ax+ay+1=0的整数解,则x?y= 或

17、A、B、C三种服装的进价分别是30元、40元、50元,售价分别是35元、m元、60元,经核算,

三种服装的总利润相同,且A、B两种服装的销售量之和C服装销售量的4倍,则m= ;

A、B、C三种服装的销售量之比是 .

a?ba?b,y?(a??b),且19x2+143xy+19y2=2005,则x+y= 或 . a?ba?b

19、已知一个两位整数ab的五次方是一个六位数,且最高位的数字与个位数字都是3, 那么ab= ;中间的四个数字之和是 . 18、已知x? Figure420、In figure 4 ,five points A、B、C、D、E are located on a line. When the

ten distances between pairs are listed from smallest to largest ,the list reads : 2,4,5,7,8,k,13,15,17,19. Then the value of k is .

三、B组填空题:(每小题8分,共40分。每题两个空,每个空4分)

21、在公式y=kx+b(k,b为常数)中,当-3≤x≤1时,1≤y≤9,则2k-b的值为 或 .

22、已知方程x?111?c?(c是常数,c≠0)的解是c或,那么方程 xcc

1a2?3a?1x??(a是常数,且a≠0)的解是 或 . 4x?62a

23、已知△ABC的某两个内角的比是4∶7且AB=AC,BD⊥AC于D,BE平分∠ABC交AC于E,

则∠EBD的大小是 或 .

24、已知正△ABC的面积是1,P是平面上一点,并且△PAB、△PBC、△PCA的面积相等,

那么满足条件的点P共有 个;△PAB的面积是 .

25、某靶场有红、绿靶标共100个,其中红靶标的数量不到绿靶标数量的1.若打中一个红靶标得10分, 3

打中一个绿靶标得8.5分,小明打中了全部绿靶标和部分红靶标,在计算他所得的总分时,

发现总分与红靶标的总数无关(包括打中的和没有打中的),则靶场有红靶标 个,

打中的红靶标的个数为 .

69

第十六届“希望杯”全国数学邀请赛

初二 第2试

一、选择题 (以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内。)

1.若a,b均为正整数,m?ab(a?b),则( )

(A)m一定是奇数 (B)m一定是偶数

(B)只有当a,b一个为偶数时,m是偶数

(D)只有当a,b一个为偶数,另一个为奇数时,m是偶数

2.设b<a<0,a?b?(A)225a?b等于( ) ab,则2a?b11 (B)? (C)?3 (D)3 33

3c3.Given a,b,c are positive integers,and a,b are prime numbers,ab?a?2005,then the value of a+b+c is ( )

(A)14 (B)13 (C)12 (D)11

(英汉词典 positive integer:正整数。Prime number:质数。)

4.购买铅笔7支,作业本3个,圆珠笔1支共需3元;购买铅笔10支,作业本4个,

圆珠笔1支共需4元,则购买铅笔11支,作业本5个,圆珠笔2支共需( )

(A)4.5元 (B)5元 (C)6元 (D)6.5元

5.计算机将信息转换成二进制数来处理。二进制是“逢二进一”,如二进制数(1101)2转换成十进制数是1?23?1?22?0?21?1?20?13,那么二进制数(111?111)2转换成十进制数是( ) ?????

2005个1

(A)2?1 (B)2 (C)2?1 (D)2?1

6.已知△ABC的三个内角的比是m:(m?1):(m?2),其中m是大于1的正整数,那么△ABC是( )

(A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)等腰三角形

7.已知△ABC的三条高的比是3:4:5,且三条边的长均为整数,则△ABC的边长可能是( )

(A)10 (B)12 (C)14 (D)16

8.已知两位数ab能够被3整除,它的十位数字与个位数字的乘积等于它的个位数字,

且它的任意次幂的个位数字等于它的个位数字。这样的两位数共有( )

(A)1个 (B)3个 (C)4个 (D)5个

9.放成一排的2005个盒子中共有4010个小球,其中最左端的盒子中放了a个小球,最右端的盒子中 放了b个小球,如果任何相邻的12个盒子中的小球共有24个,则( )

(A)a?b?2 (B)a?b?1 (C)a?1,b?2 (D)a?2,b?1

10.已知整数x , y , z满足x≤y<z,且?2004200520052005??x?y?y?z?z?x?4222那么x?y?z的值等于( )

??x?y?y?z?z?x?2

(A)2 (B)14 (C)2或14 (D)14或17

70

二、填空题

11.如果a?3,b?5,那么a?b?a?b的绝对值等于__________。 12.已知

112x?5xy?2y??5,则?_____________。 xyx?2xy?y

13.某汽车从A地驶向B地,若每分钟行驶a千米,则11点到达,若每分钟行驶则11:20时距离B地还有10千米;如果改变出发时间,若每分钟行驶

2

a千米, 3

3

a千米,则11点到达, 4

若每分钟行驶a千米,则11:20时已经超过B地30千米。A、B两地的路程是_____千米。 14.若M?abc321是一个六位数,其中a,b,c是三个互异的数字,且都不等于0,1,2,3, 又M是7的倍数,那么M的最小值是__________。 15.分解因式:(x?1)(x?2)(x?3)(x?6)?x?____________。

16.若在凸n(n为大于3的自然数)边形的内角中,最多有M个锐角,最少有m个锐角,

则M =___________;m =____________。

17.如图1,等腰RT△ABC的直角边长为32,从直角顶点A作斜边BC的垂线交BC于D1, 再从D1作D1D2?AC交AC于D2,再从D2作D2D3?BC交BC于D3,?,则

2

AD1?D2D3?D4D5?D6D7?D8D9?__________;D1D2?D3D4?D5D6?D7D8?D9D10?___________。

18.如图2,将三角形纸片ABC沿EF折叠可得图3(其中EF∥BC),已知图3的面积与原三角形的面积

之比为3:4,且阴影部分的面积为8平方厘米,则原三角形面积为________平方厘米。

B

E

A

图 2

F

C

图 3

F

19.如图4,△ABC中,BC:AC=3:5,四边形BDEC和ACFG均为正方形,

已知△ABC与正方形BDEC的面积比是3:5,那么△CEF与整个图形的面积比等于__________。

E

G

C

D

A

B

图 4

71

20.如果正整数n有以下性质:n的八分之一是平方数,n的九分之一是立方数,它的二十五分之一是五次方数,那么n就称为“希望数”,则最小的希望数是_________。

三、解答题:(要求:写出推算过程)

21.图5是一个长为400米的环形跑道,其中A、B为跑道对称轴上的两点,且A、B之间有一条50米 的直线通道,甲、乙两人同时从A点处出发,甲按逆时针方向以速度v1沿跑道跑步,当跑到B点处时继续

沿跑道前进,乙按顺时针方向以速度v2沿跑道跑步。当跑到B点处时沿直线通道跑回到A点处, 假设两人跑步时间足够长。求:

(1)如果v1:v2?3:2,那么甲跑了多少路程后,两人首次在A点处相遇?

