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数学奥林匹克问题(4)

发布时间:2013-12-20 09:42:43  

2006年第4期47

数学奥林匹克问题

本期问题

初175 在vABC中,AB>AC>BC,点M、N分别在边AB、AC上,且满足BM=CN=BC.证明:线段MN上任意一点到vABC三边距离之和都等于同一个值.

(黄全福 安徽省怀宁县江镇中学,246142)

初176 已知a、b、c为整数,且(a5+b5+c5)+4(a+b+c)

是120的倍数.求证:a+b+c是24的倍数.(李 明 安徽省五河县第三中学,233300)

高175 如图1,在矩形ABCD中,AB=1

,BC=m,O为其中心,EOL平面

ABCD,

EO=n,在边BC上存在唯一的点F,使得EFLFD.问m、n满足什么60b?

(汪学思 安徽省安庆市第三中学,246003)

高176 已知a、b、c是满足a2=b2+c2的正数.求证:a3+b3+c3

222\[a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)].

7

图1

3

3

3

上期问题解答

初173 如图2,在正方形ABCD中,以点A为圆心、AB为半径画弧BD交AC于E,PO1与AB、AD相切且与BD内切,PO2与CB、CD相切且与BD外切,过点E作PO1的切线PE交CD于P.求证:

NAPO1=NCPO2.证明:由题设有,点O1、O2在AC上,且PO1和PO2与BD相切于点E,于是,

PELAC,PE=EC.设AB=AD=AE=a,则AC=a.

因为AO1+O1E=(2+1)O1E=a,所以,

O1E=

a

=(1)a.1

图2

又EC=AC-AE=(1)a,则O1E=EC=PE=(2-1)a.所以,vCPO1为直角三角形,即NCPO1=90b.

因为EO2+O2C=EC,即(1)EO2=(1)a,

1

a=(2-1)2a.1

又AE#EO2=a(-1)2a=PE2,则所以,EO2=

RtvAPEVRtvPO2E.故NAPE=NPO2E.因此,NAPO2=90b.而NAPO1+NO1PO2=NO1PO2+NCPO2=90b,所以,NAPO1=NCPO2.

(吕建恒 陕西省兴平市教研室,713100)

条件时,平面DEF与平面ABCD所成的角为

(宋 庆 南昌大学附中,330029)

48

初174 已知ABCD是一个正方形,点M(异于点B、C)在边BC上,线段AM的垂直平分线l分别交AB、CD于点E、F.

(1)问:BE与DF谁更长?请说明理由.

(2)若AB=1,求|BE-DF|的取值范围(点M取遍线段BC内部的每一个点)

.

解:(1)如图3,设AC与BD交于点O,O为正方形ABCD的中心,直线l交AM于AM的中点N.联结NO,则NOMBC.

故NONM=NNMB=NAMB<90b.所以,点O与M在直线l的同侧.

过点O作直线=DFc.

所以,BE>BEc=DFc>DF,即BE比DF长.(2)设BM=x,则

MC=1-x(0<x<1),AM=AN=NM=.

2

延长AM、DC相交于点P.

CPCM由RtvMCPVRtvMBA,得=.

ABMB

则CP===-1,

MBxxMP==

1-x)2+1-x)2+

1

-1x

中等数学

2-.

x2故CF=PF-CP=x+

11-x2-1=x+,x22DF=1-CF=-x+.

2

从而,|BE-DF|=BE-DF=x+

1-x2x2+1

+x-=x(1-x).

22

而函数y=x(1-x)(0<x<1)的取值范围是=(0,

11],因此,|BE-DF|的取值范围是(0,].44(吴伟朝 广州大学数学与信息科学学院,510006)高173 已知x、y、zIR+,x+y+z=1.求证:1

-xx图3

1x2+1--x2

1

-yy1\26-zz

3

.

证明:注意到-xx2

(1-x3)(1-y3)-y=y2xylcMl,lc分别交BE、CF于点Ec、Fc.由对称性易知BEc

(1+x+x2)(1+y+y2)

=(1-x)(1-y)#

xy11

=(1-x-y+xy)1+x+x=(z+xy)1+= \4 13

2

1+x,

1++2yy

11

+yy

+2xx

1+

zzz

+++xy3331+3@

4

1+3@

11

+9@.3x9x11

+9@9y13

=#+1.xx

显然,B、E、N、M,C、F、N、M分别四点共圆.由割线定理得

AE#AB=AN#AM,PC#PF=PM#PN.22

AM=(1+x),22

1+x21-x2

BE=1-AE=1-=,22

PM#PNPF=

PC则AE=

x

313y

4

xy#13

3x

19x#

13

9y2

=4@13

52

3

13

xyz#

3

3xy

422121

=26则

2

1z,3(xy)1\262-yy52

=

1+x(1-x)x+1

+2x1-xx

1-xx.3(xy)52

262,3207(yz)71

2=+(x2+1)

x

2006年第4期

将以上三式相乘,并由1=x+y+z\3\27,得xyz

1-xx52

3

49

,即

(4,12),(8,24),(12,36),(16,48);

(5,20),(10,40),(10,15),(20,30),(30,45);(6,30);

(7,42),(14,35),(21,28);(24,40);(36,45).

从1开始,依次将自然数1,2,,分入A、B两组,

26

3

6

2

1-yy2

1-zz2

\26=26

6

621

xyz6

52

103@27=3

1

-yy使任一组中都不出现好对,看能分到哪个数:

.

\26

3

A: 1,2,3,12,30,10,18,5,8,13,14,19,21,22,23,

.

31,32,33,34,

B: 6,4,24,36,15,20,9,7,11,16,17,35,28,

25,26,27,29,37,38,39.

上面已经将{1,2,,,39}分成两组且每组中均无好对.但却无法将40再分入两组之一中,因这时(10,40)和(24,40)都是好对.从而,知所求的最小自然数n\40.

当n=40时,考察图4中的7个数所构成的圈,图中每相邻两数都是一个好对.这7个数分属两个集合,总有相邻两数属于同一个集,当然是该集中的好对.

综上可知,所求的最小自然数n=40.

(李成章 南开大学数学科学学院,300071)

图4

1故-x

x1-zz(安振平 陕西省咸阳市永寿县中学,713400)高174 设S={1,2,,,n}.求最小自然数n,使当任意将S划分成两个子集时,总有一个子集中含有两个不同的数a和b,满足(a+b)|ab.

解:将满足条件(a+b)|ab的两个不同数a和b称为一个/好对0.显然,这个问题的答案只和这些好对有关系,而与那些不在好对中出现的数没有关系.因此,可将一段数,例如50以内的所有好对都写出来:

(3,6),(6,12),(9,18),(12,24),(15,30),(18,36),(21,42),(24,48);

敬告读者

1.为了帮助全国各地中学生准备参加2006年全国高中数学联赛,我部决定,在2006年第6期推出一期服务于全国高中数学联赛的专刊,届时聘请多名教练员为专刊提供模拟试题(有解答)。敬请关注。

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2.我刊在连续两年推出52002)2003国内外数学竞赛套题及精解652003)2004国内外数学竞赛套题及精解6之后,今年继续推出52004)2005国内外数学竞赛套题及精解6。定价:18元,单本订阅:23元(含邮挂费),10本以上不收邮费,40本以上请直接与编辑部联系。

现已开始接受订户订阅,有集体订阅者,请与编辑部李电话:022-23542233

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