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2004年全国初中数学竞赛试题及答案(初三)

发布时间:2013-12-19 15:40:26  

2004年“TRULY?信利杯”全国初中数学竞赛试题

一、 选择题(共5小题,每小题6分,满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分)

1. 已知实数a?b,且满足(a?1)?3?3(a?1),3(b?1)?3?(b?1).则22bba?a的值为( ). ab

(A)23 (B)?23 (C)?2 (D)?13

答:选(B)

∵ a、b是关于x的方程

?x?1?2?3(x?1)?3?0

的两个根,整理此方程,得

x2?5x?1?0,

∵ ??25?4?0,

∴ a?b??5,ab?1.

故a、b均为负数. 因此 ?a?b??2ab??23babaa2?b2

b?a???ab??ab??. abababab

2. 若直角三角形的两条直角边长为a、b,斜边长为c,斜边上的高为h,则有 2( ).

(A)ab?h (B)2111111?? (C)2?2?2 (D)a2?b2?2h2

abhabh

222答:选(C) ∵ a?h?0,b?h?0, ∴ ab?h,a?b?h?h?2h;

因此,结论(A)、(D)显然不正确.

设斜边为c,则有a?b?c,222111(a?b)h?ch?ab,即有 222

111??, abh

因此,结论(B)也不正确. 由11111a2?b2h?ab化简整理后,得2?2?2, 22abh

2因此结论(C)是正确的. 3. 一条抛物线y?ax?bx?c的顶点为?4,?11?,且与x轴的两个交点的横坐标为一正

一负,则a、b、c中为正数的( ).

(A)只有a (B)只有b (C)只有c (D)只有a和b

答:选(A)

由顶点为?4,?11?,抛物线交x轴于两点,知a?0.

设抛物线与x轴的两个交点的横坐标为x1,x2,即为方程

ax2?bx?c?0

的两个根.

由题设x1x2?0,知c?0,所以c?0. a

1

根据对称轴x?4,即有?

故知结论(A)是正确的. b?0,知b?0. 2a

4. 如图所示,在△ABC中, DE∥AB∥FG,且FG到

DE、AB的距离之比为1:2. 若△ABC的面积为32,△CDE

的面积为2,则△CFG的面积S等于

( ).

(A)6 (B)8

(C)10 (D)12

答:选(B)

由DE∥AB∥FG知,△CDE∽△CAB,△CDE∽△CD?CA

又由题设知S?CDE?S?CAB21?, 324FD1?,所以 FA2

FD1?, AD3

1131FD?AD??AC?AC, 3344

故FD?DC,于是

S?CDE?1?1????,S?CFG?8. S?CFG?2?4

因此,结论(B)是正确的.

5. 如果x和y是非零实数,使得 2

x?y?3和xy?x3?0,

那么x?y等于( ).

(A)3 (B) (C)

答:选(D)

将y?3?x代入xy?x?0,得x?x?3x?0.

(1)当x?0时,x?x?3x?0,方程x?x?3?0无实根;

(2)当x?0时,x?x?3x?0,得方程x?x?3?0 3223321? (D)4? 2322

1?1?,正根舍去,从而x?. 22

1?7??于是y?3?x?3?. 22

故x?y?4?. 解得x?

因此,结论(D)是在正确的.

2

二、 填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)

6. 如图所示,在△ABC中,AB?AC,AD?AE,

?BAD?60?,则?EDC?(度).

答:30?

解:设?CAD?2?,由AB=AC知

1?B?(180??60??2?)?60???, 2

?ADB?180???B?60??60???,

由AD=AE知,?ADE?90???,

所以?EDC?180???ADE??ADB?30?.

(单位:万人)以及两城市间的距离d(单位:km)有T?7. 据有关资料统计,两个城市之间每天的电话通话次数T与这两个城市的人口数m、nkmn的关系(k为常数) . 现d2

测得A、B、C三个城市的人口及它们之间的距离如图所示,且已知A、B两个城市间每天的电话通话次数为t,那么B、C两个城市间每天的电话通话次数为 次(用t表示). t答: 2

50?80解:据题意,有t?k, 2160

32∴k?t. 5

因此,B、C两个城市间每天的电话通话

次数为 80?10032t5??

56423202

8. 已知实数a、b、x、y满足a?b?x?y?2,ax?by?5,则TBC?k?(a2?b2)xy?ab(x2?y2)?答:?5

解:由a?b?x?y?2,得(a?b)(x?y)?ax?by?ay?bx?4,

∵ ax?by?5,

∴ ay?bx??1.

因而,(a?b)xy?ab(x?y)?(ay?bx)(ax?by)??5. 2222ABCD中,

AD∥BC?BC?AD?,?D?90?, BC?CD?12,

?ABE?45?,若AE?10,则CE的长为 .

