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数学红宝书3训练题

发布时间:2013-12-19 09:32:01  

这是华东师大出版社《红宝书·数学》配套的40张小卷子的30---40,每张用时90分钟。

第三部分 压轴题的满分攻略

压轴题多练一道就自信一分,因此要加强压轴题的规律性训练.

最后两道压轴题是选拔性的题目,要挑战满分或者冲刺名校的同学需要在这两道题目上多加训练.

把最后两题先通读一遍,如果时间不够用的话,你一定要拿下的是哪几个小题?

最值得提醒你的是,不要急于在答题纸上写字,胸有成竹了,写好不用3分钟.

压轴题的书写空间是很有限的,一道4—5分的分类讨论题,要演算一个页面的,你需要写上去的,只是两三行.

写少了丢分,写多了空间不够.如何做好书写的层次性、简洁性、规范性,怎样写最好?《挑战中考数学压轴题(附光盘)》一书是最好的范例.

1

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考典30 等腰三角形的存在性问题

1.如图1,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.

(1)求抛物线的函数关系式;

(2)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形,若存在,求所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.

图1

2.如图2, 点A在x轴上,OA=4,将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置.

(1)求点B的坐标;

(2)求经过A、O、B的抛物线的解析式;

(3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.

图2

2

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3,点D在AB边上5

(点D与点A,B不重合),DE∥BC交AC边于点E,点F在线段EC上,3.如图3,在△ABC中,AB=AC=10,cosB?

1AE,以DE、EF为邻边作平行四边形4

DEFG,联结BG.

(1)当EF=FC时,求△ADE的面积;

(2)如果△DBG是以DB为腰的等腰三角形,

求AD的值. 图3

4.如图4,已知正方形OABC的边长为2,顶点A、C分别在x、y轴且EF?的正半轴上,M是BC的中点.P(0,m)是线段OC上

一动点(C点除外),直线PM交AB的延长线于点

D.

(1)求点D的坐标(用含m的代数式表示);

(2)当△APD是等腰三角形时,求m的值.

图4

3

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考典31 相似三角形的存在性问题

1.如图1,平面直角坐标系xOy中,已知点A(2,3),线段AB垂直于y轴,垂足为B,将线段AB绕点A逆时针方向旋转90°,点B落在点C处,直线BC与x轴的交于点D.

(1)试求出点D的坐标;

(2)试求经过A、B、D三点的抛物线的

表达式,并写出其顶点E的坐标;

(3)在(2)中所求抛物线的对称轴上找

点F,使得以点A、E、F为顶点的三角形与

△ACD相似.

图1

2.如图2,已知直线y?1x?1与x轴交于点A,与y轴交于点B,将2

△AOB绕点O顺时针旋转90°,使点A落在点C,点B落在点D,抛物线y=ax2+bx+c过点A、D、C,其对称轴与直线AB交于点P.

(1)求抛物线的表达式;

(2)点M在x轴上,且△ABM与△APD相似,

求点M的坐标.

图2

4

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3.如图3,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=8cm.点

E、F、G分别从A、B、C三点同时出发,沿矩形的边按

逆时针方向运动.点E、G的速度均为每秒2cm,点F

的速度为每秒4cm.当点F追上点G(即点F与点G重合)

时,三个点随之停止运动.设运动的时间为t秒钟.若

点F在矩形的边BC上移动,当t为何值时,以E、B、

F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似?

请说明理由. 图3

4.如图4,AB⊥BC,AD//BC, AB=3,AD=2.点P在线段AB上,联结PD,过点D作PD的垂线,与BC相交于点C.设线段AP的长为x. 当△APD∽△DPC时,求线段BC的长.

图4

5

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考典32 直角三角形的存在性问题

1.如图1,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C(0,-3),对称轴是直线x=1,直线BC与抛物线的对称轴交于点D.

(1)求抛物线的函数表达式;

(2)求直线BC的函数表达式;

(3)点E为y轴上一动点,CE的垂直平分线交

交抛物线于P、Q两点,且点P在第三象限.当以C、

D、E为顶点的三角形是直角三角形时,请直接写出

点P的坐标.

图1

2.如图2,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A的坐标为(-4,0),点B的坐标为(0,b)(b>0).P是直线AB上的一个动点,作PC⊥x轴,垂足为C.记点P关于y轴的对称点为P′(点P′不在y轴上),联结PP′、P′A、P′C.设点P的横坐标为a.是否同时存在a、b,使△P′CA为等腰直角三角形?若存在,请求出所有满足要求的a、b的值;若不存在,请说明理由.

图2

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333.如图1,抛物线y??x2?x?3与x轴交于A、B两点(点A在点84

B的左侧),与y轴交于点C.

(1)求点A、B的坐标;

(2)若直线l过点E(4, 0),M为直线l上的动点,

当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三....