(2)如果v1:v2?5:6,那么乙跑了多少路程后,两人首次在B点处相遇?

甲A乙B甲图 5

1可化为一个循环小数,那么a的取值有哪几个? a

1 (2)如果a是小于20的合数,且可化为一个循环小数,那么a的取值有哪几个? a22.(1)如果a是小于20的质数,且

23.如图6,正三角形ABC的边长为a,D是BC的中点,P是AC边上的动点,

连结PB和PD得到△PBD。求:

(1)当点P运动到AC的中点时,△PBD的周长;

(2)△PBD的周长的最小值。

AP

BD图 6C

72

第十七届“希望杯”全国数学邀请赛

初二 第1试

2006年3月19日 上午:30至10:00

学校______________班__________学号__________姓名__________辅导教师________成绩

__________

一、选择题(每小题4分,共40分)

1.实数m=20053-2005,下列各数中不能整除m的是( )

(A)2006 (B)2005 (C)2004 (D)2003

2.a,b,c,d是互不相等的正整数,且abcd=441,那么a+b+c+d的值是( )

(A)30 (B)32 (C)34 (D)36

3.三角形三边的长都是正整数,其中最长边的长为10,这样的三角形有( )

(A)55种 (B)45种 (C)40种 (D)30种

4.已知m,n是实数,且满足m2+2n2+m-n+

(A)2 64317=0,则-mn2的平方根是( ) 36(B)±2 6(C) 1

6(D)±

4

5165.某校初一、初二年级的学生人数相同,初三年级的学生人数是初二年级学生人数的.

已知初一年级的男生人数与初二年级的女生人数相同,初三年级男生人数占三个年级 男生人数的1,那么三个年级女生人数占三个年级学生人数的( ) 4(A)9 19(B)10 19(C)11 21(D)10 216.如图1,点E、F、G、H、M、N分别在△ABC的BC、AC、AB边

上, 且NH∥MG∥BC,ME∥NF∥AC,GF∥EH∥AB.有黑、白两只蚂图1 蚁,

它们同时同速从F点出发,黑蚁沿路线F→N→H→E→M→G→F

爬行,

白蚁沿路线F→B→A→C→F爬行,那么( )

(A)黑蚁先回到F点 (B)白蚁先回到F点

(C)两只蚂蚁同时回到F点 (D)哪只蚂蚁先回到F点视各点的位置而定

7.一个凸多边形截去一个角后形成的多边形的内角和是2520°,则原多边形的边数是( )

(A)14 (B)15 (C)15或16 (D)15或16或17

8.Let a be integral part of 2 and b be its decimal part.Let c be the integral part of ? and d be the decimal part..if ad-bc=m,the( )

(A)-2<m<-1 (B)-1<m< (C)0<m<1 (D)1<m<2

(英汉词典:integral part 整数部分;decimal part 小数部分)

9.对?a2b,当a?b时,a,b,定义运算“*”如下:a*b=?2已知ab,当a<b时??3*m=36,则实数m等于( )

(A)2 (B)4 (C)±2 (D)4或±2

10.将连续自然数1,2,3,?,n(n≥3)的排列顺序打乱,重新排列成a1,a2,a3,?,

an.

若(a1-1)(a2-2)(a3-3)?(an-n)恰为奇数,则( )

(A)一定是偶数 (B)一定是奇数

73

(C)可能是奇数,也可能是偶数 (D)一定是2m-1(m是奇数)

二、A组填空题(每小题4分,共40分)

11.已知a、b都是实数,且a=x+32x+17,b=,b<<2a,那么实数x的取值范围是433

_________.

212.计算2005200620072008+1-2006的结果是__________.

x2-2x-913.已知x=22+1,则分式3的值等于__________. x-11x-15DC14.一个矩形各边的长都是正整数,而且它的面积的数量等于其周长的量数 PF的2倍,这样的矩形有__________个.

15.Suppose that in Fig.2,the length of side of square ABCD is 1,E and F are ABmid-points of CD and AD respectively ,GE and CF intersect at a point P. 图2 Then the length of line segment CP is __________.

(英汉词典:figure(缩写Fig.)图;length 长度;square 正方形;mid-point中点; intersect 相交;line segment 线段)

16.要使代数式3-|x+|1

x-|-12有意义,实数x的取值范围是____________. F

C17.图3的梯形ABCD中,F是CD的中点,AF⊥AB,E是BC边上的一点,BE且AE=BE.若AB=m(m为常数),则EF的长为__________. 图3 218.A,n都是自然数,且A=n+15n+26是一个完全平方数,则n等于

__________.

19.一个长方体的长、宽、高均为整数,且体积恰好为2006cm3,现将它的表面积涂上红色

后,

再切割成边长为1cm的小正方体,如果三面为红色的小正方体有178个,

那么恰好有两面为红色的小正方体有________个. A

B20.一条信息可以通过如图4所示的网络按箭头所指方向由上往下传送, 2

C例如到达点C2的信息可经过B1或B2送达,共有两条途径传送, 3则信息由A点传送到E1、E2、E3、E4、E5的不同途径共有________条. D23D4

三、B组填空题(每小题8分,共40分.每小题两个空,每空4分.) 21.某学校有小学六个年级,每个年级8个班;初中三个年级,每个年级812345

图4 个班;高中三个年级,每个年级12个班.现要从中抽取27个班做调查

研究,使得各种类型的班级抽取的比例相同,那么小学每个年级抽取________个班, 初中每个年级抽取________个班.

22.矩形ABCD中,AB=2,AB≠BC,其面积为S,则沿其对称轴折叠后所得的新矩形的

对角线长为__________或__________.

