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2011年初中数学竞赛试卷及答案

发布时间:2013-12-18 15:33:18  

2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

说明:评阅试卷时,请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档;第二试各题,请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.

第一试

一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)

(1?a)2(1?b)2

1.已知a?b?2,???4,则ab的值为【 】 ba

A.1. B.?1. C.?

【答】B. 11. D.. 22

(1?a)2(1?b)2

???4可得a(1?a)2?b(1?b)2??4ab, 由ba

即(a?b)?2(a?b)?a?b?4ab?0,

即2?2(a?b)?2(a?ab?b)?4ab?0,即2?2ab?4ab?0,所以ab??1.

2.已知△ABC的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数,则第三条高线长的最大值为【 】

A.5. B.6. C.7. D.8.

【答】B.

设△ABC的面积为S,所求的第三条高线的长为h,则三边长分别为222222332S2S2S.显然,,520h2S2S,于是由三边关系,得 ?520

?2S2S2S?20?h?5,20. ?2S2S2S 解得4?h?3???,5h?20

所以h的最大整数值为6,即第三条高线的长的最大值为6.

3.方程|x?1|?(4?23)(x?2)的解的个数为【 】

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

【答】C.

当|x|?1时,方程为x?1?(4?2)(x?2),即x?(4?2)x?9?4?0,解

得x1?

222x2?4?,均满足|x|?1.

22当|x|?1时,方程为1?x?(4?23)(x?2),即x?(4?2)x?7?43?0,解

得x3?2,满足|x|?1.综上,原方程有3个解.

4.今有长度分别为1,2,?,9的线段各一条,现从中选出若干条线段组成“线段组”,由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形,则这样的“线段组”的组数有【 】

A.5组. B.7组. C.9组. D.11组.

【答】C.

显然用这些线段去拼接成正方形,至少要7条.当用7条线段去拼接成正方形时,有3条边每边都用2条线段连接,而另一条边只用1条线段,其长度恰好等于其它3条边中每两条线段的长度之和.当用8条线段去拼接成正方形时,则每边用两条线段相接,其长度和相等.

又因为1?2???9?45,所以正方形的边长不大于[45]?11.由于 4

7?1?6?2?5?3?4

; 8?1?7?2?6?3?5;

9?1?8?2?7?3?6?4?5;

1?9?2?8?3?7?4?6; 2?9?3?8?4?7?5?6.

所以,组成边长为7、8、10、11的正方形,各有一种方法;组成边长为9的正方形,有5种方法。故满足条件的“线段组”的组数为1×4+5=9.

5.如图,菱形ABCD中,AB?3,DF?1,?DAB?60?,?EFG?15?,FG?BC,则AE?【 】

A.1?2. B.. C.2?1. D.1?3.

【答】 D.

过F作AB的垂线,垂足为H.∵?DAB?60?,AF?AD?FD?2,

∴?AFH?30?,AH?1,FH?

又∵?EFG?15?,

∴?EFH??AFG??AFH??EFG?90??30??15??45?,

从而△FHE是等腰直角三角形,所以HE=FH

∴ AE?AH?HE?1?.

C,

H

E

6.已知111111111234 ??,????,则??的值为【 】xy?z2yz?x3zx?y4xyz

A.1. B.

【答】C. 35. C.2. D.. 22

由已知等式得xy?zxyz?xyzx?yzxy?yz?zx9?2,?3,?4,所以?. x?y?zx?y?zx?y?zx?y?z2

于是,yz5zx3xy1y5zy5?,?,?.所以 ?,?3,?,x?y?z2x?y?z2x?y?z2x3yx3即z?3y?5x。 代入11111123?,解得x?. ??,得?x52xy?z210x?5x3

23423423???????2. xyzx55x5xx3所以

二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)

1.在△ABC中,已知?B?2?A,BC?2,AB?2?2,则?A? .

【答】 15?。

延长AB到D,使BD=BC,连线段CD,则?D??BCD?

作CE?AB于点E,则E为AD的中点,故

1 ?ABC??A,所以CA=CD。2

AE?DE?111AD?(AB?BD)?(2?2)?2

222

BE?AB?AE?(2??(2?在Rt△BCE

中,cos?EBC?EB1?,所以?EBC?30?,故 ?A??ABC?15?. BC22

2EB

D 2.二次函数y?x?bx?c的图象的顶点为D,与x轴正方向从左至右依次交于A,B两

点,与y轴正方向交于C点,若△ABD和△OBC均为等腰直角三角形(O为坐标原点),则b?2c? .

【答】 2.

?b?b2?4c?b?b2?4cbb2?4c,0),B(,0),D(?,?).由已知,得C(0,c),A( 2224

b2?4c过D作DE?AB于点E,,则2DE?AB,即2??b2?4c,得4

b2?4c?2b2?4c, 2所以b?4c?0或b?4c?2.又b?4c?0,所以b?4c?2. 222

?b?b2?4c2又OC?OB,即c?,得b?2c?b?4c?2. 2

3.能使2?256是完全平方数的正整数n的值为 .