个时,求直线l的解析式.

图1

4.在平面直角坐标系中,反比例函数与二次函数y=k(x2+x-1)的图像交于点A(1,k)和点B(-1,-k).设二次函数的图像的顶点为Q,当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时,求k的值.

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考典33 平行四边形的存在性问题

1.在平面直角坐标系中,已知抛物线y=-x2+2x+c过点A(-1,0),直线l:y??3x?3与x轴交于点B,与y轴交于点4

C,与抛物线的对称轴交于点M;抛物线的顶点为D.

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标.

(2)若N为直线l上一动点,过点N作x轴的

垂线与抛物线交于点E.问:是否存在这样的点N,使

得以点D、M、N、E为顶点的四边形为平行四边形?

若存在,求出点N的横坐标;若不存在,请说明理由. 图1

2.已知平面直角坐标系xOy(如图2),一次函数y?

y轴交于点A,点M在正比例函数y?3x?3的图像与43x的图像上,且2

MO=MA.二次函数y=x2+bx+c的图像经过点A、M.

(1)求线段AM的长;

(2)求这个二次函数的解析式;

(3)如果点B在y轴上,且位于点A下方,点C

在上述二次函数的图像上,点D在一次函数y?3x?3的4

图像上,且四边形ABCD是菱形,求点C的坐标. 图2

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3.将抛物线c1

:y?2x轴翻折,得到抛物线c2,如图3所示.

(1)请直接写出抛物线c2的表达式;

(2)现将抛物线c1向左平移m个单位长度,平移后得到新抛物线的顶点为M,与x轴的交点从左到右依次为A、B;将抛物线c2向右也平移m个单位长度,平移后得到新抛物线的顶点为N,与x轴的交点从左到右依次为D、E.在平移过程中,是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形?若存在,请求出此时m的值;若不存在,请说明理由.

图3

4.如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动,动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动,过点P作PD//BC,交AB于点D,联结PQ.点P、Q分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动的时间为t秒(t≥0).

(1)直接用含t的代数式分别表示:QB=_______,PD=_______;

(2)是否存在t的值,使四边形PDBQ为菱形?

若存在,求出t的值;若不存在,说明理由,并探究

如何改变点Q的速度(匀速运动),使四边形PDBQ

在某一时刻为菱形,求点Q的速度.

1

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考典34 梯形的存在性问题

1.如图1,把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD方别置于平面直角坐标系中,使直角边OB、OD在x轴上.已知点A(1,2),过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F.抛物线y=ax2+bx

+c经过O、A、C三点.

(1)求该抛物线的函数解析式;

(2)点P为线段OC上的一个动点,过点P

作y轴的平行线交抛物线于点M,交x轴于点N,

问是否存在这样的点P,使得四边形ABPM为等腰

梯形?若存在,求出此时点P的坐标;若不存在,

请说明理由. 图1

2.已知二次函数的图象经过A(2,0)、C(0,12) 两点,且对称轴为直线x=4,设顶点为点P,与x轴的另一交点为点B.

(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标;

(2)如图2,在直线 y=2x上是否存在点D,使四边形OPBD为等腰梯形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.

图2

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3.已知平面直角坐标系xOy中(如图3), 抛物线y=ax2-(a+1)x与直线y=kx的一个公共点为A(4,8).

(1)求此抛物线和直线的解析式;

(2)记(1)中抛物线的顶点为M,点N在此抛物线上,若四边形AOMN恰好是梯形,求点N的坐标及梯形AOMN的面积.

图3

4.已知,矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图4所示,点A的坐标为(4,0),点C的坐标为(0,?2),直线y??

(1)求点D的坐标;

(2)抛物线y?ax?bx?c经过点A、D、O,求此抛物线的表达式;

(3)在这个抛物线上是否存在点M,使以O、D、A、M为顶点的四边形是梯形?若存在,请求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.

22x与边BC相交于点D. 3

图4

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考典35 相切的存在性问题

1.如图1,已知正方形ABCD中,AB=8,点O为边AB上的一个动点,设BO=x,以O为圆心,OB为半径作⊙O,以点A为圆心,OA为半径作⊙A,讨论⊙O与⊙A的位置关系,并写出相应的x的取值范围.

图1

4,点G5

是△ABC的重心.动点E从点A出发沿着射线AG以每秒1cm的速度移动,动点F从点C出发沿着射线CA以每秒2cm的速度移动,点E和点F同时出发,设它们运动的时间为t秒.

(1)求点A到点G的距离;

(2)在移动的过程中,是否存在以点G为

圆心、GE为半径的圆与以点C为圆心、CF为半

径的圆外切?若存在,求出t的值;若不存在,

请说明理由. 图2

2.如图2,在等腰三角形ABC中,AB=AC=10cm,cosB?

