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6历届高等数学竞赛真题

发布时间:2013-12-18 15:34:32  

历届高等数学竞赛真题

一、极限

2n?n!xxx1、lim 2、lim(cos?cos??cos) n??nnn??2222n3、limarctan(x?lnx?sinx) 4、limx????x0sin(xt)2dtx5x?0

5、 limtan(sinx)?sin(tanx)1?te 6、 lim1t?0t?0tanx?sinx21tet?arctan?t

1

21t7、lim(n??1?n?1?1

2?n?222???1(n?1)?n?(n?1)22)

?tan(tanx)?sin(sinx)?btanz(sinx)a?1??0,且b?0,求常数a,b 8、设lim??ax?0x??

9、设f(x)?lim

10

、n??x2n?1?ax2?bxx2nn???1(n?N),求a、b的值,使limf(x)与limf(x)都存在. x?1x??1xta为常数。 x2

n?0ecostdt?x?n?k11、lim 12、lim?2 x?0n??k?1n?k?

x?tanx??1ax?1?bx?1

x) 13、设a?0,b?0,求lim(x?0a?b

14、lim11

n???n

1

nn1ln(1?2n1sin(ex?1)?(esinx?1))dx 15、lim? 4x?0sin3xxnn

16、lim(n??222????) 17、lim(?x3?ax?b)?0,求a,b x??11n?1n?n?2n

/

x?1218、设f(x)在x?12邻域内可导,limf(x)?0,limf(x)?998,求 x?12

115

x?12lim?x12[t?f(u)du]dtt12(12?x)3

1

t19、设0?a?b,求lim([bx?a(1?x)]dx) x?00?1t

?x4?ax?b?20、设函数f(x)??(x?1)(x?2)

?2?

21、设x1?1,x2?2,xn?2?

1x?1,x?2x?1n??在x?1处连续,求a,b xn?1?xn,求limxn 111x22、lim(?2x) 23、 lim(n!)n x??xn??n

(1?x)?(a?bx?cx2)24、设lim?d?0,求a,b,c,d 3x?0x

25、设x1?0,xn?1?

n1xa?xn,求limxn n??1?xnn?lnnlnn) 26、lim(n??n?lnn

ln(x?ex)) 27、lim(x?x?x?x?1?x?x?x?1?x???x43232

28、已知数列?xn?,满足lim(xn?1?xn)?0,证明:limn??xn?0 n??n

29、已知x0?1,x1?111,,?,,?. x?x?2n?1333x0?4x1?4xn?4求证:(1)数列{xn}收敛;(2){xn}的极限值a是方程x4?4x?1?0的唯一正根

二、导数和微分

x2?11?x/1、求y?的n阶导数 2、y?arccos2,求y 1?xx?1

3、y?(1?x)(1?x)(1?x)?(1?x),求y|x?1

116 2482n/

ydyx2?y2?arctan,当x?1,y?0时,求 xdx

secxdy5、设y??arctant2dt,求 cscxdx4、设ln

?x?te?u2du?0?dyd2y?6、设?,求,2 1?tdxdx?y?(u4?1)2du?0??

7、f(x)和g(x)互为连续的反函数,f(0)?1,g(0)??/2/,求g(1) 3

8、设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且f(a)?f(b)?0,证明

(1)存在??(a,b),使f(?)??f(?)?0

(2)存在??(a,b),使?f(?)?f(?)?0

9、设函数f(x)在[0,??)上可导,且0?f(x)?//x,证明存在??0,使21?x

1??2

f(?)? (1??2)2/

x2

10、求点(0,4)到抛物线y?的最短距离 10

11、设f(x)在[0,?]上连续,在(0,?)上可导,证明至少存在一点??(0,?)使得 f/(?)??f(?)?cot?

12、设f(x)具有二阶连续导数,且f??(0)?0,f(0)?f?(0)?0,t是曲线y?f(x)上点(x,f(x))处的切线在x轴的截距,求limxf(t) x?0tf(x)

x?013、设f(x)在??1,1?内有f??(x)?0,且f(x)?sinx?2,证明在??1,1?内有x

f(x)?3x.

117

14、试问:方程e15、lim?

x??