23.已知m,n,l都是两位正整数,且它们不全相等,它们的最小公倍数是385,

则m+n+l的最大值是__________,最小值是__________.

24.某工程的施工费用不得超过190万元.该工程若由甲公司承担,需用20天,

每天付费10万元;若由乙公司承担,需用30天,每天付费6万元.为缩短工期, 决定由甲公司先工作m天,余下的工作由乙公司完成,那么m=________,

完工共需要__________天.

25.将2006写成n(n≥3)个连续自然数的和,请你写出两个表达式:

(1)__________________________________;

(2)__________________________________.

74

第十七届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试试题

一、选择题(每小题4分,共40分)

1.下列四组根式中,是同类二次根式的一组是( ) (A)

2.5

和2

0.5

(B)3a

a

和3b

b

(C)

ab

2

ab

2

(D)

abc

7

3

c3ab

2.要使代数式

x-3|-2x2-4x+3

有意义,那么实数x的取值范围是( )

(A)1<x≤5 ( ) (A)能作一个

(B)x<1或x≥5 (C)x≤1或x≥5 (D)x<1或x>5

3.以线段a=13,b=13,c=10,d=6为边作梯形,其中a,c为梯形的两底,这样的梯形

(B)能作两个 (C)能作无数个 (D)一个也不能作

EFEM+DABC

4.In Fig.1,ABCD is a quadrilateral,E is a point on the diagonal BD,EF∥AD,EM∥BC,then the value of (A)greater than 1 (C)less than 1

is( )

D M C

(B)equal to 1

(D)variable depending on the position of E

Fig.1

(英汉词典:Fig.figure的缩写,图;quadrilateral 四边形;diagonal 对角线;value 数值;variable 变量;to depend on 取决于;position 位置) 5.若m=20062+20062320072+20072,则m( ) (A)是完全平方数,还是奇数 (C)不是完全平方数,但是奇数 合部分,

展开纸片,再一次对折,使另外的两个顶点重合,再剪去不重合的部分后展开, 此时纸片的形状是( ) (A)正方形 (A)42 number,

then total number of those like (A)4

(B)6

ab

(B)是完全平方数,还是偶数 (D)不是完全平方数,但是偶数

6.将任意一张凸四边形的纸片对折,使它的两个不相邻的顶点重合,然后剪去纸片的不重

(B)长方形 (B)24

(C)菱形 (C)21

(D)等腰梯形 (D)15

is a complete square

7.若a,b,c都是大于1的自然数,且ac=252b,则a的最小值是( ) 8.There is a tow-placed number

ab=10a+b satisfying that ab+ba

is( ) (C)8

(D)10

(英汉词典:tow-placed number 两位数;number 数,个数;to satisfy 满足; complete square 完全平方(数);total 总的,总数)

9.下表是某电台本星期的流行歌曲排行榜,其中歌曲J是新上榜的歌曲,箭头“↑”或“↓”

分别表示该歌曲相对于上星期名次的变化情况,“↑”表示上升,“↓”表示下降,不标注的则表明名次没有变化,已知每首歌的名次变化都不超过两位, 则上星期排在第1,5,7名的歌曲分别是( )

75

(A)D,E,10.设n(n≥2)个正整数a1,a2,?,an,任意改变它们的顺序后,记作b1,b2,?,bn, 若P=(a1-b1)(a2-b2)(a3-b3)?(an-bn),则( )

(A)P一定是奇数

(C)当n是奇数时,P是偶数

二、填空题(每小题4分,共40分)

11.消防云梯的长度是34米,在一次执行任务时,它只能停在离大楼16米远的地方,

则云梯能达到大楼的高度是________米.

12.分式方程1111的解是+22x+3x+2x+5x+6x+7x+12x+42 (B)P一定是偶数 (D)当n是偶数时,P是奇数 x=__________.

m表示). 13.当m>0,

14.计算x+3x-1=m,则代数式x+3+x-1的值是__________(用32

26+8+-3-2

26,最后得到__________.

15.从凸n边形的一个顶点引出的所有对角线把这个凸n边形分成了m个小三角形,

若m等于这个凸n边形对角线条数的4,那么此n边形的内角和为__________. 9

16.某种球形病毒,直径为0.01纳米,每一个病毒每过一分钟就能繁殖出9个与自己同样

的病毒,

假如这种病毒在人体中聚集到一定数量,按这样的数量排列成一串,长度达到1分米时, 人就会感到不适,那么人从感染第一个病毒后,经过______分钟,就会感到不适.(1米=109纳米)

17.方程1+1=1有________组正整数解. 6xyE

18.设a=350,b=440,c=530,则a,b,c中最大的是____,最小的是____.

19.如图2,等腰△ABC中,AB=AC,P点在BC边上的高AD上,且

1

2AP=PDB D C ,BP的延长线交AC于E,若S△ABC=10,则S△ABE=________,S△DEC图2 =________.

20.一个圆周上依次放有1,2,3,?,20共20个号码牌,随意选定一个号码牌(如8),

从它开始,先把它拿掉,然后每隔一个拿掉一个(如依次拿掉8,10,12,?),并一起循环下去,直到剩余两个号码牌时停止,则最后剩余的两个号码的差的绝对值是________或________.

76

三、解答题(本大题共3小题,第21题10分,其余两题各15分,共40分)要求写出推算过程.

21.如图3,正方形ABCD的边长为a,点E,F,G,H分别在正方形的

D

四条边上,已知EF∥GH,EF=GH. (1)若AE=AH=1a,求四边形EFGH的周长和面积;

3

E B

(2)求四边形EFGH的周长的最小值.

G

C

图3

22.已知A港在B港的上游,小船于凌晨3:00从A港出发开往B港,到达后立即返回, 来回穿梭于A、B港之间,若小船在静水中的速度为16千米/小时,水流速度为4千米/小时,

在当晚23:00时,有人看见小船在距离A港80千米处行驶.求A、B两个港口之间的距离.

23.在2,3两个数之间,第一次写上2+3=5,第二次在2,5之间和5,3之间分别

1

写上2+5=7和5+3=4,如下所示:

2

2

2

第0次操作: 第1次操作: 第2次操作: 第3次操作:

2

2 2

72

5

5 ??

