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巧取倒数妙解题

发布时间:2013-12-18 10:34:27  

∠F2PT'=∠F'1PT.

∴F2、P、F

1'PF1+PF2=2a式子,从而运用整体代入求解.

对已知式取倒数得x+1/x=m+1. (1) 对待求式取倒数得

∴PF+PF2=2a即 F1'F2=2a.

∴OT=a.

'1

1/u=x3+1/x3?m3

=(x+1/x)3?3(x+1/x)?m3. (2)

把(1)代入(2)得

1/u=(m+1)3?3(m+1)?m3=3m2?2,

1

则u=,故选C.

3m2?2

2巧取倒数解方程组

例2 (1984年苏州市数学竞赛题) ?x=2z2/(1+z2),?

解方程组?y=2x2/(1+x2),

?22?z=2y/(1+y).

分析 常规解法对此题似乎无能为力.当xyz≠0时,对每个方程两边取倒数得 ?2/x=1+1/z2,?2

?2/y=1+1/x,三式相加并配方,得 ?2

=+zy2/11/.?111

(?1)2+(?1)2+(?1)2=0,由此得x xyz

=y=z=1为原方程组的一组解.又由观察可

∴T在以A1A2为直径的圆上.

例3电影放映机上的聚光灯炮的反射镜的轴截面是椭圆的一部分.灯丝在焦点F2处,而且灯丝与反射镜的顶点A的距离F2A=1.5 cm,椭圆的通径(过焦点且垂直于对称的弦长) BC=5.4cm,为了使电影机门获得最强的光

线,灯炮应安在距片门.(解答略.答案为:12cm)

以上几例都是利用圆锥曲线的光学性质使问题得到简单的解决.

巧取倒数妙解题

福建莆田中山中学 黄文廉

某些数学问题,当直接求解较为繁琐困难,甚至无从着手时,若能根据题目结构的特点,采用取倒数的方法进行处理,往往能化难为易,化繁为简.兹举例说明.

1 巧取倒数求值

例1 (1994年四川省数学竞赛题) x3x

设2=1,则u=6的值为

x?m3x3+1x?mx+1

1

, A.1, B.2

m+3

11C.2, D.2. 3m?23m+1

分析 若由已知式解出x,再代入求值,显然繁琐不可取.注意到条件与待求式子的结

1

构特征,对其取倒数,则都可化成含有x+的

x

得另一组解为x=y=z=0.

?xy/(x+y)=1/5,?

例3 解方程组?yz/(y+z)=1/6,

?zx/(z+x)=1/7.?分析 对每个方程两边取倒数得

(1)?1/x+1/y=5,

?

?1/y+1/z=6, (2) ?(3)?1/x+1/z=7.

111

由(1)+(2)+(3),得++=9, (4)

xyz

由(4)分别减去(1)、(2)、(3)得 1/z=4,1/x=3,1/y=2.

从而原方程组的解为x=1/3,y=1/2, z=1/4.

3巧取倒数证明不等式

·23·

例4 (IMO-36试题)设a,b,c∈R+,且abc

1113

+3+3≥. =1,求证3

a(b+c)b(c+a)c(a+b)2分析 先把不等式进行倒数代换以减少分母的变量,分别以1/a',1/b',1/c'取代原不等式中的a,b,c,得到与之等价的不等式:

a'2b'2c'23

++≥, b'+c'c'+a'a'+b'2其中a',b',c'∈R+,a'b'c'=1.

a'1

+(b'+c')≥a', b'+c'4b'21

+(c'+a')≥b', c'+a'4c'21

+(a'+b')≥c'. a'+b'4a'2b'2c'21∴++≥(a'+b'+c') b'+c'c'+a'a'+

b'213≥?3=, 22

1113即3+3+3≥. a(b+c)b(c+a)c(a+b)2类似地,容易证明:

例5 (《数学通报》数学问题1058)

2

又x≥4时,函数y1=x?

3与y2=同时为增函数,

∴当x=4时,1/y有最小值1, ∴y有最大值1. 5巧取倒数解数列问题

例7(1965年北京市中学生数学竞赛题)

2

已知正项数列{an}对n∈N+,都有an≤an?

an+1,求证:an<1/n.

分析 本题若采用数学归纳法证明,则过程较繁.若采用取倒数的方法证明,则较简单.