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3.如图3,A(-5,0),B(-3,0),点C在y轴的正半轴上,∠CBO=45°,CD//AB,∠CDA=90°.点P从点Q(4,0)出发,沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动,运动时间为t秒.

(1)求点C的坐标;

(2)以点P为圆心,PC为半径的⊙P随点

P的运动而变化,当⊙P与四边形ABCD的边(或

边所在的直线)相切时,求t的值. 图3

4.已知:正方形ABCD的边长为1,射线AE与射线BC交于点E,射线AF与射线CD交于点F,∠EAF=45°.

(1)如图4,当点E在线段BC上时,试猜想线段EF、BE、DF有怎样的数量关系?并证明你的猜想.

(2)当点E在射线BC上运动时(不含端点B),点F在射线CD上运动,试判断以E为圆心以BE为半径的⊙E和以F为圆心以FD为半径的⊙F之间的位置关系.

图4

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考典36 面积的存在性问题

1.如图1,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0),将此三角板绕原点O逆时针旋转90°,得到三角形A′B′O.

(1)一抛物线经过点A′、B′、B,求该抛物线的解析式;

(2)设点P是第一象限内抛物线上的一个动点,是否存在点P,使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

图1

2.如图2,在平面直角坐标系xOy中,直角梯形OABC的顶点O为坐标原点,顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上,CB∥OA,OC=4,BC=3,OA=5,点D在边OC上,CD=3,过点D作DB的垂线DE,交x轴于点E.

(1)求点E的坐标;

(2)二次函数y=-x2+bx+c的图像经过点B和点E.

①求二次函数的解析式和它的对称轴;

②如果点M在它的对称轴上且位于x轴上

方,满足S△CEM=2S△ABM,求点M的坐标.

图2

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3.如图3,已知:抛物线y=x2+bx-3与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,并且OA = OC.

(1)求这条抛物线的解析式;

(2)过点C作CE // x轴,交抛物线于点E,设抛物线的顶点为点D,试判断△CDE的形状,并说明理由;

(3)设点M在抛物线的对称轴l上,且△MCD的面积等于△CDE的面积,请写出点M的坐标(无需写出解题步骤).

图3

4.如图4,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,若点F在直角边AC上(点F与A、C不重合),点E在斜边AB上移动,设AE=x.试问,是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分?若存在直线EF,求出x的值;若不存在直线EF,请说明理由.

图4

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考典37 抛物线的平移问题

1.如图1,已知直线y??1x?1交坐标轴于A、B两点,以线段AB2

为边向上作正方形ABCD,过点A、D、C的抛物线与直线另一个交点为E.

(1)请直接写出点C、D的坐标;

(2)求抛物线的解析式;

(3

)若正方形以每秒AB下滑,直至顶点D落在x轴上时停止,抛物线也随着正方形一起平移,同时停止,求抛物线上C、E两点间的抛物线弧所扫过的面积.

图1

2.如图2,已知一次函数y??1x?m的图象经过点A(-2,3), 并2

与y轴相交于点B, 二次函数y=ax2+bx-2的图象经过点A和点B.

(1)分别求这两个函数的解析式;

(2)如果将二次函数的图象沿y轴向上平移,

平移后的图象与一次函数的图象相交于点P,与y

轴相交于点Q,当PQ // x轴时,试问二次函数的图

象平移了几个单位?

2

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3. 如图3,已知直线y??3?3分别交x轴、y轴于A、B两点,线段4

OA上有一动点P由原点O向点A运动,速度为每秒1个单位长度,设运动时间为t秒.过点P作x轴的垂线交直线AB于点C,以C为顶点的抛物线y=(x+m)2+n与直线AB的另一个交点为D.

(1)求CD的长;

(2)设△COD的OC边上的高为h,当t为何值时,h的值最大?

图3

4.如图4, 已知在直角坐标平面内, 点A的坐标为(3,0), 第一象限内的点P在直线 y=2x上,∠PAO = 45°.

(1)求点P的坐标;

(2)如果二次函数的图像经过P、O、A三点,求这个二次函数的解析式,并写出它的图像的顶点坐标M;

(3)如果将第(2)小题的二次函数的图像向上或向下平移,使它的顶点落在直线y=2x上的点Q处,求△APM与△APQ的面积之比.

图4

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考典38 由比例线段产生的函数关系问题

1.如图1,已知半圆O的半径OA=4,P是OA延长线上一点,过线段OP的中点B做垂线交⊙O于点C,射线PC交⊙O于点D,联结OD. 若点C在AD上时,设PA=x,CD=y,求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围.

图1

2.如图2,⊙O的半径为6,线段AB与⊙O相交于点C、D,AC=4,∠BOD=∠A,OB与⊙O相交于点E,设OA=x,CD=y.