4

3 3 3

k

第k次操作是在上一次操作的基础上,在每两个相邻的数之间写上这两个数的和的1. (1)请定出第3次操作后所得到的9个数,并求出它们的和;

(2)经过k次操作后所有数的和记为Sk,第k+1次操作后所有数的和记为Sk+1,

写出Sk+1与Sk之间的关系式; (3)求S6的值.

77

第十八届“希望杯”全国数学邀请赛

初二 第1试

一、选择题(每小题4分,共40分)

1.下列运动属于平移的是( )

(A)乒乓球比赛中乒乓球的运动. (B)推拉窗的活动窗扇在滑道上的滑行.

(C)空中放飞的风筝的运动. (D)篮球运动员投出的篮球的运动.

2. 若x=1满足2mx2?m2x?m?0,则m的值是( )

(A)0. (B)1. (C)0或1. (D)任意实数.

3. 如图1,将△APB绕点B按逆时针方向旋转90?后得到△A?P?B,若BP=2, 那么PP?的长为( )

(A

) (B

). (C)2 . (D)3.

?ax?4y?84.已知a是正整数,方程组? 的解满足x>0,y<0,则a的值是( ) 3x?2y?6?

(A)4 . (B)5 . (C)6. (D)4,5,6以外的其它正整数.

5.让k依次取1,2,3,?等自然数,当取到某一个数之后,以下四个代数式: ①k+2;②k2; ③2 k;④2 k就排成一个不变的大小顺序,这个顺序是( )

(A)①<②<③<④. (B)②<①<③<④.

(C) ①<③<②<④. (D) ③<②<①<④.

6.已知1个四边形的对角线互相垂直,且两条对角线的长度分别是8和10 , 那么顺次连接这个四边形的四边中点所得的四边形的面积是( )

(A)40 . (B

). (C)20. (D

).

7. Let a be the length of a diagonal of a square, b and c be the length of two diagonals of a rhombus respectively. If b:a?a:c,then the ratio of area of the square and rhombus is ( )

(A)1:1. (B)2

(C)1

. (D)1:2.

(英汉词典:length长度;diagonal对角线;square正方形;rhombus菱形;respectively分别地;

ratio比;area面积)

8.直角三角形有一条边长为11,另外两边的长是自然数,那么它的周长等于( ).

(A)132. (B)121. (C)120. (D)111.

9.若三角形三边的长均能使代数式是x2?9x?18的值为零,则此三角形的周长是( ).

(A)9或18. (B)12或15 . (C)9或15或18. (D)9或12或15或18.

10. 如图2,A、B、C、D是四面互相垂直摆放的镜子,镜面向内,在镜面D上放了写有 字母“G”的纸片,某人站在M处可以看到镜面D上的字母G在镜面A、B、C中的影像, 则下列判断中正确的是( )

(A)镜面A与B中的影像一致 . (B)镜面B与C中的影像一致 .

(C)镜面A与C中的影像一致 . (D)在镜面B中的影像是“G”.

78

二、A组填空题(每小题4分,共40分)

11.如图3,在 △BMN中,BM=6,点A、C、D分别在MB、BN、MN上,且四边形ABCD 是平行四边形,?NDC=?MDA,则?ABCD的周长是 .

10a?ba?112.如果实数a ?b,且,那么a?b的值等于 . ?10b?ab?1

13

.已知x?aM

的立方根,y?x的相反数,

且M=3a?7,那么x的平方根是.

14.如图4,圆柱体饮料瓶的高是12厘米,上、下底面的直径是6厘米.上底面开有一个小孔

供插吸管用,小孔距离上底面圆心2厘米,那么吸管在饮料瓶中的长度最多是 厘米.

15.小杨在商店购买了a件甲种商品,b件乙种商品,共用213元,已知甲种商品每件7元,

乙种商品每件19元,那么a?b的最大值是 .

16.△ABC

是边长为D在三角形内,到边AB的距离是1,到A点的

距离是2,点E和点D关于边AB对称,点F和点E关于边AC对称,则点F到BC的距离是 .

17.如图5,小华从M点出发,沿直线前进10米后,向左转20?,再沿直线前进10米后, 又向左转20?,??,这样下去,他第一次回到出发地M时,

行走了

18.关于x的不等式x??x?2?3的所有整数解的和是

a19.已知点(1,2)在反比例函数y?所确定的曲线上,并且该反比例函数和一次函数 x

y?x?1在x?b时的值相等,则b等于

20.如图6,大五边形由若干个白色和灰色的多边形拼接而成,

这些多边形(不包括大五边形)的所有内角和等于 .

三、B组填空题(每小题8分,共40分,每一题两个空,每空4分) 25m21.解分式方程 会产生增根,则m= 或 . ??2x?11?xx?1

22.Let A?abcd be a four-digit number. If 400abcd is a square of an integer, then

(英汉词典:four-digit number 四位数;square平方、平方数;integer整数)

23.国家规定的个人稿酬纳税办法是:①不超过800元的不纳税;②超过800元而不超过

4000

79

元的,超过800元的部分按14%纳税;③超过4000元的按全部稿酬的11%纳税.某人编写了两本书,其中一本书的稿酬不超过4000元,第二本书的稿酬比第一本书多700元,两本书共纳税915元,则两本书的稿酬分别是= 元和 元.

A,交x轴于点B,点A、B与坐标原点o构成等边三角形,则直线l的函数解析式为 或 .

n?425.若n是质数,且分数不约分或经过约分后是一个最简分数的平方,则n n?1724.直线l

交反比例函数y?

或 .

第十八届“希望杯”全国数学邀请赛

初二 第二试

2007年4月15日 上午8:30至10:30

一、 选择题(本大题共10小题,每小题4分,菜40分。)

1、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志,人胶将红丝带剪成小段,并用别针将折叠好的红丝带加紧在胸前,如图1所示,红丝带重叠部分形成的图形是( )

(A)正方形 (B)矩形 C)菱形 (D)梯形

2、设a、b、C是不为零的实数,那么x?a|b|c的值有( ) ??|a|b|c|

2(A)3种 (B)4种 (C)5种 (D)6种 3、?ABC的边长分别是a?m?1,b?m?1,c?2m?m?0?,则?ABC是( ) 2

(A)等边三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形

(D)锐角三角形

4、古人用天干和地支记序,其中天干有10个;甲乙丙丁戊己庚辛壬癸,地支有12个;子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥,将天干的10个汉字和地支的12个汉字对应排列成如下两行;

甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁??