2

因为an≤an?an+1,

2所以an+1≤an?an=an(1?an),

且由an>0知,0<an<1.取倒数得, 111111≥+,则?≥>1. an+1an1?anan+1an1?an

从而??+(

11111

)+()+ =(??

ananan?1an?1an?2

11111?)+>n?1+>n,故an<.

na2a1a1a1

例8(2005年湖北省高考题)已知不等式

1111

++??+>[log2n],其中n为大于2的整23n2

若a,b,c∈R+,且abc=1,则

1113

++≥.

a2(b+c)b2(c+a)c2(a+b)24 巧取倒数求最值

求某些函数的最大(小)值,若直接求解有困难时,不妨考虑求其倒数的最小(大)值,借以达到解题目的.

例6

求函数y=x?3的最大值.

分析 本题若直接求解比较辣手,注意到由x2?6x+8≥0,可得函数的定义域为{xx

数,[log2n]表示不超过log2n的最大整数,设数列{an}的各项为正,且满足

nan?1

a1=b(b>0),an≤,n=2,3,4,??,

n+an?1

(Ⅰ)证明an<

2b

,n=3,4,5,??;

2+b[log2n]

(Ⅱ)、(Ⅲ)略.

分析 同例7类似,本题若用数学归纳法证明,过程较繁.若采用取倒数的方法证明则

nan?1

,取倒较简单.因为当n≥2时,0<an≤

n+an?1

≤2或x≥4},显然y≠0,对原函数式取倒数得

1==x?3因

y当x≤2时,y<0;当x≥4时,1/y>0,即y>0,

·24·

数得

1n+an?111

≥=+,即 annan?1an?1n

11111111?≥,于是?≥,?≥

a2a12a3a2anan?1n

1111,??,?≥,把上述不等式相加得3anan?1n11111

?≥++??+.又由已知不等式知,ana123n当n≥3时,有

111

?>[log2n],从而有 ana12

111

>+[log2n] ana12

2+b[log2n]11

+[log2n]=,

2bb2

2b

. 于是an<

2+b[log2n]

由上观之,巧取倒数解题有助于摆脱思维困境,开拓解题思路,找到解题捷径.在平时教学中,注意引导学生观察和分析,充分挖掘隐含在问题中的倒数关系,从倒数关系入手,寻求突破,获取简捷明快的解题方法,这对提高学生的解题能力,培养学生的创造性思维能力无疑是有益的.

=

A.圆 B.抛物线 C.双曲线 分析 设P是平面ABCD上的任意一点, 过P作PE⊥AD于E

点,过E作EF⊥A1D1F点,连接PF,则|PF|2222

|PE|=|EF|=1,又由已知得:|PF|?|PM|2 =1,所以|PE|=|PM|,即在平面ABCD上的动

点P到定点M与到定直线AD的距离相等,由圆锥曲线的第二定义知,点P的轨迹是抛物线,故正确的答案是B.

例2在正方体AC1中,点P在侧面

BCC1B1的内部及其边界上运动,且总保持AP⊥BD1则动点P的轨迹是( ). A.线段B1C B.线段BC C.线段BC BDAB⊥11分析

AC∩AB1=BD1⊥AC

例谈立体几何中的轨迹问题

福建莆田四中 林永忠

BD1⊥面AB1C

?若AP?面AB1C?BD1⊥AP,

轨迹问题是平面几何中的一个基本知识点.若以立体几何为载体来考察轨迹问题,使平面与空间有机地结合在一起,体现知识体系的联系与知识点的交汇,考察学生的综合能力.这样不仅是新课程改革的需求,同时也有利于提高学生空间抽象思维能力和学生解决综合问题的能力.以下略举几例加以说明.

例1正方体AC1的棱长为1,点M在棱AB上,且AM=1/3,点P是平面ABCD上的动点,且动点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1,则动点P的轨迹是( ).

∴P∈面AB1C∩面BCC1B1=B1C,动点P的轨迹是线段B1C,故应选A.

说明 实际上以正方体为载体构建轨迹问题的例子还很多,这里不一一举例,请读者也不妨动笔构造一下,方知其乐无穷.

例3 已知正四面体S?ABC的侧面SBC内的动点M,

(1) 动点M到点S距离与到底面ABC的距离相等,则动点M的轨迹是 ( );

(2) 动点M到SC的距离与到底面ABC的距离相等,则动点M的轨迹是 ( );

(3) 动点M到点S距离与到BC的距离相等,则动点M的轨迹是 ( );

(4) 动点M到点S距离是到BC的距离

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