【答】 11.

当n?8时,2?256?2(1?2

n2nn8?nn),若它是完全平方数,则n必为偶数. n4若n?2,则2?256?2?65;若n?4,则2?256?2?17;若n?6,则

2n?256?26?5;若n?8,则2n?256?28?2。所以,当n?8时,2n?256都不是完全平方数.

当n?8时,2?256?2(2

n8n?8?1),若它是完全平方数,则2n?8?1为一奇数的平方。

设2n?8n?10,则2?1?(2k?1)2(k为自然数)?k(k?1).由于k和k?1一奇一偶,所以k?1,于是2n?10?2,故n?11.

4.如图,已知AB是⊙O的直径,弦CD与AB交于点E,过点A作圆的切线与CD的延长线交于点F,如果DE?3CE,AC?85,D为EF的中点,则AB=

4

AB

F

【答】 24.

设CE?4x,AE?y,则DF?DE?3x,EF?6x.

连AD,BC.因为AB为⊙O的直径,AF为⊙O的切线,所以?EAF?90?,?ACD??DAF. 又因为D为Rt△AEF的斜边EF的中点,

∴ DA?DE?DF,∴ ?DAF??AFD,

∴ ?ACD??AFD,∴ AF?AC?85.

222在Rt△AEF中,由勾股定理得 EF?AE?AF,即 36x?y?320.

222设BE?z,由相交弦定理得 CE?DE?AE?BE,即yz?4x?3x?12x,

∴ y?320?3yz ①

又∵ AD?DE, ∴ ?DAE??AED.

又?DAE??BCE,?AED??BEC,∴ ?BCE??BEC,从而BC?BE?z. 2

在Rt△ACB中,由勾股定理得 AB?AC?BC,即(y?z)?320?z, ∴ y?2yz?320. ②

联立①②,解得y?8,z?16.所以AB?AE?BE?24.

第二试 (A)

一、(本题满分20分)已知三个不同的实数a,b,c满足a?b?c?3,方程x?ax?1?0和x?bx?c?0有一个相同的实根,方程x2?x?a?0和x?cx?b?0也有一个相同的实根.求a,b,c的值.

解 依次将题设中所给的四个方程编号为①,②,③,④. 222222222

?x12?ax1?1?0,设x1是方程①和方程②的一个相同的实根,则?2 两式相减,可解得

?x1?bx1?c?0,

x1?c?1.????????5分 a?b

2?x2?x2?a?0,设x2是方程③和方程④的一个相同的实根,则?2两式相减,可解得x?cx?b?0,2?2

x2?a?b。 c?1

所以 x1x2?1. ????????10分

又方程①的两根之积等于1,于是x2也是方程①的根,则x2?ax2?1?0。

又 x2?x2?a?0,两式相减,得 (a?1)x2?a?1. ????????15分 若a?1,则方程①无实根,所以a?1,故x2?1.

于是 a??2,b?c??1.又a?b?c?3,解得 b??3,c?2. ?????20分

二.(本题满分25分)如图,在四边形ABCD中,已知?BAD?60?,?ABC?90?,

(1)?BCD?120?,对角线AC,BD交于点S,且DS?2SB,P为AC的中点.求证:

22

(2)AD?DC.

?PBD?30?;

ACB

证明 (1)由已知得 ?ADC?90?,从而A,B,C,D四点共圆,AC为直径,P为该圆的圆心. ????????5分

作PM?BD于点M,知M为BD的中点,所以?BPM=

而?PBM?30?. ????????10分 (2)作SN?BP于点N,则SN?

又DS?2SB,DM?MB?1?BPD=?A?60?,从21SB. 21BD, 2

31∴MS?DS?DM?2SB?SB?SB?SN, ????????15分 22

∴ Rt△PMS≌Rt△PNS,∴ ?MPS??NPS?30?,

又PA?PB,所以?PAB?1,所以?NPS?15?,故?DAC?45???DCA2

AD?DC.????????25分

三.(本题满分25分)已知m,n,p为正整数,m?n.设A(?m,0),B(n,0),C(0,p),O为坐标原点.若?ACB?90?,且OA2?OB2?OC2?3(OA?OB?OC).

(1)证明:m?n?p?3;

(2)求图象经过A,B,C三点的二次函数的解析式.

解 (1)因为?ACB?90?,OC?AB,所以OA?OB?OC,即mn?p. 22

由OA?OB?OC?3(OA?OB?OC),得m?n?p?3(m?n?p).?5分 又m?n?p?(m?n?p)?2(mn?np?mp)?(m?n?p)?2(p?np?mp) 222222222222

?(m?n?p)2?2p(m?n?p)?(m?n?p)(m?n?p),

从而有m?n?p?3,即m?n?p?3.?????10分

(2)由mn?p,m?n?p?3知m,n是关于x的一元二次方程 2

x2?(p?3)x?p2?0 ①

的两个不相等的正整数根,从而??[?(p?3)]?4p?0,解得?1?p?3。 又p为正整数,故p?1或p?2. ?????15分

当p?1时,方程①为x?4x?1?0,没有整数解.