子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥??

从左向右数,第1列是甲子,第2列是乙丑,第3列是丙寅??,我国的农历纪年就是按这个顺序得来的,如公历2007年是农历丁亥年,那么从今年往后,农历纪年为甲亥年的那一年在公历中( )

(A)是2019年, (B)是2031年, (C)是2043年,

(D)没有对应的年号

5、实数 a、b、m、n满足a<b, -1<n<m, 若M?a?mba?nb,N?, 1?m1?n

则M与N的大小关系是( )

(A)M>N (B)M=N (C)M<N (D)无法确定的。

6、若干个正方形和等腰直角三角形拼接成如图2所示的图形,若最大的正方形的边长是7cm,则正方形

A、B、C、D的面积和是( )

(A)14cm (B)42cm (C)49cm (D)64cm

2222

80

图2

?2a?3x?0恰有3个整数解,则a的取值范围是( ) 3a?2x?0?

23434343(A)≤a≤ (B)≤a≤ (C)<a≤ (D)≤a< 323232327、已知关于x的不等式组?

8 、The number of intersection point of the graphs of function y?|k| and function y?kx(k?0) is( ) x

(A)0 (B)1 (C)2 (D)0 or 2.

9、某医药研究所开发一种新药,成年人按规定的剂量限用,服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系近似满足如图3所示曲线,当每毫升血液中的含药量不少于0.25毫克时治疗有效,则服药一次治疗疾病有效的时间为(

(A)16小时 (B)15715小时 (C)15小时 (D)17小时 816

)

10、某公司组织员工一公园划船,报名人数不足50人,在安排乘船时发现,每只船坐6人,就剩下18人无船可乘;每只船坐10人,那么其余的船坐满后内参有一只船不空也不满,参加划船的员工共有( )

(A)48人 (B)45人 (C)44人 (D)42人

二、填空题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)

81

11、已知a?b?co 为?ABC三边的长,则化简|a?b?

c12、自从扫描隧道显微镜发明后,世界上便诞生了一间新科学,这就是“纳米技术”,已知1毫米微米,1微米纳米,那么2007纳米的长度用科学记数法表示为__米。 13、若不等式组?__

14、已知a1?a2?a3???a2007是彼此互不相等的负数,且M?(a1?a2???a2006)(a2?a3???a2007),

?2x?a?1

中的未知数x的取值范围是?1?x?1,那么(a?1)(b?1)的值等于_

x?2b?3?

N?(a1?a2???a2007)(a2?a3???a2006)那么M与N的大小关系是M__N

15、∣

ab

|叫做二阶行列式,它的算法是:ad?bc,将四个数2、3、4、5排成不同的二阶行列式,则cd

不同的计算结果有__个,其中,数值最大的是___。

16、如图4,一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬,木板底端距离墙角0。7米,当小猫从木板底端爬到顶端时,木板底端向左滑动了1.3米,木板顶端向下滑动了0.9米,则小猫在木板上爬动了__米。

17、Xiao Ming says to Xiao Hua that my age add your age.add your age when Lwas your age is 48.The age of Xiao Hua is____ _now. (英汉词典:age年龄:add 加上;when 当??时)

18、长方体的长、宽、高分别为正整数a?b?c,且满足a?b?c?ab?bc?ac?abc?2006,那么这个长方体的体积为____ _。 19、已知a

为实数,且a?

1

?都是整数,则a的值是 a

20、为确保信息安全,信息传输需加密,发送方由明文→密文(加密)。现规定英文26个字母的加密规则是:26年字母按顺序分别对应整数0到25,例子如,英文a?b?c?d,写出它们的明文(对应整数0,

3x3?x1?2x1?3x1计算,得到密1,2,3),然后将这4个字母对应的整数(分别为x1.x2,x3,x4)按x1?2x2?文,即a?b?c?d四个字母对应的密文分别是2.3.8.9.现在接收方收到的密文为35.42.23.12.则解密得到

的英文单词为____ _。

三、解答题(本大题共3小题,共40分)要求:写出推算过程 21、(本题满分10分)

如图5,一个大的六角星形(粗实线)的顶点是周围六个全等的小六角星形(细线型)的中心,相邻的两个小六角星形各有一个公共顶点,如果小六角星形的顶点C到中心A的距离为a,求: (1) 大六角星形的顶点A到其中心O的距离 (2) 大六角星形的面积

(3) 大六角星形的面积与六个小六角星形的面积之和的比值 (注:本题中的六角星形有12个相同的等边三角形拼接而成的)

82

22、(本题满分15分)

甲、乙两车分别从A地将一批物品运往B地,再返回A地,图6表示两车离A地的距离s(千米)随时间t(小时)变化的图象,已知乙车到达B地后以30千米/小时的速度返回。请根据图象中的数据回答:

(1)甲车出发多长时间后被乙车追上?

(2)甲车与乙车在距离A地多远处迎面相遇?

(3)甲车从A地返回的速度多大时,才能比乙车先回到A地?

23、(本题满分15分)

平面上有若干个点,其中任意三点都不在同一直线上,将这些点分成三组,并按下面的规则用线段连接:①在同一组的任意两点间都没有线段连接;②不在同一组的任意两点间一定有线段连接。

(1) 若平面上恰好有9个点,且平均分成三组,那么平面上有多少条线段?

(2) 若平面上恰好有9个点,且点数分成2,3,4三组,那么平面上有多少条线段?

(3) 若平面上共有192条线段,那么平面上至少有多少个点?

