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第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A(初一组)及答案

发布时间:2013-12-19 16:40:52  

初一数学特长培训

期末测试题

(时间: 2012年6月24日15:00~17:00)

一、填空题 (每题10分, 共80分)

1.互不相等的有理数a, b, c在数轴上的对应点分别为A, B, C. 如果

10.已知k 是满足 1910?k?2010的整数, 并且使二元一次方程组

?5x?4y?7

?

?4x?5y?k

有整数解. 问: 这样的整数k有多少个?

11.所有以质数p为分母的最简真分数的和记为m, 所有以质数 q为分母的最简真分数的和记为n.

|a?b|?|c?a|?|b?c|,那么在点A, B, C中, 居中的是点。

2.右图所示的立体图形由9个棱长为1的正方体木块搭成, 这个立体图形的表面积为。 3.汽车A从甲站出发开往乙站, 同时汽车B、C从乙站出发与A相向而行开往甲站, 途中A与B相遇后15分钟再与C相遇. 已知 A、B、C 的速度分别是每小时90km, 80km, 70km, 那么甲乙两站的路程是 km。

4.一个盒子里装有标号 1~100 的100张卡片,某人从盒子里随意抽卡片,如果要求取出的卡片中至少有两张标号之差为5,那么此人至少要抽 张卡片。

5.在1~1000这1000个自然数中,能够被2或3或5整除的数有个。

若mn?48, 求m?n的可能值.

12.解方程:x[x]?80,其中 [x] 表示不大于x的最大整数.

- 1 -

a?2b3b?2cc?2a3a?b?2c

6.已知 , 则的值等于 . ??

7532a?5b?6c

7.六人参加乒乓球比赛, 每两人赛一场, 分胜负, 无平局. 最终他们胜的场数分别是a, b, b, c, d, d, 且a?b?c?d, 那么a等于 . 8.在平面直角坐标系xOy内,已知A(3,-3),点P是y轴上一点,则使

二、解答下列各题 (每题10分, 共40分,

要求写出简要过程)

9.能否找到7个整数, 使得这7个整数沿圆

周排成一圈后, 任3个相邻数的和都等29 ? 如果能, 请举一例. 如果不能, 请简述理由.

三、解答下列各题 (每题15分, 共30分, 要求写出详细过程)

13.右图中, ?ABC, ?BCD, ?CDE, ?DEF, ?EFA, ?FAB的面积之和等于六边形ABCDEF的面积. 又图中的6个阴影三角形面积之和等于六边形ABCDEF的面积的1. 求六边形3

A1B1C1D1E1F1的面积与六边形ABCDEF的面积之比.

14.一个单项式加上多项式 9(x?1)?2x?5 后等于一个整式的平方, 试求所有

这样的单项式.

2

- 2 -

参考答案

一、填空 (每题10分, 共80分)

8. 解答.

二、解答下列各题 (每题10分, 共40分, 要求写出简要过程)

9. 答案: 不能.

解答. 假设存在7个整数a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7排成一圈后, 满足任3个相邻数的和都等于29. 则

a1?a2?a3?29, a2?a3?a4?29, a3?a4?a5?29, a4?a5?a6?29,

a5?a6?a7?29, a6?a7?a1?29, a7?a1?a2?29.

将上述7式相加, 得

3?(a1?a2?a3?a4?a5?a6?a7)?29?7.

所以

a1?a2?a3?a4?a5?a29?76?a7?

3?672

3

,

与a1?a2?a3?a4?a5?a6?a7为整数矛盾! 所以不存在满足题设要求的7个整数.

10. 答案: 2.

解答. 直接解方程组,

??x?35?4k??541. ?

y?

k?2841当??35?4k?41m

?

28?5k?41n (其中m和n是整数) (1)

时方程组有整数解. 消去上面方程中的k, 得到5m?4n?7. (2) 从(2)解得?

?m?3?4l

?n??2?5l

(其中l是整数). (3)

将(3)代入(1)中一个方程35?4k?123?164l, k?22?41l. 解不等式1910?22?41l?2010,

188841?l?198841, 46241?l?4820

41

.

因此共有2个k值使原方程有整数解.

11. 答案: 49, 14. 96.5(96.5可答可不答)

解答. 因为p为质数, 所以

12p?1

p,p,?,

p为最简真分数, 所以 m?

1?2???(p?1)p?1

p?

2

. 同理可得n?

q?1

2

. 所以(p?1)(q?1)?26

?3.

首先, 因为上式右端3的因子只有一个, 所以 p和 q不可能相等, 不妨设p?q. 因为26?3?2?96?4?48?8?24?16?12?32?6=3?64,

所以p和 q可以是以下情形:

p?97,q?3, 对应的m?n?49;

p?17,q?13, 对应的m?n?14.

1

12. 答案: x??

809

. 解答. 当a?b?0时, 有a[a]?b[b]. 当0?a?b时, 有a[a]?b[b]. 由于8[8]?64?80?81?9[9],

可以断言, 如果方程有正数解 x, 则x?8?{x}. 因此(8?{x})?8?80, {x}?2是不可能的. 另一方面,?8[?8]?64?80?81??9[?9], 可以断言, 如果方程有负数解 x, 则x??9?{x}. 因此(?9?{x})?(?9)?80, 9{x}?1, {x}?19, x??809

. 故原方程的解为x??

80

9

. 三、解答下列各题 (每题15分, 共30分, 要求写出详细过程)

13. 答案:

13

. 解答. 记六边形A1B1C1D1E1F1的面积为S, 图中阴影部分的面积为S1; 记 △ABC, △BCD, △CDE, △DEF, △EFA, △FAB的面积之和为S2, 由这六个三角形组成的图形除去阴影部分的面积为S3, 由题设条件可知

S2 =SABCDEF, S1 =

1

3

SABCDEF. 在计算S2时, 加了两次S3, 所以 S2?S1?2S3, 从而得S1

3?

3

SABCDEF. 又S?SABCDEF?S1?S3, 所以S?1

3SABCDEF. 故

SS?1.ABCDEF

3

14. 答案: 16x2, 或8x, 或32x, 或

649

. 解答. 设所求的单项式是 axm, m?0.

9(x?1)2?2x?5共有3个不为同类项的单项式, 如果 m?3, 则多项式

9(x?1)2?2x?5+axm

中不为同类项的单项式有4项, 不可能写为两个不为同类项的单项式和的平方, 如果写成至少有3项不为同类项的单项式和的平方, 则展开后, 至少有5个不为同类项的单项式, 所以, 得到m?2.

9?x?1?2?2x?5?16x2??9?16?x2?20x?4??5x?2?2

;

9?x?1?2?2x?5?8x?9x2?12x?4??3x?2?2

;9?x?1?2

?2x?5?32x?9x2

?12x?4??3x?2?2

;

9?x?1?2

?2x?5?649?9x2?20x?1009???10?

2

?

3x?3??;

所求的单项式为16x2

, 或8x, 或32x, 或64

9

, 再无其他解答.

2

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