答:4或6

解:延长DA至M,使BM?BE. 过B作BG?AM,

所以BC?BGG为垂足.易知四边形BCDG为正方形,

又?CBE??GBM,

∴ Rt?BEC≌Rt?BEG.

∴BM?BE,?ABE??ABM?45?,

∴△ABE≌△ABM,AM?AE?10.

设CE?x,则AG?10?x,AD? 12?(10?x)?2?x,DE? 12?x. 9. 如图所示,在梯形在Rt△ADE中,AE?AD?DE,

∴ 100?(x?2)?(12?x),

3 22222

即x2?10x?24?0,

解之,得x1?4,x2?6.

故CE的长为4或6.

10. 实数x、y、z满足x?y?z?5, xy?yz?zx?3,则z的最大值是 . 13 3

2解:∵ x?y?5?z,xy?3?z(x?y)?3?z(5?z)?z?5z?3,

∴x、y是关于t的一元二次方程 答:

t2?(5?z)t?z2?5z?3?0

的两实根.

∵ ??(5?z)?4(z?5z?3)?0,即 22

3z2?10z?13?0,(3z?13)(z?1)?0.

13113∴ z?,当x?y?时,z?. 333

13故z的最大值为. 3

三、 解答题(共4题,每小题15分,满分60分)

11. 通过实验研究,专家们发现:初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的,讲课开始时,学生的兴趣激增,中间有一段时间,学生的兴趣保持平稳的状态,随后开始分散. 学生注意力指标数y随时间x(分钟)变化的函数图象如图所示(y越大表示学生注意力越集中). 当0?x?10时,图象是抛物线的一部分,当10?x?20和20?x?40时,图象是线段.

(1)当0?x?10时,求注意力指标数y与时间x的函数关系式;

(2)一道数学竞赛题需要讲解24分钟. 问老师能否经过适当安排,使学生在听这道题时,注意力的指标数都不低于36.

解:(1)当0?x?10时,设抛物线的函数关系式为y?ax?bx?c,由于它的图象经过点?0,20?,?5,39?,?10,48?,所以

2

?c?20,??25a?5b?c?39, ?100a?10b?c?48.?

解得,a??

所以 124,b?,c?20. 55

y??1224x?x?2055,0?x?10. ???????(5分)

7(2)当20?x?40时,y??x?76. 5

所以,当0?x?10时,令y=36,得36??

解得x?4,x?20(舍去);

4 1224x?x?20, 55

当20?x?40时,令y?36,得36??7x?76,解得 5

x?

因为282004?28. ????????(10分) 7744?4?24?24,所以,老师可以经过适当的安排,在学生注意力指标数不低于77

36时,讲授完这道竞赛题. ????????(15分)

12. 已知a、b是实数,关于x、y的方程组

?y?x3?ax2?bx, ??y?ax?b

有整数解(x,y),求a,b满足的关系式.

解:将y?ax?b代入y?x?ax?bx,消去a、b,得

y?x?xy, ?????????(5分) 332

(x?1)y?x3.

若x?1?0,即x??1,则上式左边为0,右边为?1不可能. 所以x?1?0,于是

x31y??x2?x?1?. x?1x?1

因为x、y都是整数,所以x?1??1,即x??2或x?0,进而y?8或y?0. 故 ?

当??x?0?x??2 或 ? ?????????(10分) y?0y?8???x??2时,代入y?ax?b得,2a?b?8?0; y?8?

?x?0当?时,代入y?ax?b得,b?0. y?0?

综上所述,a、b满足关系式是2a?b?8?0,或者b?0,a是任意实数.

?????????(15分)

13. D是△ABC的边AB上的一点,使得AB?3AD,P是△ABC外接圆上一点,使

PB的值. PD

解:连结AP,则?APB??ACB??ADP,

所以,△APB∽△ADP, ??????????(5分) ABAP∴, ?APAD

22所以AP?AB?AD?3AD, ∴AP?3AD, ??????????(10分) PBAP所以??3. ??????????(15分) PDAD得?ADP??ACB,求

5

14. 已知a?0,b?0,c?0,且b?4ac?b?2ac,求b2?4ac的最小值. 解:令y?ax?bx?c,由a?0,b?0,c?0,判别式??b?4ac?0,所以这个二次函数的图象是一条开口向下的抛物线,且与x轴有两个不

同的交点A(x1,0),B(x2,0),因为x1x2?222c?0,不妨设a

x1?x2,则x1?0?x2,对称轴x??b?0,于是 2a

x?b?b2?4acb?b2?4ac

1?2a?2a?c

??????(5分)

4ac?b2b?b2?4acb2?4ac

4a?c?2a??2a,

故b2?4ac?4,

当a??1,b?0,c?1时,等号成立.

所以,b2?4ac的最小值为4.

6 ,

以???????(10分) ?????????(15分)

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