?

x2

?x(x2?3)总共有几个实根.

x??

x?ax?a

?x?lim?f(x)?f(x?1)?,则a? 。

3

3

16、设函数y?y(x)是由x?y?3axy?0(a?0)确定,则lim17、设f(x)在区间(??,??)连续,F(x)?

x???

y

?。 x

x1x?a

f(t) dt (a>0), G(x)??0f(t) dt, 2a?x?a

试解答下列问题:(1)用G(x)表示F(x);(2)求F?(x);(3)求证:lim F(x)??f(x);a?0(4)设f(x)在?x?a,x?a?内的最大值和最小值分别是M、m,求证:F(x)?f(x)?M?m. 18、设?为f(x)?arctanx在[ 0, b]上应用拉格朗日中值定理的“中值”,则 lim

b?0

?2

b2

?

19、设

f?x??arctan

1?xn

,求f?0?。 1?x

20、已知函数

f?x?在?0,1?上三阶可导,且f?0???1,f?1??0,f??0??0,

试证至少存在一点

???0,1?

,使

2xx?1??2

f?x???1?x?f??????,

3!

x??0,1?

21、已知

21

f(x)在[0,2]上二次连续可微,f(1)?0,证明?0f(x)?M

3

其中

M?

maxx?[0,2]

f??(x).

22、求证方程x?p?qcosx?0有且只有一个实数根,其中常数p,q满足0?q?1.

1?1?cos?a

x?123、设a为实数,f(x)??(x?1)

?0?

x?1x?1

,在x?1处可导,求a的范围

dn(1?xm)n

24、设f(x)?,m,n是正整数,求f(1) n

dx

25、设f(x)?x

1997

tanx,求f(1997)(0)

118

26、求方程e?ax有几个实根 27、设y?x?x三、积分 1、

xx

x2

,求y

/

???

3?20

arcsin(cosx)dx 2、?dx

(a?0) 4、

dx

x8(1?x2)

2

3、

a0

x?a2?x2

n

?

1

(1?

11)sin(x?)dx

xx2

5、(ax?b)(cx?d)dx(a,b?0,c??1)6、

?

secxx

7、

?1(1?

a

a

111?xcosx

)f(x?)dx 8、2sinx?xxx(1?xe)ln(9?x)

10、?xln(sinx)dx

9、

?

42

?

9?x)?ln(x?3)

?e?ee

11、

?

lnlnln|x|

dx 12、

xln|x|

?

?

??cosx

2

x??x?2004

13、

4x1

14、dx?2x2?9|dx ?sin6x?cos6x

15、

?

?

10

e(x?x)dx 15、?

x2

cos(x?

3

?

dx

sinxcosx

)

16、

?

??1x|sinxcosx|

17、dx?0(1?x2)(1?x1?sin4x

)

/

18、f(x)连续,求[f(x)?xf(x)]dx

?

/

19、设y?f(x),且x?

?

y0

d3ydy

dt,证明3?4?0 2dxdx?4t1

119

x2?ax?b(1)无反正切函数(2)无对数函数 20、当a,b满足什么条件时,?(x?1)2(x2?1)

21、设f(x)为连续函数,且g(x)?

22、求证?baf(x?t)costdt,求g/(x) 111dx?1??? 23、设?f(tx)dt?f(x)?1,求f(x) 00224?x2?x36

24、设f(x)为连续函数,证明?2?

0?f(acosx?bsinx)dx?2?2??

2f(a2?b2sinx)dx

25设非负函数f(x)在?0,1?上连续,且单调上升,t??0,1?,y?f(x)与直线y?f(1)及

x?t围成图形的面积为S1(t),y?f(x)与直线y?f(0)及x?t围成图形的面积为S2(t).⑴ 证明:存在唯一的t?(0,1),使得S1(t)?S2(t).⑵ t取何值时两部分面积之和取最小值?

26、设函数f(x)在?0,1?连续且非负,证明

n2?maxf(x). 0?x?127、设D是曲线y?2x?x与x轴围成的平面图形,直线y?1?x把D分成D1和D2 两

部分,若D1的面积S1与D2的面积S2之比S1?S2?1?7,求平面图形D1的周长以及D1绕y轴旋转一周所得旋转体的体积.

