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第11讲 代换问题

发布时间:2013-12-22 09:42:59  

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第十一讲 代换问题

一、知识要点

“等量代换”是解决数学问题的一种常用方法。即两个相等的量,可以互相代换。等量代换的思想用等式的性质来体现,就是等式的传递性:如果a=b,b=c,那么a=c。这种数学思

想方法不仅有着广泛的应用,而且是进一步学习数学的基础。

二、精讲精练

【例题1】在右图中,平行四边形ABCD的边BC长10厘米,直角

三角形ECB的直角边EC长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2,求平行四边形ABCD的面积。

【思路导航】因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2,都加上梯形FGCB后,根据差不变性质,所得的两个新图形的面积差不变,即平行四边行

ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2,所以平行四边形ABCD

的面积等于10×8÷2+10=50(厘米2)。

【例题2】图中,ABCD是7×4的长方形,DEFG是10

×2的长方形,求三角形BCO与三角形EFO的面积之

差。

【思路导航】解法一:连结B,E(见左下图)。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形BEO,则原来的问题转化为求三角形BEC与三角形BEF的面积之差。所求为4×(10-7)÷2-2×(10-7)÷2=3。

解法二:连结C,F(见右上图)。三角形BCO与三

角形EFO都加上三角形CFO

,则原来的问题转化为求

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三角形BCF与三角形ECF的面积之差。所求为4×(10-7)÷2-2×(10-7)÷2=3。 解法三:延长BC交GF于H(见下页左上图)。三角形BCO与三角形EFO都加上梯形COFH,则原来的问题转化为求三角形BHF与矩形CEFH的面积之差。所求为(4+2)×(10-7)÷2-2×(10-7)=3。

解法四:延长AB,FE交于H(见右上图)。三角形BCO与三角形EFO都加上梯形BHEO,则原来的问题转化为求矩形BHEC与直角三角形BHF的面积之差。所求为4×(10-7)-(10-7)×(4+2)÷2=3。

【例题3】 左下图是由大、小两个正方形组成的,小正方形

的边长是4厘米,求三角形ABC的面积。

【思路导航】分析与解:这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件,实际上本题的结果与大正方形的边长没关系。连结AD(见右上图),可以看出,三角形ABD与三角形ACD的底都等于小正方形的边长,高都等于大正方形的边长,所以面积相等。因为三角形AFD是三角形ABD与三角形ACD的公共部分,所以去掉这个公共部分,根据差不变性质,剩下的两个部分,即三角形ABF与三角形FCD面积仍然相等。根据等量代换,求三角形ABC的面积等于求三角形BCD的面积,等于4×4÷2=8(厘米2)。

【例题4】用两台水泵抽水,小水泵抽6小时,大水泵抽8小时,一共抽水312立方米,小水泵5小时的抽水量等于大水泵2小时的抽水量,两种水泵每小时各抽多少水?

【思路导航】根据“小水泵五小时的抽水量等于大水泵2小时的抽水量”可知道小水泵20小时的抽水量等于大水泵8小时的抽水量”

小水泵6小时+大水泵8小时=312立方米

可以把大水泵8小时换成小水泵20小时。

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练习1:

1 两个相同的直角三角形如右图1所示(单位:厘米)重叠在

一起,求阴影部分的面积。

2 在右图2中,AB=8厘米,CD=4厘米,BC=6厘米,三角形

AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。求ED的长。

3 右图3(单位:厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起,求

阴影部分的面积。

4 图4中,矩形ABCD的边AB为4厘米,BC为6厘米,

三角形ABF比三角形EDF的面积大9厘米2,求ED的长。

5 图5中,CA=AB=4厘米,三角形ABE比三角形CDE的

面积大2厘米2,求CD的长。

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