83

第十九届“希望杯”全国数学邀请赛

初二 第1试

一、选择题(每小题4分,满分40分)

1.下列说法中正确的是( )

A、1的平方根和1的立方根相同 B、0的平方根和0的立方根相同

C、4的平方根是?2 D、8的立方根是?2

2.若单项式?2ab和3ab的次数相同,则x的整数值等于( )

A、1 B、-1 C、?1 D、?1以外的数

3.若a,b和a?b都是有理数,则( )

A、a,b都是有理数 B、a,b都是无理数

C、a,b都是有理数或都是无理数 D、a,b中有理数和无理数各一个

4.使不等式x?2?1成立的x的值为( )

A、比-1大的数 B、比-3小的数 C、大于-1或小于-3的数 D、-2以外的数

5.设a,b,c,d,e只能从-3,-2,-1中取值,又x?a?b?c?d?e,y?a?b?c?d?e,则( )

A、x的最大值比y的最大值小 B、x的最小值比y的最小值小

C、x的最大值比y的最小值小 D、x的最小值比y的最大值大

6.In the figure1, ABCD is a diamond, points E and F lie on its sides AB and BC respectively, such that 22222x5x223?xAEBF, and ?DEF is a regular triangle. Then ?BAD ?BECF

( )

A、400 B、600 C、800 D、1000

((英汉小词典:diamond菱形;regular triangle正三角形)

7.已知?ABC的三边长分别为a,b,c,且is equal to aab?c,??bcb?c?a则?ABC 一定是( )

A、等边三角形 B、腰长为a的等腰三角形

C、底边长为a的等腰三角形 D、等腰直角三角形

8.初二(1)班有48名同学,其中有男同学n名,将他们编成1号、2号、?,n号。在寒假期间,1号给3名同学打过电话,2号给4名同学打过电话,3号给5名同学打过电话,?,n号同学给一半同学打过电话,由此可知该班女同学的人数是( )

A、22 B、24 C、25 D、26

9.使方程3x?2y?200成立的正整数对(x,y)有( )

A、66个 B、33个 C、30个 D、18个

10.一次函数y?kx?b的图象经过点(0,5)和点B(4,0),则在该图象和坐标轴围成的三角形内,横坐标和纵坐标都是正整数的点有( )

A、6个 B、7个 C、8个 D、9个

二、A组填空题(每小题4分,满分40分)

11.已知a,b,c都是正整数,且abc?2008,则a?b?c的最小值为 。

12.若M??1?2?3???2007?2008,M?1?2?3?4???2007?2008,则M,

N的22222 84

大小关系是 (填“>”、“<”、或“=”)。

13.初二某班有49位同学,他们之间的年龄最多相差3岁,若按属相分组,那么人数最多的一组中至少有同学 位。

a?1?3?22成立,则a? 。 a?1

2215.Let a be an integer and satisfy(a?1)?2008?a,then a?16.如图2,?ABC的面积是24,点D是边BC的中点,点E是边AB上的一个三等分点,CE交AD于点F。则?AEF的面积为 。 14.若实数a使等式A

C C B 图2 中,AB=AC=5,P是BC边上点B、C外的任意一点,则AP2?PB?PC?。17.如图3,在? ABC图

3 18.有一个运算程序,可以使:当m?n?k(k为常数)时,得

(m?1)?n?k?1,m?(n?1)?k?2.

现在,已知1?1?2,那么2007?2007? 。

19.用摄氏温度计测量,水的冰点是0℃,沸点是100℃。当用华氏温度计测量时,水的冰点是32℉,沸点是212℉。现在测量某温度,用摄氏温度计测得的温度是用华氏温度计测得的温度的5倍,那么用摄氏温度计测量时,该温度是 ℃。

20.小华同学从运动场的A点出发,向东走10米到达B点,再向北走8米到达C点,再向西走6米到达D点,再向南走5米到达E点。则E、A两点相距 米。

三、B组填空题(每小题8分,满分40分)

21.甲、乙两同学都想买同一本书,可是甲同学带的钱差7元,乙同学带的钱差6元,若两人带的钱合在一起买这本书则还剩1元,那么甲同学带了 元,乙同学带了 元。

22.直角?ABC三边长分别是x,x?1和5,则?ABC的周长为 ,?ABC的面积为 。

23.如图4,边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形BEFG排放在一起,O1和O2分别是两个正方形的中心,则阴影部分的面积为 ,线段O1O2的长为。

F

B A E 图

5 图4

332224.若代数式x?y?3xy?axy含有因式x?y,则a?,在实数范围内将这个代数式

分解因式,得x?y?3xy?axy?

25.如图5,I是?ABC的内心,且CA+AI=BC。若∠BAC=800,则∠ABC的大小为 ,∠AIB的大小为 。

3322

85

第十九届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试试题

一、选择题(每小题4分,满分40分)

1.将数字“6”旋转1800,得到数字“9”;将数字“9”旋转1800,得到数字“6”;那么将两位数“69”旋转1800,得到的数字是( )

A、69 B、96 C、66 D、99 2.关于x,y的方程组??

x?ay?1?0,有无数组解,则a,b的值为( )

?bx?2y?1?0

A、a?0,b?0 B、a??2,b?1 C、a?2,b??1 D、a?2,b?1

3.在平面直角坐标系内,有等腰三角形AOB,O是坐标原点,点A的坐标是(a,b),底边AB的中线在1、3象限的角平分线上,则点B的坐标为( )

A、(b,a) B、(?a,?b) C、(a,?b) D、?(a,b)

4.给出两列数:(1)1,3,5,7,?,2007;(2)1,6,11,16,?,2006,则同时出现在两列数中的数的个数为( )

A、201 B、200 C、199 D、198

5.If one side of a triangle is 2 times of another side and it has the largest possible area, then the ratio of its three sides is ( )

A、1:2:3 B、1:1:2 C、1::2 D、1:2: (英汉小词典:possible 可能的;area面积;ratio比率、比值)

6.有面值为10元、20元、50元的人民币(每种至少一张),合计1000元,那么面值为20元的人民币有( )张

A、2或4 B、4 C、4或8 D、2到4之间的任意偶数

7.由1,2,3这三个数字组成四位数,在每个四位数中,这三个数字至少出现一次.这样的四位数有( )

A、33个 B、36个 C、37个 D、39个

8.如图1,矩形ABCD的长AD=9cm,宽AB=3cm,将它折叠,使点D与点B重合,求折叠后DE的长和折痕EF的长分别是( ) A、5cm,cm B、5cm,3cm C、6cm,cm D、5cm,4cm

9.如图2,函数y?mx?4m的图象分别交x轴、y轴于点N、M,线段MN上两点A、B在x轴上的垂足分别为A1、B1,若

86

E

D

B

C′

图1

OA1?OB1?4,则?OA1A的面积S1与?OB1B的面积S2的大小关系是( )

A、S1?S2 B、S1?S2

C、S1?S2 D、不确定的

10.已知a是方程x3?3x?1?0的一个实数根,则直线y?ax?1?a不经过( )

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

二、填空题(每小题4分,满分40分)

?7?11.化简:???3?100432008?152008,得到 . 200820087?35

12.三位数3ab的2倍等于ab8,则3ab等于 .

