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培优 第六讲 圆

发布时间:2013-12-20 16:37:55  

培优 第六讲 圆

如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB与小圆相切于点C,若AB的长为8cm,则图中阴影部分的面积为 ▲ cm2.

【答案】16π。

【考点】切线的性质,垂径定理,勾股定理。

【分析】设AB于小圆切于点C,连接OC,OB。

∵AB于小圆切于点C,∴OC⊥AB。

∴BC=AC=1

2AB=1

2×8=4。

∵Rt△OBC中,OB2=OC2+BC2,即OB2-OC2= BC2=16,

∴圆环(阴影)的面积=π?OB2-π?OC2=π(OB2-OC2)=16π(cm2)。

1如图,AB是⊙O的直径,点E为BC的中点,AB=4,∠BED=120°,则图中阴影部分的面积之和为【 】

A.1 B

C

D

【答案】C

【答案】C。

【考点】圆周角定理,等边三角形的判定和性质,线段垂直平分线的性质,三角形中位线定理,勾股定理。

【分析】连接AE,OD,OE。

∵AB是直径, ∴∠AEB=90°。

又∵∠BED=120°,∴∠AED=30°。∴∠AOD=2∠AED=60°。

∵OA=OD。∴△AOD是等边三角形。∴∠A=60°。

又∵点E为BC的中点,∠AED=90°,∴AB=AC。

∴△ABC是等边三角形,

∴△EDC是等边三角形,且边长是△ABC边长的一半2

?和弦BE围成的部分的面积=DE?和弦DE∴∠BOE=∠EOD=60°,∴BE

围成的部分的面积。

∴阴影部分的面积

=S?EDC=?2C。

7. (2012山东日照4分)如图1,正方形OCDE的边长为1,阴影部分的面积记作S1;如图2,最大圆半径r=1,阴影部分的面积记作S2,则S1S2(用“>”、“<”或“=”填空)

. 12

【答案】<。

【考点】轴对称的性质,正方形和圆的性质,勾股定理,实数的大小比较,

【分析】结合图形发现:图1阴影部分的面积等于等于矩形ACDF的面积,图2每个阴影部分正好是它所在的圆的四分之一,则阴影部分的面积大圆面积的四分之一。计算出结果后再比较S1与S2的大小即可:

∵正方形OCDE的边长为1,∴根据勾股定理得

。 ∴AC=AO-

-1

。∴S1?S矩形ACDF?1)?11。 ∵大圆面积=πr2=π∴S2??。

1411<?,∴S1<S2。 4

9. (2012山东烟台8分)如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为点E,CF⊥AF,且CF=CE.

(1)求证:CF是⊙O的切线;

(2)若sin∠BAC=S2,求?CBD的值.

S?ABC5

【答案】(1)证明:连接OC.

∵CE⊥AB,CF⊥AF,CE=CF,

∴AC平分∠BAF,即∠BAF=2∠BAC。

∵∠BOC=2∠BAC,∴∠BOC=∠BAF。

∴OC∥AF。∴CF⊥OC。∴CF是⊙O的切线。

(2)解:∵AB是⊙O的直径,CD⊥AB,

∴CE=ED,∠ACB=∠BEC=90°。

∴S△CBD=2S△CEB,∠BAC=∠BCE。∴△ABC∽△CBE。 S42?2??BC?∴?CBE??。?sin?BAC???????S?ABC?AB?25?5?

∴22S?CBD8?。 S?ABC25

【考点】切线的判定,圆周角定理,垂径定理,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数定义。

3. (2012山东东营9分)如图,AB是⊙O的直径,AM和BN是它的两条切线,DE切⊙O于点E,交AM于点D,交BN于点C,

(1)求证:OD∥BE;

(2)如果OD=6cm,OC=8cm,求CD的长.

22. (2012山东日照10分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,AB=5.

(Ⅰ)探究新知:

如图① ⊙O是△ABC的内切圆,与三边分别相切于点E、F、G..

(1)求证内切圆的半径r1=1;

(2)求tan∠OAG的值;

(Ⅱ)结论应用

(1)如图②若半径为r2的两个等圆⊙O1、⊙O2外切,且⊙O1与AC、AB相切,⊙O2与BC、AB相切,求r2的值;

(2)如图③若半径为rn的n个等圆⊙O1、⊙O2、…、⊙On依次外切,且⊙O1与AC、AB相切,⊙On与BC、AB相切,⊙O1、⊙O2、…、⊙On均与AB相切,求rn的值

.

【答案】解:(Ⅰ)(1)证明:在图①中,连接OE,OF。 ∵点E、F、G是⊙O的切点

∴四边形CEOF是正方形, CE=CF=r1。

又∵AC=3,BC=4,AB=5,

∴AG=AE=3-r1,BG=BF=4-r1,AG+BG=5。 ∴(3-r1)+(4-r1)=5,解得r1=1。

(2)连接OG,OA在Rt△AOG中,∵OG=r1=1, AG= 3-r1=2,

∴tan∠OAG=OG1?。 AG2

(Ⅱ)(1)连接O1A、O2B,作O1D⊥AB交于点D、O2E⊥AB交于点E。

则 AO1、BO2分别平分∠CAB、∠ABC。

11,知tan∠O1AD=, 22

OE1同理可得:tan∠O2BE=2?。 BE3由(Ⅰ)tan∠OAG=

∴AD=2r2,DE=2r2,BE=3r2。

∵AD+DE+BE=5,∴r2?5。 7

(2)如图③,连接O1A、OnB,作O1D⊥AB交于点D、O2E⊥AB

交于点E、…、OnF⊥AB交于点F。

则AO1、BO2分别平分∠CAB、∠ABC。

tan∠O1AD=11,tan∠OnBF=, 23

∴AD=2rn,DE=2rn,…,FB=3rn。

又∵AD+DE+…+FB=5,2rn+2rn+…+3rn=5,即(2n+3) rn=5, ∴rn?

5。 2n+3

24. (2012山东泰安12分)如图,半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A,与y轴的正半轴交于点B,点C的坐标为(1,0).

若抛物线y?过A、B两点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)在抛物线上是否存在点P,使得∠PBO=∠POB?若存在,求出点P的坐标;若不存在说明理由;

(3)若点M是抛物线(在第一象限内的部分)上一点,△MAB的面积为S,求S的最大(小)值.

2x?bx?c3

【答案】解:(1)如图1,连接OB。

∵BC=2,OC=1,∴

?

∴B(0

将A(3,0),B(0

???9?3b?c?0??b?得?3

,解得:?3 。

?c??c???

∴抛物线的解析式为y?(2)存在。

如图2,作线段OB的垂直平分线l,与抛物线的交点即为点P。 ∵B(0

,O(0,0), 2x。 ∴直线l

的表达式为y?.代入抛物线的表达式,

2

得?2;解得x?1?。 x?x?

3322

)。 ∴P

(1(3)如图3,作MH⊥x轴于点H。设M(xm,ym ),

则S△MAB=S梯形MBOH+S△MHA﹣S△OAB ?OH?=MH?OB)

=1211HA?MH?OA?OB

22

1113(ymxm?(3?xm)ym??3xm?ym

2222∵ym?2xm?xm?,

32xm?(xm?xm

2∴SΔMAB?

=23。 xmxm?xm?)2?2∴当xm?

3时,S

ΔMAB。 2

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