当p?2时,方程①为x?5x?4?0,两根为m?1,n?4.

综合知:m?1,n?4,p?2.?????????20分

设图象经过A,B,C三点的二次函数的解析式为y?k(x?1)(x?4),将点C(0,2)的坐标代入得 2?k?1?(?4),解得k??

所以,图象经过22221. 2A,B,C三点的二次函数的解析式为

113y??(x?1)(x?4)??x2?x?2.?????????25分 222

第二试 (B)

一.(本题满分20分)题目和解答与(A)卷第一题相同.

二.(本题满分25分)如图,在四边形ABCD中,已知?BAD?60?,?ABC?90?,?BCD?120?,对角线AC,BD交于点S,且DS?2SB.求证:AD?DC.

ACB

证明 由已知得 ?ADC?90?,从而A,B,C,D四点共圆,AC为直径.

设P为AC的中点,则P为四边形ABCD的外接圆的圆心.?????????5分

作PM?BD于点M,则M为BD的中点,所以?BPM=1?BPD=?A?60?,从而2

?PBM?30?. ?????????10分

作SN?BP于点N,则SN?

又DS?2SB,DM?MB?1SB. 21BD, 2

31∴MS?DS?DM?2SB?SB?SB?SN, ?????????15分 22

∴ Rt△PMS≌Rt△PNS,∴?MPS??NPS?30?,

又PA?PB,所以?PAB?1?NPS?15?,所以?DAC?45???DCA,所以2

AD?DC.????25分

三.(本题满分25分)已知m,n,p为正整数,m?n.设A(?m,0),B(n,0),C(0,p),O为坐标原点.若?ACB?90?,且OA2+OB2+OC2=3(OA+OB+OC).求图象经过A,B,C三点的二次函数的解析式.

解 因为?ACB?90?,OC?AB,所以 OA?OB?OC,即mn?p.

由OA?OB?OC?3(OA?OB?OC),得m?n?p?3(m?n?p).5分 又m?n?p?(m?n?p)?2(mn?np?mp)?(m?n?p)?2(p?np?mp)

22222222222222

?(m?n?p)2?2p(m?n?p)?(m?n?p)(m?n?p),

从而有m?n?p?3,即m?n?p?3. ?????????10分

又mn?p,故m,n是关于x的一元二次方程 2

x2?(p?3)x?p2?0 ①

的两个不相等的正整数根,从而??[?(p?3)]?4p?0,解得?1?p?3。 又p为正整数,故p?1或p?2. ?????????15分

当p?1时,方程①为x?4x?1?0,没有整数解.

当p?2时,方程①为x?5x?4?0,两根为m?1,n?4.

综合知:m?1,n?4,p?2.?????????20分

设图象经过A,B,C三点的二次函数的解析式为y?k(x?1)(x?4),将点C(0,2)的坐标代入得 2?k?1?(?4),解得k??

所以,图象经过22221. 2A,B,C三点的二次函数的解析式为

113y??(x?1)(x?4)??x2?x?2.?????????25分 222

第二试 (C)

一.(本题满分20分)题目和解答与(A)卷第一题相同.

二.(本题满分25分)如图,已知P为锐角△ABC内一点,过P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别为D,E,F,BM为?ABC的平分线,MP的延长线交AB于点N.如果PD?PE?PF,求证:CN是?ACB的平分线.

证明 如图1,作MM1?BC于点M1,MM2?AB于点M2,NN1?BC于点N1,NN2?AC于点N2.

A

NMH

N1DM1CN1DM1

设NP??NM,∵ NN1//PD//MM1, ∴N1D??N1M1. ????5分 若NN1?MM1,如图2,作NH?MM1,分别交MM1,PD于点H,H1,则△NPH1∽△NMH,∴PH1NP???,∴ PH1??MH, MHNM

∴PD?PH1?H1H??MH?NN1??(MM1?NN1)?NN1??MM1?(1??)NN1. 若NN1?MM1,则PD?NN1?MM1??MM1?(1??)NN1.

若NN1?MM1,同理可证PD??MM1?(1??)NN1.????15分 ∵PE//NN2,∴ PEPM??1??,∴PE?(1??)NN2. NN2NM

PFNP???,∴PF??MM2.???????20分 MM2NM∵ PF//MM2,∴

又PD?PE?PF,∴ ?MM1?(1??)NN1??MM2?(1??)NN2. 又因为BM是?ABC的平分线,所以MM1?MM2,∴ (1??)NN1?(1??)NN2. 显然??1,即1???0,∴ NN1?NN2,∴CN是?ACB的平分线.???25分

三.(本题满分25分)题目和解答与(B)卷第三题相同.

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