13.当x?2时,化简代数式x?2x?1?

14.已知f(x)?x?2x?1,得 . 111,并且f(a)?0,则a等于 ??xx?1x?2

15.If the sum of a 4-digit natural number and 17,the difference between it and 72 are all square numbers ,then the 4-digit natural number is .

(英汉小词典:4-digit natural number四位自然数;difference差;square numbers完全平方数)

16.将等腰三角形纸片ABC的底边BC折起,使点C落在腰上,这时纸片的不重合部分也是等腰三角形,则∠A= .

17.将100只乒乓球放在n个盒子中,使得每个盒子中的乒乓球的上数都含有数字“8”,如当n=3时,箱子中的乒乓球的数目可以分别为8,8,84;若当n=5时,有且只有两个箱子中的乒乓球个数相同,那么各箱子中的乒乓球的个数分别是 .

18.已知一个有序数组(a,b,c,d),现按下列方式重新写成数组(a1,b1,c1,d1),使

a1?a?b,b1?a?c,c1?c?d,d1?d?a,

按照这个规律继续写出(a2,b2,c2,d2),?,(an,bn,cn,dn),若

图3 a?bn?cn?dn1000?n?200,则0n? . a?b?c?d19.如图3,一束光线从点O射出,照在经过A(1,0)、B(0,1)的镜面上的点D,经AB反射后,反射光线又照到竖立在y轴位置的镜面,要使最后经y

轴再反射的光线恰好通过点A,则点D的坐标为 .

20.某条直线公路上有A1,A2,?,A11共11个车站,且

AiAi?2?12km(i?1,2,3,?,9),AiAi?3?17km(i?1,2,3,?,8),

87

若A1A11?56km,则A10A11?A2A7?km.

三、解答题(共3个小题,满分40分)

21.(本题满分10分)如图,在Rt?ABC中,?ACB?90,AC=BC=10,CD是射线,?BCF?60,点D在AB上,AF、BE分别垂直于CD(或延长线)于F、E,求EF的长.

B

22.(本题满分15分)在平面直角坐标系中,ΔABC满足:∠C=900,AC=2,BC=1,点A、C分别在x轴、y轴上,当点A从原点开始在x轴的正半轴上运动时,点C随着在y轴上运动.

(1)当A在原点时,求原点O到点B的距离OB;

(2)当OA=OC时,求原点O到点B的距离OB;

(3)求原点O到点B的距离OB的最大值,并确定此时图形应满足什么条件?

23.(本题满分15分)已知m,n(m?n)是正整数.

(1)若3与3的末位数字相同,求m?n的最小值;

(2)若3与3的末两位数字都相同,求m?n的最小值; mnmn00F

88

2009年第20届“希望杯”全国数学邀请赛

初二 第1试

2009年3月15日 上午8∶30至10∶00

一、选择题(每小题4分,共40分)

1.在一次视力检查中,初二(1)班的50人中只有8人的视力达标。用扇形图表示视力检查结果,则表示视力达标的扇形的圆心角是( )

(A)64.8o (B)57.6o (C)48o (D)16o

2.如图1,点B在反比例函数y=k的图像上,从点B分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别是A、C。若x

△ABC的面积是4,则反比例函数的解析式是( )

(A)y=-8 x(B)y=8 x (C)y=-4 x(D)y=4 x3.如果a+2ab+b=2且b是有理数,那么( )

(A)a是整数

(C)a是无理数 (B)a是有理数 (D)a可能是有理数,也可能是无理数

4.复印纸的型号有A0,A1,A2,A3,A4等,它们有如下的关系:将上一个型号(如A3)的复印纸在长的方向对折后就得到两张上一个型号(得到A4)的复印纸且各种型号的复印纸的长与宽的比相等,那么这些型号的复印纸的长与宽的比约为( )

(A)1.414:1 (B)2:1 (C)1:0.618 (D)1.732:1

x?2a?05.The number of integer solutions for the system of inequalities ? about x is just 6,then the ??3?2x??1

range of value for real number a is ( )

(A)-2.5<a≤-2 (B)-2.5≤a≤-2 (C)-5<a≤-4 (D)-5≤a≤-4

(英汉词典:integer solution整数解;system of inequalities 不等式组;the range of value 取值范围) 6.若分式|x|?2的值是负数,则x的取值范围是( ) 3x?2

(A)2<x<2 (B)x>2或x<-2 33

(C)-2<x<2且x≠2

3 (D)F 2<x<2或x<-2 3

7.从100到1000的整数中(含100和1000),既不是完全平方数也不是完全立方数的数有( ) (A)890个 (B)884个 (C)874个 (D)864个

8.如图2,在正方形ABCD中,E是DC的中点,点F在BC上,∠EAF=∠DAE,则下列结论中正确 89

的是 ( )

(A)∠EAF=∠FAB (B)FC=1BC

3

(C)AF=AE+FC (D)AF=BC+FC 9.计算:11?47(A)58

??+?11?47?

3

232

,结果等于 ( )

(C)247

(D)327

(B)387

2

10.a、b、c都是整数,已知在代数式a+bx+cx,当x =3时,该式的值是2008;当x=7时,该式的值是2009,

这样的代数式有 ( ) (A)0个

(B)1个

(C)10个

(D)无穷多个

二、A组填空题(每小题4分,共40分)

11.某地区有20000户居民,从中随机抽取200户,

安装电话,结果如右表所示,则该地区已安装电约是________.

2

调查是否已话的户数大

12.若14 x+5-21x=―2,则6x―4x+5的值等于________.

2

13.不等式x-1>2x的最大整数解是________.

14.已知m是整数,以4m+5,2m―1,20―m这三个数作为同一个三角形的边长,则这样的三角形有

个.

2

15.当x依次取1,2,3,…,2009,1,1,1,…,1,时,代数式x的值的和等于 .

2

20093241?x

16.由一次函数y=x+2,y=-x+2和x轴围成的三角形与圆心在(1,1)、半径为1的圆构成的图形覆

盖的面积等于________.

