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2001年全国初中数学竞赛试题

发布时间:2013-12-19 15:40:34  

2001年TI杯全国初中数学竞赛试题B卷

一、 选择题(30分)

2n?4?2(2n)1、 化简,得( C ) n?32(2)

(A)2n?1?177 (B) ?2n?1 (C) (D) 848

2、 如果a,b,c是三个任意整数,那么a?bb?cc?a ( C ) ,,222

(A)都不是整数 (B)至少有两个整数 (C)至少有一个整数 (D)都是整数

3、 如果a,b是质数,且a?13a?m?0,b?13b?m?0,那么22ba?的值为( B ) ab

(A)125123123125 (B) (D)或2 (C)或2 22222222

4、 如图,若将正方形分成k个全等的矩形,其中上、下各横排两个,中间竖排若干个,则k的值为( B )

(A)6 (B)8 (C)10 (D)12

5、 如图,若PA?PB,?APB?2?ACB,AC与PB交于点D,且PB?4,PD?3则AD.DC等于( B )

(A)6 (B)7 (C)12 (D)16

AC

6、 若a,b是正数,且满足12345?(111?a)(111?b),则a和b之间的大小关系是( A )

(A)a?b (B)a?b (C)a?b (D)不能确定

三、 填空题(30分)

7、 已知:x?3?2

3?23?2

228、 若x?xy?y?14,y?xy?x?28,则x?

y9、 用长为1,4,4,510、 销售某种商品,如果单价上涨m%,则售出的数量就将减少,y?3?2。那么yx??x2y2m。为了使该商品的销售总金额150

最大,那么m11、 在直角坐标系xOy中,轴上的动点M?x,0?到定点P?5,5?、Q?2,1?的距离分别为MP和MQ,那么当MP?MQ取最小值时,点M的横坐标x?12、 2225 22已知实数a,b满足a?ab?b?1 且,t?ab?a?b,那么t的取值范围是?3?t??1 3

三、 解答题(60分)

13、 某个学生参加军训,进行打靶训练,必须射击10次。在第6、第7、第8、第9次射击中,分别得了9.0环、8.4环、8.1环、9.3环。他的前9次射击所得的平均环数高于前5次射击所得的平均环数。如果他要使10次射击的平均环数超过8.8环。那么他在第10次射击中至少要得多少环?(每次射击所得环数都精确到0.1环)

解:∵第6到第9次平均数=9.0?8.4?8.1?9.3?8.7环 4

又∵前9次射击所得的平均环数高于前5次射击所得的平均环数

∴前5次环数总和最多为8.7?5?0.1?43.4环

又∵10次射击平均环数超过8.8环,即总环数超过88环

∴第10次射击至少要超过88?8.7?4?43.4?9.8环

∴第10次射击至少要得9.8环

14、 如图,已知点P是⊙O外一点,PS、PT是⊙O的两条切线,过点P作⊙O的割线PAB,交⊙O于A,B两点,并交PT于T点。 求证:1111?(?).

PC2PAPB

证明:过点O作OH?BP,连结OP,交ST于G点,连结OT;

∵?PTO∽?PGT

∴PT?PG.PO

又∵?POH∽?PCG

∴PC.PH?PG.PO

∴PT?PC.PH

又∵PT?PA.PB

∴PC.PH?PA.PB

∴2221PH ?PCPA.PB

1?PA?PB? 2又∵PH?

∴1?11PA?PB1?1?.???.? 2?PAPB?PC2PA.PB

15、 已知:关于x的方程 (a2?1)(x2x)?(2a?7)()?1?0有实根。 x?1x?1

x1x23??,求a的值。 x1?1x2?111(1) 求a取值范围; (2) 若原方程的两个实数根为x1,x2,且

解:(1)①当a?1时,x??

②当a??1时: 设y?11;当a??1时,x?。 84x,原方程变形为a2?1y2??2a?7?y?1?0. x?1??

???2a?7??4?a2?1?1?0 2??

解得:a??53 28

∵y?x1 ?1?x?1x?1

∴当x?1,即y?1

∴a?1?2a?7?1?0,a?1?22。 ∴综上可知,a??253且a?1?22时,原方程有实数解。 28

(2)由题设可知,x1x2是方程a2?1t2??2a?7?t?1?0的两个根,可得: x1?1x2?1??

?2a?73??a1?102??a?111??? ?8a2???舍去??a??53?3??28?

∴a?10

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