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数值分析题库答案04

发布时间:2013-12-20 09:42:40  

[数值分析] 试题库答案 (编号:020809)试题04

一、单项选择题(每小题2分,共10分)

1-5 BBCDD

二、填空题(每小题4分,共20分)

f(x*)f''(x*)1、 2、1 [f'(x*)]2

??0?113、0?f'(x)?4 4、P(2,3)=?0?6?1?0?6?

5、???0?1? ?61??6?1

3

三、计算题(每小题10分,共50分)

1、 解:

二次最佳均方逼近多项式的法方程是

1?????1dx

???11???xdx ??????1

??1

21???(x?)dx3????11121???1xxdx(x?)dxe1dx??????3?1?1???0???1?111?????122xxdxx(x?)dx??exdx??1???? ??3?1?1?????1?1?112???x21?1121?22x(x?)dx(x?)(x?)dx???e(x?3)dx???333?1?1???1?

2(8分) 解出得最佳逼近多项式为?0??1x??2(x?) (10分)

2、 解:

可得关于x的方程为:

(2x2?1)2?(x?4)2?R2 (3分)13

f(x)?(2x2?1)2?(x?4)2?R2

牛顿迭代公式为:

第 1 页 共 3 页

[数值分析] 试题库答案 (编号:020809)试题04

f(x)12x4?5x2?17?R2

(8分) ?(x)?x?'?3

f(x)16x?10x?8

可用牛顿迭代法求出x,然后利用等式求y。

(10分)

3、 解:

斯密斯正交化:

A?[a1,a2,a3]

正交化为:

b1?a1,b2?a2?(a2,b1)?3?

?(b1,b1)

b1???4

???0??

b3?a3?(a3,b1)(a3,b2)?8/5?

?(b1,b1)b1?(b2,b2)

b2????6/5 ???0???0??3/5标准化为 :c1???0?,c2???4/5??,c3??4/5?

?3/5? ??? ?1??????0?????0???03/54/5?Q???04/5?3/5??212?

,R?Q?1A?QTA??05?1? ????100?????002??

4、 解:

迭代矩阵为 B?3E,它的特征矩阵为|?xE?B?3E|?0 谱半径为?(B?3E)?|??3|

利用收敛的充分必要条件 可求得2???4 5、 解:

利用复化梯形余项公式得 |R[f]|?|I?Tb?an|?

12h2f''(?)?112h2?6?1

2

?10?4 得到h?0.01 第 2 页 共 3 页

5分)

(7分) 10分)

(4分) (8分)

10分) 2分) 8分) 10分)

( ( ( (((

[数值分析] 试题库答案 (编号:020809)试题04

四、证明题(每小题10分,共20分)

1、 证明:

利用雅可比迭代收敛的充要条件

?0?a?a??? (7分) 0?a雅可比迭代矩阵为 B??a?????a?a0??

谱半径为?(B)?|2a|?1 (10分) 得证。

2、 证明:若||A?1?A||?1,则?(A?1?A)?||A?1?A||?1,而E?A?A特征值

?(E?A?1?A)??(E)??(A?1?A)?1???A?1?A?不为零,所以非奇异。

(4分) 其次,||(E?A?1?1?A)?1||?1 ||E?A?1?A||

一方面,因为(E?A?1?A)(E?A?1?A)?1?E,

所以(E?A?1?A)?(E?A?1?A)A?1?A?E

||(E?A?1?A)?(E?A?1?A)A?1?A||?1 (8分) 另一方面,

?1?1||(E?A?1?A)?(E?A?1?A)A?1?A||?||(E?A?1?A)||?||(E?A?1?A)A||?

||(E?A?1?A)?1||?||(E?A?1?A)||||A?1?A||?||(E?A?1?A)?1||(1?||A?1?A||) 所以当||A?1?A||?1时

原式成立。 (10分) 第 3 页 共 3 页

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