28、设shx?shy?1,计算积分???

0ydx.

29、以yoz坐标上的平面曲线段y?f(z)(0?z?h)绕z轴旋转所构成的旋转曲面和xoy坐标面围成一个无盖容器,已知它的底面积为16?(cm3),如果以3(cm3/s)的速度把水注入容器内,水表面的面积的?(cm/s)增大,试求曲线y?f(x)的方程.

30、设x??0,2dun(x)???时,有secx??2sinx?3sin2x???(n?1)sinnx. ?dx?2?

31、设f?(x)?arcsin(x?1)2及f(0)?0,求

?f(x) dx. 01120

32、求曲线y?xe

?x

(x?0)绕x轴旋转一周延伸到无穷远的旋转体体积

33、设函数f(x)在[?a, a](a?0)上连续,在x?0可导,且f?(0)?0. (1)求证:?x?(0, a),??(0, 1),等式(2)求极限lim??.

x?0

?f (t) dt??f (t) dt?x [f (? x)?f(?? x)]成立.

x?x

34、设f(x)?x?[x]([x]表示不超过x的最大整数),求极限lim35、求c,使

1x

f(x)dx

x???x?0

?

ba

(x?c)cos(x?c)?0,其中b?a

36、设函数f(x)在a?x?b上连续,且f(x)?0,设g(x)?

/

?

xa

f(t)dt??

1xb

1 f(t)

(1)g(x)?2(2)g(x)在[a,b]内恰有一根

37、设F(x)是f(x)的一个原函数,且F(0)?1,F(x)f(x)?cos2x,求38、设y(x?y)?x,求

2

?

?

|f(x)|dx.

1

?x?3ydx

?x

39、设f(x)在[??,?]上连续,且f(x)??f(x)sinxdx,求f(x)

1?cos2x???

?

40、设

?

20

lnsinxdx 41、?f(ax)dx?

1

1

f(x)?1,求f(x) 2

1

,证明: 22

x?f(x)

42、设函数f(x)满足f(1)?1,且对x?1时,有f?(x)?

(1)limf(x)存在,(2)limf(x)?1?

x??

x??

π

。 4

四、级数

1、判别级数的敛散性

n

(1)?n

n?12

?

3n

; (2) ?n

n

n?14?2

?

121

(3)

??n?1,其中??0为常数 (4)?(?1)ntann?1?n2?2? 2、求和函数 ??n2

nx4n1x (2)?(1)? (3)?

n?0n!n?0(4n)!n?0(4n?1)(4n?3)

?(?1)n1n(4)lim[? ] (5)?n??3n?12(1?2?3?k)n?0k?1n

3、求收敛域

?(n?x)n

n?nx(1)?n (2)?xe

n?1n?xn?1?

4、已知级数?u

n?1?n的一般项un与前n项的和sn有如下关系:

?

2s?2unsn?un(n?2),且u1?2,求级数?un? 2

n

n?1

xn

5、设f(x)??2(0?x?1),则f(x)?f(1?x)?lnx?ln(1?x)?。 nn?1?

?an?11(n)1a?f(0)6、设f(x)?,,证明级数收敛,并求其和。 ?n2aan!1?x?xn?0nn?2

??

7、设?n?0anx在x?1处收敛,则n?n?0an(x?1)n在x?0处( D ) n?1

(A) 绝对收敛;

8、设幂级数 (B) 条件收敛; (C) 发散; (D) 收敛性与an有关. ?axn

n?0?n, 当n?1时an?2?n (n?1) an,且a0?4, a1?1;

?(1)求幂级数?anxn的和函数S(x);(2)求和函数S(x)的极值..

n?0

9、求函数f(x)?2e?nx的定义域,并证明f(x)在定义域内有界.

n?1?

122

10、级数?lnn(n?1)

n?1?a(n?2)b,问a,b为何值时级数收敛

五、解析几何

?y?2x?y?x?31、求两直线?和?之间的最短的距离 z?xz?x?1??

2、设圆锥面的顶点在原点,且三个坐标轴的正半轴都在其上,求圆锥面的方程

123

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