17.在Rt△ABC中,∠C=90o,斜边AB上的高为h,则两条直角边的和为a+b与斜边及其高的和为c

+h的大小关系是:a+b c+h.(填“>”、“<”或“=”)

18.Figure 3 is composed of square ABCD and triangle BEC ,where ∠BEC is a right angle .Suppose the length of CE is a ,and the length of BE is b, then the distance between point A and line CE equals to .

E

(英汉词典:be composed of 由…组成;right angle 直角;length 长度;distance 距离) 19.如图4,在△ABC中,AB>AC,BD平分∠ABC,若BD将△ABC的周长

分为4:3的两部分,△ABD和△DBC的面积之比等于 . 20.将n个棋子放入10个盒子内,可以找到一种放法,使每个盒子内都有棋子 且这10个盒子内的棋子数都不相同。若将(n+1)个棋子放入11个盒子内, 却找不到一种放法,能够使每个盒子内都有棋子并且甜言蜜语11个盒子同内 的棋子数都不相同,则整数n的最大值等于 . 三、B组填空题(每小题8分,共40分.每小题两个空,每空4分)

90

21.如果自然数a和b(a>b)的和、差、积、商相加得27,那么a=,b=.

22.若a=b=c,则2a?2b?c=

b?cc?aa?ba?b?3c

23.若以x为未知数的方程1―a=2(a?1)无解,则a= 或 或 . x?12?xx2?3x?2

24.对于正整数k,记直线y=―kx+1与坐标轴所围成的直角三角形的面积为Sk,则Sk=,k?1k?1

S1+S2+S3+S4=

25.将1,1,1,…,1这99个分数化成小数,则其中有限小数有 ,纯循环小数有 310024

(纯循环小数是从小数点后第一位开始循环的小数).

第20

届希望杯(09年)初二第二试试题

一、选择题(每小题4分,共40

分)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将正确答案的英文字母写在每

题后面的圆括号内.

1.篆刻是中国独特的传统艺术,篆刻出来的艺术品叫印章.印章的文字刻成凸状的称为“阳文”,刻成凹状的称为“阴文”.如图1的“希望”即为阳文印章在纸上盖出的效果,此印章是下列选项中的(阴影表示印章中的实体部分,白色表示印章中镂空的)( )

2.如果,那么代数式的值是( )

(A) 0 (B) 正数 (C)负数 (D)非负数

3.将的整数部分记为[],的小数部分记为{},易知[]+{}().若

,那么[]等于( )

91

(A)

(B) (C) 0 (D)1

4

.某种产品由甲、乙、丙三种元件构成.根据图

2

,为使

生产效率最高,在表示工人分配的扇形图中,生产甲、乙、

丙元件的工人数量所对应的扇形圆心角的大小依次是

( )

(A)120°,180°,60°(B)108°,144°,108°

(C)90°,180°,90° (D) 72°,216°,72°

5.面积是48的矩形的边长和对角线的长都是整数,则它的周长等于 ( )

(A)20 (B) 28 (C) 36 (D)40

6.In the rectangular coordinates,abscissa and ordinate of the intersection point ofthe lines

and

is( )

(A)4 (B)5 (C)6 (D)7

(英汉小词典:abscissa 横坐标;ordinate 纵坐标;intersection point 交点;integer 整数) are integers for imteger ,then the number of the possible values of

7.将一张四边形纸片沿两组对边的中点连线剪开,得到四张小纸片,如图3所示.用这四张小纸片一定可以拼成( )

(A)梯形 (B)矩形 (C)菱形 (D)平行四边形

8.若不等式组的解集是,则( )

(A) (B) (C) (D)

9.如图4,四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,∠ABC=60°,AD=4,CD=10,则

BD的长等于( )

(A) (B) (C)12 (D)

92

10.任何一个正整数都可以写成两个正整数相乘的形式,对于两个乘数的差的绝对值最小的一种分解

()可称为正整数的最佳分解

,并规定.如:12=1×12=2×6=3×4,则.

则在以下结论 ① ②

③若是一个完全平方数,则

④若是一个完全立方数,即

中,正确的结论有( ) (是正整数),则.

(A) 4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个

二、填空题(每小题4分,共40分)

11.将一根钢筋锯成段,需要分钟,按此速度将同样的钢筋锯成段(,,都是大于1的自然数),需要 分钟.

12.给机器人下一个指令[,

①先在原地向左旋转角度](,),它将完成下列动作: ;②再朝它面对的方向沿直线行走个单位长度的距离.现机器人站立的位

轴的正方向,要想让机器人移动到点置为坐标原点,取它面对的方向为轴的正方向,取它的左侧为

(,)处,应下指令: .

13.已知实数,,满足,则.

14.已知实数,满足

是 ,最小值是 . ,并且,,则的最大值

15.汽车燃油价税费改革从2009年元旦起实施:取消养路费,同时汽油消费

税每升提高0.8元.若某车一年的养路费是1440元,百公里耗油8升,在“费改

93

税”前后该车的年支出与年行驶里程的关系分别如图5

中的

.(不考虑除养路费和燃油费以外的其它费用) 、所示,则与的交点的横坐标

16.Given ,if when takes the value of its inverse number,the corresponding value of is also the inverse number,and ,then .(英汉小词典:inverse number 相反数)

17.8人参加象棋循环赛,规定胜1局得2分.平1局得1分,败者不得分,比赛结果是第二名的得分与最后4名的得分之和相同,那么第二名得 分.

18.若正整数,使等式

19.如图6,长为2的三条线段、、成立,则交于O点,并且

, . 60°,则这三个三角形的面积的和

“=”、“>”) .(填“<”、

20.已知正整数,满足,则 , .

三、解答题(每题都要写出推算过程)

21.(本题满分10分)在分母小于15的最简分数中,求不等于

但与最接近的那个分数.

94

22.(本题满分15分)如图7

,一次函数的函数图象与轴、轴分

别交于点A、B,以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC,且使∠ABC=30°.

(1)求△ABC的面积;

(2)如果在第二象限内有一点P(

APB与△ABC面积相等时

的值; ,),试用含的代数式表示四边形AOPB的面积,并求当△

(3)是否存在使△QAB是等腰三角形并且在坐标轴上的点Q?若存在,请写出点Q所有可能的坐标;若不存在,请说明理由.

23.(本题满分15分)

点A(4,0),B(0,3)与点C构成边长分别为3,4,5的直角三角形,如果点C在反比例函数

的图象上,求可能取的一切值.

95

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