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等差数列及应用

发布时间:2013-12-19 09:33:07  

第四讲 等差数列及其应用
许多同学都知道这样一个故事:大数学家高斯在很 小的时候,就利用巧妙的算法迅速计算出从1到100这 100个自然数的总和.大家在佩服赞叹之余,有没有仔细 想一想,高斯为什么算得快呢?当然,小高斯的聪明和 善于观察是不必说了,往深处想,最基本的原因却是这 100个数及其排列的方法本身具有极强的规律性——每 项都比它前面的一项大1,即它们构成了差相等的数列, 而这种数列有极简便的求和方法.通过这一讲的学习,我 们将不仅掌握有关这种数列求和的方法,而且学会利用 这种数列来解决许多有趣的问题.

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一、等差数列
? 什么叫等差数列呢?我们先来看几个例子: ? ①l,2,3,4,5,6,7,8,9,… ? ②1,3,5,7,9,11,13. ? ③ 2,4,6,8,10,12,14… ? ④ 3,6,9,12,15,18,21. ? ⑤100,95,90,85,80,75,70. ? ⑥20,18,16,14,12,10,8.

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这六个数列有一个共同的特点,即相邻两项的 差是一个固定的数,像这样的数列就称为等差数 列.其中这个固定的数就称为公差,一般用字母d 表示,如: 数列①中,d=2-1=3-2=4-3=…=1; 数列②中,d=3-1=5-3=…=13-11=2; 数列⑤中,d=100-95=95-90=…=75-70=5; 数列⑥中,d=20-18=18-16=…=10-8=2.

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? 例1下面的数列中,哪些是等差数列?若是, 请指明公差,若不是,则说明理由. ? ①6,10,14,18,22,…,98; ? ②1,2,1,2,3,4,5,6; ? ③ 1,2,4,8,16,32,64; ? ④ 9,8,7,6,5,4,3,2; ? ⑤3,3,3,3,3,3,3,3; ? ⑥1,0,1,0,l,0,1,0;

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? 解:①是,公差d=4. ? ②不是,因为数列的第3项减去第2项 不等于数列的第2项减去第1项. ? ③不是,因为4-2≠2-1. ? ④是,公差d=l. ? ⑤是,公差d=0. ? ⑥不是,因为第1项减去第2项不等于 第2项减去第3项.

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小结
? 一般地说,如果一个数列是等差数列,那么这个 数列的每一项或者都不小于前面的项,或者每一 项都大于前面的项,上述例1的数列⑥中,第1项 大于第2项,第2项却又小于第3项,所以,显然 不符合等差数列的定义. ? 为了叙述和书写的方便,通常,我们把数列 的第1项记为a1,第2项记为a2,…,第n项记为 an,an。又称为数列的通项,a1;又称为数列的 首项,最后一项又称为数列的末项.

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二、通项公式
? 对于公差为d的等差数列a1,a2,…an…来 说,如果a1小于a2,则

由此可知:
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?

(1)

? 若a1;大于a2,则同理可推得: (2) 公式(1)(2)叫做等差数列的通项公式, 利用通项公式,在已知首项和公差的情况 下

可以求出等差数列中的任何一项.
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? 例2 求等差数列1,6,11,16…的第20项. ? 解:首项a1 =1,又因为a2;大于a1;, ? 公差d=6-1=5,所以运用公式(1)可知: ? 第20项a20=a1=(20-1)×5=1+19×5=96. ? 一般地,如果知道了通项公式中的两个量就 可以求出另外一个量,如:由通项公式,我们可 以得到项数公式:

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例3 已知等差数列2,5,8,11, 14…,问47是其中第几项?
解:首项a1=2,公差d=5-2=3 令an=47 则利用项数公式可得: n=(47-2)÷3+1=16. 即47是第16项.

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例4 如果一等差数列的第4项为21, 第6项为33,求它的第8项.
? 分析与解答 ? 方法1:要求第8项,必须知道首项和公差. ? 因为a4=a1+3×d,又a4=21,所以a1=213×d又a6=a1+5×d,又a6=33,所以a1=335×d所以:21-3×d=33-5×d, ? 所以d=6 a1=21-3×d=3, ? 所以 a8=3+7×6=45. ?
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? 方法2:考虑到a8=a7+d=a6+d+d=a6+2×d, 其中a6已知,只要求2×d即可. ? 又 a6=a5+d=a4+d+d=a4+2×d, ? 所以 2×d=a6-a4 ? 所以a8=3+7×6=45 ? 方法2说明:如果能够灵活运用等差数 列各项间的关系,解题将更为简便.

