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2004年第15届希望杯数学邀请赛(初一)第2试试

发布时间:2013-12-19 12:32:50  

第十五届“希望杯”全国数学邀请赛

初一 第2试

2004年4月18日 上午8:30至10:30 得分

一、选择题:(每小题5分,共50分)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内。

1、已知a= 2004+15,则a是( )

(A) 合数 (B)质数 (C)偶数 (D)负数

2、若7a+9b=0,则ab一定是( ) 2

(A) 正数 (B)负数 (C)非负数 (D)非正数

3、a与b之和的倒数的2003次方等于1,a的相反数与b之和的2005次方也等于

200320041,则a+b=( )

2005(A)2 (B)2 (C)1 (D)0

4、如图1,三角形ABC的底边BC长3厘米,BC边

上的高是2厘米,将三角形以每秒3厘米的速度

沿高的方向向上移动2秒,这时,三角形扫过的

面积是( )平方厘米。

(A)21 (B)19 (C)17 (D)15

5、小明的妈妈春节前去市场买了3公斤葡萄和2公斤苹果,花了8元钱,春节后,再去市场买这两种水果,由于葡萄每公斤提价5角钱,苹果每公斤降价3角钱,买7公斤葡萄和5公斤苹果共花了21元,则春节后购物时,(葡萄,苹果)每公斤的价格分别是( )元。

(A)(2.5,0.7) (B)(2,1) (C)(2,1.3) (D)(2.5,1)

36、当x=-1时,代数式2ax-3bx+8的值为18,这时,代数式9b-6a+2=( )

(A)28 (B)-28 (C)32 (D)-32

7、The sum of n different positive integers is less than 50. The greatest possible value of n is( )

(A)10 (B)9 (C)8 (D)7

8、已知?A与?B之和的补角等于?A与?B之差的余角,则?B=( )

0000(A)75 (B)60 (C)45 (D)30

9、如图2,一个正方体的六个面上分别标有

数字1,2,3,4,5,6。根据图中三种状态

所显示的数字,“?”表示的数字是( )

(A)1 (B)2 (C)4 (D)6

2210、若a,b都是有理数,且a-2ab+2b+4a+8=0,则ab=( )

(A)-8 (B)8 (C)32 (D)2004

二、填空题:(每小题5分,共50分,含两个空的小题,前空3分,后空2分)

11、若正整数x,y满足2004x=15y,则x+y的最小值是

12、数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,? 的排列规律是:前两个数是1,从第3个数开始,每一个数都是它前面两个数的和,这个数列叫做斐波那契数列。在斐波那契数列的前2004个数中共有 个偶数。

13、2004年6月3日依照美语习惯写作6/3/2004,依照英语习惯写作3/6/2004。像6/3/2004就难以判断是美语日期还是英语日期,也难以判断是哪一天,称为易混日期。而4/18/2004显然是美语日期,可以准确断定为2004年4月18日;18/4/2004显然是英语日期,可以准确断定为2004年4月18日;2/2/2004虽不能断定是美语日期还是英语日期,但总可以断定为2004年2月2日。这些都是不混日期。那么每月有易混日期__ 个;2004年全年的不混日期共有 个。

23214、若x+3x-1=0,则x+5x+5x+18= 。

15、如图3,甲、乙两船同时从B港分别

向C港和A港行驶。已知甲船速度是乙船速度的6倍,A、B两港相距540千米。5

甲船3小时后到达C港,然后立即驶向A港,最后与乙船同时到达A港。则乙船速度是 千米/小时。

216、If n is a positive integer, and if the units’ digit of n is 6 and the

22units’ digit of (n-1) is 9, the units’ digit of (n+1) is 。 (英汉小词典 units’ digit:个位数字)

17、用若干条长为1的线段围成一个长方形,长方形的长和宽的最大公约数是7,最小公倍数是7×20。则围成这个长方形最少需要 条长为1的线段,它的面积是

18、关于x,y的方程组??3x?4y?3的解x,y的和等于1。则m 的值是 。

?2mx?3y?2

19、甲、乙两打字员,甲每页打500字,乙每页打600字,已知甲每完成8页,乙恰能完成7页。若甲打完2页后,乙开始打字,则当甲、乙打的字数相同时,乙打了 页。

20、将2004写成若干个质数的乘积,如果a,b,c是这些质数中的三个,且a<b<c,那么关于x,y的方程组??bx?ay?1的解是x= ,y= 。

?ax?cy??165

三、解答题:(每题10分,共30分) 要求:写出推理过程。

21、观察下面的等式:

2×2=4,2+2=4

3131×3=4,+3=4 2222

4141×4=5,+4=5 3333

5151×5=6,+5=6 4444

小明归纳上面各式得出一个猜想:“两个有理数的积等于这两个有理数的和”,小明的猜想正确吗?为什么?

请你观察上面各式的结构特点,归纳出一个猜想,并证明你的猜想。

22、能否在图4中的四个圆圈内填入4个互不相同的数,使得任意两个圆圈中所填的数的平方和等于另外两个圆圈中所填数的平方和?如果能填,请填出一个例;如果不能填,请说明理由。

23、在3×3的方格表中填入九个不同的正整数:1,2,3,4,5,6,7,8和x,使得各行、各列所填三个数的和都相等。请确定x的值,并给出一种填数法。

参考答案及评分标准

二、填空题(每小题5分,含两个空格的,前空3分,后空2分)

三、解答题: 21.(1)小明的猜想显然是不正确的,易举出反例;如1×3≠1+3 (4分)

22

?2?4,?2?4 11

n?1n?1

得出如下猜想:“若n是正整数,则 ?(n?1)??(n?1)” (7分)

nn

1n?1

证法1:左边=(1?)(n?1)?(n?1

)??右边

nn

(2)将第一组等式变形为:

所以猜想是正确的 (10分)

n?1n(n?1)(n?1)2?? 证法2: 右边==左边 nnn

所以猜想是正确的 (10分)

22.不能填,理由如下:

设所填的互不相同的4个数为a, b, c, d;则有 ① (4分) ②

①-②得 c?d?d?c c?d

因为: c≠ d,只能是c = -d ④ (6分)

同理可得 c?b 因为 c ≠b ,只能c = -b ⑤ (8分)

2

22

2

2

2

2

2

比较④,⑤得b=d ,与已知b≠d矛盾,所以题设要求的填数法不存在。(10分)

23、因为,x是正整数,所以表中各行或各列三数之和都是相等的正整数即: 1?2?3?4?5?6?7?8?xx?12? (2分) 33

不妨设a,b与x在同一行,c,d与x在同一列,则有

x2-x=12-x (4分) 331?2?3?4又 a+b和c+d的最小值是?5

2

2x212x所以 12??5,即x? (6分) 又因为 12?=a?b是整数,且x是323a+b=c+d=12+

不同于1,2,3,4,5,6,7,8的正整数,因此x=9 (8分)

填数法如下:(不唯一)

(10分)

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