(1)求BD长;

(2)求y关于x的函数解析式,并写出定义域.

图2

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3,点O是5

边AB上的动点,点N是边BC上的动点,如果以NB为半径的⊙N和以OA为半径的⊙O外切,设NB=y,OA=x,求y关于x的函数关系式及定义域.

3.如图3,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,sinB?

图3

4.如图1,△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=4,点O为AB边的中点,点M是BC边上一动点(不与点B、C重合),AD⊥AB,垂足为点

A.联结MO,将△BOM沿直线MO翻折,点B落在点B′处,直线MB′与

△CMF的周长AC、AD分别交于点F、N.设BM=x,y?,求y关于x的△ANF的周长

函数关系式,并写出自变量x的取值范围.

图1

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考典39 由面积产生的函数关系问题

1.如图1,抛物线y?

于点C,联结BC、AC.

(1)求AB和OC的长;

(2)点E从点A出发,沿x轴向点B运动(点E与点A、B不重合),过点E作BC的平行线交AC于点D.设AE的长为m,△ADE的面积为s,求s关于m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围.

123x?x?9与x轴交于A、B两点,与y轴交22

图1

2.如图2,△ABC中,AB=BC=5,AC=6,过点A作AD//BC,点P、Q分别是射线AD、线段BA上的动点,且AP=BQ,过

点P作PE//AC交线段AQ于点O,联接PQ,设△POQ

面积为y,AP=x.

(1)用x的代数式表示PO;

(2)求y与x的函数关系式,并写出定义域.

图2

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3.如图3,已知经过原点的抛物线y=-2x2+4x与x轴的另一个交点为A,现将它向右平移m(m>0)个单位,所得抛物线与x轴交于C、D两点,与原抛物线交于点P.

(1)求点A的坐标,并判断△PCA存在时它的形状(不要求说明);

(2)在x轴上是否存在两条相等的线段,若存在,请一一找出,并写出它们的长度(可用含m的式子表示);若不存在,请说明理由;

(3)设△CDP的面积为S,求S关于m的关系式.

图3

4.如图4,在半径为2的扇形AOB中,∠AOB=90°,点C是AB上的一个动点(不与点A、B重合),OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D、E.

(1)当BC=1时,求线段OD的长;

(2)在△DOE中是否存在长度保持不变的边?

如果存在,请指出并求其长度;如果不存在,请说明

理由;

(3)设BD=x,△DOE的面积为y,求y关于x

的函数关系式,并写出它的定义域.

图4

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考典40 几何计算说理与说理计算问题

1.如图1,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+6x+c的图像经过点A(4, 0)、B(-1,0),与y轴交于点C,点D在线段OC上,OD=t,点E在第二象限,∠ADE=90°,tan?DAE?1,EF⊥OD,垂足为F. 2

(1)求这个二次函数的解析式;

(2)求线段EF、OF的长(用含t的代数式表示);

(3)当∠ECA=∠OAC时,求t的值.

图1

2.如图2,已知△ABC中,∠ACB=90°,点P到∠ACB两边的距离相等,且PA=PB.

(1)先用尺规作出符合要求的点P(保留作图痕迹,不需要写作法),然后判断△ABP的形状,并说明理由;

(2)设PA=m,PC=n,试用m、n的代数

式表示△ABC的周长和面积;

(3)设CP与AB交于点D,试探索当边AC、CDCD的值是否发生变?ACBC化,若不变,试求出这个不变的值,若变化,

试说明理由. 图2

BC的长度变化时,B22

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3.在△ABC中,∠BAC=90°,AB<AC,M是BC边的中点,MN⊥BC交AC于点N.动点P从点B出发沿射线BA

以每秒动.同时动点Q从点N出发沿射线NC运动,且始终保持MQ⊥MP.设运动时间为t秒(t>0).

(1)△PBM与△QNM相似吗?以图3为例说明理由;

(2)若∠ABC=60

°,AB?

①求动点Q的运动速度;

②设△APQ的面积为S(平方厘米),求S与t的函数关系式;

(3)探求BP2、PQ2、CQ2三者之间的数量关系,以图3为例说明理由.

图3

4.在Rt△ABC中, AB=BC=4,∠B=90°,将一直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点M处,将三角板绕点M旋转,三角板的两直角边分别与边AB、BC或其延长线上交于D、E两点(假设三角板的两直角边足够长),如图4、图5表示三角板旋转过程中的两种情形.

(1)直角三角板绕点M旋转过程中,当BE= 时,△MEC是等腰三角形;

(2)直角三角板绕点M旋转到图1的情形时,求证:MD=ME;

(3)如图6,若将直角三角板的直角顶点M在斜边AC上移动,设AM∶MC=m∶n(m、n为正数),试判断MD、ME的数量关系,并说明理由.

图4 图5 图6

23

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