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三、等差数列求和
? 若a1 小于a2,则公差为d的等差数列 a1,a2,a3…an可以写为 ? a1,a1+d,a1+d×2,…,a1+d×(n1). ? 所以,容易知道: ? a1+an=a2+an-1=a3+an-2 ? =a4+an-3=…=an-1+a2=an+a1. ?
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? 设 Sn=a1+a2+a3+…+an ? 则 Sn=an+an-1+an-2+…+a1 ? 两式相加可得: ? 2×Sn=(a1+an)+(a2+an1)+…+(an+a1) ? 即:2×Sn=n×(a1+an),所以,

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例5 计算 1+5+9+13+17+…+1993.
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解:因为1,5,9,13,17,…,1993 是一个等差数列,且al=1,d=4,an=1993. 所以,n=(an-a1)÷d+1=499. 所以,1+5+9+13+17+…+1993 =(1+1993)×499÷2 =997×499 =497503.
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题目做完以后,我们再来分析一下,本 题中的等差数列有499项,中间一项即第 250项的值是997,而和恰等于997×499.其 实,这并不是偶然的现象,关于中项有如 下定理:

这个定理称为中项定理.
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? 例6 建筑工地有一批砖,码成如右图形状, 最上层两块砖,第2层6块砖,第3层10块 砖…,依次每层都比其上面一层多4块砖, 已知最下层2106块砖,问中间一层多少块 砖?这堆砖共有多少块?

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? 解:如果我们把每层砖的块数依次记下来,2,6,10, 14,… 容易知道,这是一个等差数列. ? 方法1: ? a1=2, d=4, an=2106, ? 则n=(an-a1)÷d+1=527 ? 这堆砖共有则中间一项为 a264=a1+(264-1) ×4=1054. ? 方法2: (a1+an)×n÷2=(2+2106)×527÷2=555458(块). ? 则中间一项为(a1+an)÷2=1054 ? a1=2, d=4, an=2106, ? 这堆砖共有 1054×527=555458(块). ? n=(an-a1)

÷d+1=527

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例7 求从1到2000的自然数中,所有 偶数之和与所有奇数之和的差.
? 解:根据题意可列出算式: ? (2+4+6+8+…+2000)-(1+3+5+…+1999) ? 解法1:可以看出,2,4,6,…,2000是一个公差 为2的等差数列,1,3,5,…,1999也是一个公差为2的 等差数列,且项数均为1000,所以: ? 原式=(2+2000)×1000÷2-(1+1999)×1000÷2 ? =1000. ? 解法2:注意到这两个等差数列的项数相等,公差相 等,且对应项差1,所以1000项就差了1000个1,即 ? 原式=1000×1=1000.

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例8 连续九个自然数的和为54,则以这九个 自然数的末项作为首项的九个连续自然数之 和是多少?
? 分析与解答 ? 方法1:要想求这九个连续自然数之和,可以 先求出这九个连续自然数中最小的一个.即条件中 的九个连续自然数的末项. ? 因为,条件中九个连续自然数的和为54,所 以,这九个自然数的中间数为54÷9=6,则末项 为6+4=10.因此,所求的九个连续自然数之和为 (10+18)×9÷2=126. ?
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?

方法2:考察两组自然数之间的关系可以 发现:后一组自然数的每一项比前一组自 然数的对应项大8,因此,后一组自然数的 和应为54+8×9=126. ? 在方法1中,可以用另一种方法来求末 项,根据求和公式Sn=(a1+an)×n÷2, 则 a1+a9=54×2÷9.又因为a1=a9-8,所以 代入后也可求出a9=10.

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例9 100个连续自然数(按从小到大的顺序排 列)的和是8450,取出其中第1个,第3个… 第99个,再把剩下的50个数相加,得多少?
? 分析与解答 ? 方法1:要求和,我们可以先把这50个数算 出来. ? 100个连续自然数构成等差数列,且和为 8450,则: ? 首项+末项=8450×2÷100=169,又因为末 项比首项大99,所以,首项=(169-99)÷2=35. 因此,剩下的50个数为:36,38,40,42,44, 46…134.这些数构成等差数列,和为(36+134) ×50÷2=4250. ?
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? 方法2:我们考虑这100个自然数分成的两 个数列,这两个数列有相同的公差,相同 的项数,且剩下的数组成的数列比取走的 数组成的数列的相应项总大1,因此,剩下 的数的总和比取走的数的总和大50,又因 为它们相加的和为8450.所以,剩下的数的 总和为(8450+50)÷2=4250.

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四、等差数列的应用
? 例10 把210拆成7个自然数的和,使这7个 数从小到大排成一行后,相邻两个数的差 都是5,那么,第1个数与第6个数分别是多 少?

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? 解:由题可知:由210拆成的7个数必构成 等差数列,则中间一个数为210÷7=30,所 以,这7个数分别是15、20、25、30、35、 40、45.即第1个数是15,第6个数是40.

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例11 把27枚棋子放到7个不同的空盒中,如 果要求

每个盒子都不空,且任意两个盒子里 的棋子数目都不一样多,问能否办到,若能, 写出具体方案,若不能,说明理由.
? 分析与解答 ? 因为每个盒子都不空,所以盒子中至 少有一枚棋子;同时,任两盒中棋子数不 一样,所以7个盒中共有的棋子数至少为 1+2+3+4+5+6+7=28.但题目中只给了27枚 棋子,所以,题中要求不能办到.
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例12 从1到50这50个连续自然数中,取两数 相加,使其和大于50,有多少种不同的取法?
? 解:设满足条件的两数为a、b,且a<b,则 ? 若a=1,则b=50,共1种. ? 若a=2,则b=49,50,共2种. ? 若a=3,则b=48,49,50,共3种. ? … ? 若a=25,则b=26,27,…50,共25种. ? 若a=26,则b=27,28,…50,共24种.(a=26,b=25的情形与 a=25,b=26相同,舍去). ? 若a=27,则b=28,29,…50,共23种. ? … ? 若a=49,则b=50,共1种. ? 所以,所有不同的取法种数为 ? 1+2+3+…+25+24+23+22+…+l ? =2×(1+2+3+…+24)+25 ? =625.
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例13 x+y+z=1993有多少组正整数解.

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? 显然,x不能等于1992,1993. ? 所以,原方程的不同的整数解的组数是: ? l+2+3+…+1991=1983036. ? 本题中运用了分类的思想,先按照x的值分类, 在每一类中,又从y的角度来分类,如:x=1987 时,因为y+z=6,且y、z均为正整数,所以y最小 取1,最大取5,即按y=1,2,3,4,5分类,每 一类对应一组解,因此,x=1987时,共5组解.

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例13 把所有奇数排列成下面的数表,根据规 律,请指出:①197排在第几行的第几个数? ②第10行的第9个数是多少? ? 1 ? 357 ? 9 11 13 15 17 ? 19 21 23 25 27 29 31 ? 33 35 37 39 43 45 47 49 ? ……

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? 分析与解答 ? ①197是奇数中的第99个数. ? 数表中,第1行有1个数. ? 第2行有3个数. ? 第3行有5个数… ? 第n行有2×n-l个数 ? 因此,前n行中共有奇数的个数为: ? 1+3+5+7+…+(2×n-1) ? =[1+(2×n-1)〕×n÷2 ? =n×n ? 因为9×9<99<10×10.所以,第99个数位于数表的 第10行的倒数第2个数,即第18个数,即197位于第10行 第18个数. ? ②第10行的第9个数是奇数中的第90个数.因为 9×9+9=90),它是179.
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例14 将自然数如下排列, 1 2 6 7 15 16 … 3 5 8 14 17 … 4 9 13 18 … 10 12 … 11 … … 在这样的排列下,数字3排在第2行第1 列,13排在第3行第3列,问:1993排在第 几行第几列?

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? 分析与解答 ? 不难看出,数表的排列规律如箭头所 指,为研究的方便,我们不妨把原图顺时 针转动45°,就成为三角阵(如右图), 三角阵中,第1行1个数,第2行2个数…第n 行就有n个数,设1993在三角阵中的第n行, 则: ? 1+2+3+…+n-1<1993

≤1+2+3+…+n ? 即:n×(n-1)÷2<1993≤n×(n+1) ÷2 ? 用试值的方法,可以求出n=63. ? 又因为1+2+…+62=1953,即第62行中 最大的数为
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1953.三角阵中,奇数列的数字从左到右,依次增大, 又1993-1953=40,所以,1993是三角阵中第63行 从左开始数起的第40个数(若从右开始数,则为第 24个数). 把三角阵与左图作比较,可以发现: ①三角阵中每一行从左开始数起的第几个数, 就位于左图的第几列. ②三角阵中每一行从右开始数起的第几个数, 就位于左图的第几行. 由此,我们可知,1993位于原图的24行40列.
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